INSTITUCION EDUCATIVA N° 113 “Daniel Alomia Robles AREA: C.T.A Profesor: José Rivera Aldave Grado: 5to ABCDR Fecha: SESION DESARROLLADA DEL APRENDIZAJE I.- UNIDAD DE TRABAJO: MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) II.-CONTENIDOS BASICOS: 1.- Movimiento Circular.- Concepto 2.-.Elementos del MCU 3.- Ecuaciones del MCU.- Velocidad lineal y Velocidad angular 7.- Ejercicios y problemas III.- OBJETIVOS.1. Identifican y cuantifican experimentalmente el movimiento circular IV.- MOTIVACIÓN. Los alumnos dan una serie de ejemplos de movimiento circular de su entorno y luego analizan y comparan con el movimiento rectilíneo, acelerado y de caída libre. Observan un cuerpo amarrado de un pabilo y lo hacemos girar y analizan porque no se cae el cuerpo en movimiento de rotación. Llegan a una conclusión sobre la aceleración centrípeta V.- ADQUISICIÓN Y RETENCIÓN MOVIMIENTO CIRCULAR.- Es el movimiento de un cuerpo alrededor de un eje fijo y traza una trayectoria de una circunferencia.- Su velocidad es constante Ejemplos: El movimiento de un partícula atómica El movimiento de una galaxia El Movimiento de rotación de la tierra Un rueda de molino La hélice de un aeroplano Volante de un motor La aguija de un reloj Una piedra que gira atada al extremo de una cuerda. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR.1.- Movil 2.- Trayectoria 3.- Revolución 4.- Periodo (T) 5.- Frecuencia (f ) 6.- Radio Vector(R) 7.- Arco recorrido (S) 8.- Ángulo barrido (θ): ECUACIONES DEL MCU Velocidad Lineal o tangencial (V) Velocidad Angular (ω) Aceleración Angular (α ) ELEMENTOS 1.- MOVIL. Cuerpo que describe el movimiento 2.- TRAYECTORIA.- Describe un circunferencia 3.- REVOLUCION.- Es una vuelta completa del móvil en rotación 4.- PERIODO.- Es un magnitud que nos expresa el tiempo que demora un móvil en dar una vuelta Ejemplo. Un satélite geoestacionario tiene el mismo tiempo de recorrido de la tierra es decir 24 horas FORMULA periodo= Tiempo P= T Nº de vueltas nº v UNIDAD: el segundo (s) Ejemplo. El periodo del segundero= 60 s El periodo del minutero = 60 minutos 60 x 60 = 3600/1 vuelta =3600 s El periodo del horario = 12 horas 60 x 12 = 720 x 60 x 60 = 2 592 000 s 5.-FRECUENCIA.- Es aquella magnitud que nos indica el numero de vueltas en cada unidad de tiempo que realiza un móvil con movimiento circular FORMULA f = Nº DE VUELTAS f = nº TIEMPO t Unidad: el Hertz = Hz UNIDADES ESPECIALES rpm= revoluciones por minuto rps = revoluciones por segundo Ejemplo: Un disco gira 30 vueltas en cada minuto. Determina su frecuencia F= 30 vueltas = 30 = 1 Hz o 0.5 rps 1 min 60 s 2 Ejemplo 2.- Un rotor gira 50 vueltas por cada 2 minutos. Determine su frecuencia F= 50 vueltas = 50 = 50 = 25 v = 25 v o 25 Hz o 25 rpm 2 minutos 2(60 s) 120 s 60 s 1min EJERCICIOS 1.- Una rueda gira a razón de 100 vueltas en 20 s. Calcular la frecuencia y su periodo DATOS: SOLUCION Nº vueltas = 100 f= nº vueltas = 100 v = 5 Hertz T = 20 s T 20 s f= ¿ T= ¿ T= tiempo = 20 s = 0.2 s Nº de vueltas 100 v 2.