Construyendo una base para la actualización curricular de

Construyendo una base para la actualización curricular de profesores en matemática en
elementos del caos y modelos de población
Juan Carlos Rosales
Departamento de Matemática. C.I.U.N.Sa.
Facultad de Ciencias Exactas.Universidad Nacional de Salta
Buenos Aires 177, 4400 Salta ,Argentina
rosales@unsa.edu.ar
Fundamentos y objetivos
El rol de los educadores, en el desarrollo de contenidos y programas que involucren las cuestiones
relacionadas con los estudios medioambientales es de fundamental importancia, ya que los mismos
posibilitarán a los estudiantes la adquisición de objetivos para desempeñar un papel protagónico
frente a los cambios medioambientales, que se suceden más vertiginosamente en nuestro tiempos.
Los alumnos deben ser sensibilizados, como en la actualidad lo hacen las grandes fundaciones
internacionales, de la gravedad de la contaminación, de la introducción de elementos extraños a un
hábitat determinado, por ejemplo, e imaginarse las consecuencias que ello trae para el futuro. Pero la
responsabilidad de esta sensibilización no debe recaer en una sola disciplina ya que, en general, la
problemática de los temas del medio ambiente tienen orígenes interdisciplinarios.
En este aspecto, la disciplina matemática no debe estar ausente, (y de hecho no lo está), a la hora de
hacer su aporte, a la Educación Ambiental, pero quiero apuntar específicamente a la transposición
didáctica concreta, en las situaciones del aula.
Para debatir con criterio los problemas medioambientales y formular las posibles soluciones se
requieren conocimientos de varias disciplinas. Por ello, planificar actividades multidisciplinarias,
basadas en modelos con ecuaciones matemáticas de modelización aplicadas a situaciones
ecológicas, que a lo mejor pueden resultar ficticias por la simplificación de los factores que se
introducen, resulta necesario y constituye el puntapié inicial para la construcción de una currícula
básica de actualización para los profesores de matemática y biología del nivel polimodal.
La posibilidad de experimentación por medio de la simulación, resulta fundamental para los profesores
de matemática y de biología. Bajo las hipótesis de que el conocimiento, la experimentación y el
análisis de los modelos clásicos en el tema podría maximizar el aporte por parte de los docentes de
estas disciplinas a la Educación Ambiental, con todo el efecto multiplicador que ello significa, al
concretar la transmisión a los estudiantes mediante situaciones didácticas. Las herramientas de
modelización y su simulación en la computadora, en consecuencia, no pueden ser desaprovechadas.
Es interesante destacar que en los diversos Estados miembros de la Comunidad Europea, existe un
consenso generalizado por la implantación de los estudios medioambientales, aunque la situación
resulte diversa.
En Francia, las acciones en favor de la Educación Ambiental han estado orientadas a su integración
en la escolaridad obligatoria. Su implantación se ha ido apoyando en los diversos textos normativos
del Ministerio de Educación Nacional: En la Carta Constitutiva de la Educación Ambiental, publicada el
29 de agosto de 1977, se establece la Instrucción General sobre Educación Ambiental de los alumnos
en materia de Medio Ambiente. En la misma se expresa también la necesidad de una formación
(inicial y continua) de los enseñantes para afrontar el reto que supone este nuevo tipo de
enseñanza(8).
Por suerte la preocupación de la problemática de la contaminación del medio ambiente ha alcanzado
en estos últimos tiempos un crecimiento espectacular apoyado en algunos casos por los medios
masivos de comunicación como revistas de divulgación científica, canales y programas de televisión.
Hace casi 250 años que Jean-Jacques Rousseau, precursor en materia de protección de la naturaleza
y crítico visionario de la sociedad de consumo, dio también aquel gran paso para la humanidad,
(aunque el problema de contaminación por las grandes aglomeraciones humanas datan
aproximadamente del siglo XVIII). Hoy el docente debe propiciar la calidad del conocimiento y la
utilización de las nuevas tecnologías a su alcance, para que la capacidad creadora de los estudiantes
pueda orientarse, en este sentido, hacia la búsqueda de técnicas y/o la creación de modelos para la
preservación del medio ambiente, sin prejuicio del progreso de la humanidad.
Estructuras y contenidos de las actividades
Con el objetivo de actualizar en los ejes temáticos mencionados a los profesores en matemática y
biología del medio (Salta- Argentina) y además captar el interés de los alumnos de las carreras del
profesorado con las especialidades mencionadas y los de la licenciatura en matemática, se
estructuraron actividades a partir de: los modelos de población, de una especie, caso continuo, para
llegar al atractor extraño de Lorenz, recorriendo la ecuación logística discretizada, cuyo análisis orbital
nos lleva a nuestro primer ejemplo de comportamiento caótico, además de estudiar algunos ejemplos
de sistemas dinámicos elementales. Los modelos de población de una, dos y tres especies, en
particular el análisis de la posibilidad de la extinción de especies, los modelos clásicos de Lotka
Volterra, el Modelo May y otros.
