“El teorema de Tarski y la posibilidad de hablar acerca de todas las interpretaciones” Eduardo Barrio UBA – Conicet – Gaf. www.accionfilosofica.com Claves: Tarski, Diagonalización, jerarquías de lenguaje, teoría de modelos 0.En este trabajo, analizo los vínculos entre el Teorema de Tarski y las suposiciones conjuntistas usuales dentro de las definiciones taskianas de verdad. Muestro algunas limitaciones expresivas relacionadas con el teorema. Sin embargo, argumento que, a pesar de las restricciones expresivas, el Teorema de Tarski es compatible con la posibilidad de dar una definición de verdad para un lenguaje suficientemente expresivo como para que se cumpla diagonalización, desde un lenguaje cuyos cuantificadores sean suficientemente generales como para hablar de todas las interpretaciones. Claro que el proyecto involucrará el abandono de ciertos supuestos que usualmente adoptamos al hablar de las interpretaciones de los lenguajes formales. I.- La posibilidad de desarrollar lenguajes con máxima capacidad expresiva es una condición ineludible para aquellos que adhieren a la tesis de que es posible hablar acerca de todo. Si no fuéramos capaces de tener lenguajes con tal poder expresivo, toda teoría o conjuntos de teorías, toda discusión que sea formulada por medio de nuestros instrumentos lingüísticos, dejaría sin consideración aspectos no lingüísticos que caerían fuera del universo de discurso de ese lenguaje. Y de esa forma, todo esfuerzo humano por comprender la totalidad de las cosas como un todo, la posibilidad de formular tesis completamente generales acerca de lo que hay, estaría condenado al fracaso. Un lenguaje con estas características sería capaz de hablar de todos los objetos, sus aspectos y relaciones. Contaría con recursos cuantificacionales sin restricciones contextuales. Semejante capacidad expresiva brindaría también la posibilidad de hablar acerca de las interpretaciones de los lenguajes. Dado un lenguaje formal determinado (un ejemplo podría ser un lenguaje de primer orden), no habría ninguna forma de interpretar las expresiones no lógicas de ese lenguaje que no pudiera ser expresada utilizando un lenguaje con máxima capacidad expresiva. Tales recursos servirían incluso para hablar de todos los distintos modos de interpretar cada una de las expresiones del mencionado instrumento lingüístico. Un lenguaje así sería absolutamente general. Es importante advertir que el Teorema de Tarski acerca de la Indefinibilidad de la Verdad 1 constituye una limitación a las capacidades expresivas de un amplio de espectro de lenguajes. Informalmente, el resultado establece que ciertos lenguajes no pueden expresar su propio predicado veritativo. Una manera de delimitar esta clase, consiste en identificar una característica especial vinculada con el poder expresivo: la posibilidad de representar todas las oraciones que pueden probarse dentro de la aritmética clásica. Para estos lenguajes, el teorema muestra que el conjunto de sus oraciones verdaderas, no es expresable, usando aritmetización, 2 dentro del mismo lenguaje. El resultado limita sus capacidades expresivas: sus propios predicados veritativos no son definibles dentro de los mismos usando sus propios recursos. Esto significa acotar los recursos de auto-representación. Esto es, si se cumplen ciertas condiciones expresivas, la necesidad de representar todas las verdades de un lenguaje, podría dar lugar al surgimiento de una jerarquía de lenguajes, en donde cada nivel de la misma, poseería más recursos expresivos que el nivel inmediato inferior, y en donde en cada nivel, sería capaz de representar el predicado veritativo del nivel precedente. En este sentido, afirma Tarski: “the condition of the “essential richness” of the meta-language proves to be, not only necessary, but also sufficient for the construction of a satisfactory definition of truth”. 