Pandora y las cajas negras MIGUEL ESCUDERO * E n el capítulo sexto de Libro III de su Física, Aristóteles dice que “lo infinito resulta ser lo contrario de lo que se nos dice que es: no es aquello fuera de lo cual no hay nada, sino que el infinito es aquello fuera de lo cual siempre hay algo” y que “nada es completo (téleion) si no tiene fin (télos), y el fin es un límite”. Medio siglo después de que Gauss afirmase en una carta que el infinito era en matemáticas sólo una manera de hablar, Cantor estableció nuevas especies de infinito y orientó la matemática como ciencia del infinito. Georg Cantor nació en Rusia en 1845, se fue de niño a vivir a Alemania, sus padres eran daneses (la madre, católica y artista; el padre, protestante y negociante). El padre de Cantor le instaba a ser ingeniero, pero él se volcó, influido por su profesor Weierstrass, en la matemática no aplicada. Su tesis doctoral, presentada en 1866, llevaba el título latino “In re matemática ars propendi pluris facienda est quam solvendi”, esto es, en matemática el arte de hacer preguntas es superior al de resolver problemas, en ella se hacía cargo de unas omisiones de Gauss en un trabajo sobre aritmética. A Cantor se le debe la teoría de conjuntos y el concepto de números transfinitos. Demostró que los números racionales (esto es, los que se pueden expresar como cociente de números enteros) se pueden poner en correspondencia uno a uno con los enteros positivos, por ello son numerables, algo que no les ocurre a los números reales. Sus vigorosas e innovadoras ideas sobre las distintas clases de infinitos le hicieron sufrir la implacable hostilidad del influyente matemático Kronecker (quien había sido profesor suyo y proferido la conocida frase: “Dios hizo los números enteros y el resto es obra de los hombres”, una vana ocurrencia), así como el rechazo de Klein y Poincaré. En particular, Weyl dijo que la jerarquía de alephs de Cantor era como *Profesor titular de Matemática Aplicada de la Universidad Politécnica de Barcelona. una niebla en medio de la niebla. En 1883, Cantor escribió sobre la generalización del concepto de número, de la que decía que “sin ella no podría dar ni siquiera pequeños pasos adelante en la teoría de conjuntos. Espero que esta situación justifique o, si es necesario, excuse la introducción de ideas aparentemente tan extrañas en mis argumentaciones. De hecho, el objetivo consiste en generalizar o extender la serie de los enteros reales más allá del infinito. Por atrevido que esto pueda parecer, tengo no sólo la esperanza, sino la firme convicción de que a su debido tiempo esta generalización será reconocida como un paso bastante simple, apropiado y natural. Aun así, soy muy consciente de que adoptando tal procedimiento me sitúo a contracorriente con respecto a las opiniones generales sobre el infinito en matemáticas y sobre la naturaleza de los números”. Son proverbiales las paradojas que sus estudios originaron. Haciendo uso de sensatez, Du Bois-Reymond objetó a una demostración de Cantor que “repugna al sentido común. De hecho, se trata simplemente de la conclusión de un tipo de razonamiento que permite la intervención de ficciones ideales, a las que se hace jugar el papel de cantidades genuinas aunque no sean siquiera límites de representaciones de cantidades. Ahí es donde reside la paradoja”. Cantor afinaría posteriormente su método, pero acabaría topando con la hipótesis del continuo. Sin embargo, todo en la vida acaba por requerir un amable reconocimiento. Catorce años después, Hurwitz y Hadamard encontraron provechosos aquellos análisis, y no tardaron en mostrarse importantes aplicaciones en topología y en la teoría de la medida. En 1884 Cantor evidenció una enfermedad mental que fue sobrellevando y falleció en 1918, con el fin de la Segunda Guerra Mundial. Unos años más tarde, el matemático más destacado y respetado del momento, David Hilbert, afirmó que nadie podría expulsarnos del paraíso que Cantor había creado para nosotros y que su aritmética transfinita era “el producto más impresionante del pensamiento matemático, una de las más bellas realizaciones de la actividad humana en el dominio de lo puramente inteligible”. En una breve historia del infinito encontré hace unos años un par de líneas con las que me quedé clavado y caviloso durante unos días: “¿Por qué el infinito evoca la muerte? Porque no tolera la ficción de sí mismo”. Resulta inquietante esta combinación de infinito, muerte y ficción. Podríamos añadir a esta insustituible y extraña lista de conceptos, el cero, el vacío, la nada, Dios como padre o madre. Se cuenta que en el siglo XII dos docenas de pensadores se reunieron para hablar de Dios y ofrecer cada uno por separado una fórmula sobre el Ser Supremo. Veamos seis de aquellas respuestas, agrupadas en el Libro de los veinticuatro filósofos. No constan sus autores. Para uno de ellos “Dios es la tiniebla que permanece en el alma después de toda luz”, otro destaca que “Dios es el único que tiene presente todo cuanto pertenece al tiempo”. Dos de ellas se decantan por la paradoja lógica, así “Dios es principio sin