probabilidad - Expreso Sideral SA
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PGF03-R03
COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN
GEMELLI
AREA MATEMATICAS
“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”.
Galileo Galilei
ESTADISTICA
GRADO NOVENO
2012
PGF03-R03
Contenido
UNIDAD 1 ................................................................................................................................. 6
PROBABILIDAD I (INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD) .................................................. 6
ORIGEN DE LA PROBABILIDAD .......................................................................................... 7
PROBABILIDAD .................................................................................................................... 9
ENFOQUES DE PROBABILIDAD ....................................................................................... 11
ESCALA DE LAS PROBABILIDADES ................................................................................. 13
DIAGRAMAS DE ARBOL .................................................................................................... 16
PROBABILIDAD: ................................................................................................................. 19
EXPERIMENTO ALEATORIO: ............................................................................................ 19
ESPACIO MUESTRAL: ....................................................................................................... 19
ELEMENTO MUESTRAL: .................................................................................................... 19
ENFOQUE CLASICO: ......................................................................................................... 19
ENFOQUE RELATIVO: ....................................................................................................... 19
FRECUENCIA ABSOLUTA: ................................................................................................ 19
FRECUENCIA RELATIVA: .................................................................................................. 19
SUCESO IMPOSIBLE: ........................................................................................................ 19
SUCESO INVEROSIMIL: ..................................................................................................... 19
SUCESO VEROSIMIL: ........................................................................................................ 19
SUCESO DUDOSO: ............................................................................................................ 19
SUCESO CERTEZA ABSOLUTA: ....................................................................................... 19
UNIDAD II ............................................................................................................................... 19
UNIDAD 2 ............................................................................................................................... 20
PROBABILIDAD 2 .................................................................................................................. 20
(REGLAS DE LA PROBABILIDAD) ........................................................................................ 20
REGLAS DE LA PROBABILIDAD........................................................................................ 22
REGLA DE LA ADICIÓN ..................................................................................................... 22
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN ...................................................................................... 27
REGLA DE LA COMPLEMENTACIÓN ................................................................................ 31
REGLA DEL EXPONENTE .................................................................................................. 34
UNIDAD III .............................................................................................................................. 42
UNIDAD 3 ............................................................................................................................... 42
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PGF03-R03
TECNICAS DE CONTEO, COMBINACIONES Y PERMUTACIONES ................................... 42
CONTEO DE RESULTADOS .............................................................................................. 43
PERMUTACION .................................................................................................................. 43
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN: ............................................................................. 44
COMBINACIONES .............................................................................................................. 48
VARIACIONES .................................................................................................................... 53
COMBINACIONES SEGÚN EL TRIANGULO DE PASCAL ................................................ 55
UNIDAD 4 ............................................................................................................................... 61
NOTACION, SUMATORIA Y PRODUCTORIA ....................................................................... 61
NOTACIÓN .......................................................................................................................... 64
SUMATORIA ....................................................................................................................... 66
PROPIEDADES DE LA SUMATORIA ................................................................................. 67
PRODUCTORIA .................................................................................................................. 71
PROPIEDADES DE LA PRODUCTORIA ............................................................................ 72
BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................... 77
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PGF03-R03
PRESENTACION
Este módulo de estadística conserva la filosofía y la metodología sobre las cuales se concibió
y desarrollo la primera edición de esta obra, en él se cubren los conceptos básicos y
métodos estadísticos en forma clara y concisa, las explicaciones se han reducido al mínimo
a favor de la exposición de ejemplos concretos, pretendiendo que el estudiante tome parte
activa en la clase, lo cual ayuda muchísimo en el análisis de situaciones propuestas.
El módulo aborda un conocimiento matemático que desde los comienzos de la civilización
ha existido en forma sencilla. En las estadísticas ya se utilizaban representaciones gráficas
y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el
número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 A.C. los babilonios usaban
ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y
de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios analizaban los datos
de la población y la renta del país mucho antes de construir las pirámides en el siglo XXXI
a.C. Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de
estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el
bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos
similares con anterioridad al año 2000 A.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya
información se utilizaba hacia el año 594 A.C. para cobrar impuestos.
El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la
población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la edad media
sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes carolingios Pipino el
Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la iglesia
en los años 758 y 762 respectivamente.
Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra
encargó un censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se
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recoge en el Domesday Book. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en
Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer estudio estadístico notable
de población, titulado Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las
partidas de defunción en Londres).
En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con
exactitud los valores de los datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos y
físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del
experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo el
proceso de interpretación de esa información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha
aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se
pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones probabilísticas;
los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos estadísticos. La probabilidad es
útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la
cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico.
Comité Área de Matemáticas
UNIDAD I
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PGF03-R03
UNIDAD 1
PROBABILIDAD I (INTRODUCCION A LA
PROBABILIDAD)
PROPOSITO
Establecer y generar correctamente un espacio muestral y manejar la
escala de probabilidad en un experimento aleatorio.
