Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Ejercicios y Problemas adicionales Ejercicio (T2 Feb 2005) Calcule la densidad de corriente y la corriente asociada a un anillo de carga superficial ρs cul/m2 con radio a y altura h, que rota a una velocidad angular ω0 rad/s z r r J s = ρ s v = ρ s aω0 (− ϕˆ ) A/ m ρs cul/m2 r ⎧Superficie : ϕ = cte⎫ h I = ∫ J s ⋅ nˆ dl = ⎨ ⎬ = ∫0 J s (− ϕˆ ) ⋅ (− ϕˆ )dz = ρ s aω0 h C nˆ = −ϕˆ ⎭ ⎩ 22/01/2009 ω0 rad/s A EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Ejercicio (T7 Feb 2005) Calcule la intensidad de campo magnético en el interior de una línea biplaca, cuya sección se ve en la figura, que contiene un material magnético de permeabilidad µ y transporta una corriente I. Desprecie el efecto de bordes y suponga µ>>µ0. C ~I x b y 9I Aplicando la Ley de Amper r r H ∫ ⋅ dl = I C a cada una de las láminas de corriente y aplicando superposición. µ a El grosor de los conductores es despreciable r r ⎧I a ŷ dentro ⎧− I 2a ŷ arriba ⇒ H=⎨ H I0 ẑ = ⎨ fuera ⎩ 0 ⎩ I 2a ŷ abajo A/m Ejercicio (T8 Feb 2005) Calcule el coeficiente de autoinducción por unidad de longitud de la línea biplaca, cuya sección se ve en la figura, que contiene un material magnético de permeabilidad µ y transporta una corriente I. Desprecie el efecto de bordes y suponga µ>>µ0. ~I x b y 9I µ a El campo era: r ⎧ I a yˆ dentro H =⎨ fuera ⎩ 0 El grosor de los conductores es despreciable Por tanto: 2 r r WH 1 L 2 1 1 ⎛I⎞ = I = ∫∫∫ B ⋅ HdV = µ ⎜ ⎟ ab 2l 2 V 2 ⎝a⎠ l 22/01/2009 L b = µ Henrios a l EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Ejercicio (T9 Feb 2005) Calcule la fuerza que se aplica a la espira cuadrada de lado d situada en el vacío que transporta una corriente I cuando rota a velocidad α=ω0t siendo ω0 rad/s la velocidad de rotación angular. En esa zona está aplicada una inducción magnética de valor B o x̂ z ω0 d I R x α=ω0t y Como cualquier espira cerrada frente a un campo uniforme la fuerza que sufre es nula. Ejercicio (T10 Feb 2005) Calcule la f.e.m.i. que aparece en una espira cuadrada de lado d situada en el vacío cuando rota a velocidad α=ω0t siendo ω0 rad/s la velocidad de rotación angular. En esa zona esta aplicada una inducción magnética de valor B o x̂ Fije la polaridad en la figura supuesta la espira cargada con una resistencia R. z ω0 d r r Φ B = ∫∫ B ⋅ dS = B0 cos(α − 90º )d 2 Weber / m 2 S x + R α=ω0t y f .e.m.i. = − 22/01/2009 dΦ B d =− B0 sen(ω0t )d 2 = − B0ω0 cos(ω0t )d 2 V dt dt ( ) EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Ejercicio (T3 Sep 2005) Calcule la densidad de corriente y la corriente asociada a un cono de carga superficial ρs cul/m2 con ángulo generatriz θ0 y altura h, que rota a una velocidad angular ω0 rad/s z ω0 rad/s r θ0 ρs cul/m 2 r v h r r J s = ρ s v = ρ s r sin (θ0 )ω0 (− ϕˆ ) A / m h r ρ ω h 2 sin (θ 0 ) I = ∫ J s ⋅ nˆ dl = ∫ cos (θ 0 ) ρ s r sin (θ 0 )ω0 (− ϕˆ ) ⋅ (− ϕˆ )dr = s 0 2 A 0 C 2 cos (θ 0 ) Ejercicio (T7 Sep 2005) Sea un material con forma de toroide de sección cuadrada de lado a, radios R1 y R2 (R1<R2) y permeabilidad µ. Está dispuesto de modo que su eje de rotación coincide con el eje z de un sistema en coordenadas cilíndricas. En su interior aparece una intensidad r c de campo magnético de valor H = ϕˆ . ρ Este toroide se encuentra rodeado por el vacío donde aparece un campo magnético nulo. Obtenga las densidades de corrientes superficiales sobre las paredes del toroide. R2 R1 a a ( r r r J s = nˆ × H 2 − H1 ( r r r J s = nˆ × H 2 − H1 22/01/2009 ) S ) I S r ⎧ ⎛ c ⎞ c J s = zˆ × ⎜⎜ − φˆ ⎟⎟ = ρˆ ⎪Cara superior ⎪ ⎝ ρ ⎠ ρ =⎨ r ⎛ ⎪ Cara inferior J = − zˆ × ⎜ − c φˆ ⎞⎟ = − c ρˆ s ⎜ ρ ⎟ ⎪⎩ ρ ⎝ ⎠ Cara externa Cara interna r ⎛ c ⎞ c J s = ρˆ × ⎜⎜ − φˆ ⎟⎟ = − zˆ R2 ⎝ ρ ⎠ r ⎛ c ⎞ c J s = − ρˆ × ⎜⎜ − φˆ ⎟⎟ = zˆ ⎝ ρ ⎠ R1 EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Ejercicio (T8 Sep 2005) Suponiendo que las densidades de corriente del ejercicio anterior están causadas por N espiras (si no conoce el valor de la corriente resuelto en el apartado anterior suponga que vale