1a: Algebra Vectorial

Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Tema 1: Introducción
Concepto de campo
Repaso de álgebra vectorial
Sistemas de coordenadas
Cartesiano
Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.
Operadores vectoriales.
Gradiente
Divergencia
Rotacional
Derivada temporal
Combinación de operadores: Laplaciana
Expresiones con operadores
Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos.
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 1a-1
Escalares y Vectores
• Escalar:
– Magnitud determinada por un número.
– Ejemplos: Longitud, masa, tiempo, 2
• Vector:
– Magnitud determinada por un número (módulo), una dirección y un
sentido.
– Ejemplos: Velocidad, fuerza, aceleración, 2
A a Escalar
rr
A a
 Vector
A a
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
r
A
Elmg 1a-2
1
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Concepto de campo
• Un campo es la descripción de determinadas propiedades de
los puntos del espacio.
• Campo Escalar.
– Se puede describir con sólo un número para cada punto.
– Se representa por medio de una función de la posición.
– Ejemplos: Temperatura de un medio. Altura del terreno.
Potencial Electrostático...
• Campo Vectorial.
– Para cada punto la propiedad varía con la dirección
considerada.
– Requiere una función vectorial: un vector que cambia con cada
punto del espacio.
– Ejemplos: La velocidad de un fluido. La fuerza de la gravedad...
• El campo electromagnético requiere al menos dos vectores.
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 1a-3
Representación de campos escalares
z = xe− x
2 − y2
20
18
2
16
1
14
12
0
10
-1
8
-2
30
6
30
20
4
20
10
10
0 0
Representacion 3D
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
2
5
10
15
20
Isotímicas
Elmg 1a-4
2
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Representación de campos escalares
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 1a-5
Representación de campos vectoriales
2
Z
1.5
1
0.5
ρ
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1
0
1
Vectores
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
2
Líneas de campo
Elmg 1a-6
3
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Representación de campos vectoriales
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 1a-7
Representación de campos vectoriales
• Campo eléctrico en un coaxial
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
• Campo magnético en un coaxial
Elmg 1a-8
4
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Álgebra vectorial: Suma Vectorial
• Suma de vectores:
r
A
r
B
r r
A+ B
– Propiedad Conmutativa:
r r r r
A+ B = B + A
- Propiedad Asociativa:
(Ar + Br ) + Cr = Ar + (Br + Cr )
r
B
r
A
r r
A+ B
r
B
r
B
r
C
r
A
r
A
r r r
A+ B +C
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 1a-9
Álgebra vectorial: Producto por un escalar
• Producto por un escalar:
– Es multiplicar su módulo por el escalar:
r
A
r
αA
– Propiedades:
r r
αA = Aα
r
r
α β A = (αβ )A
r
r
r
(α + β) A = αA + β A
r r
r
r
α A + B = αA + αB
( )
(
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
)
Elmg 1a-10
5
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Álgebra Vectorial: Producto escalar.
• El producto escalar de dos vectores es:
r r r r
A ⋅ B = A B cos α
r
A
Es un escalar.
α
r
B
• Propiedades:
r r r r
A⋅ B = B ⋅ A
r r r
r r r r
A⋅ B + C = A⋅ B + A⋅C
r r
r r r
r
α A ⋅ B = αA ⋅ B = A ⋅ αB
(
(
)
) ( )
( )
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 1a-11
Álgebra Vectorial: Producto escalar
(2)
r r r r
A ⋅ B = A B cos α
• Obtención del módulo de un vector:
r r r r
r2
r
r r
A ⋅ A = A A cos 0 = A ⇒ A = A ⋅ A ≥ 0
• Vectores unitarios:
– Los de módulo unidad:
r
r r
a =1⇔ a ⋅a =1
– Obtención de un vector unitario
r
A ≠0 
r
r  a =1
r
A  ⇒ r r
a = r r   a // A
A⋅ A 
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
r
A
α
r
B
Elmg 1a-12
6
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Álgebra Vectorial: Producto escalar
(3)
r r r r
A ⋅ B = A B cos α
• Signo del producto escalar:
r r
A⋅ B > 0
r r
A⋅ B < 0
r
A
r
A
α
r
A
α
r
B
r r
A⋅ B = 0
r
B
α=π 2
r
B
• Propiedad:r
r
A ⋅ B = 0

r
r r
A ≠0 ⇒ A⊥ B
r

B ≠0 

J.L. Fernández Jambrina
Elmg 1a-13
Bases y componentes
• Base ortonormal:
– Vectores unitarios ortogonales que permiten construir cualquier vector
(del espacio correspondiente) por combinación lineal.
 xˆ ⋅ xˆ = 1 xˆ ⋅ yˆ = 0 xˆ ⋅ zˆ = 0 
r