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PGF03-R03
ORIGEN DE LA PROBABILIDAD
L
os conceptos de azar e incertidumbre son tan viejos como la civilización misma. La
humanidad siempre ha debido soportar la incertidumbre acerca del clima, de su
abastecimiento de alimentos y de otros aspectos de su medio ambiente, y ha tenido que
esforzarse por reducir esta incertidumbre y sus efectos. Incluso la idea de juego de azar tiene
una larga historia. Aproximadamente por el año 3500 a.C., los juegos de azar eran
practicados con objetos de hueso, considerados como los precursores de los dados, y fueron
ampliamente desarrolladas en Egipto y otros lugares. Dados cúbicos con marcas
virtualmente idénticas a las de los dados modernos han sido encontrados en tumbas egipcias
que datan del año 2000 A.C. Sabemos que el juego con dados ha sido popular desde esa
época y que fue parte importante en el primer desarrollo de la teoría de la probabilidad.
En 1520, cuando era estudiante de la Universidad de Padua, Hierónimo Cardán escribió el
libro sobre juegos de azar pero fue publicado en latín solo hasta 1663, ochenta y siete años
después de su muerte. Aunque la historia de la probabilidad se inicia con la correspondencia
entre Pascal y Fermat, este libro fue texto de referencia de estos dos genios de la
matemática ya que en él se formulan importantes ideas referentes a la probabilidad, a pesar
de que es en esencia un libro de juegos de azar.
En esta obra se encuentra implícita la ley de los grandes números, así como también en ella
calcula probabilidades de obtener algunos resultados en juegos de cartas y especialmente en
el denominado póker medieval. La llamada escuela probabilística o enciclopédico temática
surge en Francia a partir del uso de la matemática en el cálculo de probabilidades como
instrumento de investigación.
Basándose en dicha correspondencia, el físico-astrónomo-matemático alemán Christian
Huygens, maestro de Leibniz, publicó en 1656 el libro De ratiociniis in ludo aleae,
(Razonamientos en juegos de azar), el primer libro impreso sobre probabilidad.
El cálculo de probabilidades nace con Blaise Pascal (1623-1662) y Pierre de Fermat (16011665). Al tratar de dar soluciones a problemas relacionados con juegos de azar planteados
por Antonio Gamboud, más conocido con el título nobiliario de caballero de Meré.
Posteriormente muchos otros matemáticos prestigiosos como Abraham De Moivre(16671754), Pierre Simón Laplace (1749-1827) y Carl Friedrich Gauss (1777-1855), hicieron
trascendentales aportes a esta teoría hasta convertirla en el principal instrumento de análisis
de los fenómenos aleatorios.
Durante los S. XIX y XX se destacaron algunos estadísticos como: EGON PEARSON, (1895 1980), ANDREI KOLMOGOROV, (1903 -1987), P.L CHEBYSHEV, (1821 - 1894), ANDREI
MARKOV, i(1856 - 1922) y A.M LYAPUNOV (1857 -1918).
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Resuelve las siguientes preguntas:
1. ¿En que se basó el desarrollo de la primera teoría de la probabilidad?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________
2. ¿En qué tiempo y quienes empezaron o se iniciaron los juegos de azar?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________
3. ¿Quién fue la primera persona en escribir un libro sobre juegos de azar?, ¿En qué año lo
público?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________
4. ¿Quién y en qué año publicó el primer libro impreso sobre probabilidades? ¿Qué titulo
recibió dicha obra?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________
5. ¿Según el texto quienes pueden ser considerados como los padres de la probabilidad?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________
6. Escriba el nombre de 3 representantes de la teoría de la probabilidad en los siglos XIX y
XX.
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________
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PROBABILIDAD
Probabilidad es el grado de incertidumbre o creencia de que algún fenómeno o suceso
pueda ocurrir y la forma de determinarlo o cuantificarlo numéricamente.
La probabilidad es un número entre 0 y 1 que permite predecir la ocurrencia de un evento o
suceso dependiendo del entorno en el que se encuentre.
Por eso la formula general de una probabilidad es:
0 ≤ P(A) < 1(La probabilidad de un suceso A es mayor o igual cero, pero menor que uno).
EXPERIMENTO ALEATORIO: Es aquel en el que una misma acción da origen a
resultados diferentes. Estos experimentos reciben también el nombre de pruebas al azar.
Diremos que un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones:
1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones;
2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener;
3. El resultado que se obtenga, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados
posibles. A este conjunto, de resultados posibles, lo denominaremos espacio muestral y
lo denotaremos normalmente mediante la letra S. Los elementos del espacio muestral se
denominan sucesos elementales.