I). Calcule su coeficiente de autoinducción. Φ B NΦ B1esp = I I r r R2 Φ B1esp = ∫∫ B ⋅ dS = ∫ NΦ B1esp L= I = µcaN I R1 ρ ∫ a ρ = R1 z = 0 axa R2 r r µc B = µH = ϕˆ L= a µc ⎛ R2 ⎞ ϕˆ ⋅ ϕˆdρdz = µca ln⎜ ⎟ ρ ⎝ R1 ⎠ a ⎛ R2 ⎞ ln⎜ ⎟ ⎝ R1 ⎠ I Y ahora aplicando la ley de Ampere: r r 2π c ∫ H ⋅ dl = ∫ ϕˆ ⋅ϕˆρdϕ = 2πc = NI ϕ =0 C µcaN L= I ρ 2 ⎛ R2 ⎞ ⎛ R 2 ⎞ µcaN ⎛ R 2 ⎞ µaN ln⎜ ln⎜ ln⎜ ⎟ ⎟= ⎟= R π c N R π 1 2 1 2 ⎝ R1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ejercicio (T9 Sep 2005) Represente en la figura, la f.e.m. inducida sobre una espira cuadrada (LxL) que atraviesa una zona, también cuadrada, (3Lx3L) donde se aplica un campo magnético uniforme B 0 ẑ La espira se mueve a una velocidad constante v0 xˆ Se define el sentido positivo como el que corresponde a una corriente que circulara en el sentido opuesto a las agujas del reloj. 3L r B = B 0 ẑ f.e.m.i. B 0 Lv L v0 L 3L X - 5L/2 - 2L - 3L/2 - L/2 L/2 L 3L/2 2L 5L/2 X - B 0 Lv femi = − 22/01/2009 -L dΦ B dΦ B dx dΦ B =− =− v dt dx dt dx EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Ejercicio (T10 Sep 2005) Represente la fuerza mecánica que hay que aplicar según el eje X a la espira del problema anterior, suponiendo que su resistencia vale R, para que mantenga la velocidad uniforme . Desprecie el efecto de la autoinducción. r B = B 0 ẑ 3L I = femi R L r r F = I ∫ dl × B v0 LxL L 3L Fmec r dl r dl X IB0L -5L/2 -2L -3L/2 -L -L/2 L/2 L 3L/2 2L 5L/2 X Problema Sea un solenoide toroidal de sección transversal rectangular como el mostrado en la figura. El núcleo está formado por un material con una permeabilidad µ >> µ0, el número total de espiras es N y la corriente que circula por ellas es Is. a) Calcule razonadamente la intensidad de campo magnético en todos los puntos del espacio. Verifique que se cumplen las condiciones de discontinuidad o salto. (3p) b) Calcule la energía electromagnética almacenada en todo el espacio. (2p) c) Obtenga el coeficiente de autoinducción del solenoide. (1p) d) Obtenga razonadamente el momento magnético del solenoide. (1p) e) Si en el eje del solenoide hay una corriente filiforme Ih calcule el coeficiente de inducción mutua entre el hilo y el solenoide. (3p) Ih a) La intensidad de campo magnético, según se indica en la pag. 5-63 y teniendo en cuenta la simetría entorno al eje, solo tiene componente según ϕ que no dependerá de ϕ c r H = H ϕ (ρ , z )ϕˆ Is 22/01/2009 EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Problema En el exterior del solenoide (utilizando como línea de circulación una espira circular plana coaxial en un plano z=cte y como superficie el círculo dentro del plano) se ve que la corriente encerrada es cero y por tanto el campo es cero. Para una línea de Ampere en el interior del solenoide se obtiene r r ∫ H ⋅ dl = 2πρHϕ = NI y por tanto H ϕ = s c El campo presenta discontinuidades en las superficies entre los planos z=0 y z=c y los r r cilindros ρ=a y ρ=b. Las condiciones de salto son nr × H − H =J ( 2 1 ) r ⎛ NI ⎞ NI s Por tanto en z=0 será (− ρˆ ) = J S zˆ × ⎜⎜ s ϕˆ − 0 ⎟⎟ = ⎝ 2πρ ⎠ S 2πρ (− ρ̂ ) En efecto las corrientes van en dirección S y la densidad superficial de corriente equivalente es la corriente 2πρ dividida por el ancho atravesado NI s 2πρ S NI s r ⎛ NI ⎞ NI s zˆ × ⎜⎜ 0 − s ϕˆ ⎟⎟ = (ρˆ ) = J S y se tiene la misma densidad superficial pero según 2πρ ⎠ S 2πρ ρ̂ ⎝ En z=c es Problema En ρ=a resulta y en ρ=b r NI s ⎞ NI ⎛ = s (− zˆ ) = J S ϕˆ ⎟ 2πa ⎠ ρ = a 2πa ⎝ r ⎛ NI ⎞ NI ρˆ × ⎜⎜ s ϕˆ − 0 ⎟⎟ = s (zˆ ) = J S ⎝ 2πρ ⎠ ρ =b 2πb ρˆ × ⎜ 0 − que son las densidades superficiales equivalentes a las corrientes existentes. b) Para calcular la energía almacenada solo hay que integrar en el interior del solenoide y 2 será: b 2π c 2 2 Wm = r r µ 1 B ⋅ Hdv = ∫∫∫ 2 2 µN I s ⎛b⎞ c ln⎜ ⎟ 2 ⋅ 2π ⎝a⎠ 2 2W µN ⎛b⎞ L = 2m = c ln⎜ ⎟ 2π Is ⎝a⎠ v me = I s Snˆ = I s c(b − a )ϕ̂ ⎛ NI s ⎞ ∫ ∫ ∫ ⎜⎜⎝ 2πρ ⎟⎟⎠ ρ ϕ =a =0 z =0 c) El coeficiente de autoinducción es: El momento magnético de cada espira es dρ ρdϕ dz = d) Al ir sumando a todas las espiras r vla suma vectorial