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Electricidad y Magnetismo
Problemas del Tema 3
1. Una distribución superficial de carga tiene forma de superficie esférica a la
que le falta un casquete, tal como se indica en la figura.
a) Calcule el potencial en los puntos del eje z.
b) Particularice para θ 0 = 0 y comentar el resultado obtenido.
ρ a1
1/ 2
Solución: Φ(z)= s
|z + a|-| a 2 + z 2 - 2 za cos( θ 0 )|
2ε z
[
θ0
Z
a
ρ S0
O
]
2. Una distribución lineal de carga tiene forma de semicircunferencia de
radio R0 siendo su densidad ρ L = λ 0 | cos ϕ| (ver figura). Calcular el
potencial en los puntos del eje y. ¿Cuál es la dirección del campo en
dichos puntos?
[
Página 1/6
Y
ρL
R0
]
λ 0 | 2 + 2 1/2 - | y - |
Solución: Φ( yyˆ )=
y R0 |
R0
2πεy
X
3. Sea un cono de altura H y radio de la base R. Sobre la superficie cónica se localiza una
distribución superficial de carga de valor ρ S 1 , mientras que en la base del cono existe una
distribución superficial de valor ρ S 2 .
a) Calcule el potencial en el vértice.
b) Si ρ S 1 = − ρ S 2 , qué relación debe existir entre H y R para que el potencial en el vértice sea
nulo.
Solución: a) Φ vertice =
(
(
1/2
1
ρ s1 R + ρ s2 H 2 + R 2 - H
2ε
))
b) RH = 0
4. Se tiene la siguiente distribución de cargas puntuales en el plano XY:
2q culombios en (0,0,0)
-2q culombios en (a,0,0) q culombios en (0,-a,0)
-2q culombios en (-a,0,0)
q culombios en (0,a,0);
¿Cuál es el valor del potencial en puntos de dicho plano muy alejados de dicha distribución?
Solución: Φ =
q a2
4πε r 3
(3 sen2 ( θ ) - 6 cos2 ( θ )+ 1)
5. Una esfera dieléctrica de radio R0 y permitividad ε se encuentra cargada uniformemente con
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densidad ρ0 cul/m y situada en el vacío. Sabiendo que para R0 ≤ r el potencial está dado por
ρ0 R03
2
, calcule el potencial en los puntos del interior de la esfera. Compruebe que ésta
Φ=
3 ε0 r
posee una densidad superficial de carga y calcule su valor.
Solución: Φi =



- ρ0 r 2
1 
2 2
ρ

+ 0 R0 
+  ;
ε 6
6ε 
 3 ε0
ρs =
ρ 0 R0
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6. En una nube de partículas cargadas, la densidad de carga depende de la distancia al origen, de
  r 2 
ρ0  1 - 2  C / m3 para 0 ≤ r ≤ a

a 
la forma: ρ = 
0 para r > a
Calcule el campo eléctrico dentro y fuera de la nube.
ρ0  r r 3 
"
! ε 0  3 - 5 a 2  r , 0 < r < a
Solución: E =
2 ρ0 3 1 "
r , r >a
a
15 ε 0 r 2














7. Un cable coaxial está formado por un conductor interior cilíndrico hueco de radio a y otro exterior,
de radio c (c>a) . Sobre el cilindro interior existe una distribución de carga de λ C/m, y en el exterior
de -λ C/m. El espacio entre conductores
está relleno de dieléctrico ε1 hasta ρ=b y de dieléctrico ε2
!
hasta ρ=c. Calcular el campo E en todos los puntos y representarlo gráficamente.
!
Solución: E
a< ρ <b
=
λ ρ"
2π ε 1 ρ
!
E b<ρ <c =
λ ρ" E!
2π ε 2 ρ
resto
=0
8. Hallar la carga y el potencial máximo que puede soportar una esfera metálica de 10 cm de
diámetro sabiendo que en el aire que la rodea el campo de ruptura es 20 kV/cm.
Solución:
Qmax = 4π ε 0 R 2 E rup , Φ max =
Q
, siendo R el radio de la esfera.
4π ε 0 R
9. Una esfera metálica de radio R0, cargada con Q coul., está rodeada por una capa de dieléctrico
de radio exterior R1 = 2 R0. La permitividad relativa de ese dieléctrico es 2. En su interior hay una
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2
densidad uniforme de carga ρ C/m y en su superficie hay ρs C/m . Hallar el potencial y el campo
en todo punto y el potencial en la esfera metálica.
rρ  R03 

Q
+
; R0 < r < R1

!  4π r 2 3  1 - r 3 
Solución: D = 
3
2
 Q + 7 ρ R 0 + 4 ρ R0 ;
R1 < r
 4π r 2 3 r 2
S r2
10. Una distribución de carga tiene forma de cilindro de radio a, indefinido en la dirección del eje Z,
siendo su densidad de carga: ρ =
ρ0  2πr 
sin
(C / m3) , donde r es la distancia al eje de la
r
a 
distribución. Calcular y representar gráficamente el campo eléctrico que produce interior y
exteriormente.
!  1 ρ0 a  1 - cos 2πr 
Solución: E =  ε 2πr 
a 

0
; r <a
; a<r
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Problemas del Tema 3
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11. En el centro de una esfera metálica hueca de radio interior R1 y radio exterior R2 se sitúa una
carga puntual de Q culombios.
a) Si la esfera metálica está aislada y descargada, ¿cuál es la distribución de carga en la esfera?
Calcule el campo en la cavidad interior y en el espacio exterior.
b) Si la esfera metálica se conecta a masa (potencial cero) ¿cuál es el nuevo campo en el
exterior y cuál es la nueva distribución de las cargas?
!
Solución: a) E =
Q
r" , r < R1 , r > R 2
4πε r 2
Versión: 11 07/11/2001