3 Este mismo resultado limitativo probado por Tarski puede ilustrarse aplicando técnicas de diagonalización. Para ver algo del detalle, supongamos que L es un lenguaje de primer orden en el que se puede formular una teoría aritmética T que represente todas las funciones computables.4 Si es una oración de L con una variable libre, entonces el lema de diagonalización 5 asegura que hay una oración tal que: Tarski, A. (1935) “Die Wahrheitsbegriff in den formalisierten sprachen” Studia Philosophica 1. Traducido al inglés en Tarski, A. (1956) Logic, Semantics and Metamathematics Oxford: Oxford University Press. Segunda edición 1990. 2 Hay distintas maneras de aritmetizar la sintaxis de un lenguaje. Una consiste en asignar un número natural a cada expresión primitiva de L. Luego, identificar el número de Gödel de una oración de L con el producto de varios números enteros primos sucesivos, elevado cada uno de ellos por alguna potencia (esa potencia será el número entero asignado a la expresión inicial que está e su lugar). La utilización de números primos (números naturales que sólo se pueden dividir por sí mismos o por la unidad) garantiza que el número de Gödel represente la estructura sintáctica de la oración, ya que todo número natural se puede factorizar en un único producto de números primos sucesivos. De esta manera, no todo entero es un número de Gödel (hay números enteros que no son representantes ni de una expresión elemental, ni de una oración). De lo contrario, toda sucesión de expresiones sería una oración. 3 En cuanto a la supuesta riqueza esencial (essential richness) del metalenguaje respecto del lenguaje objeto para el cual se efectúa la definición de verdad, cfr De Vidi, D and Solomon, G. (1999) “Tarski on ´essentially richer´ metalanguages” J. Phil. Logic 28 y Ray, G. (2005) “On the matter of essential Richness” J. of Phil. Log 34. 4 Por ejemplo, T podría ser la artitmética de Peano. 5 En este punto, presento una reconstrucción informal de la exposición de Boolos, G., Burgess, & Jeffrey (2002) Computability and Logic Cap 17. 1 Intuitivamente, es una oración autorreferencial que dice de sí misma que cumple la condición . También se dice que es un punto fijo porque queda fija al cumplir la condición . Ahora Bien, sea T* el conjunto de números de Gödel de las oraciones verdaderas de L. Supongamos por contradicción que T* es definible en L. En este caso, existe una fórmula T(x) que es expresable en L y define el conjunto de los números de Gödel de las oraciones verdaderas en L. En particular, si es una oración de L, entonces en L, T() si y sólo si T*. Ahora bien, el lema diagonal asegura que hay al menos una oración de L que cumple la condición antidiagonal de ser una oración de ese lenguaje que no es verdadera de su propio números de Gödel. O más informalmente, que existen oraciones como las del mentiroso 6 que dicen de sí mismas que son falsas. Por eso, ninguna fórmula de L puede hablar del conjunto de los números de Gödel de las oraciones verdaderas en L. De esta manera, parece necesario recurrir a otro lenguaje para expresar esa condición, por lo cual, el predicado veritativo de ese lenguaje no puede estar representado dentro de ese lenguaje. En suma, lo que se puede decir de la semántica de L, no puede reflejarse como una fórmula de L. En particular, todas las atribuciones de verdad a las oraciones de L, no pueden consistentemente reflejarse como oraciones de L, ya que hemos visto que si lo fueran, deberíamos poder contar con una oración de L que hable de todas aquellas oraciones que no son verdaderas de sí mismas. 7 El resultado no obliga a sostener que ningún lenguaje puede contener su propio predicado veritativo. Como ha mostrado Gupta, 8 lenguaje, no hay surgimiento de contradicciones. clásicos, 9 si se restringe la capacidad expresiva del O si se abandonan algunos supuestos podríamos tener un lenguaje en el que valga diagonalización y se puedan expresar al menos algunos de sus conceptos semánticos. Por ejemplo, la teoría de Kripke permitiría la construcción de un punto fijo en el que se obtenga como parte de la extensión de la verdad justo aquellas oraciones de la teoría que son verdaderas. Ya que se cumple el lema diagonal, es