resultante es cero si el numero de m = me = 0 estas es muy grande ∑ 22/01/2009 EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Problema e) La inducción creada por el hilo en el interior del solenoide es (aplicando Ampere): r µI B = h ϕˆ 2πρ Por tanto el flujo a través de una espira es c ρ =b Φ B1 = µI h µI ⎛b⎞ ϕˆ ⋅ ϕˆ dρ dz = h c ln⎜ ⎟ 2πρ 2π ⎝a⎠ =a ∫ ρ∫ z =0 y el flujo sobre las N espiras Φ B = NΦ B1 = µNI h ⎛b⎞ c ln⎜ ⎟ 2π ⎝a⎠ Finalmente, el coeficiente de inducción mutua vendrá dado por Lhs = Φ B µN ⎛b⎞ = c ln⎜ ⎟ Ih 2π ⎝a⎠ Ejercicio (Sep-2003) La figura muestra una línea de transmisión de longitud infinita formada por tres conductores cilíndricos indefinidos de radio a situados en el vacío, con sus ejes paralelos, en el mismo plano (y=0) y una separación D; siendo a<<D. Una corriente I0 circula por el conductor central en el sentido z , y retorna distribuyéndose uniformemente por los conductores exteriores. Y D D Se pide que: D X I0 2 I0 a) Calcule el campo B en el plano y=0 fuera de los conductores. (4p) I0 2 Z Al tratarse de conductores cilíndricos indefinidos el campo fuera de ellos puede calcularse como si fueran líneas de corriente indefinidas. Al tratarse de corrientes lineales e indefinidas el punto de partida para su cálculo es el campo creado por una corriente filiforme I indefinida situada sobre el eje Z circulando según z ; este resultado se obtiene considerando que por simetría r r H (r ) = H ϕ (ρ )ϕˆ y aplicando la ley de Ampère a un círculo z=cte centrado en el eje Z : 22/01/2009 EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Ejercicio (Sep-2003) r r r r µ Iφˆ µ Izˆ × rr ⇒ B(r ) = µ 0 H (r ) = 0 = 0 r 2 2πρ 2π r r r = ρρˆ = xxˆ + yyˆ r r I = ∫ H ·dl = 2πρH φ C Donde: r Si la línea de corriente estuviera en r1 , bastaría con hacer un cambio de coordenadas r r µ 0 Izˆ × (rr − rrI ) B (r ) = r r 2 2π r − rI r En este problema las líneas están situadas en puntos rI = x I xˆ y el cálculo se limita a r puntos r = xxˆ con lo que: r r µ I (x − x ) µ I B(r ) = 0 2π x − x I I 2 yˆ = 0 2π ( x − x I ) yˆ Ahora sólo falta sustituir los datos de los tres conductores y superponer las contribuciones: r r µ I 2 1 1 B (r ) = ⎛ ⎞ − ⎜ − ⎟ yˆ T 4π ⎝ x x − D x + D ⎠ 0 0 Ejercicio (Sep-2003) b) Represente el resultado anterior. (1p) d) Calcule el flujo del campo magnético entre el conductor central y el situado en x=D . (1p) Como los conductores son indefinidos se calcula el flujo por unidad de longitud. Teniendo en cuenta el sentido de la corriente, el sentido positivo para el flujo es ŷ : ΦB l = 1 µ0 I 0 l 4π z0 + l D − a ∫ ∫ z0 a µ0 I 0 1 1 ⎞ ⎛2 − [2 ln x − ln(x − D ) − ln(x + D )]aD −a = ⎜ − ⎟ yˆ · yˆdxdz = 4π ⎝x x−D x+D⎠ 2 µ I ⎡⎛ D − a ⎞ D − a D + a ⎤ µ 0 I 0 (D − a )3 (D + a ) = 0 0 ln ⎢⎜ ln wb/m ⎟ ⎥= a 2 D − a ⎥⎦ 4π 4π a 3 (2 D − a ) ⎣⎢⎝ a ⎠ 22/01/2009 EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Li l = µ 0 8π H Ejercicio (Sep-2003) d) Calcule el coeficiente de autoinducción por unidad de longitud de la línea. (3p) A efectos del coeficiente de inducción no se puede despreciar el radio de los conductores ni el campo en su interior, no obstante como a << D el campo en el interior de los conductores se puede considerar igual al de un solo hilo, para el que Li l = µ 0 8π H . En este caso los hilos externos están en paralelo entre si y su conjunto en serie con el central: Li l = 3µ 0 16π H . El coeficiente de inducción externo se puede calcular a partir del flujo: Le l = µ 0 (D − a )3 (D + a ) ln H a 3 (2 D − a ) 4π El método de los tubos de flujo permite deducir que no es necesario duplicar esta contribución. Sumando: Llínea l = µ0 4π ⎛3 (D − a )3 (D + a ) ⎞⎟ H ⎜ + ln ⎜4 a 3 (2 D − a ) ⎟⎠ ⎝ Ejercicio (Sep-2003) e) La f.em. inducida en esta línea de transmisión debida a una espira circular de radio a, contenida en el mismo plano y=0 y con su centro en xc=2D y por la que circula una corriente I0cosωt en el sentido indicado por la figura (tome como sentido positivo para la f.e.m. el definido para I0). (1p) dΦ B dI = − Ll ,e e f .e.m.i = − En este