Potencial: Integrales de superposici n

Potencial Escalar - Integrales de superposición.
2010/2011
Electrostática
•
•
•
•
•
•
Definición
Los conductores en electrostática.
Campo de una carga puntual.
Aplicaciones de la Ley de Gauss
Integrales de superposición.
Potencial electrostático
– Definición e Interpretación. Integrales de superposición.
– Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase.Condiciones
de regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio.
• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento
dipolar, ...
• Polarización de materiales.
• Método de las imágenes.
• Sistemas de conductores. Condensadores.
• Energía y Fuerzas.
EyM 3c-1
J.L. Fernández Jambrina
Potencial electrostático
r
r
• La ecuación ∇ × E = 0 indica que el campo electrostático E es
irrotacional.
– Recordando la identidad
matemática ∇ × (∇Φ ) ≡ 0 se observa que el
r
campo vectorial E puede derivarse de un campo escalar Φ , que se
denomina potencial electrostático, como:
r
E = −∇Φ
» Se verá más adelante la razón de adoptar el signo menos en la
anterior definición.
• El uso de la función potencial permite simplificar matemáticamente
el
r
problema de la determinación del campo vectorial E .
– En lugar de necesitarse la determinación de las tres componentes del
campo basta con encontrar una sola función escalar: el potencial Φ.
– Se aclarará primero el contenido físico de la noción de potencial
electrostático para, posteriormente, obtener la ecuación que liga al
potencial con las distribuciones de carga y cuya solución permite
encontrar el potencial.
EyM 3c-2
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 21.1
Página 1
Potencial Escalar - Integrales de superposición.
2010/2011
Sentido físico del Potencial
r
F
• Supóngase una carga q que se desplaza en
el seno de un campo electrostático
r
E
r
dl
P2
– El
ejerce sobre la carga una fuerza
q
r campo
r
P1
F = qE y el campo realiza un trabajo.
– Si el desplazamiento se realiza entre dos puntos
r P1 y P2 a lo largo de un
trayecto C, el trabajo realizado por el campo E será:
r
r
r r
P2 r
P2
P2
WP1 → P2 = ∫ F ⋅ dl = q ∫ E ⋅ dl = − q ∫ ∇Φ ⋅ dl = −q ∫ dΦ = q[Φ (P1 ) − Φ(P2 )]
C
P1
P1
P1
– Si la carga es unitaria y positiva (q=+1), la diferencia de potencial entre
P1 y P2, es el trabajo realizado por el campo para desplazarla desde el
primer punto, P1, hasta el segundo, P2,.
» Si este trabajo es positivo, el campo lo realiza a
r costa de liberar
energía potencial (almacenada por el campo E ).
» Si es negativo, el campo absorbe energía potencial.
r r
• Se puede definir el potencial como: Φ = − ∫ E ⋅ dl + K donde K
es una constante a determinar, que no afecta al cálculo
del campo.
J.L. Fernández Jambrina
EyM 3c-3
Potencial de una carga puntual
• Supongase una carga puntual q en el origen de coordenadas e
inmersa en un medio homogéneo, lineal, isótropo e indefinido.
– El campo asociado es:
r r
q
E (r ) =
4πε
r
r
q
r 3 = 4πεr 2 rˆ
r
– La diferencia de potencial entre dos puntos puede calcularse así:
r
A r
r
r
Φ (rA ) − Φ(rB ) = − ∫ E ⋅ dl =
B
r
rA
(
)
rA
q
q
q
q
rˆ ⋅ drrˆ + rdθθˆ + r sen θdϕϕˆ = − ∫
dr =
−
2
2
r
B
4πεrA 4πεrB
4πεr
4πεr
r
q
+K
– Es inmediato que: Φ (r ) =
4πεr
r
q
– Y es razonable y posible escoger K de forma que Φ en el Φ (r ) =
r
4
πε
r
infinito sea nulo, K =0.
» Está infinitamente lejos de la carga.
– En un medio homogéneo, lineal, isótropo e indefinido el potencial debido
a una carga puntual sólo depende de la distancia a la carga.
EyM 3c-4
J.L. Fernández Jambrina
= − ∫r
rB
Grupo 21.1
Página 2
Potencial Escalar - Integrales de superposición.
2010/2011
Potencial de distribuciones de carga.
r
r
– Si la carga puntual está situada en un punto rq : Φ (r ) =
q
r r
4πε r − rq
r
– Si se tiene un sistema de n cargas puntuales, qi, en posiciones ri , por
superposición, se suman los Φi debidos a cada carga para obtener el Φ
total:
r
1 N qi
Φ (r ) =
∑r r
4πε i r − ri
– En distribuciones de carga continua, se considera cada dq como una
carga puntual y se suman sus contribuciones, lo que supone integrar:
r

