Electricidad y Magnetismo Curso 2010/11 Tema 1: Introducción Concepto de campo Repaso de álgebra vectorial Sistemas de coordenadas Cartesiano Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico. Operadores vectoriales. Gradiente Divergencia Rotacional Derivada temporal Combinación de operadores: Laplaciana Expresiones con operadores Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos J.L. Fernández Jambrina EyM 1a-1 Combinación de operadores. • Es frecuente que se apliquen de forma sucesiva dos operadores. – Los operadores vistos hasta ahora sólo tienen derivadas de primer orden. – La combinación de dos operadores de primer orden da lugar a operadores con derivadas de segundo orden. grad div rot rot div grad PV => Incluye un producto vectorial en su definción … J.L. Fernández Jambrina Laplaciana - Expresiones Vectoriales EyM 1b-2 Laplaciana - Expresiones Electricidad y Magnetismo Curso 2010/11 Combinaciones que se anulan grad rot div div rot grad Rotacional del gradiente : ∇ × ∇U = 0 r r ∫∫ ∇ × ∇U ⋅ dS = ∫ ∇U ⋅ dl S ( =0 C ) r Divergencia del rotacional : ∇ ⋅ ∇ × A = 0 ∫∫∫∇ ⋅ (∇ × A)dV = ∫∫ ∇ × A ⋅ dS = ∫ A·dl r V r r r r S =0 0 EyM 1b-3 J.L. Fernández Jambrina Rotacional del gradiente de un escalar: • Rotacional del gradiente: ∇ × ∇U = 0 – Es nulo siempre: – Demostración: Para cualquier contorno r C y una de rsus superficies S: ( ∇ × ∇ U ) ⋅ d S = ∇U ⋅ dl = 0 ∫∫S C Stokes ∫C Luego el rotacional de un gradiente siempre debe ser nulo. – Consecuencia: Si el rotacional de un vector es nulo, entonces ese vector es el gradiente de un escalar. r r r r ∇ × A = 0 ⇒ ∀C : ∫ A ⋅ dl = 0 ⇒ ∃U / A = ∇U S n$ C » Demostración: • Si el rotacional del vector es nulo, la circulación del vector entre dos puntos es independiente del camino seguido. • Se puede construir el escalar a partir su valor en un punto: r r r r r r r r U (r ) = U (r0 ) + ∫r A ⋅ dl ⇔ U = ∫ A ⋅ dl + cte r0 • El escalar queda determinado a falta de una constante aditiva. J.L. Fernández Jambrina Laplaciana - Expresiones Vectoriales EyM 1b-4 Laplaciana - Expresiones Electricidad y Magnetismo Curso 2010/11 Divergencia del rotacional de un vector. • Divergencia del rotacional: ( ) r ∇⋅ ∇× A = 0 – Basta con tomar volumen arbitrario: r r r ∫∫∫V ∇ ⋅ ∇ × A dV = ∫∫S∇ × A ⋅ dS = r r r r r r r r = ∫∫ ∇ × A ⋅ dS + ∫∫ ∇ × A ⋅ dS = ∫ A ⋅ dl + ∫ A ⋅ dl = 0 ( S1 ) S2 C1 C2 » Como C1 y C2 son el mismo contorno recorrido en sentidos contrarios, el resultado es nulo: S1 S n$ V C2 + C1 n$ S2 EyM 1b-5 J.L. Fernández Jambrina Divergencia del rotacional de un vector: Consecuencia • Consecuencia 1: S1 S2 – El flujo de un vector de divergencia nula a través de una superficie abierta sólo depende de su contorno. » Basta con considerar varias superficies con el mismo contorno, S1 , S2... y cerrarlas con otra S0: S0 r r r r r r 0 = ∫∫ B ⋅ dS = ∫∫S B ⋅ dS + ∫∫S B ⋅ dS r r r r r S 