caso como no hay movimiento dt dt El coeficiente de inducción mutua se calcula más fácilmente considerando el flujo creado por la corriente de la línea sobre la espira porque la expresión del campo de la línea es conocido y se puede considerar pequeña la espira: r r r B (2 Dxˆ )·nˆe S e µ a2 1 Ll ,e = ∫∫ Bl ·dS e ≈ l =− 0 H S Il e Il 12 D Así pues: 22/01/2009 f .e.m.i. = µ0 a 2 12 D ω sen ωt V EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Problema La figura muestra dos líneas bifilares idénticas, construidas con hilos de sección despreciable y colocadas paralelas en el plano XZ. La separación entre los conductores de cada línea es a y la separación entre los ejes de las líneas es D . Por la primera línea (la de la izquierda) circula una corriente de intensidad I0 y ninguna por la otra. Se pide: a) Calcular la densidad de flujo magnético debido a I0 en los puntos del plano XZ. (3p) b) Indicar el sentido positivo del flujo a través de la segunda línea de acuerdo con los sentidos de circulación definidos en la figura. (1p) c) Calcule el flujo magnético por unidad de longitud a través de la segunda línea. (3p) d) Calcule el coeficiente de inducción mutua por unidad de longitud entre ambas líneas (1p) e) ¿Podría aplicar el resultado anterior al cálculo del coeficiente de inducción entre la primera línea y la espira cuadrada sombreada?. (1p) f) ¿Y entre la espira anterior y la que se podría definir de forma equivalente sobre la primera línea?. (1p) Y a O Z D a I0 X Problema a) Calcular la densidad de flujo magnético debido a I0 en los puntos del plano XZ. (3p) Para calcular la densidad de flujo magnético debido a la primera línea bifilar lo más simple es partir del campo creado por una línea indefinida de corriente a lo largo del eje Z, hacer los correspondientes cambios de origen de coordenadas para calcular la contribución de los r r dos hilos y después sumarlas. r I zˆ × r µI ϕˆ = El campo creado por una línea de corriente sobre el eje Z: BLINEA (r ) = r2 2πρ 2π r r r donde r es un vector de dos dimensiones definido en un plano z= cte r = xxˆ + yyˆ r r r r r r r µI zˆ × (r − ri ) r Si la línea pasa por ri , basta con sustituir r por r − ri Bi (r ) = 2π rr − rri 2 r µ I yˆ 1 r r Para la línea r1 = − a 2 xˆ I = I 0 y para r = xxˆ B1 ( xxˆ ) = 0 0 2π x − a 2 r µ I yˆ 1 r r B2 ( xxˆ ) = − 0 0 Para la línea r2 = a 2 xˆ I = − I 0 y para r = xxˆ 2π x + a 2 22/01/2009 EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Problema r µ I yˆ ⎛ 1 1 ⎞ ⎟ − B(xxˆ ) = − 0 0 ⎜⎜ 2π ⎝ x + a 2 x − a 2 ⎟⎠ Sumando ambas contribuciones: b) Indicar el sentido positivo del flujo a través de la segunda línea de acuerdo con los sentidos de circulación definidos en la figura. (1p) El sentido positivo de flujo a través de la segunda línea bifilar es nˆ = yˆ c) Calcule el flujo magnético por unidad de longitud a través de la segunda línea. (3p) Para calcular el flujo sólo hay que aplicar la expresión a una longitud l y después dividirla entre ella: ΦB l = D + a 2 z0 + l 1 r r 1 1 ⎞ µ 0 I 0 yˆ ⎛ 1 ⎜⎜ ⎟ ⋅ yˆ dxdz = ⋅ = − B d S ∫∫ ∫ ∫ l Sl l x = D − a 2 z0 2π ⎝ x − a 2 x + a 2 ⎟⎠ (D + a )(D − a ) µ I µI x+a 2 = − 0 0 ln = − 0 0 ln 2π 2π x − a 2 x= D−a 2 D2 D+a 2 Problema d) Calcule el coeficiente de inducción mutua por unidad de longitud entre ambas líneas (1p) Aplicando la definición: L2,1 l = µ (D + a )(D − a ) 1 Φ B l = − 0 ln I1 2π D2 e) ¿Podría aplicar el resultado anterior al cálculo del coeficiente de inducción entre la primera línea y la espira cuadrada sombreada?. (1p) La expresión anterior se puede utilizar porque la sustitución de la segunda línea por una espira cuadrada no afecta el campo generado por la primera línea y el flujo resultante es el correspondiente a una longitud a de línea Lespira,1 = a L2,1 l = − µ 0 a (D + a )(D − a ) ln 2π D2 f) ¿Y entre la espira anterior y la que se podría definir de forma equivalente sobre la primera línea?. (1p) Para el caso de dos espiras no se puede aprovechar las expresiones anteriores ya que el campo correspondiente es diferente. 