r
r
ρ (r ′ )
1
r
r dV ′
dq ′ = ρ (r ′)dV ′ ⇒ Φ (r ) =
4πε ∫∫∫V ′ r − r ′

r
ρ S (r ′)
r
r
r
1 dq ′

1
d Φ (r ) =
r r ⇒ dq ′ = ρ S (r ′)dS ′ ⇒ Φ (r ) =
r r dS ′
∫∫
′
S
4πε r − r ′
4πε
r − r′

r
ρ L (r ′)
r
r

1
′
′
′
(
)
(
)
ρ
d
q
=
r
d
l
⇒
Φ
r
=
r
r dl ′
L

4πε ∫L′ r − r ′

r
r
r = Punto donde se calcula el campo ; r ′ = Punto de la distribucion
Atención a las distribuciones que llegan al infinito
EyM 3c-5
J.L. Fernández Jambrina
Ejemplo 1: Potencial de un disco con carga
constante
• Considerando cualquier punto del espacio:
r
ρ S (r ′ )
r
1
Φ (r ) =
r r dS ′
4πε ∫∫S ′ r − r ′
r
r
Z
θ
r r
r − r′
ψ
ρS = σ
– De forma general:
R
Y
r
r′
r
r = r (senθ cosϕxˆ + senθ senϕyˆ + cosθzˆ )
X
r
r ′ = r ′(senθ ′ cosϕ ′xˆ + senθ ′ senϕ ′yˆ + cosθ ′zˆ )
r r
r − r ′ = (r senθ cosϕ − r ′ senθ ′ cosϕ ′)xˆ + (r senθ senϕ − r ′ senθ ′ senϕ ′) yˆ + (r cosθ − r ′ cosθ ′)zˆ
r r 2
2
2
2
r − r ′ = (r senθ cosϕ − r ′ senθ ′ cosϕ ′) + (r senθ senϕ − r ′ senθ ′ senϕ ′) + (r cosθ − r ′ cosθ ′) =
(
)
(
)
= r 2 sen2 θ cos2 ϕ + sen2 θ sen2 ϕ + cos2 θ + r ′ 2 sen2 θ ′ cos2 ϕ ′ + sen2 θ ′ sen2 ϕ ′ + cos2 θ ′ −
− 2rr ′(senθ senθ ′ cosϕ cosϕ ′ + senθ senθ ′ senϕ senϕ ′ + cosθ cosθ ′)
= r 2 + r ′ 2 − 2rr ′[senθ senθ ′ cos(ϕ − ϕ ′) + cosθ cosθ ′] =
= r 2 + r ′ 2 − 2rr ′ cos Ψ
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Grupo 21.1
EyM 3c-6
Página 3
Potencial Escalar - Integrales de superposición.
2010/2011
Ejemplo 1: Potencial de un disco con carga
constante
(2)
• En este caso θ ′ = π 2:
r r
r − r ′ = r 2 + r ′2 − 2rr ′[sen θ sen θ ′ cos(ϕ − ϕ ′) + cosθ cosθ ′] =
= r 2 + r ′2 − 2rr ′ sen θ ′ cos(ϕ − ϕ ′)
• Y el potencial:
r
σ R 2π
r ′dr ′dϕ ′
Φ (r ) =
∫
∫
′
ϕ
r
=
0
=
0
2
2
4πε
r + r ′ − 2rr ′ sen θ cos(ϕ − ϕ ′)
• Puesto que la estructura tiene simetría de revolución, el resultado
tiene que ser independiente del ángulo ϕ, así que tomando ϕ=0:
r
σ R 2π
r ′dr ′dϕ ′
Φ (r ) =
∫
∫
′
ϕ
r
=
0
=
0
2
2
4πε
r + r ′ − 2rr ′ sen θ cos ϕ ′
– Expresión que no se puede resolver de forma analítica.
EyM 3c-7
J.L. Fernández Jambrina
Ejemplo 1: Potencial de un disco con carga
constante
(3)
• Representación de superficies equipotenciales.
+1
z/a 0
-1
-1
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Grupo 21.1
0
ρ/a
+1
EyM 3c-8
Página 4
Potencial Escalar - Integrales de superposición.
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Ejemplo 1: Potencial de un disco con carga
constante
(4)
• Aproximación para puntos lejanos:
[
]
−1 / 2
r r −1
r >> R ≥ r ′ ⇒ r − r ′ = r 2 + r ′ 2 − 2rr ′ sen θ cos ϕ ′
=