- Una hélice realiza 1800 vueltas en ½ min. Calcular la frecuencia y su periodo. DATOS SOLUCION Nº v = 1800 f= nº vueltas = 1800 v = 60 Hertz t = ½ min = 30 s T 30 s F=¿ T = tiempo total = 30 s = 1 = 0,01666 s T=¿ nº de Vueltas 1800 60 6.- RADIO VECTOR (R ) Es la radio de la circunferencia descrita por un móvil. Es decir la distancia del móvil al eje. Su unidad es el metro (m) cambiando continuamente de dirección y sentido pero no así su módulo 7.- ARCO RECORRIDO(S).- Es la porción de la trayectoria circular generada por el movimiento del móvil en un intervalo de tiempo (S) 8.- ANGULO BARRIDO (Ѳ).- Es el ángulo central generado por el movimiento del móvil en un intervalo de tiempo. El ángulo barrido (θ): Se mide en radianes (rad). Es un vector perpendicular al plano del ángulo y sentido el del avance del tornillo. Como en 1 vuelta = 360º = 2 rad = θ ½ vuelta = 180º = rad ¼ vuelta = 90º = 2 ECUACIONES DEL MCU 1.- VELOCIDAD LINEAL (V).- Es una magnitud que nos indica el arco recorrido(S) con un intervalo de tiempo FORNULA V= Arco recorrido = V = S Tiempo t S UNIDADES Magnitud Arco recorrido Tiempo Velocidad lineal v Unidad metro segundo metro por segundo t Símbolo Abrev S m t s v m/s El módulo de la velocidad es constante El móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales La dirección de la velocidad es siempre tangente a la circunferencia VELOCIDAD LINEAL EN FUNCION A LA VELOCIDAD ANGULAR (ω) V=ω.R V ω R 2.- VELOCIDAD ANGULAR (ω ).- Es aquella magnitud que nos indica el desplazamiento del ángulo barrido(Ѳ) por un móvil en cada unidad de tiempo FORMULA ω = Angulo barrido = ω= Ѳ Tiempo t Ѳ ω UNIDADES Magnitud Angulo barrido Tiempo Velocidad angular Unidad radianes segundos Radianes por segundo t Símbolo Abrev rad Ѳ t s rad/s ω En el MCU la velocidad es constante El móvil recorre ángulos iguales en intervalos de tiempos iguales La dirección de la velocidad es perpendicular al plano de rotación 3.- ACELERACION CENTRIPETA(Acp).-.- Es aquella aceleración que provoca el cambio de la velocidad de un móvil en cada unidad de tiempo cuando realiza un movimiento circular. La Aceleración Centrípeta (Ac) siempre está dirigida al centro del movimiento y además siempre es perpendicular a la velocidad lineal. Para velocidad lineal Para velocidad angular FORMULAS: Acp = ω2 R 2 Acp = ω .R Como: ω=2π T UNIDADES Magnitud Velocidad Lineal Radio Aceleración Centrípeta Unidad metro por segundo metro metro por segundo al cuadrado Símbolo V Abrev m/s R Ac m m/s2 El arco siempre está dirigido al centro del movimiento Siempre es perpendicular a la velocidad lineal 4.-ACELERACIÓN ANGULAR ( α).- Es la variación de la velocidad angular producida en cada unidad de tiempo. α = ∆ω α = ω 1 - ω2 t t NOTA.- La velocidad angular (ω) es una magnitud vectorial cuyo sentido se representa aplicando la regla de la mano derecha o del tirabuzón, tal como lo muestra en la figura RESUMEN: UNIDADES ANGULARES DEL MCU.1.- Revolución.- una vuelta = 360º = 2 rad = θ 2.- Periodo (T) .- segundos (s) 3.- Frecuencia (f) .- Hertz o (r.p.s) 4.- Radio (R).- metros (m) 5.- Velocidad lineal (V) .