PROBLEMAS_DE_GEOMETR_A_1

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
EDUCACIÓN PRIMARIA
1
Tema 1.- Rectas, Planos y Separación
1.- Extiende tu brazo. Considera un punto A en la punta de tu dedo índice y otro
punto B en la esquina superior izquierda de la habitación ¿Cuántas rectas contienen
a ambos puntos A y B? ¿Qué Postulado asevera tu respuesta?
2.- Coge tu libro o un trozo de cartulina. ¿Puedes mantenerlo en una posición fija
sobre las puntas afiladas de dos lápices? ¿Cuál es el menor número de lápices
necesario para mantenerlo de esta manera?
3.- ¿Pueden estar alineados tres puntos? ¿Deben estar alineados tres puntos
cualesquiera?
4.- Una esquina de tu escritorio representa un punto P, el interruptor de la pared un
punto Q, y un vértice de la habitación un punto R. ¿Hay un plano que contenga a los
puntos P, Q y R?
5.- ¿Cuál es el menor número de puntos necesario para determinar un plano?
¿Determinan tres puntos arbitrarios un plano?
6.- En la figura que representa una tienda de campaña, ¿qué segmentos debes
imaginar para completar el perfil de la tienda?¿Cuál es la intersección de los planos
que contienen las dos vertientes de la tienda?
7.- La tienda de la siguiente figura tiene planta cuadrada.¿Qué segmentos
completarán el perfil de la tienda?
8.- Coge dos lápices por los extremos afilados, entre tus dedos pulgar e índice. Si
los lápices representan dos rectas secantes, ¿cuántos planos contendrán a ambas
rectas?
2
9.- ¿Qué figura consideras más representativa de un libro? ¿Cómo deberías coger
un libro para que apareciera como en la figura a) ? ¿En la b)?
10.- ¿Qué figura representa mejor la imagen de una taza? Compara la
representación de la parte superior de la taza en la figura a) con la con la de la figura
b), ¿cuál se parece a una circunferencia? ¿Qué te sugiere lo anterior sobre la forma
de mirar, o dibujar, representaciones de objetos de tres dimensiones?
11.- Coge un lápiz afilado. Cierra un ojo y mira el objeto desde tres perspectivas
diferentes. Dibuja lo que veas.
12.- Completa cada una de las frases siguientes con la(s) palabra(s) o símbolo(s)
para que sean verdaderas:
a) Si todos los puntos de un conjunto están sobre una recta, el conjunto se llama
________
b) Si todos los puntos de un conjunto están sobre un plano, el conjunto se llama
________
c) Cada plano contiene ___________ puntos.
d) El Espacio es el conjunto de ___________
e) El espacio contiene __________ puntos.
3
13.- La figura representa un objeto tridimensional. Los puntos B, C, D y E son
coplanarios. Determina si los siguientes conjuntos de puntos son colineales,
coplanarios o ninguno de los dos:
a) {T, P, E}; b) {A, B, D, M}; c) {B, K, C}; d) {A, K, E}; e) {M, K, T}
14.- ¿Cuántas rectas pueden contener un punto dado? ¿Dos puntos dados? ¿Tres
puntos cualesquiera dados?
15.- Dados dos puntos distintos P y Q, sean L y L dos rectas que contienen a ambos
puntos ¿Qué se puede afirmar sobre L y L? ¿Qué postulado o teorema apoya tu
conclusión?
16.- Dadas dos rectas L y L distintas, sean P y Q dos puntos que están en ambas
rectas. ¿Qué se puede afirmar sobre P y Q? ¿Qué postulado o teorema apoya tu
conclusión?
17.- Cuáles de los siguientes resultados son ciertos:
a) Cualquier conjunto de dos puntos es colineal.
b) Si tres puntos son colineales, entonces son coplanarios.
c) Si tres puntos son coplanarios, entonces son colineales.
18.- Dos puntos ¿pueden ser no colineales? ¿Y tres puntos? ¿Y cinco puntos?
19.- R, S, T y V son cuatro puntos distintos que no están alineados.¿Qué término
geométrico puede aplicarse al conjunto {R, S, T, V}.
20.- Dada una recta L, ¿Cuántos planos en el espacio pueden contener a L?
21.- El plano  contiene a los puntos R y T ¿qué se puede concluir sobre RT? ¿Qué
postulado o teorema apoya tu respuesta?.
22.- Una recta L no pertenece a un plano . ¿Es la intersección de la recta y el plano
exactamente un punto?