0 + S1 r r 0 r r 1 r r ⇒ ∫∫ B ⋅ dS = ∫∫ B ⋅ dS ∇⋅B = 0⇒ S1 S2 0 = ∫∫ B ⋅ dS = ∫∫ B ⋅ dS + ∫∫ B ⋅ dS S0 + S 2 S0 S2 • Consecuencia 2: – Si la divergencia de un vector es nula, entonces el vector es el rotacional de otro. r r » Si B = ∇ ×rA , siempre r se r cumplirá r r la consecuencia 1. r B ⋅ d S = ∇ × A ⋅ d S = A ∫∫S ∫∫S ∫ ⋅ dl = funcion del contorno C r r » Si B ≠ ∇ × A , no se cumple la consecuencia 1, porque … r r • Nota: El conocimiento de ∇ × A no basta para determinar A EyM 1b-6 J.L. Fernández Jambrina Laplaciana - Expresiones Vectoriales Laplaciana - Expresiones Electricidad y Magnetismo Curso 2010/11 Combinación de operadores: Laplaciana de un escalar: grad rot div rot div grad Es la divergencia de su gradiente: ∇ ⋅ (∇U ) = ∇ 2U = ∆U EyM 1b-7 J.L. Fernández Jambrina Laplaciana de un escalar: Definición y expresiones 2 • Es la divergencia de su gradiente: ∇ ⋅ (∇U ) = ∇ U = ∆U • Curvilíneas: 1 ∂U 1 ∂U 1 ∂U uˆ1 + uˆ2 + uˆ3 h1 ∂u1 h2 ∂u2 h3 ∂u3 1 ∂ h2h3 ∂U ∂ h3h1 ∂U ∂ h1h2 ∂U ⇒ ∆U = + + r 1 ∂A1h2h3 ∂A2 h3h1 ∂A3h1h2 h h h ∂ u h ∂ u ∂ u h ∂ u ∂ u3 h3 ∂u3 1 2 3 1 1 1 2 2 2 ∇⋅ A = + + ∂u2 ∂u3 h1h2h3 ∂u1 ∇U = • Cartesianas: ∆U = ∂ U2 + ∂ U2 + ∂ U2 2 2 2 ∂x ∂y ∂z • Cilíndricas: 1 ∂ ∂U 1 ∂ 2U ∂ 2U ∆U = ρ + + ρ ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2 ∂z 2 • Esféricas: ∆U = = J.L. Fernández Jambrina Laplaciana - Expresiones Vectoriales 1 ∂ ∂U = ρ ∂ρ ρ ∂ρ 1 ∂ 2U ∂ 2U + 2 + 2 2 ∂z ρ ∂ϕ 1 ∂ 2 ∂U ∂ ∂U 1 ∂ 2U r sen θ + + sen θ r sen θ ∂r ∂r ∂θ ∂θ sen θ ∂ϕ2 2 = 1 ∂ 2 ∂U 1 ∂ ∂U 1 ∂ 2U sen θ + 2 r + 2 2 2 r ∂r ∂r r sen θ ∂θ ∂θ r sen θ ∂ϕ2 EyM 1b-8 Laplaciana - Expresiones Electricidad y Magnetismo Curso 2010/11 Laplaciana de un escalar: Interpretación • Al tratarse de la divergencia del gradiente: – Será positiva en los puntos en que se generen líneas de campo del gradiente: por ejemplo, en los puntos en que el escalar sea mínimo. – Será negativa en los puntos en que terminen líneas de campo del gradiente: por ejemplo, en los máximos del escalar. • De alguna forma mide la concavidad del escalar. grad(U) U(x,y)=sin(pi*x/2).*cos(pi*y/2) 1 0.8 1 0.6 0.4 0.5 0.2 Y 0 0 -0.2 -0.5 -0.4 -1 1 -0.6 0.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 Y -0.8 0 -0.5 -1 -1 X -0.5 0 X 0.5 1 EyM 1b-9 J.L. Fernández Jambrina Combinación de operadores: Laplaciana de un Vector grad rot div rot div grad • Es, es, … es ( ) r r r ∆A = ∇ ∇ ⋅ A − ∇ × ∇ × A J.L. Fernández Jambrina Laplaciana - Expresiones Vectoriales EyM 1b-10 Laplaciana - Expresiones Electricidad y Magnetismo Curso 2010/11 Laplaciana de un vector. ( ) r r r ∆A = ∇ ∇ ⋅ A − ∇ × ∇ × A • Definición: • Su expresión es complicada, salvo en cartesianas: – Limitando el cálculo a su componente x: [∇(∇ ⋅ Ar )]x = ∇ ∂∂Ax + ∂∂Ay 2 ∂Az ∂ 2 Ax ∂ Ay ∂ 2 Az = + + 2 ∂z ∂x ∂x∂y ∂x∂z x r r r ∂ ∂ ∂ ∂A ∂A ∂ ∂A ∂A ∇×∇× A x = ∇× A z − ∇ × A y = y − x − x − z = ∂y ∂z ∂y ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x y x [ ] [ ∂ 2 Ay ] + [ ] ∂ 2 Az ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax − − 2 ∂x∂y ∂x∂z ∂y 2 ∂z r r r ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax ∆A x = ∇ ∇ ⋅ A x − ∇ × ∇ × A x = + + = ∆Ax ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 = [ ] [( + )] [ ] EyM 1b-11 J.L. Fernández Jambrina Laplaciana de un vector. (2) • Repitiendo el cálculo para las componentes y y z: r ∆A = ∆Ax xˆ + ∆Ay yˆ + ∆Az zˆ – La laplaciana de un campo vectorial es otro campo vectorial cuyas componentes en coordenadas cartesianas (y sólo en cartesianas) son las laplacianas (escalares) de las componentes del campo original. • Interpretación: complicada. J.L. Fernández Jambrina Laplaciana - Expresiones Vectoriales EyM 1b-12 Laplaciana - Expresiones Electricidad y Magnetismo Curso 2010/11 Teorema de Helmholtz • Enunciado: Para definir un campo vectorial es necesario especificar tanto su rotacional como su divergencia. • Demostración: – La divergencia no basta: r r r r r r r A′ = A + ∇ × B ⇒ ∇ ⋅ A′ = ∇ ⋅ A + ∇ ⋅ ∇ × B = ∇ ⋅ A 1424 3 0 – El rotacional no basta: r r r r r A′ = A + ∇U ⇒ ∇ × A′ = ∇ × A + ∇ × (∇U ) = ∇ × A 1424 3 0 ( ) EyM 1b-13 J.L. Fernández Jambrina Fuentes de los campos • Puesto que un campo vectorial se determina a partir de su rotacional y de su divergencia, se definen ambas expresiones como sus fuentes. • Las fuentes escalares son las que definen la divergencia del campo. – Ejemplo: la densidad de carga volumétrica es la fuente escalar de la densidad de flujo eléctrico: r ∇⋅D =ρ • Las fuentes vectoriales son las que definen el rotacional del campo. – Ejemplo: la densidad de corriente volumétrica es la fuente vectorial de la intensidad de campo magnético en variación lenta: r r ∇× H = J J.L. Fernández Jambrina Laplaciana - Expresiones Vectoriales EyM 1b-14 Laplaciana - Expresiones Electricidad y Magnetismo Curso 2010/11 Expresiones varias r r r r A × B = −B × A r r r r r r r r r A × (B × C ) = B( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B ) r v r r r v v r r A ⋅ (B × C ) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ ( A × B ) r r r r r r r r r r r r ( A × B ) ⋅ (C × D ) = (A ⋅ C )(B ⋅ D ) − (A ⋅ D )(B ⋅ C ) ∇ ⋅ ∇ U = ∆U ∇ × ∇U = 0 r r r r ∇ ⋅∇× A = 0 ∇ × ∇ × A = ∇∇ ⋅ A − ∆A ∇(U + V ) = ∇U + ∇V ∇UV = V∇U + U∇V r r r r r r r r ∇ ⋅ (A + B ) = ∇ ⋅ A + ∇ ⋅ B ∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B r r r r r r ∇ ⋅ (UA) = ∇U ⋅ A + U∇ ⋅ A ∇ × (UA) = ∇U × A + U∇ × A r r r r r r r r r r ∇( A ⋅ B ) = ( A ⋅ ∇ )B + A × (∇ × B ) + (B ⋅ ∇ )A + B × (∇ × A) r r r r r r ∇ ⋅ (A × B ) = B ⋅ ∇ × A − A ⋅ ∇ × B r r r r r r r r r r ∇ × ( A × B ) = A(∇ ⋅ B ) − B(∇ ⋅ A) + (B ⋅ ∇ )A − ( A ⋅ ∇ )B r r r r r ( A ⋅ ∇ )B = Ax ∂B + Ay ∂B + Az ∂B ∂x ∂y ∂z J.L. Fernández Jambrina Laplaciana - Expresiones Vectoriales EyM 1b-15 Laplaciana - Expresiones