- metros por segundo (m/s) 6.- Velocidad angular (ω ) .- radianes por segundo (rad/s) 7.- Aceleración Angular (α ).- radianes por segundo al cuadrado ( rad/s2) 8.- Arco Recorrido (S).- metros ( m) 9.- Angulo Barrido (θ ) .- radianes (rad) . EL RADIAN.- Es el ángulo en el centro de la circunferencia, cuyos lados interceptan un arco de longitud igual al radio. Su valor es 1 radian = 360º 2π = 57º, 17. 45” De la definición del radian se deduce que el ángulo total al centro de una circunferencia es: θ=S = 2π R R S=θ.R = 2 π radianes (siendo S la longitud de la circunferencia) 2 pi S θ R LA VELOCIDAD ANGULAR (ω) consiste en una vuelta completa o revolución, el ángulo será: θ = 2 π rad ó 360º y el intervalo de tiempo será de un período, o sea t = T tenemos las siguientes formulas: ω= θ T ω= EQUIVALENCIAS.360º grados = 1 revolución 360º grados = 2π rad 2π radianes = 1 revolución 1 radian = 57º,17·, 45” θ ω = 360º 2π T ω T Grados 0° Radianes 0 30° 45° 60° 90° π/6 π/4 π/2 π/3 T 180° 270° 360° π 3π/2 2π MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) Es el movimiento en el cual la trayectoria es una circunferencia y la velocidad es constante.- El MCU se refiere únicamente a una partícula o un punto material. En este tipo de movimiento la velocidad es constante solo en su valor numérico, pues su dirección está cambiando constantemente 1.- VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL (v).- Es la longitud del arco(S) recorrido por el móvil en la unidad de tiempo. V= S/t V ω R ECUACIONES V=ωR v= S ω= V v= θ t v= 2 π . R v = ω R R t t R= V ω 2.- Velocidad angular (ω).- Es el ángulo descrito por la radio en la unidad de tiempo ω =θ t. ω= θ ω = 2π rad ω = 360º ECUACIONES t t ω=Θ t t Θ=ωt θ ω t t=Θ ω FUERZA CENTRIPETA.- La intensidad de esta fuerza se obtiene multiplicando la masa del cuerpo por la aceleración que produce. Cuando se hace girar un objeto atado al extremo de una cuerda, ésta transmite la fuerza centrípeta que se identifica con la tensión a que está sometida. Formula FUERZA CENTRIFUGA En general, la fuerza centrífuga asociada a una partícula de masa en un sistema de referencia en rotación con una velocidad angular y en una posición respecto del eje de rotación Formula Fcf = mω².R VI.- CUESTIONARIO 1. ¿Qué es el movimiento circular? 2. ¿Cuáles son los elementos del movimiento circular? 3. ¿Qué unidades se usan para expresar los ángulos? 4. ¿Qué es un radian? 5. ¿Qué diferencia hay entre velocidad angular y velocidad lineal? 6. ¿Qué es la aceleración centrípeta. ¿Cuál es su formula? 7. ¿Qué es la velocidad angular y cuál es su formula? 8. ¿Calcula en radianes los ángulos correspondientes 90º, 60º y 120º? 9. ¿Qué es un movimiento de rotación?. 10. ¿Cuántas clases de velocidades hay en el movimiento circular uniforme?, ¿cuáles son sus magnitudes?. 11. ) ¿Qué es período y frecuencia en el movimiento circular?. 12. Indicar la diferencia entre fuerza centrípeta y centrífuga. 13. ¿Cuál es la causa por la cual una piedra que hacemos girar mediante una cuerda, sale tangencialmente y no radialmente al soltarse la cuerda?. 