Soluciones a algunos ejercicios.

3. Un grupo de investigadores de Ecología midieron la concentración de
células rojas en la sangre de 29 lagartos (Sceloporis occidentales) capturados
en el campo. También observaron si los lagartos estaban infectados por el
parásito de Malaria Plasmodium. Los recuentos de células rojas
proporcionaron los siguientes valores.
Animales infectados: n1  13
Animales no infectados: n2  16
s1  245,1
s 2  251,2
X 1  972,1
X 2  843,4
a) Construye un intervalo de confianza al 99% para la diferencia entre la
concentración media de células rojas en la sangre de animales infectados
y no infectados (se supone normalidad).
b) ¿Se podría afirmar que la malaria reduce el número de células rojas?
Razona la respuesta.
Solución:
a) Se trata de comparar dos poblaciones: P1, lagartos infectados con el parásito, y P2,
lagartos no infectados. Concretamente, nos interesa comparar las medias
poblacionales. En consecuencia, buscamos I 1  2 .
Asumimos que las varianzas poblacionales NO son conocidas. Para verificar si
pueden considerarse iguales o no, como s 2  s1 , calculamos
s22 251,22

 1,05  2
s12 245,12
Por lo tanto, consideramos que  12   22 (caso b1).
X 1  X 2  972,1  843,4  128,7
Como
y
n1  13, n2  16
t / 2,n1 n2 2  t 0,005,27  2,771
Finalmente, s 2p 
  1%
(0,01
en
n1  1s12  n2  1s22 ; operando se tiene
n1  n2  2
tanto
por
uno),
s p  248,507
Sustituyendo en la fórmula del intervalo de confianza, obtenemos
I  (128'424, 385'82)
b) Si el intervalo contuviera sólo números negativos, estaríamos diciendo que la
diferencia entre el número medio de células rojas de P1 y P2 es negativa, o
equivalentemente que el número medio de células rojas de P1 (lagartos infectados
con malaria) es inferior al de P2 (lagartos no infectados). En ese caso, se podría
afirmar que la malaria reduce el número de células rojas. Pero vemos que el
intervalo contiene tanto números negativos como positivos, con lo cuál tan
aceptables es que sea mayor la media de los infectados, como la de los no
infectados. En consecuencia, NO se puede afirmar que la malaria reduzca el
número de células rojas.
4. En un estudio sobre el efecto del dióxido de azufre como agente
contaminante del aire, se dispuso de cierto tipo de semillas de habichuelas
en cámaras que se mantuvieron a lo largo del experimento abiertas por su
parte superior. Se asignaron aleatoriamente seis de esas cámaras a un
tratamiento consistente en fumigarlas con dióxido de azufre, y en las otras
seis no se efectuó ningún proceso. Transcurrido un mes, se registraron las
cosechas totales (en kg) de habichuelas en cada cámara, obteniéndose los
siguientes datos:
Con Diox.
Sin Diox.
1,52
1,49
1,85
1,55
1,39
1,21
1,15
0,65
1,30
0,76
1,57
0,69
Halla un intervalo de confianza al 90% para la diferencia de producción
media de habichuelas con y sin dióxido de azufre. Interprétalo.
Queremos comparar dos poblaciones, P1 y P2. Llamamos:
P1: cosechas de habichuelas criadas con dióx. Podemos comprobar que X 1  1,463,
n1  6 , s1  0,243.
P2: cosechas de habichuelas criadas sin dióx. Podemos comprobar que X 2  1,058,
n2  6 , s 2  0,410
Queremos determinar un intervalo para la diferencia de medias poblacionales, I 1  2
Para comprobar si las varianzas poblacionales (que suponemos desconocidas) pueden
s2
considerarse iguales o no, como s 2  s1 , calculamos 22  2,847  2 . Por lo tanto,
s1
consideramos que  12   22 (caso b2)
Necesitamos calcular f ; podemos comprobar que f  9,38  9
Además,   10 % . Por tanto, necesitamos t 0.05,9  1'833
Finalmente, sustituyendo en la expresión para I 1  2 , tenemos
I  (0.049, 0.761)
Como el intervalo contiene sólo números positivos, se tiene que 1   2  0 , luego
1   2 , es decir, la cosecha media con dióxido de azufre es superior a la cosecha
media sin él. En otras palabras, efectivamente el dióxido de azufre favorece el
crecimiento de las semillas.
5. Se realizó un estudio para comparar el contenido en sodio en el plasma de
las focas peleteras australes jóvenes, con el nivel de sodio en la leche de las
focas. Se obtuvieron las siguientes observaciones sobre el contenido de
sodio (en minimoles) por litro de leche (o plasma) en 10 focas
aleatoriamente seleccionadas:
Sujeto
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Leche
93
104
95
81,5
95
95
76,5
80,5
79,5
87
Plasma
147
157
142
141
142
147
148
144
144
146
Halla un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de niveles de
sodio en los dos líquidos corporales. ¿Hay pruebas de que exista alguna
diferencia? ¿En qué sentido?
Sea X el nivel de sodio en la Leche, y sea Y el nivel de sodio en el plasma.
Queremos estudiar la diferencia de las medias de Y, y X. Sin embargo, como los
valores que tenemos para ambas provienen de los mismos individuos, en principio
los valores de X e Y NO son pueden considerarse independientes. Por lo tanto,
estamos ante el caso de datos emparejados.
En consecuencia, formamos una nueva variable, D=X-Y, cuyos datos
corresponden a las diferencias entre los valores de X e Y; es decir:
Sujeto
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Total:
Y=Sodio en
Leche
93
104
95
81,5
95
95
76,5
80,5
79,5
87
887
X=Sodio en
plasma
147
157
142
141
142
147
148
144
144
146
1458
D =X-Y
54
53
47
59,5
47
52
71,5
63,5
64,5
59
571
Sobre los datos de D, calculamos media y cuasivarianza, obteniéndose D  57.1 ,
s D  1.033. Como t 0.025,9  2.262, aplicando la fórmula del intervalo de confianza
se tiene I = (56.361, 57.839). Es decir, la presencia del sodio en el plasma es
claramente superior.
Ejercicio:
Utilizando los datos del Ejercicio 1, calcula el tamaño de la muestra que
deberíamos tomar para que el error en la estimación de la media poblacional,
manteniendo el mismo nivel de confianza, fuera menor que una milésima.