1 r′
2r ′
−
sen θ cos ϕ ′

r  r2
r

2
=
r
σ
⇒ Φ (r ) =
4πε
r ′= 0
≈
1
⇒
r
r ′dr ′dϕ ′
2π
R
∫ ∫ϕ
−1 / 2
=0
r + r ′ 2 − 2rr ′ sen θ cos ϕ ′
2
≈
r ′dr ′dϕ ′ σπR 2 QDISCO
∫r′=0 ∫ϕ =0 r = 4πεr = 4πεr
– igual al de una carga puntual, de igual carga, en el origen.
≈
σ
4πε
2π
R
• Limitando el cálculo al eje z:
R
σ R 2π r ′dr ′dϕ ′
σ
z 2 + r′2 0 =
Φ ( zzˆ ) =
=
∫
∫
′
4πε r =0 ϕ =0 z 2 + r ′ 2 2ε
σ
σ
=
z2 + R2 − z2 =
z2 + R2 − z
2ε
2ε
[
[
]
]
[
]
EyM 3c-9
J.L. Fernández Jambrina
Ejemplo 1: Potencial de un disco con carga
constante
(5)
• Representación del potencial sobre el eje Z.
0.5
0.375
εΦ(z )
σ
0.25
0.125
0
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
10
εΦ ( z )
σ
εΦ lejano ( z )
1
0.1
σ
0.01
0.1
1
10
z/a
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Grupo 21.1
EyM 3c-10
Página 5
Potencial Escalar - Integrales de superposición.
2010/2011
Ejemplo 1: Potencial de un disco con carga
constante
(6)
r
• A partir de la expresión de Φ ( zzˆ ) es posible, en este caso, calcular E ( zzˆ )
– Por simetría:
r
∂Φ
∂Φ ( zzˆ )
E ( zzˆ ) = E z ( zzˆ )zˆ = [− ∇Φ ]z = − ∂z zˆ = − ∂z zˆ =
zzˆ

E x ( zzˆ ) = E y ( zzˆ ) = 0 ⇒ 
∂
σ
σ  z
z

= − zˆ
z2 + R2 − z =
−

2

∂z 2ε
2ε  z
z + R2

[
]
– A partir de Φ ( zzˆ ) sólo se puede calcular E z ( zzˆ ) = −

 zˆ


∂Φ ( zzˆ )
∂z
» Lo que no implica que las otras componentes sean nulas.
– El conocimiento del potencial sobre una curva sólo permite calcular
la componente del campo tangencial a dicha curva y en los puntos
de esa curva.
– El conocimiento del potencial sobre una superficie sólo permite
calcular las componentes del campo tangenciales a dicha
superficie y en los puntos de esa superficie.
EyM 3c-11
J.L. Fernández Jambrina
Ejemplo 2: Línea de carga uniforme.
Z
• Sea ahora una línea de carga uniforme de
longitud L.
– Supongamos que está sobre el eje Z
y centrada en el origen:
r r
r
r = ρρˆ + zzˆ   r − r ′ = ρρˆ + ( z − z ′)zˆ
r
⇒ r r
2 dl ′ = dz ′
r ′ = z ′zˆ   r − r ′ = ρ 2 + ( z − z ′)
r
1
Φ (r ) =
4πε
r
ρ (r ′)
L
Grupo 21.1
dz ′
L/2
−L / 2
 λ

 4πε
=
 λ
 4πε

J.L. Fernández Jambrina
λ
∫ rr − rr ′ dl ′ = 4πε ∫
ρ + ( z − z ′) 2
L/2
ρL = λ
Y
X
-L/2
=
2
L/2

L/2− z
L/2+ z
λ 
−1 z ′ − z 
=
senh −1
+ senh −1
senh


ρ  − L / 2 4πε 
ρ
ρ 

2
L/2
L / 2 − z + ρ 2 + (L / 2 − z )
λ
ln z ′ − z + ρ 2 + ( z ′ − z )2 
=
ln
 
 − L / 2 4πε − L / 2 − z + ρ 2 + (L / 2 + z )2
EyM 3c-12
Página 6
Potencial Escalar - Integrales de superposición.
2010/2011
Ejemplo 2: Línea de carga uniforme.
(2)
• Representación del potencial.
2
1
z/L
0
-1
-2
-2
0
x/L
-1
1
2
J.L. Fernández Jambrina
Ejemplo 2: Línea de carga uniforme.
EyM 3c-13
(3)
• En el eje Z el potencial no está definido, aunque se puede intentar
obtener una rprolongación analítica:
ρ L (r ′)
1
λ L / 2 dz′
Φ(zzˆ) ρ =0 =
=
r r dl ′ =
∫
L
′
4πε r − r
4πε ∫−L / 2 z − z′
z + L/ 2
λ
λ
 λ L / 2 dz′
L/2
; L/ 2 < z
 4πε ∫−L / 2 z − z′ = − 4πε [ln( z − z′)]−L / 2 = 4πε ln z − L / 2
 λ z
L / 2 dz ′ 
λ 
dz′
0
L/ 2− z