principio, proceso sin mudanza, fin sin fin” o bien “Dios está todo él en cualquier parte de sí”. Consignemos por último, dos visiones vertiginosas de Dios como estructura geométrica: “Dios es una esfera que tiene tantas circunferencias como puntos” y, la más celebrada de tales definiciones metafóricas, “Dios es una esfera infinita cuyo centro se halla en todas partes y su circunferencia en ninguna”. Comprenderán ustedes que haya que hacer altos en el camino de esta lectura y que no se pueda bajar en tobogán por estas letras si se quiere conseguir una interpretación adecuada. Cifra es palabra de origen árabe y antes de hacerse sinónimo de dígito significaba cero o vacío. La importancia del cero es asombrosa para el poder simbólico que exhibe nuestro sistema de números (curiosamente se postula la referencia del cero absoluto como la temperatura a la cual la presión de un gas ideal es nula). Y, aunque menos conocido, es asimismo importante el conjunto vacío en el mundo del álgebra. El vacío tiene un sentido peyorativo como vano, nulo, malogrado, pero también puede suponer un hueco prometedor que llenar. Se habla de “hacer el vacío a alguien”, “volver de vacío” o “caer en el vacío”, pero cuando decimos “lograr el vacío” se entiende el éxito de una técnica que permite, por ejemplo, fabricar lámparas eléctricas o envasar alimentos al vacío, y que se usa en medicina para succionar drenajes, en las jeringas o en las bombas para sacar agua. Por otra parte, la nada indica inexistencia y etimológicamente viene de nacer. Res nata era cosa alguna nacida. Este pronombre juega a veces un papel de adverbio: “No me hace nada de gracia”; “No llueve nada”. Podemos decir: “Ahí es nada”; “De nada”; “Nada que ver”; “Nada me importa”; “No hace nada que lo vi”. Sucede con la nada algo curioso, ha evolucionado con aparente falta de lógica, así cuando decimos “no sabe nada” hay doble negación, al decir “nada vi” el pronombre pasa a tener valor negativo en sí mismo; en catalán esta expresión se enuncia como res no vaig veure (“no vi cosa alguna”, “nada no vi”) Los procesos naturales en el universo ocurren espontáneamente en una dirección. La termodinámica estudia sistema físicos a través de magnitudes macroscópicas, esto es, que se pueden aplicar a todo el sistema considerado como un todo, un sistema homogéneo, tales como, entre otras, el trabajo, el volumen, la masa, la densidad, la temperatura, el calor. El renombrado segundo principio se refiere a procesos imposibles, una máquina no puede transformar en trabajo todo el calor que se le entrega, no puede existir una máquina cíclica que extraiga continuamente calor de una única fuente y la convierta íntegramente en trabajo mecánico (omitamos entrar aquí en entropías y procesos reversibles). En física se llama cuerpo negro al que absorbe todas las frecuencias y no refleja ninguna. Desde 1945 se emplea el término black box (caja negra) que, en sentido general, es algo que tiene mecanismos o funciones internas misteriosas o desconocidas, suele ser un complicado y receptivo e intocable ingenio electrónico, al que se recurre como testigo en caso de accidente. No sólo trenes y aviones tienen su caja negra para abrir en las desgracias, el terreno de la ciencia está plagado de ellas. En la mecánica clásica de Newton no se planteaba la velocidad de la gravedad, ésta era instantánea; su velocidad, infinita. En 1916, Einstein postuló en su teoría general de la relatividad que la gravedad se desplaza a la misma velocidad que la luz, es decir, 300.000 kilómetros por segundo en el vacío. Ahora se ha calculado la velocidad de las ondas gravitatorias aprovechando una rectitud entre la Tierra, Júpiter y un quasar (una protogalaxia, núcleos de galaxia activos en la formación del universo, los más alejados de nuestro planeta). En esas mediciones se ha empleado una red de radiotelescopios puestos en varios continentes y se ha encontrado un grado de desviación prácticamente nulo con respecto a los fotones de la luz u ondas electromagnéticas. También ahora sabemos que ratones y hombres tienen el mismo número de genes, prácticamente iguales pero, no obstante, algunos de ellos pueden no funcionar igual en ambas especies. Dice Javier Marías en Tu rostro mañana que “todo está ahí a la vista, en realidad todo es visible desde muy pronto en las relaciones como en los relatos honrados, basta con atreverse a mirarlo, un solo instante encierra el germen de muchos años venideros y casi de nuestra historia entera”, “pero nadie quiere ver nada y así nadie ve casi nunca lo que está delante”. Quizá eso le sucedió a Pandora, la primera mujer del género humano en la mitología griega. Cuando casó la llena de dones con un hermano de Prometeo (el titán que quiso asaltar el cielo), cada uno de los dioses le regaló un don para granjearse el favor de los hombres y labrar su desgracia. Aquellos presentes quedaron empaquetados en una caja, que nunca debía abrir (un regalo en potencia). Por descuido o por curiosidad, Pandora abrió su caja y los males que contenía se desataron y esparcieron por la Tierra. En el fondo no quedó sino la esperanza.