ESPACIO MUESTRAL:
El conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio recibe el
nombre de Espacio Muestral. Dicho conjunto se simboliza con la letra mayúscula S y el
número total de resultados n(s).
MODELACIÓN:
Un Experimento de Probabilidad sencillo y común que se puede efectuar es el lanzamiento
de una moneda. Este experimento tiene dos resultados posibles:
Cara (c) y Sello (s) y ambos son igualmente posibles. El conjunto {c, s} (CARA, SELLO), es
un espacio muestral para el experimento.
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9
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La siguiente tabla muestra cómo se aplica el espacio muestral acerca de la probabilidad de
otros experimentos.
Experimento Aleatorio
A.
Resultados
Espacio muestral (S)
Es igualmente posible que al
caer la moneda caiga cara o
caiga sello.
S = { Cara, Sello }
El conjunto de los dos resultados
igualmente posibles.
Lanzar una moneda
moneda,
Es igualmente posible sacar
al azar, cada una de las 52
cartas del póker
B.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K }
Por cada uno de los 4 palos de la
baraja
(Corazones,
Picas,
Diamantes y tréboles)
Sacar una carta al azar
C.
Es igualmente posible que
S = {1,2,3,4,5,6}
cualquiera de las seis caras
quede hacia arriba.
El conjunto de los seis resultados
igualmente posibles.
Lanzar un dado
D.
D
A
C
B
El indicador tiene la misma
S = {A, B, C, D}
probabilidad de
detenerse en cualquiera de El conjunto de los cuatro
las cuatro regiones
resultados igualmente posibles.
A, B, C o D.
Girar la ruleta.
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ENFOQUES DE PROBABILIDAD
Existen dos enfoques para el cálculo de probabilidades:
Enfoque Clásico
Enfoque la de la Frecuencia Relativa
1. Enfoque Clásico o Probabilidad Clásica:
Si en un experimento aleatorio existen n (S) resultados igualmente posibles, entonces la
probabilidad de que un evento A ocurra es el cociente del número de resultados favorables al
evento A entre el número total de resultados posibles en el experimento; es decir:
PA
nA
n S
número de resultados
favorables ( A )
número total de resultados
MODELACIÓN
Se juega un dado legal (un dado que no está cargado) y se observa la cara que muestra
hacia arriba. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un 2?
El espacio muestral de este experimento tiene seis resultados posibles [n(S) = 6], que son:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Si A representa el evento de que aparezca el número 2, A = {2}, entonces
P ( A)
1
= 0.166 = 16.6%. Este resultado corresponde a la probabilidad clásica.
6
MODELACIÓN
Si se tiene una baraja de Póker de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de sacar un As?
Si en una baraja existen 4 ases (Picas, corazones, tréboles, y diamantes), entonces la
probabilidad de que sea un as es:
P(B)
4
52
= 0.076 = 7.6%
LAS PROBABILIDADES SIEMPRE DEBEN DARSE EN PORCENTAJES YA QUE ES LA
FORMA MAS INDICADA DE DEFINIRLAS.
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2. Enfoque axiomático ó de la Frecuencia Relativa:
Concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso, como un número entre 0 y1.
Este concepto tiene que ver directamente con la noción de frecuencias relativas, donde
0 hi 1
MODELACIÓN
Supongamos que se lanza cien veces una moneda, anotamos el número de veces que sale
cara y las veces que sale sello; los resultados fueron los siguientes:
Lanzamientos Número de veces que sale
Cara
56
Sello
44
La probabilidad para el lanzamiento No 101 esta dado por:
Frecuencia Absoluta: Cara: 56 veces
Frecuencia Relativa:
56/100
Probabilidad:
P: 56% (éxito)
Sello: 44 veces
44/100
Q: 44% (fracaso)
Hay un 56% de probabilidades que en el lanzamiento No 101 caiga Cara y un 44% de
probabilidades que caiga sello.
P = probabilidad de éxito
Q = probabilidad de fracaso
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ESCALA DE LAS PROBABILIDADES
Es posible establecer una escala de valores entre 0 y 1. La probabilidad igual a uno (1) ó al
100% corresponde al límite superior, el cual se considera como certeza absoluta. En el otro
extremo correspondiente al límite inferior tenemos la probabilidad igual a 0 (cero) donde
hablamos de sucesos de imposibilidad absoluta.
Si la probabilidad está entre 0 (cero) y 0.5 (50%), estamos hablando de un suceso
inverosímil; cuando la probabilidad es igual a 0.5 (50%), nos encontramos con un suceso
dudoso; y cuando la probabilidad está entre 0.5 (50%) y menos que 1.0 (100%), decimos
que tenemos un suceso verosímil.