=
∫−L / 2 z − z′ + ∫z z′ − z  = 4πε − ln z + L / 2 + ln 0  = ∞ ; − L / 2 < z < L / 2
4
πε





 λ L / 2 dz′ = λ [ln(z′ − z )]L / 2 = λ ln L / 2 − z
; z < −L / 2
−L / 2
 4πε ∫−L / 2 z′ − z 4πε
4πε − L / 2 − z
– Φ se hace infinito sobre la propia
línea de carga.
»Esto es común a todas las
distribuciones lineales.
Φ (z)
-2
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 21.1
-1
0
z/L
1
2
EyM 3c-14
Página 7
Potencial Escalar - Integrales de superposición.
2010/2011
Distribuciones de carga
invariantes en una dirección
• Como ya se ha visto si escoge el eje z en la dirección de invarianza,
estas distribuciones se caracterizan porque: ∂ ∂z = 0
• El primer paso es calcular el potencial debido a una línea de carga
indefinida.
– Se puede partir del campo, ya conocido, pero por variar se va a resolver
directamente el potencial.
– Si la línea está sobre el eje z: ∂ ∂ϕ = 0
1 ∂ ∂Φ
– La ecuación de Laplace se reduce a: ∆Φ =
ρ
=0
ρ ∂ρ ∂ρ

» Por integraciones sucesivas:
Φ = A ln ρ + B

1 ∂ ∂Φ

∂Φ
∂Φ A  r
A
= 0
∂ ∂Φ
ρ
=0⇒ ρ
= A⇒
= ⇒  E = −∇Φ = − ρˆ
ρ
ρ ∂ρ ∂ρ
⇒
∂ρ
∂ρ
ρ
ρ
∂ρ
∂ρ

ρ ≠ 0
 Dr = −ε A ρˆ
» A se puede calcular aplicando la Ley de Gauss:

ρ

r r
 q L ( ρ )L = λL

λ
r
r
q L ( ρ )L = ∫∫ D ⋅ dS ⇒ 
⇒ A=−
Slat
D ⋅ dS = −2πAεL 
2πε
∫∫Slat

» No se puede escoger B para que Φ sea cero en el infinito.
J.L. Fernández Jambrina
Distribuciones de carga
invariantes en una dirección
EyM 3c-15
(2)
• El potencial debido a la línea de carga es: Φ = − λ ln ρ + B
r
2πε
λ
• Es inmediato que: E =
ρˆ
2περ
• No se puede obtener este resultado directamente a partir del
potencial debido a una línea de carga de longitud finita, haciendo
tender su longitud a infinito:
L / 2 − z + ρ 2 + (L / 2 − z )
r
L
λ
λ
lim Φ(r ) = lim
ln
=
ln
=∞
2
L →∞
L → ∞ 4πε
2
4
πε
−
L
/
2
+ L/2
− L / 2 − z + ρ + (L / 2 + z )
2
– La razón es que la expresión de la línea finita asume que el potencial es
nulo en el infinito y, por tanto, que también lo es para la infinita.
– Esto equivale a escoger B=∞ y el resultado es obvio.
» Puede obtenerse una expresión razonable si, para la línea finita, se
escoge que el potencial sea nulo en un punto situado a una distancia
finita del origen y después se hace el paso al límite.
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 21.1
EyM 3c-16
Página 8
Potencial Escalar - Integrales de superposición.
2010/2011
Distribuciones de carga
invariantes en una dirección
(3)
• Si la línea de carga no está sobre el eje z, basta con aplicar el
cambio de coordenadas apropiado:
r
r r
λ
λ
λ
Φ=−
ln ρ + B = −
ln r + B ⇒ Φ = −
ln r − r ′ + B
2πε
2πε
2πε
r
r
– Recuerde que tanto r como r ′ son vectores de dos dimensiones: sin
componente z.
• Si se trata de un sistema de distribuciones lineales de carga
indefinidas en una dirección, se puede aplicar superposición.
– Hay que tomar la precaución de sustituir la suma de las constantes
aditivas por una nueva constante.
r
r
» Supóngase dos distribuciones, λ1 y λ2, situadas
en r1 y r2 , y cuyas
r
constantes ser eligen
de forma que Φ( r0 ) = V0:
r

r − r1
λ1
Φ1 = −
ln r r + V0 
r r
r r
r − r1
r − r2
2πε r0 − r1
λ1
λ

ln r r − 2 ln r r + 2V0
r r
 ⇒ Φ1 + Φ 2 = −
r − r2
λ
2πε r0 − r1 2πε r0 − r2
Φ 2 = − 2 ln r r + V0 