Base : xˆ , yˆ , zˆ ⇒ 
yˆ ⋅ yˆ = 1 yˆ ⋅ zˆ = 0 ⇒ A = Ax xˆ + Ay yˆ + Az zˆ

zˆ ⋅ zˆ = 1 

– Componentes:
r
A ⋅ xˆ = (Ax xˆ + Ay yˆ + Az zˆ ) ⋅ xˆ = Ax
r
A ⋅ yˆ = Ay
r
A ⋅ zˆ = Az
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 1a-14
7
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Bases y componentes
(2)
• La componente de un vector en una dirección se puede obtener con el
producto escalar por el unitario en esa dirección:
r
r
A = Ax xˆ + Ay yˆ 
 ⇒ Au = A·uˆ = Ax cos ϕ + Ay sen ϕ
uˆ = cos ϕxˆ + sen ϕyˆ 
• Si la componente de una magnitud en una dirección sigue esta regla, es una
vector. Si no la sigue, no es un vector
– Por ejemplo B no es un vector
Bu = Bx cos 2 ϕ + By sen ϕ
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 1a-15
Álgebra Vectorial: Producto Vectorial
• El producto vectorial de dos vectores:
– Es otro vector:
– Ortogonal a los operandos:
–
r r
r r
A × B = A B sen α
r r
A× B
r
B
α
r
A
– Orientado según la regla del tornillo
al girar el primero hacia el segundo
r
B sen α
r
B
α
r
A
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 1a-16
8
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Álgebra Vectorial: Producto Vectorial
• Propiedades:
r r
A× B
r r
r r
A × B = −B × A
r r r
r r r r
A× B + C = A× B + A× C
r r
r r r
r
α A × B = αA × B = A × αB
r r
r r
A // B ⇒ A × B = 0
r r
A× A = 0
(
(
)
) ( )
(2)
r
B
( )
r
A
r r
r r
B × A = −A× B
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 1a-17
Álgebra Vectorial: Producto Vectorial
• Propiedades:
(3)
ẑ
– En un sistema dextrógiro o a derechas
x̂
xˆ × yˆ = zˆ
zˆ × xˆ = yˆ
xˆ
r r
A × B = Ax
yˆ
zˆ
Ay
Az =
Bx
By
Bz
ŷ
yˆ × zˆ = xˆ
= (Ay Bz − Az By )xˆ + ( Az Bx − Ax Bz ) yˆ + (Ax By − Ay Bx )zˆ
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 1a-18
9
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Álgebra vectorial: Productos triples
(
) (
r r
A× B
r
C
)
r r r
r r r
A B ⋅C ≠ A⋅ B C
Producto Mixto
(
)
(
)
(
)
r r r
r r r
r r r
A⋅ B × C = B ⋅ C × A = C ⋅ A× B →
Doble Producto vectorial
(
) (
) (
r r r
r r
A× B ×C = A⋅C
r r r
r r
A× B ×C = A⋅C
(
r
r r r
A
r r r
r r r
A ⋅ B C
r r r ⇒ A × B × C ≠ A × B × C
B ⋅ C A
) (
) (
r
B−
r
B−
r
B
)
)
(
) (
)
(Ar × Br )⋅ (Cr × Dr ) = (Ar ⋅ Cr )(Br ⋅ Dr ) − (Ar ⋅ Dr )(Br ⋅ Cr )
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 1a-19
Álgebra vectorial: Diferenciación
• Derivada de un vector:
r
r
r
r
dA(α )
A(α + ∆α ) − A(α )
∆A
= lim
= lim
∆α → 0
∆α → 0 ∆α
dα
∆α
• Propiedades:
r
r
d r r dA dB
A+ B =
+
dα
dα dαr
r dm r
d
dA
mA =
A+m
dα
dα
dα
(
)
( )
r
r
d r r dA r r dB
A⋅ B =
⋅ B + A⋅
dα
dα
dαr
r
r
r
r
r
d
dA
dB
A× B =
× B + A×
dα
dα
dα
(
(
)
)
r
dA
dA dAx
dA
=
xˆ + y yˆ + z zˆ
dα dα
dα
dα
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 1a-20
10
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Álgebra vectorial: Diferenciación
(2)
• Diferencial de un vector en cartesianas:
r
r dA
dA =
dα =
dα
dA
dA
dA
= x dαxˆ + y dαyˆ + z dαzˆ =
dα
dα
dα
= dAx xˆ + dAy yˆ + dAz zˆ
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 1a-21
Álgebra Vectorial: Integración
• Definición como límite de una suma:
a = α 0 ≤ α1 ≤ Lα N −1 ≤ α N = b
α i −1 ≤ βi ≤ α i
b
N r
r
(
)
A
α
d
α
=
lim
∑ A(βi )(α i − α i −1 )
∫
N →∞
a
i =1
• Evaluación en cartesianas:
b
b
b
b
r
ˆ
ˆ
ˆ
A
d
α
=
x
A
d
α
+
y
A
d
α
+
z
∫
∫ x
∫ y
∫ Az dα
a
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
a
a
a
Elmg 1a-22
11