Veamos la grafica para una mayor comprensión:
1.0 Certeza absoluta. Ejemplo: Morir algún día
0.5 < P < 1.0 Suceso Verosímil. Ejemplo: Ganar una rifa de 100 boletas comprando 60 de
ellas.
0.5 Hecho Dudoso. Ejemplo: Lanzamiento de una moneda.
0.0 < P < 0.5 Suceso inverosímil. Ejemplo: Ganar una rifa de 100 boletas comprando 25 de
ellas.
0.0 Imposibilidad absoluta. Ejemplo: Cruzar el océano nadando.
1. Un experimento consiste en hacer girar
un indicador como el que se muestra en
la figura.
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a. Encuentre un espacio muestral para este experimento.
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
b. ¿Cuál es la probabilidad de cada resultado en el espacio muestral?
2. En un juego de escalera los niños lanzaron un dado 150 veces uno de los niños que
estaba anotando los resultados anunció que los números que cayeron fueron:
Número
1
2
3
4
5
6
Total
Frecuencia
18
25
16
43
25
23
150
a) ¿Que enfoque de la probabilidad está aplicando el ejercicio? Explicar.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
b) Determinar la probabilidad de que en el lanzamiento 151 salga 1,2, 3, 4, 5, 6.
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3. Decir a qué tipo de suceso pertenecen de acuerdo a la escala de probabilidades:
a)
b)
c)
d)
e)
En un tiro de bolos derribar 8 de los 10 pinos __________________
Sacar un estudiante de noveno al azar _______________________
Sacar un número par en el dado ____________________________
Todos nacemos de una mujer_______________________________
Mi abuela tiene 20 años ___________________________________
4. Si 380 de 700 amas de casa entrevistados en un supermercado declararon que
preferirían el “Detergente Nuevo y Mejorado“ al anterior, estimemos la probabilidad de
que una ama de casa que esté en ese supermercado prefiera el” Detergente Nuevo y
Mejorado” ¿A qué tipo de suceso pertenece?
5. Una muchacha recoge champiñones. Accidentalmente recoge tres hongos venenosos
que son casi idénticos a siete champiñones que ya había recogido. Después se come
uno de los diez hongos. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya comido un hongo
venenoso? ¿De qué tipo de suceso estamos hablando?
6. según la escala de probabilidades:
a) 0,5 < P<1, pertenece a _______________.
b) 0< P< 0,5, pertenece a ________________.
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DIAGRAMAS DE ARBOL
Los diagramas de árbol son útiles para contar resultados y para determinar probabilidades
de algunos sucesos.
Estos se utilizan para diagramar resultados en sucesos independientes, es decir que
ninguno de los sucesos depende de otro (s) para poder ocurrir.
MODELACIÓN
Determinar los posibles resultados y la probabilidad de obtener dos caras y un sello en el
lanzamiento de tres monedas.
Solución: El espacio muestra del lanzamiento de una moneda es: {Cara, Sello}, así mismo la
probabilidad de cualquiera de los es:
P (cara) = ½ = 0.5 = 50%
P (sello) = ½ = 0.5 = 50%
El diagrama de árbol para este ejemplo seria:
1
1
2
2
C
S
1
1
1
1
2
2
2
2
C
S
C
1
1
1
1
2
2
2
2
C
A
S
B
C
C
S
D
S
1
1
1
1
2
2
2
2
C
G
S
H
C
E
S
F
1
Cada rama del árbol está marcada “ ” debido a que la probabilidad que resulte cara o sello
2
es
1
. Observe que para llegar al punto A en el árbol, se debe obtener cara en cada uno de
2
los tres primeros lanzamientos.
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PGF03-R03
Para encontrar la probabilidad multiplicamos las probabilidades a lo largo de cada rama del
árbol. Así.
P(A) = P (CCC) =
1
2
1
2
1
2
1
= 0.125 = 12.5%
8
El resultado A (Tres caras) puede representarse mediante el símbolo CCC. El resultado B
(Dos caras y un sello) se denota por el símbolo CCS.
El diagrama del árbol indica que hay 8 resultados posibles para tres lanzamientos de una
moneda. Puesto que todos los resultados son igualmente posibles.
P(A) = P (CCC) = 1/8 = 0.125 = 12.5%
P (B) =P (CCS) = 1/8 = 0.125 = 12.5%.
P(C) = P (CSC) = 1/8 = 0.125 = 12.5%
P (D) =P (CSS) = 1/8 = 0.125 = 12.5%.
P (E) =P (SCC) = 1/8 = 0.125 = 12.5%
P (F) =P (SCS) = 1/8 = 0.125 = 12.5%.
P (G) =P (SSC) = 1/8 = 0.125 = 12.5%
P (H) =P (SSS) = 1/8 = 0.125 = 12.5%.