23.- Una recta puede representarse nombrando dos de sus puntos.
¿Cuántos puntos de un plano deben nombrarse para representar el plano?
4
24.- Qué postulado ilustra la siguiente figura:
25.- Establece tres condiciones para determinar un plano.
26.- ¿Cuántos planos pueden contener un punto dado? ¿Dos puntos dados? ¿Tres
puntos dados?
27.- Dibuja un plano , utilizando un paralelogramo para indicar el plano. Dibuja un
segmento que esté en . Dibuja un segmento que corte a  en un único punto pero
que no corte al otro segmento.
28.- Si AB y el plano  tienen dos puntos K y M en común, ¿qué se puede concluir
sobre AB y el plano ? ¿Por qué?
29.- Sobre un suelo plano, una mesa de cuatro patas a veces se mueve mientras
que una mesa de tres patas siempre está estable. Explícalo.
30.- ¿Qué aparato, usado por observadores y fotógrafos, hace uso del Postulado del
plano? Explícalo.
31.- Dados los puntos A, B y C que están en el plano  y en el plano . ¿Puedes
concluir que el plano  es el mismo que el ? Explícalo.
32.- Si tus ojos estuvieran en el plano de una circunferencia ¿cómo aparecería la
circunferencia?
33.- Dibuja un plano  y dos rectas L1 y L2 de  que sean secantes. Dibuja otra recta
L que corte a las otras dos pero que no esté en .
34.- Tres rectas L1, L2 y L3 se cortan en un punto P, pero no están en el mismo plano
¿Cuántos planos determinan? ¿Qué postulado o teorema usas? Copia la figura y
dibuja los planos determinados por las rectas.
5
35.- La figura formada por todos los segmentos que tienen por extremos dos
cualesquiera de cuatro puntos no coplanarios se llama pirámide triangular. Los
cuatro puntos son los vértices de la pirámide.
a) Dar una definición de un lado o arista de la pirámide.
b) ¿Cuántos lados tiene la pirámide? Numéralos.
c) ¿Hay algún par de lados no secantes?
d) Una cara es la región triangular determinada por tres vértices cualesquiera.
Numéralas. ¿Hay un par de caras con intersección vacía?
36.- Reflexiona sobre las siguientes cuestiones:
a) Una recta ¿es un conjunto convexo? ¿Y una circunferencia?
b) ¿Es convexo un conjunto formado por dos puntos?
c) Un círculo ¿es un conjunto convexo?
d) Un punto ¿separa un plano? ¿Separa el espacio? ¿Separa una recta?
e) Si quitamos un punto de una recta ¿forman un conjunto convexo los restantes
puntos de la recta?
f) ¿Es una esfera un conjunto convexo? ¿Y el espacio encerrado en la esfera?
g) ¿Un rayo separa a un plano? ¿Y una recta? ¿Y un segmento?
h) ¿Pueden dos rectas en un plano separar al plano en dos regiones? ¿En tres
regiones? ¿En cuatro regiones? ¿En cinco regiones?
37.- Si quitamos un punto de un plano ¿es convexo el conjunto resultante?
38.- ¿Es un conjunto convexo el conjunto unión de dos conjuntos convexos? ¿Y el
conjunto intersección?
39.- ¿Es convexo el conjunto de puntos de una esfera unión el conjunto de puntos
interiores de la esfera? ¿Es convexo un toro?
40.- Dibuja un cuadrilátero plano cuyo interior sea un conjunto convexo. Dibuja otro
cuyo interior no sea un conjunto convexo.
41.- Dibuja dos semiplanos que tengan un lado común y sean coplanarios. Dibuja
otro par con un lado común pero no coplanarios.
6
42.- H1 y H2 son dos semiplanos coplanarios. ¿Es la unión de ambos el plano total si:
a) H1 y H2 tienen el mismo lado. Explícalo.
b) El lado de H1 corta al lado de H2 exactamente en un punto. Explícalo.
c) El lado de H2 está incluido en H1.
43.- ¿Pueden tres rectas del plano separar al plano en tres, (cuatro, cinco, seis,
siete) regiones?
44.- Dos planos secantes ¿en cuántos conjuntos separan al espacio? ¿Y dos planos
no secantes?
45.- Tres planos que se cortan dos a dos ¿en cuántas regiones separan al espacio?
46.- ¿Cuál es el mayor número de conjuntos en los que el espacio puede ser
separado por tres planos? ¿Cuál es el menor número?
