Sistemas dinámicos para la Empresa

SISTEMAS DINÁMICOS
Tema 1. - Sistemas dinámicos en la economía.
1.1- Introducción a la dinámica económica. La variable tiempo. Sistemas
discretos y sistemas continuos.
1.2- Generalidades sobre ecuaciones diferenciales y ecuaciones en diferencias.
1.3- Ejemplos económicos que conducen a ecuaciones diferenciales y a
ecuaciones en diferencias: modelos de inflación, desempleo, etc.
1.4- Teorema sobre la existencia y unicidad de soluciones.
Tema 2. - Métodos elementales de resolución de ecuaciones diferenciales.
2.1- Ecuaciones de variables separadas. Ecuaciones homogéneas. Ecuaciones
lineales. Ecuaciones de Bernouilli. Ecuación de Ricatti.
2.2- Aplicaciones: modelo de crecimiento de Domar. Envolvente de la familia de
curvas de integrales. Trayectorias ortogonales y oblicuas.
2.3- Ecuaciones diferenciales lineales de orden "n". Ecuaciones homogénea y
completa.
2.4- Aplicación al caso de coeficientes constantes. Solución de la completa.
Método de variación de las constantes. Método de los coeficientes
indeterminados.
2.5- Aplicaciones: El modelo de la carga de la deuda de Domar. Un modelo de
mercado con expectativas para los precios.
Tema 3. - Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales.
3.1- Conceptos generales. Relación entre los sistemas diferenciales de primer
orden y las ecuaciones diferenciales de orden superior.
3.2- Teorema de existencia y unicidad.
3.3- Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes diagonalizables.
Solución del sistema homogéneo. Caso en el que la matriz A del sistema es
diagonalizable. Caso de matriz A no diagonalizable. La matriz fundamental eAt.
3.4- Solución del sistema completo. Método de variación de constantes. Método
de los coeficientes indeterminados.
Tema 4. - Transformada de Laplace.
4.1- Transformación de Laplace. Propiedades de la transformada de Laplace.
4.2- Transformadas de algunas funciones elementales. Transformada de la
derivada de una función. Transformada de una integral. Producto de
transformadas.
4.3- La transformación inversa. Técnicas de inversión.
4.4- Aplicación de las transformadas de ecuaciones a la resolución de ecuación y
sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
Tema 5. - Estabilidad de los puntos de equilibrio.
5.1- Definición de punto de equilibrio estable en el sentido de Liapunov. Punto
de equilibrio asintoticamente estable. Punto de equilibrio inestable.
5.2- Criterio de estabilidad para sistemas linealizados en un punto.
5.3- Estudio de la estabilidad por el método directo de Liapunov. Funciones de
Liapunov.
5.4- Aplicaciones.
Tema 6. - Ecuaciones en diferencia finitas.
6.1- El operador diferencia. Generalidades de ecuaciones en diferencia finitas.
Analogías sobre ecuaciones en diferencia y ecuaciones diferenciales.
6.2- Existencia y unicidad de soluciones.
6.3- Ecuaciones lineales de primer orden. El modelo de la telaraña. Aplicaciones.
6.4- Ecuaciones en diferencias lineales de orden "n", con coeficientes constantes.
6.5- Solución general de una ecuación lineal homogénea y de una ecuación
completa de orden "n", con coeficientes constantes.
Tema 7. - Sistemas de ecuaciones en diferencias.
7.1- Reducción de ecuaciones de orden superior a sistemas.
7.2- Solución de un sistema de ecuaciones en diferencias lineales con
coeficientes constantes. Caso homogéneo. Caso no homogéneo.
7.3- Resolución en el caso de que los coeficientes sean diagonalizables.
7.4- Transformada "z". Propiedades.
7.5- Aplicación de la transformada "z" a la resolución de ecuaciones
diferenciales.
Tema 8. - Estudio cualitativo de las ecuaciones y sistemas en diferencias.
8.1- Evolución temporal de las soluciones.
8.2- Estudio de la evolución temporal mediante las propiedades de los
autovalores de la matriz.
8.3- Caso de autovalores reales y complejos. Autovalores de módulo mayor y
menor que uno.
8.4- Aplicaciones.
Tema 9. - Ecuaciones en derivadas parciales.
9.1- Introducción, definición y ejemplos: ecuación de ondas, ecuación de
transmisión de calor, ecuación de Laplace, ecuación de Black-Scholes
9.2- Ecuaciones cuasi-lineales de primer orden. Planteamiento de los problemas
de Cauchy. Ecuación general de primer orden.
9.3- Clasificación de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden. Casos
elementales de integrabilidad.
9.4- Métodos aproximados de integración de ecuaciones en derivadas parciales.
Tema 10. - Optimización dinámica.
10.1- Cálculo de variaciones: ecuación de Euler. Control óptimo: principio de
máximo. Programación dinámica.
BIBLIOGRAFÍA
- CHIANG, A. (1992), " Elements of Dynamic Optimization " Ed. Mc GrawHill.
- GANDOLFO,G. (1976), "Métodos y modelos matemáticos de la dinámica
económica ",Ed. Tecnos.
- HERVAS BURGOS, P. (1993). Manual de Cálculo Integral. Ecuaciones
diferenciales y ecuaciones en diferencias
- KISELIOV/KARASNOV/MAKARENKO. ( 1988), " Problemas de ecuaciones
diferenciales ordinarias " Ed. Mir.
- LUENBERGER,D. (1979), " Introduction
to Dynamic Systems Theory.
Models and applications " Ed. John Wiley.
- PERAL ALONSO, I (1995), "Ecuaciones en derivadas parciales " Ed.
Addison-Wesley / U.A.M..
- SIMMONS, (1981), "Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas
históricas" Ed. Mc. Graw- Hill.