En hojas cuadriculadas doble examen resuelva lo siguiente:
1. El gerente de una compañía, desea ocupar tres vacantes en diferentes cargos, a los
cuales se presentan hombres y mujeres, elabore el diagrama de árbol, teniendo en cuenta
que hombres y mujeres tienen la misma probabilidad de ser elegidos, construya el espacio
muestral y determine:
a. La probabilidad de que se contraten 2 mujeres y un hombre.
b. La probabilidad de que se contraten 2 hombres y una mujer.
2. De acuerdo al siguiente indicador realiza un diagrama de árbol para el experimento de
hacer girar el indicador. El espacio muestral para el experimento es {A, B, C}
A
C
B
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PGF03-R03
La P(A) =
1
, P (B) =
1
y P(C) =
4
2
1
. El símbolo AC representa el resultado en el cual
4
se obtiene A en el primer tiro y C en el segundo. Halle la probabilidad de cada uno de los
siguientes sucesos:
a. AA
b. AB
c. AC
d. BA
e. BB
f. BC
1. De acuerdo al siguiente indicador, realice el diagrama de árbol para el experimento de
hacer girar el círculo en dos ocasiones.
P (A) = 1/3
P (B) = 1/6
P (C) = 1/4
P (D) = 1/4
B
A
C
D
Halle la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:
a. AA
b. AB
c. AC
d. BC
e. BD
f. CD
2. Si el diagrama de árbol de los puntos 2 y 3 se aplicara a tres tiros, ¿cuántos resultados
diferentes habría?
a. ¿Cuál sería P (AAA)?
b. ¿Cuál sería P (ABC)?
Para el ejercicio 2
c.
d.
¿Cuál sería P (BCD)?
¿Cuál sería P (CCD)? Para el ejercicio 3
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PGF03-R03
Explica brevemente los siguientes términos
PROBABILIDAD:
EXPERIMENTO ALEATORIO:
ESPACIO MUESTRAL:
ELEMENTO MUESTRAL:
ENFOQUE CLASICO:
ENFOQUE RELATIVO:
FRECUENCIA ABSOLUTA:
FRECUENCIA RELATIVA:
SUCESO IMPOSIBLE:
SUCESO INVEROSIMIL:
SUCESO VEROSIMIL:
SUCESO DUDOSO:
SUCESO CERTEZA ABSOLUTA:
UNIDAD II
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UNIDAD 2
PROBABILIDAD 2
(REGLAS DE LA PROBABILIDAD)
PROPOSITO
Aplicar la regla de la adición mediante el cálculo de probabilidades en
sucesos mutuamente excluyentes y complementarios e interpreta la regla
de la multiplicación a través de la solución de problemas probabilísticos
en sucesos dependientes e independientes.
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PGF03-R03
LOS JUEGOS DE AZAR
Como nos decía la Unidad I, la teoría de la probabilidad está fuertemente ligada a los juegos
de azar; de allí se originó y fue con base en los juegos de azar que se creó la aún actual
teoría de las probabilidades.
Vamos ahora a ver los juegos de azar más comunes en probabilidades y los elementos que
los conforman.
Lanzamiento de dos Dados
En la grafica vemos el espacio muestral para el lanzamiento de dos dados, uno rojo y uno
azul.
BARAJA ESPAÑOLA
La baraja española consiste en un mazo de 40 naipes, clasificados en 4 "palos" y numerados
del 1 al 12 (no cuentan los ochos y los nueves). Ciertos mazos incluyen Las figuras de la
baraja española corresponden a los números 10, 11 y 12, y se llaman "sota", "caballo" y "rey"
respectivamente.
Los cuatro palos son: oros, copas, espadas y bastos.
MATEMATICAS - Estadística 9
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PGF03-R03
LA BARAJA DE POKER
La baraja de Póker se compone de un mazo de 52 cartas, el cual se clasifica en cuatro
“Palos”, donde cada palo se compone de 13 cartas, las diez primeras están numeradas del 1
al 10, las 3 restantes son las figuras y se representan con las letras J, Q y K.
Los palos de la baraja de Póker son: Picas, Corazones, Diamantes y Tréboles
REGLAS DE LA PROBABILIDAD
Las reglas de la probabilidad son operaciones útiles para calcular probabilidades de
diferentes sucesos, teniendo en cuenta el entorno y las circunstancias como estos se
presentan.
Para facilitar el cálculo de las probabilidades se emplean cuatro leyes o reglas que son:
a.
b.
c.
d.
Regla de la adición.
Regla de la multiplicación.
Regla del exponente.
Regla del complemento
REGLA DE LA ADICIÓN
En la regla de la adición se contemplan dos tipos de sucesos:
a. Sucesos Mutuamente Excluyentes:
Si dos o más sucesos son tales que solamente uno de ellos puede ocurrir en un solo
ensayo, se dicen que son mutuamente excluyentes. Se denomina probabilidad aditiva y
será igual a la suma de las probabilidades de cada suceso.