14. ¿Cuándo un móvil está afectado de un movimiento circular uniforme?. 15. ¿Qué relación existe entre velocidad angular y tangencial?. 16. ¿Qué es fuerza centrípeta y centrífuga?. HOJA DE EJERCICIOS DE MCU 1.- Un móvil tiene MCU da una vuelta en 10 s. Calcular el periodo, frecuencia y la velocidad angular, DATOS SOLUCION Nº vueltas= 1 vuelta = 2 π rad.= θ Hallando ω = θ = 2 π rad = π rad/s T = 10 s t 10 s 5 ω=¿ Hallando frecuencia F=¿ f = nª vueltas = 1 = 0,1 hertz T=¿ T 10 s Hallando Periodo T= t = 10 s = 10 s Nº de vueltas 1 2.- Un ciclista se mueve a razón de 0,02 π rad durante una hora. Calcular el nº de vueltas que ha dado. DATOS SOLUCION ω = 0,02 π rad/s θ=ω.t T = 1 hora = 3600 s θ = 0,02 π rad/s x 3600 s Nº vueltas= θ = ¿ θ = 72 π rad Entonces 72 π rad = 36 vueltas 2 π rad 3.- Un móvil que se desplaza con MCU describe un ángulo de 2.2 radianes en 1/5 de segundo. Si el radio de la circunferencia descrita es de = 0.40 m. Calcula la velocidad lineal y su periodo. DATOS: θ = 2.2 rad. t = 1/5 = 0.2 s R = 0.40 m V= ¿ T=¿ SOLUCION a).- Calculamos la velocidad lineal (V) en función a la velocidad angular (ω) v = ω R sabiendo que ω = θ t v = θ R = 2,2 rad x 0.40 m === 4,4 m/s t 0.2 s b).- Para obtener el periodo (T) Despejamos T de: la Velocidad angular ω = θ será: t = θ t ω Primero hallamos velocidad angular (ω) ω = θ = 2.2 rad = 11 rad/s t 0.2 Entonces: t = θ = 2 π rad = 2(3.14) rad = 0.57 s ω 11 rad/s 11 rad/s = 2 π rad ω 4.-Un disco de 3 m de diámetro, que está animado de MCU da 120 revoluciones por minuto (rpm) Calcula a).- El periodo b).- La frecuencia c).- La velocidad angular d).- La velocidad lineal de un punto de su periferia si tiene un diámetro de 3 m. DATOS: Nº Vueltas = 120 v x 2 π rad (esto es una vuelta) t = 1 min = 60 s D = 3 m o radio R= 1,5 m a).- calculamos el periodo (T) T = t = 60 s = 0.5 s n 120 b).- Encontramos la frecuencia (f) f= 1 = 120 v = 2 hertz ( 2 rps) T 60 s c).- Calculo de la velocidad angular (ω ) ω = θ = 2 π rad = 2 π rad x 120 v = 240 π rad = 4 π rad/s = 12.56 rad/s t t 60 s 60 s d).- Calculo de la velocidad lineal.(V) v = ω.R = 12.56 rad/s x 1..5 m = 18.84 m/s 5.- La volante de un motor gira a razón de 180 revoluciones por minuto. Calcular a).- La velocidad angular b).- La velocidad lineal de un punto situado a 20 cm. del eje DATOS. T = 1 min = 60 s θ = 180 rev = 180 x 2 π rad. = 360 π rad. R = 20 cm W= ¿ V=¿ SOLUCION: A).- Calculo de la velocidad angular ω = θ t ω = 180 x 2 π rad = 360 π rad = 6 π rad/s = 6 (3.14) rad/s = 18.84 rad/s 60 s 60 s B).- Calculo de la velocidad lineal (V) v= ω R v = 18.84 rad/s x 20 cm) = 376.8 cm/s o 3.76 m/s 6.-Un cuerpo con MCU posee un periodo de rotación de 8 s. ¿Cuál será su velocidad angular? DATOS: t= 8s ω = ¿ a).- π / 2 rad/s b).- π /4 rad/s c).- π /8 rad/s d),- 2 π rad/s e).- π rad/s SOLUCION Formula a aplicar. ω = θ = 2 π =π o 2(3.14) = 6.28 = 0.785 rad/s t 8s 4s 8s 8s 7.- Un cuerpo gira 270º en 15 s con velocidad angular constante. Hallar dicha velocidad angular: DATOS θ = 270º = 3π W=θ =3π 2 t 2 = 3 π = π rad/s 15s 30s 10s t = 15 s 1 ω = ¿ a).