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TEMA 1:
NÚMEROS COMPLEJOS
1. INTRODUCCIÓN
Es evidente que la ecuación x 2  1  0 no tiene solución en . Sería interesante
encontrar un cuerpo, si es posible, que contenga a  como subcuerpo ( o a un subcuerpo
isomorfo a  ) y en el cual tenga solución la anterior ecuación.
Para conseguir este objetivo se introducen los números complejos. Estos
números proporcionarán además las soluciones de las ecuaciones algebraicas generales
de la forma: a0  a1 x  ...  an x n  0 con a i   .
2.- DEFINICIÓN
Se llama número complejo z a todo par ordenado de números reales ( x, y ) , el
primero, “ x ”, llamado parte real del complejo (Re z) y el segundo, “ y ”, parte
imaginaria del complejo (Im z), verificando el conjunto de los complejos la siguiente
relación, y con las operaciones que siguen:

Igualdad:

Operaciones: se llama suma de dos complejos z y z ' , y se representa
z  z ' al complejo z  z'  ( x  x' , y  y' )
(1,1)
z  ( x, y) , z '  ( x' , y ' ) se llaman iguales y se representa
z  z ' , si sus partes real e imaginaria son iguales
respectivamente, y recíprocamente.
Es decir: z  z '  x  x' ^ y  y'
se llama producto de dos complejos z y z ' , y se
representa z.z ' al complejo z.z'  (xx'yy' , xy' x' y )
(1,2)
Al conjunto de los complejos se le designa por C.
Ejemplo
(2,5)  (3,4)  (2  3,5  4)  (5,9)

(2,5).(3,4)  (6  20,8  15)  (14,23)
1
3. PROPIEDAD DE CUERPO
Teorema 1
El conjunto C de los complejos es un cuerpo, respecto a las operaciones suma y
producto.
Demostración
A)
C es un grupo abeliano respecto a la adición, pues se verifica:
z  ( z' z' ' )  ( z  z' )  z' ' z, z ' , z ' 'C
a) Asociativa:
( inmediato por la asociativa de la suma en  )
z  z '  z ' z z, z 'C
b) Conmutativa:
( inmediato por la conmutativa de la suma en  )
c) Existencia de elemento neutro. Es el (0,0) :
(0,0)  ( x, y)  ( x, y) ( x, y ) C
d) Existencia de opuesto de todo elemento.
Para z  ( x, y)  C el opuesto es ( x, y)  C, pues
( x, y)  ( x, y)  (0,0) , y se designará por  z .
B)
C)
Respecto al producto se verifica:
z.(z '.z ' ' )  ( z.z ' ).z ' ' z, z ' , z ' 'C
a) Asociativa:
z.z '  z '.z z, z 'C
b) Conmutativa:
c) Existencia de unidad ( neutro del producto ).
Es el (1,0) , pues: (1,0).(x, y)  ( x, y) ( x, y ) C
d) Existencia de inverso de todo elemento distinto de (0,0) :
Sea z  ( x, y)  C con ( x, y)  (0,0) .
Si posee inverso ( x' , y ' ) , habrá de cumplir: ( x, y).(x' , y' )  (1,0) ,
es decir: ( x.x' y. y' , xy' x' y)  (1,0)
Esto es: xx' yy'  1 , yx'xy'  0 .
x y
Como  
 x 2  y 2  0 , el sistema tiene solución y es
y x
única:
 x
y 

( x' , y ' )   2
, 2
2
2 
x y x y 
1
Este inverso se designará por
ó z 1
z
Distributiva del producto respecto a la suma:
z.(z' z' ' )  ( z.z' )  ( z.z' ' ) z, z ' , z ' 'C
2
Teorema 2
El conjunto *  C de los números complejos de la forma z  ( x,0) ( es decir, los
que cumplen Im z = 0), forman un subcuerpo de C isomorfo con  .
Demostración

 * es cuerpo.
Basta comprobar que dados z  (x,0) y z '  ( x' ,0) en  * , se verifica
que:
z  z '  * z, z'  * y que z.z 1   * z  (0,0) en  *

