Problema Derivada direccional y Gradiente

Problema Derivada direccional y Gradiente
1. Gradiente y derivada direccional. Calcular las derivadas direccionales de las
siguientes funciones a lo largo de vectores unitarios en los puntos indicados y en
direcciones paralelas al vector dado:
a) f(x; y) = xy, (x0; y0) = (e; e), d = 5i + 12j
b) f(x; y) = exy + yz, (x0; y0; z0) = (1; 1; 1), d = (1; -1; 1)
SOLUCIÓN
a) Recordando que Duf(x0) = f(x0)·u, debemos hallar el gradiente de la función y un
vector unitario en la dirección dada.
  y  y  
log x
 f ( x ; y )  
x ;
x   
e
y
 x
  x


y
;

y
e
log x

y
   y log x  y log x
  
e
;
e
y
  x
 y y log x
 y y
y log x 
y 
e
e
 e
; log x e
   x ; log x  x    f ( e ; e )  e ; e
x
x

 


u 
d

d
( 5 ;12 )
5  12
2
2

 


 5 12 

;

 13 13 
12  17 e
e
e  5
D u f ( e ; e )   f ( e ; e )·u  e ; e ·
;
e

 13 13  13


b) En este caso tendremos:
 



x
x
x
x
 f ( x ; y ; z )  
e  yz ;
e  yz ;
e  yz   e ; z ; y   f (1;1;1)  ( e ;1;1)
y
z
 x


u 
d
d


(1;  1;1)
1  (  1)  1
2
2
2




 1 1 1 
 
;
;

3
3
 3
 1 1 1 
e
D u f (1;1;1)   f (1;1;1)·u  ( e ;1;1)·
;
;
 
3
3
3
 3


2. Suponer que una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico z = c - ax2 - by2
, donde a, b y c son constantes positivas, x y y son las coordenadas este-oeste y
norte-sur, y z es la altitud sobre el nivel del mar (x, y y z están medidas en
metros). En el punto (1; 1), ¿en qué dirección aumenta más rápido la altitud? Si
se suelta una canica en (1; 1), ¿en qué dirección comenzará a rodar?
SOLUCIÓN
Una función aumenta más rápidamente en la dirección del vector gradiente, y disminuye
más rápidamente en la dirección opuesta al mismo. En nuestro caso:
 f ( x ; y )  (  2 ax ;  2 by )   f (1;1)  (  2 a ;  2 b )  u 



 f (1;1)

 f (1;1)
a
a b
2
;
2
b
a b
2
2




Ésa es la dirección de máximo crecimiento. La canica rodará en la dirección en la cual
más rápidamente disminuya la altura, es decir, la opuesta a la recién hallada:

Máximo decrecimiento  u  

a
a b
2
;
2
b
a b
2
2




3. El capitán Ralph tiene dificultades cerca del lado soleado de Mercurio. La
temperatura del casco de la nave, cuando él está en la posición (x; y; z), viene
dada por T ( x ; y ; z )  e  x  2 y  3 z , donde x, y y z vienen dados en metros.
Actualmente está en el punto (1; 1; 1).
2
2
2
a) ¿En qué dirección deberá avanzar para disminuir más rápidamente la temperatura?
b) Si la nave viaja a e8 m/s, ¿con qué rapidez decrecerá la temperatura si avanza en esa
dirección?
c) Desafortunadamente el metal del casco se cuarteará si se enfría a una tasa mayor que
2
14 e grados por segundo. Describir el conjunto de direcciones posibles en que puede
avanzar para bajar la temperatura a una tasa no mayor que ésa.
SOLUCIÓN
a) La dirección de máximo decrecimiento u será la dirección unitaria opuesta al vector
gradiente.

 T ( x ; y ; z )   2 xe
2
2
 x 2 y 3 z
2
;  4 ye
2
2
 x 2 y 3 z
2
2
2
 x 2 y 3 z
;  6 ze
2

Normaliznd o
  T (1;1;1)  e
6
(  2 ;  4 ;  6 )   T (1;1;1)  e
6
2
3 
 1
u 
;
;

14
14 
 14

( 2 ; 4 ;6 )

b) El valor de e8 m/s que nos dan es la rapidez (módulo de la velocidad) de la nave. El
vector velocidad vendrá dado por el producto de ese módulo por la dirección unitaria de
avance. Así:
1
2
3 
 dx dy dz 
8
8
v 
;
;
;
;

e u e 
14
14 
 dt dt dt 
 14
Queremos obtener la tasa de variación de la temperatura, y lo logramos mediante la
regla de la cadena:
En ( x ; y ; z )  ( 1 ;1 ;1 )
dT
dt

 T dx
 x dt

 T dy
 y dt

 T dz


 z dt
 2e
6
e
8
14
 4e
6
2e
8
 6e
14
6
3e
8
  2 14 e
2
14
c) En el punto anterior vemos que la máxima velocidad de crecimiento de la
temperatura es el doble de lo que la nave puede tolerar. Para que no se cuartee, es
necesario avanzar en otra dirección, cuyo vector unitario podemos llamar u = (a; b; c).
En ese caso tendremos que el vector velocidad será v = (a; b; c)e8, y podremos escribir:
dT
dt

  T ·v   2 e
6
; 4 e
6
; 6 e
6
· ae
8
8
; be ; ce
8
  ( 2 a  4b  6c )e
2
Esta tasa de variación de la temperatura debe ser negativa y su módulo debe ser menor
que 14 e 2 . Por lo tanto:

14 e 
2
dT
 0   14 e  (  2 a  4 b  6 c ) e  0   14   2 a  4 b  6 c  0
2
2
dt
Moviéndose en cualquier dirección unitaria u = (a; b; c) que cumpla con esas
condiciones el cohete se enfriará sin cuartearse.