posible formular esta teoría para lenguajes que contengan oraciones como el mentiroso. Claro que esta oración no pertenecería ni a la extensión de la verdad ni a la extensión de la falsedad Formalmente, el mentiroso puede representarse como T(). La posibilidad de decir en el lenguaje natural estas condiciones hacen posible el surgimiento dentro del mismo de las conocidas paradojas semánticas: considerese, la oración (L) “Esta oración es falsa”. (L) dice de sí misma si es verdadera, entonces es falsa y si por el contrario, es falsa, entonces es verdadera. Pero, si la sintaxis del español fuera aritmetizable, (L) tendría que tener un número de Gödel. Pero, (L) sería verdadera de su propio número de Gödel cuando no es verdadera de su propio número de Gödel. 8 Gupta, A. “Truth and Paradox” (1982) y Kremer, Ph. “On the "Semantics" for Languages with their own Truth Predicates” In A. Chapuis and A. Gupta, eds. Truth, Definition and Circularity, Indian Council of Philosophical Research, New Delhi, 2000, 217-246. 9 Cfr. Simmons, K. (1993) p. 36 6 7 (no es ni verdadera ni falsa). No obstante, nótese que el presunto predicado veritativo del lenguaje, no representa la interacción clásica entre verdad y negación. Y por ese motivo, los lenguajes de punto fijo no pueden expresar su propia no-verdad. Esto es, el concepto de noverdad en ese lenguaje no es definible usando los medios expresivos del lenguaje. Y este resultado implica una limitación sobre el alcance de la idea de autorepresentación dentro de los lenguajes de punto fijo. 10 Este resultado parece mostrar que la posibilidad de diagonalizar, impide que todos los conceptos semánticos puedan internalizarse en esas condiciones. Hay ineludiblemente ciartas limitaciones expresivas respecto del lenguaje natural (si queremos evitar las contradicciones). Si la universalidad semántica fuera posible, la verdad sería aritmetizable y no valdría el Teorema de Tarski. Obviamente, no todo resultado de Tarski es expresivamente limitativo. Es bien conocido que él ha diseñado un método para dar una caracterización extensional y formalmente correcta del concepto de verdad, para una amplia clase de lenguajes formales. Por supuesto, este método se aplica a lenguajes que, como L, cumple el lema de diagonalización. Su definición nos muestra cómo especificar las condiciones de verdad para cada una de las oraciones de los mismos. Claro que, como hemos visto, al hacerlo, ha mostrado límites a la posibilidad de representar, dentro de un lenguaje con ciertos recursos expresivos, su propio predicado veritativo. Si queremos una teoría formalmente correcta de la verdad para un lenguaje con los mencionados recursos expresivos, debemos formularla desde un lenguaje con mayor poder expresivo. Resta entonces preguntarse si las restricciones expresivas que impone el teorema son suficientes como para impedir que la generalidad del lenguaje desde donde se formula la definición de verdad, la generalidad de los cuantificadores que forman parte del lengueje en el cual se formula la definición, sea suficiente como para poder hablar de la totalidad de las interpretaciones del lenguaje. Me interesa mostrar que ambos son problemas distintos. Esto es, que si bien el teorema de Tarski limita la posibilidad de formular, dentro de un mismo lenguaje con ciertas capacidades expresivas, la semántica de ese lenguaje, no limita de manera directa la posibilidad de hablar desde un metalenguaje con mayores recursos expresivos de la totalidad de los modos de interpretar las expresiones del primero de los lenguajes. 