MECÁNICA RELACIÓN 6: Tensores de Inercia. 1.- Determine el tensor de inercia del paralelepípedo de la figura, en la base vectorial mostrada, que está centrada en G. ⎞ ⎛1 2 2 0 0 ⎟ ⎜12 M(b +c ) ⎜ ⎟ 1 2 2 ⎜ ⎟ 0 0 M(a +c ) Solución: I0 = ⎜ ⎟ 12 ⎜ ⎟ 1 2 2⎟ ⎜⎜ 0 0 (a +b )⎟ 12 ⎝ ⎠ 2.- Determine el tensor de inercia de la placa plana de la figura, en la base vectorial mostrada. Suponga despreciable el espesor de la placa. ⎛ 1 2 ⎜ 18 mb ⎜ 1 Solución: I G = ⎜ mb 2 ⎜ 36 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ 1 mab 36 1 ma 2 18 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 1 2 2 ⎟ m( a + b ) ⎟ 18 ⎠ 0 3.- Determine el tensor de inercia de la varilla de la figura en las bases vectoriales xyz y XYZ. Suponga que la varilla es esbelta. ⎛ ⎞ ⎜0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ 1 2 ⎜ 0 ⎟ Solución: I 0 = 0 mL ⎜ ⎟ 3 ⎜ 1 2 ⎟⎟ ⎜0 0 mL 3 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ 1 2 ⎜ 0 ⎟ IG = 0 mL ⎜ ⎟ 12 ⎜ ⎟ 1 ⎜0 0 mL2 ⎟ 12 ⎝ ⎠ 4.- Determine el tensor de inercia del anillo y de la placa circular mostrados. Suponga que el espesor es despreciable en ambos casos. Solución: I 0anillo I 0 placa ⎛ mR 2 ⎜ ⎜ 2 ⎜ =⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝ ⎛ mR 2 ⎜ ⎜ 4 ⎜ =⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎜ 0 ⎝ 0 mR 2 2 0 0 mR 2 4 0 ⎞ 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ mR 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ mR 2 ⎟ 2 ⎟⎠ 5.- Determine el tensor de inercia del sistema mostrado en la figura, suponga que los únicos elementos que tienen masa son las bolas. ⎛ b 2 −ab 0 ⎞ ⎜ ⎟ 0 ⎟ Solución: I 0 = 2m ⎜ − ab a 2 ⎜ 0 0 a 2 + b 2 ⎟⎠ ⎝ 6.- Determine el tensor de inercia de la esfera mostrada respecto a la base vectorial XYZ. Demuestre que el tensor es invariante al expresarlo en cualquier otra base vectorial xyz. Solución: 7.- El tensor de inercia del cilindro sólido de la figura en la base vectorial XYZ centrada en G es: ⎛1 ⎞ 2 2 0 0 ⎟ ⎜ 12 M (3r + h ) ⎜ ⎟ 1 2 2 ⎜ 0 0 ⎟ IG = M (3r + h ) ⎜ ⎟ 12 ⎜ ⎟ 1 ⎜⎜ Mr 2 ⎟⎟ 0 0 12 ⎝ ⎠ Se pide: 1.- Determinar el tensor de inercia en la base xyz en un ángulo β alrededor de Y. 2.- Determine las direcciones y momentos de inercia principales (en la base xyz). Particularizar para M=100kg, h=3m, d=1.3m, β = 30º Solución: 8.- La barra de la figura pesa 0,1N/mm. Determine: 1.- Tensor de inercia en la base XYZ. 2.- Momento de inerciaG respecto G del eje G MN,Gdefinido por el vector unitario: u = 0.3i + 0.45 j + 0.84k . 3.- Direcciones principales de inercia. 4.- Momentos principales de inercia. Las dimensiones están dadas en mm. Solución: ⎛ ⎜0 ⎜ 1.- I 0 = ⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝ 0 mL2 3 0 ⎞ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 2 ⎟ mL ⎟ ⎟ 3 ⎠