22/01/2009 EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Ejercicio 1.Calcule el flujo del vector de inducción eléctrica causado por una distribución superficial de carga de valor ρs cul/m2 en forma de cubo de lado a sobre una superficie esférica de radio b que rodea totalmente el cubo. La carga superficial asociada al cubo vale: Q s = ∫∫ Scubo ρ s dS = 6a 2 ρ s cul r r 2 D ∫∫ ⋅ dS = Q encerrada = 6a ρ s cul Puesto que la esfera encierra al cubo Sesfera Ejercicio La figura muestra una esfera conductora descargada situada entre dos láminas conductoras indefinidas y paralelas a potenciales –V0 y +V0. ¿Cuál será el potencial de la esfera? ¿Por qué? Q=0 − V0 + V0 Entre los planos el potencial debe tomar un valor intermedio a V0 y -V0. Dada la simetría el plano z=o debe estar a potencial V=0. Como el conductor es equipotencial toda la esfera tomara el valor V=0. 22/01/2009 EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Ejercicio Indique el valor, dirección y sentido de la fuerza que aparece entre una superficie plana indefinida de carga superficial uniforme, ρs (ρs>0) y una carga puntual q a una distancia d1. ρs d1 ⎧ qρ s z>0 ⎪⎪ 2ε r F = qEρ s = ⎨ 0 − qρ s ⎪ z<0 ⎪⎩ 2ε 0 q Ejercicio Dada una lámina conductora indefinida puesta a tierra de espesor d con dos cargas puntuales situadas como se muestra en la figura. ¿Qué fuerza se aplica a la carga situada en z=b? z=0 Puesto que la lámina apantalla la carga de z=a, la fuerza es creada únicamente por una carga imagen creada por la carga de z=b r s F = qE − q = 22/01/2009 − q2 zˆ 2 4πε 0 (2b − d ) Newtons q q z=-a z=b z=-d/2 z z=d/2 EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Ejercicio La figura muestra una distribución lineal de carga contenida en el plano z=0 y compuesta por un tramo semicircular, que tiene una densidad lineal de carga constante de valor λ1, y dos tramos rectos con λ2 ; el medio es el vacío. Se pide: a) La contribución del tramo semicircular al potencial en los puntos del eje Z (3p) b) La contribución de los tramos rectos al potencial en los puntos del eje Z (3p) c) La relación entre λ1 y λ2 que minimiza el potencial en los puntos del eje z tales que a<<|z| (3p) d) El valor del potencial para la relación entre λ1 y λ2 obtenida en c) para los puntos a<<|z| (1p) Nota: en todos los casos indique las unidades de los resultados en el sistema internacional. dx ⎛ x⎞ Y a a λ1 a ∫ a λ2 = Sh −1 ⎜ ⎟ + C ⎝a⎠ x +a 2 X 2 a) al tratarse de una distribución lineal de carga en un medio homogéneo, lineal, isótropo e indefinido se puede aplicar la r expresión r φ (r ) = λ2 1 4πε 0 ρ l (r ′) ∫ rr − rr′ dl ′ L Ejercicio r ρ′ = a r ′ = ρ ′ρˆ ′ + z ′zˆ = aρˆ ′ ⎫ ⎧ ⎧ r ⎪ ⎪ ⎪ z′ = 0 ⎬ ⇒ ⎨dl ′ = dρ ′ρˆ ′ + ρ ′dϕ ′ϕˆ ′ = adϕ ′ϕˆ ′ ⎨ ⎪π 2 ≤ ϕ ′ ≤ 3π 2⎪ ⎪ dl ′ = adϕ ′ ⎭ ⎩ ⎩ r r r r = zzˆ ⇒ r − r ′ = z 2 + a 2 Al tratarse de un tramo semicircular: Al pedirse el campo en el eje z: Sustituyendo: φ1 ( zzˆ ) = 1 4πε 0 3π 2 ∫ π 2 λ1 z +a 2 2 adϕ ′ = λ1a 4ε 0 z 2 + a 2 V b) Nuevamente se trata de una distribución lineal de carga en un medio homogéneo, lineal, isótropo e indefinido, por lo que puede aplicarse el mismo procedimiento anterior, aunque al tratarse de dos tramos analíticamente independientes se debe aplicar para cada uno de ellos y después combinar las soluciones (principio de superposición). Esta tarea se simplifica ya que debido a la simetría entre ambos tramos respecto del plano y=0 ambas contribuciones son iguales y basta calcular una y multiplicarla por 2. 