Los contenidos del curso fueron divididos en dos partes:
Contenidos Parte I
Modelo de población de una especie. Modelo de Malthus. Modelo de Verhults: La ecuación
Logística . Caso continuo. La función Logística de diferencias: Caso discreto. Fenómeno de la
duplicación de períodos. Introducción al caos. El período de tres caos. La constante de
Feigenbaum. Sistemas dinámicos elementales. Funciones generadoras de caos: La función
logística. La función de Henón. El sistema de Lorenz. Fundamentos elementales del caos
determinístico. Secciones de Poincaré. Modelo de población de dos especies. Sistemas
ecológicos depredador- presa. Modelo Lotka -Volterra. Modelo Lotka -Volterra de poblaciones
acotadas . Modelo May. Modelo de Leslie-Gower.
Contenidos Parte II
Los sistemas dinámicos. Atractores, repulsores y cuenca de atracción. El fenómeno de la
bifurcación de Hop y Ciclos límites en el modelo May. Más allá del plano: Modelo de población
de tres especies .Sistemas de Lorenz. El atractor extraño de Lorenz. La banda de Rossler.
Software de ayuda
Para éste curso, se desarrolló una versión beta de un software didáctico, específico: Helpsoft, como
herramienta de ayuda para las actividades seleccionadas en las guías. Es una versión de prueba, que
sólo se validó para los ejemplos seleccionados y otros más, en el cual se ha intentado una interfaz
accesible para los usuarios, sobre todo para aquéllos que no pudiesen contar con la posibilidad de
poseer los software profesionales y sus respectivas licencias. A continuación, presento parte del
desarrollo de una actividad del curso con el software Helpsoft.
Actividad: Con el modelo clásico de Vito Volterra (1860-1940, ideado en la década de los años 20 del
siglo anterior, para un sistema depredador-presa, para explicar la variaciones cíclicas observadas en
la población de tiburones en el mar Adriático ).
a)Simular las trayectorias para distintos valores iniciales del depredador y de la presa.
b)¿Las trayectorias que obtuvo son funciones periódicas? ¿Cómo interpreta esto?. Explique.
c)¿En qué caso, existe la posibilidad que las pocas presas que quedan sean devoradas, resultando
su inmediata extinción y como consecuencia la eliminación de los depredadores.
Experimentar la evolución de las poblaciones del depredador y de la presa en función del tiempo, con
diversos valores de poblaciones iniciales, en base a los resultados obtenidos escriba su conclusión.
Por razones de recurso solamente, enuncio otra actividad aunque lo fundamental de estas
experiencias resultan de los análisis desde el punto de vista de la simulación.
Actividad:
Considere que la población de peces de un lago, crece según el modelo de la ecuación logística con
recolección, ya que se extraen por año una cantidad k =10 1 de, peces mediante la pesca.
a) Experimente realizando gráficas de la evolución de población de peces del lago a medida que
transcurra el tiempo, con un factor de crecimiento de la ecuación a = 0.3 y capacidad de sustentación
de 150. Simule con distintas poblaciones iniciales.
b) Encuentre un límite, para el valor del parámetro velocidad de recolección a partir del cual la
población puede desaparecer o no.
Conclusiones: Se llevó a cabo la experiencia, que resultó satisfactoria, pues permitió evaluar tanto la
parte teórica y práctica, como también el software. Con ello se pretende realizar a futuro las
modificaciones y mejoras correspondientes para una repetición del curso, y comenzar así a construir
una base de actualización en los temas de matemática ecológica, sistemas dinámicos elementales y
funciones generadoras de caos para los profesores de esta provincia del noroeste de la República
Argentina. Con lo anterior estamos en condiciones de debatir estas experiencias y enriquecerlas con
otras similares.
Bibliografía y Referencias:
1)Calculus in Context K .Hoffman y otros.
2)An Introduction to Chaotic Dynamical Systems.Robert Devaney. Addison Wesley.1989
3)Differential Equations and Dynamical Systems. L. Perko. Springer. 1996.
4)Fundamentos de ecuaciones diferenciales. R.Nagle. B.Saff. Addison Wesley.1992.
5)Geometría Fractal . Hibbard y grupo de investigaciones de la U.N.Sa.
6)Ecuaciones Diferenciales Edwars Penney. Prentice may.1993.
7)Building a mathematical base for environmental studies curricula. Kurt Kreith. Uno. Revista de
Didáctica de las Matemáticas. Pag.37.
8) La educación ambiental en los sistemas educativos de los países de la Unión Europea. Macarena
Esteban Ibáñez .Contexto educativo. Año III No.16.
9)Métodos computacionales en ciencia e ingeniería. Guillermo Marshall. Editorial Reverté S.A. Tomo I.
1 Velocidad de recolección, este factor puede considerarse en centenas, por ejemplo, y se estarían extrayendo 1000 peces al
año.