2πε r0 − r2
r
» La suma directa de los potenciales hace que Φ (r0 ) = 2V0
EyM 3c-17
J.L. Fernández Jambrina en vez de V0.
Distribuciones de carga
invariantes en una dirección
(4)
• El potencial de n distribuciones lineales de carga, independientes de
z es:
n
λ
r
r r
Φ (r ) = −∑ i ln r − ri + K
i 2πε
r
• De forma similar a como se hizo en el caso de E , el potencial puede
obtener combinando las contribuciones de infinitos diferenciales de
carga lineal, asimilando cada uno de ellos a una línea de carga
indefinida:
r
Φ (r ) =
r r
r
 −1
 2πε ∫∫S ln r − r ′ ρ (r ′)dS ′ + K
−1
r r
′
′
ln r − r dρ L + K = 
−1
r r
r
2πε ∫qL

ln r − r ′ ρ S (r ′)dl ′ + K
 2πε ∫L
– Otra vez: Todos los vectores de posición implicados deben
pertenecer a un mismo plano z=cte: son bidimensionales.
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Grupo 21.1
EyM 3c-18
Página 9
Potencial Escalar - Integrales de superposición.
2010/2011
Ejemplo: Potencial de una tira de carga
constante indefinida.
• Sea la tira indefinida de densidad superficial de carga constante en
Y
los puntos del eje Y ya presentada:
r
−1
– Se aplica: Φ (r ) = 2πε
r r
r
∫ ln r − r ′ ρ (r ′)dl ′ + K
S
L
ρS = σ
– De la geometría:
r r
r
r = yyˆ   r − r ′ = − x ′xˆ + yyˆ
1
′
′
r
 ⇒  r r′
2
2 2 dl = dx
r ′ = x ′xˆ   r − r = x ′ + y
(
w
)
X
– Sustituyendo:
Z
w/ 2
r
− σ w/ 2
−σ 
x′ 
Φ (r ) =
ln x′2 + y 2 dx′ + K =
x′ ln x′2 + y 2 − 2 x′ + 2 y arctg 
+K =
4πε ∫−w / 2
4πε 
y −w / 2
(
)
(
)
  w 2

−σ 
w
 w ln   + y 2  − 2 w + 4 y arctg  + K
4πε 
2 y 
 2 

– Nota: Es posible calcular el potencial en cualquier punto del espacio.
=
EyM 3c-19
J.L. Fernández Jambrina
Ejemplo: Potencial de una tira de carga
constante indefinida.
(2)
• Representación del potencial en los puntos del eje Y:
Φ( y)
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y/w
– Observe el cambio de pendiente al atravesar la distribución.
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 21.1
EyM 3c-20
Página 10
Potencial Escalar - Integrales de superposición.
2010/2011
Ejemplo: Potencial de una tira de carga
constante indefinida.
(3)
• Representación del potencial:
1
y/w 0
-1
-1
J.L. Fernández Jambrina
0
x/w
1
EyM 3c-21
Condiciones de Regularidad en el Infinito.
• Se ha ido haciendo hincapié en todos ejemplos con distribuciones
de dimensiones finitas en que el potencial tiende al de una carga
puntual a medida que el punto de cálculo se aleja de la distribución.
r
1
dq′
1
lim Φ (r ) = lim
r r =
r
r
r → ∞ 4 πε ∫Q r − r ′
4πε r
r
r →∞
∫
Q′
dq′ =
Q
r
4πε r
• Esto lleva a la llamada Condición de Regularidad en el Infinito:
r r
lim
r Φ (r ) = K
r
r →∞
• Puede expresarse una condición similar para el campo eléctrico:
r r
(rr − rr ′)dq ′ = rr
1
lim
E (r ) = lim
r
r
r r 3
r3
∫
r →∞
r →∞ 4πε Q
r − r′
4πε r
r
r2 r
lim
r E (r ) = Krˆ
r
∫
Q′
dq ′ =
Qrˆ
r2
4πε r
r →∞
– Las condiciones de regularidad en el infinito del campo y del potencial
son equivalentes.
– Son aplicables siempre que el medio en el infinito sea
homogéneo, lineal e isótropo.
EyM 3c-22
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 21.1
Página 11