Tema 2.- Distancia, Recta Real y "estar entre"
1.- Repasar los conceptos: número real, valor absoluto, recta numérica, distancia.
2.- Definición del concepto "estar entre". Propiedades
3.- Definición de segmento, semirrecta.
4.- Repasar la notación que vamos a utilizar.
7
Tema 3.- Ángulos y Triángulos
1.- ¿Cuántos ángulos están determinados en la figura siguiente? ¿Qué ángulos
pueden nombrarse con el mismo vértice?
3.- ¿Es cierto el siguiente enunciado para toda terna de puntos A, B, C?
ABC = AB∪AC∪BC ¿Por qué?
4.- ¿En cuántos conjuntos separa un ángulo al plano que lo contiene? ¿Cuántos son
convexos?
5.- ¿En cuántas regiones separa un triángulo al plano que lo contiene? ¿Cuántas
son conjuntos convexos?
6.- Explica por qué es cierto: dado un ángulo, hay exactamente un plano que lo
contiene.
7.- Dado que KA  RM = {D} y K-D-A y R-D-M en un plano ; un punto P está en
KAM y en RMA. KA  RM separa a  en cuatro regiones. ¿Qué región contiene al
punto P?
8.- ¿Puede estar un punto en el exterior de un triángulo y en el interior de cualquier
ángulo del triángulo? Ilústralo.
¿Puede un punto estar en el exterior de un triángulo y no en el interior de ningún
ángulo del triángulo? Ilústralo.
9.- ¿Pueden tres ángulos coplanarios tener un lado común? Ilústralo ¿Pueden tres
ángulos no coplanarios tener un lado común? Ilústralo.
10.- En la figura siguiente describe los conjuntos: a) ADE  BDE
b) EHK  HBE; c) EHB  EBD; d) CHB  ABE
8
11.- Completa cada frase y da una definición o postulado para justificar cada
respuesta. Dado que A-K-F y D es un punto que no es de AF:
a) ^AKD y ^FKD forman un ______
b) ^AKD y ^FKD son _________
c) m ^AKD + m ^FKD = ____
12.- En la figura, GH y PQ se cortan determinando cuatro ángulos.
a) Si ^b mide 52, ¿cuánto mide ^a?
b) Si ^a mide 110, ¿cuánto miden ^b, ^c y ^d?
13.- Con la práctica deberías ser capaz de estimar la
medida de ángulos sin usar el semicírculo. No uses el
semicírculo para decidir qué ángulos de los dibujados
tienen medidas incluidas en los intervalos indicados:
a) 80 < x < 95 ; b) 55 < x < 70 ;
c) 40 < x < 60 ; d) 90 < x < 105 ;
e) 20 < x < 45 ; f) 110 < x < 125 .
14.- Usando una recta y un semicírculo, construir ángulos de medida 30, 60, 15, 90,
100 y 135 grados.
15.- Usando sólo una recta (sin semicírculo) dibuja ángulos cuya medida aproximada
sea 10, 30, 45, 60, 90, 120, 135 y 150 grados. Entonces usa un semicírculo para
comprobar el grado de aproximación.
16.- En la figura plana siguiente se tiene que:
a) m ^EDA + m ^CDA = m _____
b) m ^EDA = m ____ - m ^CDA
c) m ^ACD = m ____ - m ____
d) m ^EAD + m ^DAC + m ^CAB = m ____
17.- Si la medida de un ángulo es tres veces la medida de su suplemento, ¿cuál es
la medida del ángulo?
18.- En ciertos cursos de matemáticas conviene usar una medida angular llamada
radián. Un semicírculo como los nuestros, pero usando medidas en radianes, tendría
la escala de 0 a . Por tanto /2 radianes correspondería a 90 grados.¿Cuántos
radianes corresponden a 30, 45, 60, 120, 135 y 150 grados?
19.- Cuatro veces la medida de un ángulo es 7 grados mayor que tres veces la
medida de su suplemento. ¿Cuánto mide el ángulo?