22/01/2009 EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Ejercicio Calculando la contribución del tramo superior: r r ′ = x ′xˆ + y ′yˆ + z ′zˆ = x ′xˆ + (a − x ′) yˆ ⎧x′ + y ′ = a⎫ ⎧ r ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ z ′ = 0 ⎬ ⇒ ⎨dl ′ = dx ′xˆ + dy ′yˆ + dz ′zˆ = (xˆ − yˆ )dx ′ = −( xˆ − yˆ )dy ′ ⎪ 0 ≤ x′ ≤ a ⎪ ⎪ dl ′ = 2dx ′ = 2dy ′ ⎩ ⎭ ⎩ Al pedirse el campo en el eje Z: r r = zzˆ ⇒ φ (zzˆ ) = 1 4πε 0 λ = 2 4πε 0 = λ2 2πε 0 r r 2 r − r ′ = x′2 + (a − x′) + z 2 = 2 λ2 a ∫ 2 0 (x′ − a 2)2 + z 2 2 + a2 4 (x′ − a 2)2 + z 2 2 + a2 4 2dx′ = a x′ − a 2 λ = 2 Sh −1 = z 2 2 + a2 4 0 (x′ − a 2)2 + z 2 2 + a 2 4 4πε 0 dx′ a ∫ 0 Sh −1 a/2 z 2+a 4 2 2 = λ2 2πε 0 Sh −1 a 2z + a2 2 V Ejercicio Y sumando las contribuciones de los dos tramos, que resultan ser iguales: φ (zzˆ ) = λ2 λ a/2 a Sh −1 = 2 Sh −1 2 2 2 πε 0 πε 2z + a2 z 2+a 4 0 V c) El potencial para puntos alejados se puede aproximar por su desarrollo multipolar r φlej (r ) = r r ⎞ 1 ⎛⎜ q p ⋅ r + + L⎟ r r 3 ⎟ 4πε 0 ⎜⎝ r r ⎠ Para minimizarlo hay que anular el término más significativo, el de la carga total, lo que se consigue anulando ésta. En este caso: q = ∫ ρ L dl = L Y para que se anule: 22/01/2009 3π 2 ∫ λ adϕ + 2∫ π 1 2 a 0 ( ) λ2 2dx = πλ1 + 2 2λ2 a C πλ1 + 2 2λ2 = 0 EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Ejercicio d) Si se cumple la condición anterior así que habría que calcular r φlej (r ) = r p pero como por la simetría de la estructura resulta que r r p⋅r 4πε 0 rr 3 1 r p = pxˆ y r r = zzˆ φlej ( zzˆ ) = 0 Examen Febrero 2008 22/01/2009 EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Ejercicio (T1 Feb 2008) ρ̂ Calcule en coordenadas cartesianas el operador divergencia aplicado al vector unitario de coordenadas cilíndricas ρ̂ Solución: x y ⎧ˆ xˆ + ⎪⎪ ρ = 2 2 2 x +y x + y2 ∇ ⋅ ρˆ = ⎨ ⎪ ∇ = ∂ xˆ + ∂ yˆ + ∂ zˆ ⎪⎩ ∂z ∂y ∂x r ρ̂p = pzˆ ⎫ yˆ ⎪ y2 ⎪ ⎬= ⎪ x2 + y 2 ⎪⎭ ( ) (x 3 2 x2 + 2 + y2 ) 3 2 Ejercicio (T2 Feb 2008) Razone cuál es la carga total que produce, en un medio vacío y en puntos muy alejados, el siguiente potencial electrostático r k cos(θ ) Φ (r ) r >> = r2 Solución: r Este potencial corresponde al que crea un dipolo eléctrico de momento p = pẑ , r r r p⋅r p cos(θ ) , por lo que la carga total es nula. Φ (r ) = = r >> 22/01/2009 4πεr 3 4πεr 2 EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Ejercicio (T3 Feb 2008) r ρ̂p = pzˆ Calcule la fuerza que sufre la carga puntual q de la figura situada a una distancia d de la pared plana del hueco semiesférico de la figura dentro de la esfera metálica puesta a masa (potencial nulo). b d b2 /d qb/d b2 /d ‐q a d q z ‐qb/d Solución: La fuerza que sufre la carga q la crean las tres cargas imágenes (ver la figura). ⎛ − qxˆ r q b d xˆ + F = qE = q ⎜ ⎜ 4πε 0 4d 2 4πε d + b 2 d 0 ⎝ r r ρ̂p = pzˆ ( ) 2 + ⎞ ⎟ [Newtons] 4πε 0 d − b d ⎟⎠ − q b d xˆ ( 2 ) 2 Ejercicio (T4 Feb 2008) Las placas de un condensador plano se han alabeado separándose entre sí respecto de su posición original, pero sin cambiar su superficie como indica la figura. Razone si su nueva capacidad es mayor o menor que la original suponiendo una diferencia de potencial constante. Solución: A potencial constante la separación de las placas por su alabeo disminuye la intensidad de campo, por lo que la carga disminuye a su vez también, y en definitiva la capacidad que es el cociente entre la carga y la diferencia de potencial. 22/01/2009 EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Ejercicio (T5 Feb 2008) r ρ̂p = pzˆ Calcule la resistencia del terminador de línea coaxial (los cilindros de radio a y b son los bornes metalizados, 0<a<b) de la figura formado por el material de conductividad σ. Solución: Aplicando dualidad RC = ε σ y puesto que la capacidad de un condensador cilíndrico con ε 1 ln (b a ) 2πεh = idénticas armaduras vale C = , la resistencia solicitada es R = [Ω] σC 2πσh ln (b a ) Ejercicio (T6 Feb 2008) r ρ̂p = pzˆ Calcule la densidad de corriente y la corriente asociada en un disco metálico (en las tapas y en la superficie lateral) de radio a y grosor t que soporta una carga superficial ρs y que rota a una velocidad ω rad/s. Solución: Según la definición de corriente superficial r ⎧− ρ ωρϕˆ J s = ρ sv = ⎨ s ⎩ − ρ sωaϕˆ r Tapas Lateral [A/m] ∫ r Por lo que la corriente total valdrá I = J s ⋅ nˆ dl = 2 ρ sωat + 2 ρ sω c 22/01/2009 a2 2 [Amperios] EyM 7p - Electricidad y Magnetismo r ρ̂p = pzˆ Ejercicios y Problemas adicionales Ejercicio (T7 Feb 2008) Caracterice las fuentes de corriente superficial que aparecen en la siguiente distribución de intensidad de campo magnético