P
p
1
p
.......... .
2
p
n
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PGF03-R03
p ,p ,p
Consideremos que
1
2
,......... ,
3
p
n
son las distintas probabilidades de n sucesos
mutuamente excluyentes, la probabilidad (P) de que uno de estos sucesos se presente en un
solo ensayo, estará dada por la suma de las probabilidades para cada suceso
P
p
1
p
.......... .
p
2
n
De acuerdo a lo anterior mutuamente excluyente significa que solamente un solo suceso o
evento puede ocurrir, o sea que los demás no se pueden presentar al mismo tiempo. La
fórmula anterior la podemos expresar de una manera más fácil y entendible:
PA B
P
A
P
P
B
A B C
P
A
P
B
P
C
MODELACION 1
La probabilidad de obtener un As o un rey, sacando una sola carta en una baraja
Española de cuarenta cartas. Si uno de los casos aparece queda excluido el otro.
P
A
4
40
P
1
10
A B
As
P
P A
P
B
4
10
1
40
1
B
10
1
10
Re y
2
10
1
5
MODELACION 2
La probabilidad de sacar un As ó un diez de corazones ó un 3 de diamantes, extrayendo una
sola carta de una baraja de Póker de 52 cartas.
P
A
4
52
P
P A BoC
P A
P B
As
B
P B
1
52
P C
Tres
4
52
1
52
Diez
Corazones
Diamantes
1
52
1
52
6
0 . 1153 11 . 53 %
52
MATEMATICAS - Estadística 9
23
PGF03-R03
b. Sucesos Compatibles o complementarios:
Se dice que dos sucesos son compatibles, o que no son mutuamente excluyentes,
cuando la posibilidad de que ocurra un suceso no impide la ocurrencia del otro.
La formula general para los sucesos complementarios es:
PA B
P
A
P
B
P
A yB
Ahora, el experimento con la bajara española de cuarenta cartas consiste en extraer una
carta y se desea saber cuál es la probabilidad de que la carta extraída sea as o copas.
Observamos que al extraer una carta puede ser as, pero también puede ser as de copas,
cumpliéndose la realización de las dos pruebas en forma simultánea; por tal razón, se dice
que los sucesos son compatibles, o también nos podemos referir a una probabilidad
conjunta.
En este caso la probabilidad de uno de los dos sucesos se halla así:
P
La probabilidad de que aparezca un As:
aparezca copas:
P
B
A
4
40
la probabilidad de que
10
40
PA B
la probabilidad de que sea as de copas:
4
40
10
40
1
40
13
40
P
AyB
1
40
= 0,325 = 32.5%
MATEMATICAS - Estadística 9
24
PGF03-R03
Utilizando la regla de la adición resuelve los siguientes ejercicios.
1. La probabilidad de obtener un tres o un cuatro en el lanzamiento de un dado.
Tenemos en una caja 35 bolas de 6 colores diferentes:
5 bolas azules
6 bolas negras
4 bolas blancas
7 bolas verdes
10 bolas moradas
3 bolas amarillas
¿Qué probabilidad tenemos de ganar y de perder si las premiadas son las blancas las
moradas y azules?
MATEMATICAS - Estadística 9
25
PGF03-R03
3. Al lanzar un dado Usted apuesta mil pesos a que el numero obtenido debe ser par o
divisible por 3. ¿Cuál es la probabilidad de que usted gane?
4. Considere una baraja de Póker de 52 cartas y se desea extraer una carta. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener una J o trébol?
5. Una empresa ofrece un cargo al cual se presentan 35 aspirantes de diversas profesiones:
8 economistas, 6 administradores, 7 contadores, 10 ingenieros, 4 tecnólogos. Si todos tienen
el mismo chance de ser seleccionados: ¿cuál es la probabilidad de que el cargo sea ocupado
por?:
a.
b.
c.
d.
¿Un economista ó un ingeniero?
¿Un administrador ó un contador?
¿Un contador ó un tecnólogo ó un ingeniero?
¿Un economista o un administrador ó un contador?
MATEMATICAS - Estadística 9
26
PGF03-R03
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
La segunda regla de la probabilidad es la regla de la multiplicación, esta al igual que la regla
de la adición se subdivide en dos tipos de sucesos que son:
Sucesos independientes
Dos o más sucesos son independientes, si la probabilidad de presentación de ninguno de
ellos queda influenciada por la presentación del otro. Es decir, si el resultado de un suceso
no afecta al otro estamos hablando de sucesos independientes. En caso contrario se dice
que son dependientes.
Por lo tanto se efectuará la multiplicación de las probabilidades para cada suceso.
Si
P ,P
1
2
,.....,
P
n
son las distintas probabilidades de presentación de n sucesos
Independientes, la probabilidad (P) de que ocurran todos estos sucesos en un solo ensayo,
estará dada por el producto de cada suceso.