- π /5 rad/s b).- π /10 rad/s c).- π /15 rad/s d).- 3 π / 5 rad/s e).- 2 π /15 rad/s OTRA SOLUCION: ω = θ = 3π t 2 = 3 π : 15 s = 3 π = π rad 15 s 2 1 30 s 10 s 8.- Un cuerpo que describe un M.C.U. recorre una vuelta cada 60 s. Su velocidad angular será: a).- 60 rps. b).- π /30 rad/s c).- 1/60 rps d).- 2 π rad/s e).- N.A DATOS Nº vueltas = 1 = θ = 2 π T = 60 s SOLUCION: ω = θ = 2 πrad = 2 πrad t t 60 s = π rad/s ó 30 s 0.1046 rad/s 9.-Un cuerpo se mueve con un MCU de radio 2 m. Si da una vuelta cada minuto, su velocidad angular en el Sistema Internacional de Unidades será: a)- 2 π rad /s b).- 1 r.p.m. c).- 2 m/s d).- π /30 rad/s e).- N/A DATOS Nº vuelta: 1 = θ = 2 π rad. T = 1 min = 60 s R = 2 m. SOLUCION ω = θ = 2 π rad = 2 π rad = π rad/s t 60 s 60 s 30 10.-Las aspas de un molino giran con velocidad angular constante. Si dan 90 vueltas por minuto, calcula: a.- La velocidad angular en radianes por segundo; b).- La velocidad lineal de un punto de las aspas que se encuentra a 0,75 m del centro; c).- El ángulo girado en 10 s DATOS n = 90 r.pm = 90 x 2 rad = 180 rad T = 1 min = 60 s =¿ v=¿ θ =¿ SOLUCION a).- Calculando la velocidad angular θ = — = _ θ __ = 180 rad = 3 rad/s t 1 min 60 s b) Calculando la velocidad lineal de un punto que se encuentra a 0.75 m del centro v = · R = 3 rad /s x 0,75 m = 7,065 m/s v = 3(3.14) rad/s x 0.75 m v= 9.42 rad/s x 0.75 = 7,065 m/s c) Calculando el ángulo girado en 10 s θ = . t = 3 rad/s x 10 s = 30 rad = 15 vueltas 30 rad = 15 vueltas 2 11.- Calcula el ángulo recorrido por un punto de un disco que gira a 16 r.p,m en 30 segundos. DATOS: n = 16 r.p.m = 16 x 2 rad = 32 rad t= 30 s θ=? Θ= n t Soluciòn : θ = n = 32 rad = 16 rad = 16(3.14) rad/s = 3,349 rad t 30 s 15 s 15 s 12.- Una piedra atada a una cuerda posee un movimiento circular uniforme de periodo T = 0.2 s y radio R= 10 cm. Calcula para la piedra a).- La velocidad angular en rad/s Rpta. 10 rad/s b).- La velocidad lineal en m/s Rpta. m/s PROBLEMAS ADICIONALES 1.- Una partícula que está girando con M.C.U. tiene una velocidad angular de 3 rad/s. ¿Qué ángulo habrá girando en 2 minutos? a) 300 rad b) 340 rad c) 360 rad d) 400 rad e) 450 rad 2.- ¿Cuál será la velocidad angular en rad/s de la hélice de su avión que gira a 200 rps? a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500 3.- ¿Cuál será la velocidad angular en rad/s del minutero de un reloj de aguja? a) /450 b) /800 c) /24000 d) /38900 e) N.A: 4.- Se sabe que un ciclista esta dando vueltas alrededor de una pista circular dando 4 vueltas cada minuto. ¿Cuál será la velocidad angular en rad/s de dicho ciclista mientras realiza su movimiento circular? a) /15 b) 2/15 c) /3 d) 4/3 e) 3/7 5.- ¿Cuál será la velocidad angular en rad/s del rotor de una turbina que gira a 3600 r.p.m.? a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 120 6.- Un ventilador gira dando 160 vueltas cada 4 segundos. ¿Cuál será la velocidad angular en rad/s de dicho ventilador asumiendo que esta es constante? a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80