La aplicación  :    * definida por  ( x)  ( x,0) x   , es un isomorfismo
entre  y  * .
Es inmediato que  es biyección.
Sean x, x'  . Entonces:
 ( x  x' )  ( x  x' ,0)  ( x,0)  ( x' ,0)   ( x)   ( x' )
 ( x.x' )  ( x.x' ,0)  ( x,0).(x' ,0)   ( x). ( x' )
(1)  (1,0)
Debido a este isomorfismo se identifican los dos cuerpos poniendo *   , es decir,
( x,0)  x . En particular se escribirá (0,0)  0 , (1,0)  1 .
4. C COMO ESPACIO VECTORIAL SOBRE 
En virtud de la identificación de  y  * , la multiplicación de un nº real por un
complejo podría definirse: a( x , y )  ( a ,0 )( x , y )  ( ax,ay ) .
C es respecto a la adición y a la multiplicación por números reales un espacio
vectorial sobre , que además es isomorfo al espacio vectorial real V2 . ( Es inmediato
ver que la dimensión de este espacio vectorial es 2, siendo una base del mismo
{ (1,0),(0,1) }.
Nota
No podemos identificar C con V2 sobre  , ya que C posee además de las operaciones
de adición y multiplicación por números reales ( respecto a las cuales es espacio
vectorial sobre  de dimensión 2 ), otra operación: la multiplicación de números
complejos.
3
5. FORMA BINOMIAL O CANÓNICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Definición
El nº complejo (0, 1) lo representaremos por i , y se llama la unidad imaginaria.
Esta notación permite dar a los complejos una forma canónica para interpretar
cómodamente sus reglas de cálculo.
Es z  (x, y)  (x,0)  (0, y)  (x,0)  y(0,1)  x  iy .
Por tanto, todo nº complejo z  ( x, y) puede escribirse en la forma z  x  iy , que
recibe el nombre de forma binomial o forma canónica.
Se verifica i 2  (0,1).(0,1)  (1,0)  1 . De ahí que suela escribirse:
1  i
Esto nos conduce a la regla siguiente: “Se obtiene la forma canónica de una
expresión algebraica entre números complejos dados en forma canónica, aplicando las
reglas tradicionales del álgebra, considerando x , y , i como si fueran números reales,
cuidando de reemplazar i 2 por –1 y separando la parte que contiene a i , de la que no
la contiene”.
Ejemplo
(1  2i)  (2  5i).(3  4i)  (1  2i)  (6  23i  20i 2 )  (1  2i)  (14  23i)  15  25i
6. CONJUGACIÓN
Definición
Dado el nº complejo
z , al complejo
z  x  iy , se llama complejo conjugado de z , y se representa
z  x  iy  (Re z , Im z )
Propiedades
a)
zz
b)
z  z  Im z  0  z  
c)
z   z  Re z  0  z imaginario puro
d)
z1  z2  z1  z2
e)
z1.z2  z1.z2
z  C
( Propiedad de involución )
Se generaliza para n sumandos. Comprobar
Se generaliza para n factores. Comprobar
4
f)
 z1  z1
  
 z2  z2
Pues si z 
z1
z2
( z 2  0)  zz 2  z1  z z 2  z1  z 
z1
z2
R( z1, z2 ,...zn )  R( z1, z2 ,...zn ) donde R indica una operación racional aplicada a los
números complejos z1 , z 2 ,...,z n .
g)
Aplicación
Sea la ecuación:
 0  1 z  ...  n z n  0
i  C
Si p es una raíz de la ecuación, entonces p es raíz de la ecuación:
0  1 z  ...  n z n  0
En particular, si  i   , i  1,...,n , p y p son raíces de la misma ecuación, y
obtenemos el conocido teorema de que las raíces no reales de la ecuación anterior con
coeficientes reales, aparecen como parejas de raíces conjugadas.
7. MÓDULO
Definición
Se llama módulo de un complejo z  x  iy , o también valor absoluto del complejo, al
nº real positivo, designado por z :
z 
x 2  y 2 es decir z  (Re z ) 2  (Im z ) 2
Vemos pues que el módulo de z es el módulo del vector correspondiente al complejo,
en el isomorfismo del espacio vectorial real de los complejos sobre el plano vectorial
real V2
Propiedades
a)
z 0z 0
b)
si z   , z es el valor absoluto del número real.
c)
z  z
d)
z  z. z
e)
z1.z2  z1 z2
2
En efecto: z1 .z 2  ( z1 .z 2 ).( z1 .z 2 )  ( z1 .z 2 ).( z1 .z 2 ) 
2
 ( z1 .z1 ).( z 2 .z 2 )  z1 . z 2  z1 .z 2  z1 . z 2
2
2
5
f)
z
z1
 1
z2
z2
( z 2  0)
z1
 z ( z 2  0) . Entonces
z2
En efecto: Sea
z1  z.z2  z1  z z2  z 
g)
z1
z2
z1  z 2  ( z1  z 2 ).( z1  z 2 )  z1 z1  ( z1 z 2  z 2 z1 )  z 2 z 2 
2
z1  z 2  2 Re( z1 z 2 )  z1  z 2 
2
2
Análogamente: z1  z 2
2
 z1
2
z1  z 2  2 Re( z1 z 2 )
2
 z2

2
 2 Re(z1 z 2 )
Por tanto: z1  z 2  z1  z 2  2 z1  z 2
2
2
2
2
2

Algunas desigualdades importantes
a)
Re z  z , Imz  z
b)
Desigualdad triangular: z1  z 2  z1  z 2
En efecto: Re( z1 z 2 )  z1 z 2  z1 z 2  z1 z 2
Luego z1  z 2  z1  z 2  2 Re( z1 z 2 )  z1  z 2  2 z1 z 2   z1  z 2 
2
2
2
2
2
2
Por tanto: z1  z 2  z1  z 2
( generalizable a n sumandos )
c)
d)
Análogamente: z1  z 2  z1  z 2
z  Re z  Im z
n
e)
Desigualdad de Cauchy:
a b
i 1
i i
2
n
 n
2 
2
   ai   bi  ai , bi  C i  1,...,n
 i 1
 i 1

8. TOPOLOGÍA EN C
De las propiedades del módulo en C, se deduce que dicho módulo es una norma
en el espacio vectorial C ( tanto sobre C como sobre  ).
Sabemos que la norma introduce una distancia y por tanto una topología.
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