P = P 1 P 2 P 3 ..... P n .
Diferencias entre sucesos mutuamente excluyentes y sucesos
independientes
Los sucesos independientes y los sucesos mutuamente excluyentes se parecen mucho, por
lo tanto se deben saber diferenciar, aquí algunas diferencias:
1. En los sucesos mutuamente excluyentes se tiene un solo dado, una sola baraja una
sola moneda, en los independientes se tiene más de un elemento (barajas, dados,
monedas).
2. En los mutuamente excluyentes se extrae una sola carta, o se obtiene una sola cara
del dad, es decir se espera la presentación de un sola suceso; en lo independientes se
espera la presentación de dos o más sucesos.
3. En los mutuamente excluyentes se utiliza la conjunción “Ó” y en los independientes
se utiliza la conjunción “Y”
MATEMATICAS - Estadística 9
27
PGF03-R03
MODELACIÓN 1
¿Qué probabilidad tendremos de obtener dos reyes sacando una carta de una
la otra de una segunda baraja?
4
P=
4
40
16
40
1
1600
baraja y
= 0.01 = 1%
100
MODELACIÓN 2
Al lanzar dos dados ¿cual la probabilidad de obtener dos ases?
1
1
6
6
P=
1
0 , 027 2 , 7 %
36
Sucesos Dependientes:
Se dice que los sucesos son dependientes o eventos compuestos, si la ocurrencia o no
ocurrencia de un evento en cualquier prueba afecta la probabilidad de otros eventos en otras
pruebas, es decir que la probabilidad del segundo suceso depende del primer suceso, en el
tercero lo que haya sucedido en el primero y segundo y así sucesivamente.
Si se van a sacar tres cartas de una baraja, se debe hacer sin reposición, es decir al extraer
una carta, ella no vuelve a formar parte del total y en vez de tener en cuenta 40 cartas, para
la segunda se tendrán 39.
Recordemos, que dos o más eventos son dependientes, cuando la ocurrencia de uno afecta
la ocurrencia de los otros, en un orden determinado. En caso contrario los sucesos son
independientes.
La formula general será:
P
P
1
P
2
P
3
..........
P
n
MODELACIÓN 1
Probabilidad de obtener 3 ases, sacando sucesivamente tres cartas de una baraja
Española, sin volverlas a incluir (sin reposición) en el montón.
P
1
4
,
P
40
4
P
40
3
39
2
38
2
24
3
;
39
P
3
2
38
0 . 04 %
59280
MATEMATICAS - Estadística 9
28
PGF03-R03
MODELACIÓN 2
En la sede de la asociación de deportistas se encuentran reunidos 6 futbolistas,
3 beisbolistas, 4 tenistas 7 atletas, y 5 golfistas. Si al iniciar la sesión solo había 22
Deportistas. ¿Cuál es la probabilidad de que los que se fueron sean:
a. ¿1 beisbolista y 1 futbolista y 1 tenista?
b. ¿2 atletas y un golfista?
a.
P
B
3
25
P
;
P
6
F
3
6
25
b.
P
A
7
25
7
P
25
A
6
24
4
24
P
;
P
;
24
23
5
23
4
23
0 . 521 %
13800
6
24
72
T
P
;
210
T
5
23
1 . 52 %
13800
1. Supongamos que se dispone de tres barajas de 40 cartas cada una. Se desea extraer tres
cartas, una de cada baraja; ¿Cuál es la probabilidad de obtener un As y un Rey de oros y
un seis de copas?
MATEMATICAS - Estadística 9
29
PGF03-R03
2. Una máquina en buenas condiciones de trabajo, produce un artículo defectuoso por cada
200. Los resultados correspondientes a artículos producidos sucesivamente son
independientes. ¿Cuál es la probabilidad para que los próximos dos artículos producidos
por esta máquina no tengan fallas?
3. La probabilidad de obtener un As y un Rey de bastos y un Diez de espadas, sacando
sucesivamente tres cartas, sin reposición, de una baraja de 40 cartas.
4. De una baraja de Póker de 52 cartas se desea extraer tres cartas en forma sucesiva sin
Reposición, es decir, la carta que se extrae no se regresa a la baraja: ¿cuál es la
Probabilidad de que en la primera extracción aparezca un As de Picas y en la segunda
Una Q y en la tercera un seis ?
4. En la sede de la sociedad de ingenieros, están reunidos 5 ingenieros mecánicos, 8
ingenieros de sistemas, 7 ingenieros industriales, 4 ingenieros electrónicos, 6 ingenieros
civiles. Si al iniciar la sesión solo había 27 ingenieros. ¿Cuál es la probabilidad de que los
que hayan salido sean?:
a. ¿1 ingeniero mecánico y 1 ingeniero industrial y un ingeniero de sistemas?