10 El concepto es expresable desde un lenguaje que distinga entre la oración del mentiroso y la del mentiroso reforzado, por lo que la necesidad de un metalenguaje vuelve a hacerse presente. Tenemos jerarquía ya que para hablar de lo que no es verdadero, tenemos que hacerlo desde fuera del lenguaje. Si entendemos que un lenguaje es expresivamente incompleto si hay algún concepto, expresable en otro lenguaje, que no puede ser expresado en el mismo, es claro que los lenguajes de punto fijo son incompletos. Y ya que el tipo de concepto que no puede expresarse es de tipo semántico, entonces los lenguajes de punto fijo son semánticamente incompletos. II.Las paradojas semánticas han sido usadas para desafiar la coherencia de la cuantificación irrestricta y de esta manera, la posibilidad de desarrollar un lenguaje absolutamente general. Los que han seguido esta línea, han argumentado que dado un lenguaje L, suficientemente expresivo como para que se cumpla diagonalización, toda vez que se fije un rango determinado para sus cuantificadores, este procedimiento nos habilita para definir un nuevo objeto que no está bajo el alcance de los cuantificadores del lenguaje, estableciendo que la cuantificación no era irrestricta en absoluto. Si la especificación de las condiciones de verdad de todas las oraciones de un lenguaje puede ser pensada como una interpretación de ese lenguaje, el recurso tarskiano metalingüístico puede verse como una descripción de la semántica del lenguaje. Claro que sería deseable que ese recurso no posea limitaciones en el sentido de no poder hablar de todas las interpretaciones que un lenguaje podría satisfacer. Una razón importante para que sea posible poder hacer esta descripción es que, si no lo fuera, tales recursos serían inadecuados para varios de nuestros principales propósitos teóricos. Específicamente, si no fuera posible contar con cuantificadores irrestrictos que pudieran hablar acerca de todas las interpretaciones, no podríamos ofrecer, usando las técnicas tarskianas, una caracterización de los conceptos de validez universal y de consecuencia lógica, ni podríamos confiar acerca de que las características metalógicas de nuestras teorías son apropiadas. No obstante, mientras que Tarski nos mostró que la capacidad de representar la condición “x es verdadera de exactamente los números de Gödel de las fórmulas no verdaderas de sus propios números de Gödel” como una oración dentro del lenguaje (una oración que, como el mentiroso, sea autorreferencial y predique su propia no verdad) conduce a contradicción, la posibilidad de formular en el metalenguaje una condición diagonal como “x no es una interpretación bajo la cual la condición se aplica a x” con cuantificadores irrestrictos cuyo rango abarque la totalidad de las interpretaciones también lo haría. Una manera de reforzar el punto anterior vincula a las interpretaciones de un lenguaje como L con conjuntos. El recurso a entidades conjuntistas es usual en el enfoque tarskiano acerca de la interpretación de los lenguajes formales. El consejo de Tarski parece ser el describir sistemáticamente la totalidad de las interpretaciones de los lenguajes formales usando el lenguaje de la teoría de conjuntos. Siguiendo este consejo, una conjetura que podríamos hacer es que las interpretaciones aceptables de los lenguajes formales sean ciertos conjuntos. En esta dirección, Kreisel ha presentado 11 un principio informal que se vincula con la anterior conjetura: para toda fórmula de cualquier orden finito, esa fórmula es verdadera en toda estructura si y sólo si es verdadera en toda estructura de la jerarquía acumulativa conjuntista [cumulative hierarchy]. La aceptación de esa tesis partiría del reconocimiento de que en el caso de las teorías lógicas de primer orden, la teoría de conjuntos ha sido empleada exitosamente para desarrollar una teoría exhaustiva acerca de los modos de interpretar las teorías de primer orden. En este caso, la teoría de conjuntos ofrece a la vez, tanto un mecanismo que delimita las colecciones (vistas estas como objetos dentro del alcance de los cuantificadores presuntamente irrestrictos que usamos en nuestra teoría semántica) acerca de las que habla la teoría formal en cada una de las interpretaciones, como un medio para representar, a través de sus propias estructuras interpretativas, cada uno de los modos intuitivos en los que podemos interpretar esas teorías formales. De esta manera, nuestro uso de la jerarquía conjuntista como parte esencial de la semántica de