en el vacío expresada en coordenadas cilíndricas siendo k es una constante. r r ⎧⎪ k ϕˆ 0 ≤ ρ < a H (r ) = ⎨ ρ ⎪⎩ 0 ρ>a Solución: r ( r r J s = nˆ × H 2 − H1 ) ρ =a k⎞ k ⎛ = (ρˆ × ϕˆ )⎜ 0 − ⎟ = − zˆ a a ⎝ ⎠ [A/m] ¿Hay alguna otra corriente? En caso afirmativo cómo es y cuanto vale r ρ̂p = pzˆ Ejercicio (T8 Feb 2008) Calcule el campo magnético en el interior de una línea biplaca, cuya sección se representa en la figura, que contiene un material de permeabilidad µ>>µ0, que transporta una corriente I. Desprecie el efecto de bordes. y x Solución: La hoja de corriente superior produce un campo magnético ⎧− (I 2w)xˆ encima H1 (r ) = ⎨ ⎩ (I 2w)xˆ debajo r r La hoja inferior produce un campo opuesto. El campo total es la suma de ambos, de modo que se refuerza en el interior y se cancela fuera: ⎧(I w)xˆ dentro H (r ) = ⎨ fuera ⎩ 0 r r 22/01/2009 r r ⎧µ (I w)xˆ dentro A / m ⇒ B(r ) = ⎨ Weber / m 2 fuera 0 ⎩ EyM 7p - Electricidad y Magnetismo r ρ̂p = pzˆ Ejercicios y Problemas adicionales Ejercicio (T9 Feb 2008) Razone el signo del coeficiente de inducción mutua entre las dos espiras cuadradas coplanarias de la figura. Los sentidos positivos de la corriente son los definidos en la figura. Solución: M AB = ΦB _ A IB 1 = IB r r r ⎧ B = B(rr )(− nˆa )⎫ ∫∫SA B ⋅ dS A = ⎨⎩ dSrA = dS Anˆa ⎬⎭ ≤ 0 ya que las líneas de campo son como las que se dibujan en la figura. r ρ̂p = pzˆ Ejercicio (T10 Feb 2008) Obtenga la fuerza magnética que aparece entre la línea indefinida (corriente I1) y la espira cuadrada de lado L (corriente I2), ambas coplanarias, tal como muestra la figura. z x Solución: r r µI1 ⎧ r ⎫ r r ⎪⎪ dl = dxxˆ dl × B = B(x )dx( xˆ × yˆ ) = 2πx dxzˆ ⎪⎪ r F = I 2 ∫ dl × B = ⎨ r ⎬= r r µI C ⎪dl = dzzˆ dl × B = B( x0 )dx( zˆ × yˆ ) = − 1 dzxˆ ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ 2πx0 ⎛ µI µI1 ⎞ ⎟⎟ Lxˆ = I 2 ⎜⎜ 1 − ⎝ 2πd 2π (d + L ) ⎠ Newtons puesto que la componente en z se cancela entre los lados superior e inferior de la espira. 22/01/2009 EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Problema 1(Feb 2008) ρ̂ Problema 1: La corona circular de la figura, de radio interior a y radio exterior b (0<a<b), situada en el vacío en un plano z=z1, está cargada con una densidad superficial de carga σ1 [C/m2] : Z b a σ1 z1 Y X Problema 1(Feb 2008) ρ̂ a) Calcule la intensidad de campo eléctrico en puntos del eje Z (3p). Para una distribución superficial de carga, situada en el vacío: r r = zzˆ r r ' = ρ ' ρˆ '+ z1 zˆ r E ( zzˆ ) = 1 4πε 0 b ∫∫ S σ 1 (rr − rr ') r r 3 dS r − r' (z − z 1 )2 + ρ ' 2 r r r − r' = b (z − z1 )zˆ − ρ ' ρˆ ' (z − z1 )zˆ σ 2π σ1 ρ ' dρ ' dϕ = σ1 ∫ ρ ' dρ ' = 1 ∫ ∫ 3 4πε 0 ρ '= a ϕ '=0 (( z − z )2 + ρ ' 2 ) 2 4πε 0 ρ '= a (( z − z )2 + ρ ' 2 )3 2 2ε 0 1 1 1 2π ⎡ r σ E ( zzˆ ) = 1 (z − z1 )⎢ 2ε 0 ⎢ ⎣ 22/01/2009 E (r ) = rr − rr ' = z zˆ − (ρ ' ρˆ '+ z 1 zˆ ) dS = ρ ' dρ ' dϕ ' r r 1 ( z − z1 ) 2 +a 2 − 1 ( z − z1 ) 2 ⎡ ⎢− ⎢ ⎣ b (z − z1 )zˆ ⎤⎥ (z − z1 )2 + ρ ' 2 ⎥⎦ a ⎤ ⎥ zˆ V / m + b ⎥⎦ 2 EyM 7p - Electricidad y Magnetismo ρ̂ Ejercicios y Problemas adicionales Problema 1(Feb 2008) r r E (r ) = ( Q rˆ [V / m] 4πε 0 r 2 ) Q = σ π b 2 − a 2 Culombios 1 Campo E de una corona circular de carga en el eje Z 1.5 z1=20 a=2 b=20 z1=20 a=2 b>> 1 E*2ε o/σ1 0.5 0 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 -0.5 -1 -1.5 Z(m) ρ̂ Problema 1(Feb 2008) d) Se sitúa una distribución de idéntica geometría y densidad superficial de carga en z=-z1, Calcule la intensidad de campo eléctrico del conjunto en puntos del eje Z. (1p) ¿Qué relación debe haber entre σ1 y σ2 para que el campo se anule en el origen del sistema de coordenadas? (1p). La intensidad de campo eléctrico se calcula aplicando el principio de superposición. Así, el campo debido a σ2 es formalmente igual al debido a σ1 sustituyendo σ1 por σ2 y z1 por -z1. ⎧σ ⎡ r ⎪ E ( zzˆ ) = ⎨ 1 ( z − z1 )⎢ ⎢ ⎪⎩ 2ε 0 ⎣ 1 ( z − z1 ) 2 + a2 − 1 ( z − z1 ) 2 ⎤ σ ⎡ ⎥ + 2 ( z + z1 )⎢ ⎢ + b 2 ⎥⎦ 2ε 0 ⎣ 1 ( z + z1 ) 2 + a2 − 1 ( z − z1 ) 2 ⎤ ⎫⎪ ⎥ ⎬ zˆ V / m + b 2 ⎥⎦ ⎪⎭ Para que el campo se anule en el origen del sistema de coordenadas, σ1=σ2, ya que la corona situada en z=z1 genera un campo negativo en z=0, mientras que la situada en z=-z1 genera un campo positivo en dicho punto. 