9
20.- Completa cada frase con la palabra(s) o símbolo(s) que la hagan cierta:
a) ^KAG  ^MBN significa lo mismo que_________
b) Si un ángulo mide 65 el ángulo se llama ________
c) Si un ángulo mide 90 el ángulo se llama ________
d) Si un ángulo mide 117 el ángulo se llama _______
e) Si m ^D = 59 y m ^E = 121, entonces ^D y ^E se llaman ángulos ______
f) Si m ^K + m ^P = 90 , entonces ^K y ^P se llaman ángulos ________
g) Si AC  AB entonces m ^CAB = _____
h) AC  AB significa que las rectas AC y AB son _________
i) Para que dos segmentos sean perpendiculares tienen que verificar: 1 ________
y 2 _______.
j) Si D es un punto interior de ^BAC y AB ⊥AC , entonces ^DAB y ^DAC son ángulos
________.
21.- Dada la figura, con el vértice M del ángulo recto ^SMT sobre AB,
y m ^TMB = 50, nombrar un par de:
a) semirrectas perpendiculares, si las hay.
b) ángulos complementarios, si los hay.
c) ángulos congruentes, si los hay.
d) ángulos suplementarios, si los hay.
22.- ¿Puede tener complemento un ángulo obtuso?
23.- ¿Cuál es la medida de un ángulo si la medida de su suplemento es 39 más que
el doble de la medida de su complemento?
24.- La suma de las medidas de un ángulo agudo y un ángulo obtuso es 140. La
suma de dos veces el suplemento del ángulo obtuso y tres veces el complemento
del agudo es 340 ¿Cuáles son las medidas de los ángulos?
25.- Nombra las propiedades de la relación = ilustradas por cada uno de los
ejemplos siguientes:
a) Si r = s y s = t, entonces r = t
b) Si m KM = m PQ, entonces m PQ = m KM
c) Si a + b = 180 y m + n = 180, entonces a + b = m + n
d) m CD = m CD
e) Si m AC = m AB + m BC, entonces m AB + m BC = m AC
f) m ^GHK = m ^KHG
10
26.- En la figura siguiente se tiene que ^ACH  ^BCK y
^CBE  ^BCK y ^CBE  ^ABD, ¿por qué es ^ACH  ^ABD ?
27.- ¿Es una relación de equivalencia la relación < para números? ¿Por qué?
28.- ¿Es todo ángulo congruente a él mismo? ¿Por qué?
29.- Dada la figura, justifica cada una de las siguientes afirmaciones con la
definición, postulado, propiedad o teorema apropiado. (Las afirmaciones forman una
sucesión de pasos dependientes):
a) ^APC y ^BPC son ángulos adyacentes y suplementarios, igual que ^BPD y ^BPC.
b) m ^APC + m ^BPC = 180 , y m ^BPD + m ^BPC = 180
c) m ^APC + m ^BPC = m ^BPD + m ^BPC
d) m ^APC = m ^BPD
e) ^APC  ^BPD
30.- En la figura ^RPQ  ^TPS. Demostrar que ^RPS  ^QPT
31.- ^1  ^2 y ^1 es suplementario de ^2. ¿Qué conclusión se sigue? ¿Qué
postulado, definición o teorema soporta esta conclusión?
32.- Si ^M es suplementario de ^K, ^P suplementario de ^Q, y ^Q  ^M ¿Qué se
puede afirmar de ^K y ^P? Cómo podemos expresar este resultado de forma más
general.
33.- BA y BE son semirrectas opuestas, ^ABG  ^KBG, y ^KBD  ^DBE. Encontrar m
^GBD. (Ayuda: sea m ^ABG = x y m ^DBE = y) ^
34.-a) Dos rectas distintas secantes ¿cuántos pares de ángulos opuestos por el
vértice forman?; b) Si la medida de cualquier ángulo del apartado a) es 62 ¿cuáles
son las medidas de los otros ángulos?; c) Si los cuatro ángulos del apartado a) son
congruentes ¿cuál es la medida de cada uno de ellos?
11
35.- En la siguiente figura, tres rectas coplanarias se cortan en un punto. Dado que
m ^a = 85 y m ^e = 30, encontrar las medidas de ^b, ^c, ^d, ^f.
36.- Dadas las semirrectas AB, AC y AD, siendo C un punto interior de ^BAD, y
verificándose m ^BAC + m ^CAD = 90. Probar que AD ⊥AB .
37.- Dada la figura, con PQ ≡RS , probar que PR ≡QS .
38.- Dada la figura con ^PMN  ^PNM , probar que ^CMP  ^DNP.
39.- Dada la figura con m ^CAB = m ^CBA y m ^p = m ^q, probar que m ^x = m ^y.
40.- Dados AD  FB, y ^BAC  ^DAE. Probar que ^DAC  ^FAE.
41.- Siendo MC  AB, ND  AB y ^x  ^y, entonces probar que ^w  ^z.
42.- Dada la figura con ^w complementario de ^z y ^x un ángulo recto, probar que ^t
 ^y.
12