los lenguajes formales estaría presuponiendo que para cualquier interpretación hay una estructura conjuntista que es equivalente a ella. Ahora bien, la conjetura según la cual las interpretaciones aceptables son parte del universo conjuntista carece de una prueba general. Puede mostrarse que para cualquier fórmula de primer orden, esa fórmula es verdadera en una estructura cuyo dominio es una clase (es decir, una colección de miembros de la jerarquía conjuntista) si y sólo si es verdadera en una estructura cuyo dominio es un conjunto. Pero, aunque el teorema de Kreisel muestre que en el caso de las teorías lógicas de primer orden, basta con que las interpretaciones relevantes tengan como dominio un conjunto, la prueba del teorema depende de que la teoría sea completa y tal dependencia condiciona su aplicación a otros órdenes lógicos. 12 De todas formas, no sólo carecemos de una prueba para cualquier orden del tipo de la que Kreisel formuló para primer orden, sino que hay problema central para la mencionada conjetura conjuntista acerca de la naturaleza de las interpretaciones. El problema se vincula con la semántica de la teoría de conjuntos: el lenguaje de la teoría de conjuntos tiene que hablar acerca de todos los conjuntos. Por eso, el dominio de una interpretación que pretenda capture la interpretación pretendida del lenguaje de la esta teoría tendría que estar constituido por todos los conjuntos. No obstante, el dominio de esa interpretación es un conjunto y de acuerdo a las teorías de conjuntos axiomatizadas, no existe el conjunto de todos los conjuntos. Por tanto, ninguna interpretación conjuntista puede capturar la interpretación pretendida del lenguaje de la teoría de conjuntos.13 Es decir, lamentablemente los cuantificadores presuntamente irrestrictos “Kreisel, G. (1967) “Informal Rigour and Completeness Proofs”. En Lakatos, I. (1967) Problems in the Philosophy of Mathematics, Ámsterdam, North Holland. 12 Cfr. Kreisel, G. (1967) 13 Barrio, E. (2007) “Modelos, Autoaplicación y Máxima Generalidad” Theoria 22. 11 de la interpretación deseada de la teoría de conjuntos no puede ser un conjunto ni puede corresponderse de forma inmediata con uno. Parece, entonces, que si queremos cumplir con nuestro deseo de poder hablar sobre todas las interpretaciones de los lenguajes, hemos encontrado un límite a la idea de que la teoría de conjuntos pudiera ser una fuente exclusiva de interpretaciones. Por eso, existe la posibilidad de discrepancias extensionales entre los conceptos de interpretación y interpretación conjuntista. Este último, aunque “inmensamente grande”, tal como a partir de Cantor hemos llegado a aprender, parece ser insuficiente como para brindar las entidades necesarias para constituir el universo conjuntista. III.- La posibilidad de discrepancias extensionales entre los conceptos de interpretación e interpretación conjuntista parece indicar la imposibilidad de contar con recursos suficientes en un metalenguaje en el cual dar una definión apropiada de las nociones metateóricas de las teorías formales. Sus cuantificadores no lograrían nunca ser suficientemente generales como para hablar de todas las interpretaciones. De esta manera, el Teorema de Tarski prohibe dar una definición de verdadera en el lenguaje conjuntista dentro de ese lenguaje y esta imposibilidad es una consecuencia directa del cumplimiento de la posibilidad de diagonalizar dentro de ese lenguaje. Y ahora, como parte de las afirmaciones metalingüísticas que el cumplimento del teorema nos impone, advertimos que parece que o bien estamos condenados a abandonar la cuantificación irrestricta o bien si la aceptamos surge una nueva contradicción (ahora dentro de nuestra metateoría). No obstante, dos son los supuestos que hemos adoptado para llegar a este nuevo resultado limitativo. En primer lugar, que las interpretaciones son conjuntos y en segundo lugar, que para hacer inteligible la cuantificación sobre las entidades de esos “inmensos universos de discurso”, hay que adoptar el principio denominado Todo en uno [All-in-One Principle]. 