22/01/2009 EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Problema 1(Feb 2008) ρ̂ e) Si σ2=-σ1, calcule la intensidad de campo eléctrico en puntos alejados de la distribución (3p). Dado que la carga neta de la distribución es nula, en puntos alejados de la distribución, el campo variará como: r r r r r 1 ⎡ 3( p ⋅ r )r r ⎤ pr = rr 'σ dS E (r ) = − siendo p⎥ 3 ⎢ 2 4πε 0 r ⎣ r ⎦ S' ∫∫ r p= 2π 2π ρ' ∫ ∫ (z1 zˆ + ρ ' ρˆ ')σ 1 ρ ' dρ ' dϕ ' + ∫ ∫ (− z1 zˆ + ρ ' ρˆ ')(− σ 1 ) ρ ' dρ ' dϕ ' =2πz1σ 1 2⎢ 2 b b ρ '= a ϕ '= 0 ⎡ 2 ⎣ ρ ' = a ϕ '= 0 b ⎤ 2 2 ⎥ zˆ = 2πz1σ 1 b − a zˆ [C ⋅ m] ⎦a ( ) Así: r r E (r ) = 1 [3 p cos θ rˆ − pcon zˆ ] [V / m] 4πε 0 r 3 r r E (r ) = ρ̂ zˆ = cos θ rˆ, − ˆ por senloθθqué: [ p 2 cos θ rˆ + senθθˆ 4πε 0 r 3 ] [V / m] Problema 3(Feb 2008) Problema 3: La figura muestra una espira rectangular centrada sobre una línea bifilar indefinida, situadas ambas en el plano Se pide.: d Indique las unidades de los resultados. IL Z Y a 1 2 b IL 22/01/2009 EyM 7p - Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales Problema 3(Feb 2008) ρ̂ a) Calcule el campo magnético en los puntos del eje Y debido a una corriente que circule por la línea en el sentido indicado en la figura. (4p). Se parte de que el campo generado por una línea de corriente de intensidad I sobre el eje Z es: r r B(r ) = µI ϕˆ 2π ρ r ⎧ y < 0 ⇒ ρ = − y ϕˆ = xˆ ⎫ µI xˆ ⎬ ⇒ B( yyˆ + zzˆ ) = − 2π y ⎩0 < y ⇒ ρ = y ϕˆ = − xˆ ⎭ r r xˆ µI Y si la línea pasa por r = y 0 yˆ B ( yyˆ + zzˆ ) = − Como x = 0 ⇒ ⎨ 2π y − y 0 µI xˆ Para la línea de la derecha resulta: Bd 2 ( yyˆ + zzˆ ) = − L 2π y − d 2 r µI L xˆ r Y para la línea de la izquierda: Bd 2 ( yyˆ + zzˆ ) = La superposición de ambas:Br ( yyˆ + zzˆ ) = µI L Línea 2π 2π y + d 2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ y + d 2 − y − d 2 ⎟⎟ xˆ [weber] ⎠ ⎝ Problema 3(Feb 2008) ρ̂ b) Calcule el flujo del campo magnético anterior a través de la espira de acuerdo al sentido de circulación señalado. (2p) Directamente: a2 b2 r r µI L ⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟ xˆ·(− xˆ )dydz = Φ BEspira ,Linea = ∫∫ BLínea ·dS espira = ∫ − ∫ 2π ⎝ y + d 2 y − d 2 ⎟⎠ S espira z = − a 2 y = −b 2 ⎞ µI L a ⎛⎜ µI a b + d 1 1 dy − ∫ dy ⎟ = − L ln [weber] ∫ ⎜ y − d 2 ⎟⎠ π b−d 2π ⎝ −b 2 y + d 2 −b 2 b2 = b 2 Nota: ∫ −b 2 b 2+d 2 b2 b 2− d 2 0 b 2+ d 2 dy t = y + d / 2 dt dt dt dt b+d = ∫ t = −b 2∫+ d 2 t + ∫0 t + b 2∫− d 2 t = ln b − d > 0 y+d 2 −b 2+ d 2 14442444 3 0 b2 ∫ −b 2 −b 2+ d 2 b 2+ d 2 b 2−d 2 0 b 2+d 2 dy t = − ( y − d / 2 ) dt dt dt dt dt b+d = ∫ t = −−b 2∫+ d 2 t = − −b 2∫+ d 2 t − ∫0 t − b 2∫− d 2 t = − ln b − d < 0 y−d 2 b 2+ d 2 144424443 0 c) Calcule el coeficiente de inducción mutua. (1p) Coeficiente de inducción: 22/01/2009 LEspira , Linea = Φ BEspira ,Linea IL =− µa b + d ln [Henrios] π b−d EyM 7p - Electricidad y Magnetismo ρ̂ Ejercicios y Problemas adicionales Problema 3(Feb 2008) d) Calcule la f.e.m.i. sobre la espira si IL = I0 sen(ωt).(1p) f .em.i.Espira , Linea = − dΦ BEspira ,Linea dt = − LEspira , Linea dI L µI 0ωa b + d = ln cos ωt [V] dt π b−d e) Si la espira estuviera abierta según se indica en la figura, señale cual sería el borne positivo en el instante t=0. (1p) En el instante t=0: f .em.i.Espira , Linea t =0 = µI 0ωa b + d ln [V] ≥ 0 V π d −d Con lo que las cargas positivas serían arrastradas en sentido definido como positivo en la figura: hacia el borne 1, que será el borne positivo. ρ̂ Problema 3(Feb 2008) f) ¿Cómo influye en el resultado del apartado e) la elección del sentido de circulación tomado en el apartado b)? (1p) La elección del sentido positivo en el apartado b) afecta al signo de los resultados numéricos de los apartados siguientes, pero los fenómenos físicos no se ven afectados, por lo que el borne positivo del apartado e) es siempre el signo con independencia de dicha elección. ¡No afecta! 22/01/2009 EyM 7p -