14 Según este principio, los objetos de los distintos dominios de interpretación de cada una de las estructuras que conforman las interpretaciones, forman una entidad, aunque no necesariamente un conjunto, abriendo la posibilidad de tomar a las interpretaciones como cualquier tipo de entidad sobre la cual se pueda cuantificar. El principio all-in-one está motivado en la idea de que nuestras afirmaciones metalingüísticas acerca de L requieren cuantificar sobre todos los dominios. Esta idea conduciría a tomar a las interpretaciones mismas como objetos dentro del alcance de los cuantificadores de primer orden. Y no podríamos cuantificar sobre Cartwright afirma “The general principle appears to be that to quantify over certain objects is to presuppose that these objects constitute a “collection” or a “completed collection” – some one thing of which those objects are members. I call this the All-in-One Principle”. 14 algunas cosas sin que haya una cosa singular (una colección) de la cuales ellas formaran parte. Así, para poder cuantificar sobre ciertos objetos, se tendría que presuponer que esos objetos constituirían una colección completa, una única entidad de la cual ellos sean miembros. 15 De esta manera, la presunta limitación a la cuantificación irrestricta surge no sólo de la diagonalización, ahora usando metalingüísticamente las expresiones semánticas del lenguaje objeto, sino de haber aceptado al mismo tiempo que las interpretaciones son conjuntos y que la cuantificación irrestricta supone la existencia de una entidad (el dominio) que es a la vez parte de este universo. Si bien es cierto que ambos supuestos son normales en la actividad de interpretar lenguajes formales, como hemos visto anteriormente, si se quiere preservar la posibilidad de hablar sin restricciones acerca de las interpretaciones de los lenguajes formales , es necesario abandonar uno de esos supuestos. Aunque con otras motivaciones, el propio Cartwright ha propuesto 16 una manera de hacerlo. Su alternativa consiste en evitar el compromiso con la idea de que la cuantificación debe estar basada en dominios reuinidos en una única entidad. Su sugerencia es, en cambio, que los objetos que satisfagan cierta condición predicativa sean el dominio de interpretación de los cuantificadores. Una manera de llevar a cabo su sugerencia es tomar una condición (que podría ser del lenguaje natural) y decir que todo objeto que satisface esa condición es parte del dominio de interpretación. No hay ninguna totalidad, ninguna entidad involucrada sobre la cual los cuantificadores irrestrictos generalicen. También en esta línea, Boolos ha desarrollado 17 un ingenioso aparato formal alternativo al tarskiano, en el cual las interpretaciones mismas no son objetos, sino relaciones. En su propuesta, una interpretación no es un objeto conjuntista, sino aquello que puede satisfacer una variable de segundo orden. La verdad no es una relación entre una fórmula y un cierto conjunto estructurado, sino los valores de esta variable de orden superior. Estos objetos, y no un conjunto, codificarán una especificación de los individuos sobre los cuales nuestros cuantificadores de primer orden tendrán su alcance. Una implementación de esta idea permite hablar de un dominio de “todos los conjuntos” sin comprometernos con una entidad representada por ese hablar. Logrando mayor capacidad expresiva sin reunir en una única entidad a todos esos objetos (lo cual, como se ha mostrado, conduciría a contradicción). 15 Cartwright critica el principio all-in-one, ya que le parece inadecuada la idea de que "we cannot speak of the cookies in the jar unless they constitute a set ..." R. Cartwright (1994) p. 7 – 8. Para una defensa, cfr. Parsons, C. (1984). 16 R. Cartwright (1994) p. 9. 17 G. Boolos (1985) “Nominalist Platonism” The Phil Review XCIV. Podría parecer que el abandono de tomar a los dominios como conjuntos está muy lejos conceptualmente de la concepción tarskiana. No obstante, es bueno recordar que en la misma, no hay un dominio desde el cual se estructuran los modos de interpretar las fórmulas. 18 No hay un objeto colectivo desde el cual se extraen los valores que se utilizan al definir la extensión del mencionado predicado. 19 Claro que, a diferencia del enfoque tarskiano, la alternativa de Boolos adopta, como parte del metalenguaje, de variables de orden superior. Esto es, para poder hablar de todas las interpretaciones que una oración de primer orden podría satisfacer, hay que adoptar un lenguaje cuyos cuantificadores no sean únicamente los cuantificadores de primer orden. La desconfianza clásica en la cuantificación superior ha decrecido en nuestros días. Shapiro nos ha mostrado nos han mostrado 21 20 distintas ventajas emparentadas con su adopción y Rayo y Uzquiano , usando las técnicas de Boolos, cómo definir una noción de consecuencia lógica en segundo orden basada en una noción de verdad que cumple la condición de adecuación material de Tarski. El propio Boolos nos ha enseñado el camino para evitar la expansión ontológica que involucraría la cuantificación superior: la cuantificación plural evita el compromiso o bien conceptualista o bien conjuntista que los nuevos cuantificadores estarían involucrando. 22 Pero no todo es positivo. La posibilidad de cuantificar sobre todas las interpretaciones que puedan tomar nuestros afirmaciones en primer orden se logra al costo de perder ciartas propiedades metateóricas. Dado cualquier sistema axiomático de segundo orden, podemos seimpre construir oraciones cuyos cuantificadores sean de ese orden que sean verdaderas y que no sean derivables en ese sistema. IV. 18 Cfr. Bays, T. (2001) y Gómez Torrente, M. (2000). El procedimiento original de Tarski para definir la extensión del predicado veritativo se diferencia de la concepción modelista en varios aspectos: fundamentalmente, aunque ambos enfoques puedan resultar extensionalmente equivalentes respecto de las fórmulas que resulten ser verdaderas, existen diferencias filosóficas importantes respecto de la noción de modelo que se utiliza en ambas definiciones. Con respecto lo que a nosotros nos ocupa, en el enfoque modelista, las fórmulas para las que se define la extensión del predicado veritativo se toman de un lenguaje no interpretado; en la caracterización tarskiana, en cambio, las formulas vienen interpretadas. De esta manera, la interpretación no cambia de modelo en modelo, tal como sucede en la caracterización modelista. En esta última, hay distintos dominios a partir de los cuales tenemos distintos modos de interpretar las fórmulas. 20 Shapiro, S Foundations Without Foundationalism: A Case for Second-Order Logic (Oxford, OUP, 2d Ed 2000) 21 Rayo, A. & Uzquiano, G. (1999) “Toward a Theory of Second-Order Consequence” Notre Dame J. Of Formal Logic Vol. 40. 22 En “Beyond Plurals”, Rayo muestra límites al proyecto general de hacer semántica generalizada usando cuantificadores plurales. Cfr. Rayo, A. & Uzquiano, G. Absolute Generality (Oxford, OUP, 2006). 19 En suma, así como el Teorema de Tarski involucra un límite a las capacidades expresivas de los lenguajes formales, la adopción de ciertos supuestos usuales en la actividad de interpretar tales lenguajes (el principio Todo-en-uno y que las interpretaciones son conjuntos) juntamente con la posibilidad de diagonalizar dentro del metalenguaje que usamos para definir la semántica del lenguaje objeto conduce a una nueva limitación expresiva: no hay manera de representar, usando cuantificadores de primer orden, cada uno de los modos de interpretar esos lenguajes. Sin embargo, he mostrado que hay un modo de evitar tal limitación expresiva: evitar comprometerse con la idea según la cual las interpretaciones son valores posibles de cuantificadores de primer orden. Estrictamente hablando, hemos visto que el proyecto de tomar a las interpretaciones como conjuntos es inviable, surgiendo así un nuevo e inesperado resultado acerca de las interpretaciones de los lenguajes formales: hay más modos de interpretar expresiones de un lenguaje formal que conjuntos.