MATEMATICAS - Estadística 9
30
PGF03-R03
b. ¿1 ingenieros civil y un ingeniero electrónico y un ingeniero industrial?
c. ¿2 ingenieros de sistemas y un ingeniero civil?
d. ¿3 ingenieros industriales?
REGLA DE LA COMPLEMENTACIÓN
La regla de la complementación está ligada directamente con la teoría de conjuntos en la que
se dice que si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A'
formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con
respecto a U.
MODELACIÓN
a)
Sean U = { m, a, r, t, e }
y
A = { t, e }
El complemento de A es A’ = (m, a, r)
En forma gráfica:
MATEMATICAS - Estadística 9
31
PGF03-R03
En la teoría de las probabilidades el conjunto universal es el total de las probabilidades, es
decir 1.0 si hablamos en decimales, ó 100%, si lo expresamos en porcentajes.
Las probabilidades de A y A’ están relacionadas según la siguiente igualdad:
P A ' 1 P A
P A P A ' 1
S
A’
A
Lo anterior se denomina regla de la complementación
MODELACIÓN 1
¿Cuál es la probabilidad de obtener 1, 2, 3, ó 4 cuando se arroja un dado común?
En un problema de este tipo es mucho más conveniente y acertado obtener primero P(A),
donde A es el evento de obtener los números 5 ó 6, que es
2
en este caso. Evidentemente,
6
A’ representa el evento de no obtener un resultado de 5 ó 6, en consecuencia:
2 4
P A ' 1 P A 1 . 0 . 66 66 %
6 6
MODELACIÓN 2
Si se arrojan dos dados comunes, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos de
los dados no sea 7?
En este experimento hay 36 posibles resultados, y 6 de ellos corresponden al evento A de
que la suma es 7;
MATEMATICAS - Estadística 9
32
PGF03-R03
A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}. Suponiendo que hay resultados igualmente
probables, entonces, la probabilidad de que A’ ocurra, donde A’ es el evento A de que la
suma no sea 7, es igual a:
PA
6
P A ' 1 P A 1
36
6
36
30
36
5
.
6
Si A y B son un par de eventos definidos en un espacio muestral S, entonces la probabilidad
de que ni A ni B ocurran es:
P A ' B ' P
A B 1 P A B
´'
La anterior es la fórmula para la probabilidad de que no ocurra ninguno de dos eventos.
S
A
B
A B
A ' B '
MATEMATICAS - Estadística 9
33
PGF03-R03
REGLA DEL EXPONENTE
Es una forma muy sencilla para determinar el número de casos posibles, en algunos
problemas de probabilidad.
En la regla del exponente hacemos uso de la operación denominada potenciación donde se
tiene una base que está representada por el número de resultados posible y un exponente
que corresponde al número de experimentos realizados.
MODELACIÓN 1
Supongamos el lanzamiento de una moneda, en el cual se tendrán dos resultados cara o
sello. Este valor tendrá como base el número de resultados posibles (Cara y sello) y como
exponente al número de lanzamientos que hagamos, como se puede observar a
continuación;
a. En un lanzamiento será
:
b. En dos lanzamientos será
:
c. En tres lanzamientos será
:
d. En cuatro lanzamientos será
:
1
2 casos posibles
2
4 casos posibles
3
8 casos posibles
4
16 casos posibles, etc.
2
2
2
2
Y así sucesivamente, durante todos los lanzamientos que sean necesarios
MOELACIÓN 2
Si consideramos el lanzamiento de dados, se tendrá:
1
a. Un solo dado será
:
b. Dos dados será
:
c. Tres dados será
:
6 6
6
2
6
3
casos posibles
36 casos posibles
216 casos posibles, etc.
MATEMATICAS - Estadística 9
34
PGF03-R03
MODELACIÓN 3
¿Con cuántos billetes (boletos) juega una lotería, y cuál es la probabilidad de ganar si
compro un billete?
a. ¿Si cada uno de ellos tiene 4 cifras?
b. ¿Si se juega además con 120 series?
a. Los dígitos son 10 o sea 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, por lo tanto el número de billetes será
4
de 10 10000 . La probabilidad de ganar con la compra de un billete será:
P=
1
0 , 0001 0 , 01 %
.
10 . 000
b. Ahora
será de:
10 . 000 120 1 . 200 . 000
P=
billetes. La probabilidad de ganar al comprar un billete
1
0 , 0000008 0 , 00008 %
1 . 200 . 000
1. Se arrojan dos dados. Determina la probabilidad para cada uno de los siguientes
eventos:
a. La suma es 10
MATEMATICAS - Estadística 9
35
PGF03-R03
b. La suma no es 8
c. La suma es mayor que o igual a 6
d. ¿Cuál es la probabilidad de que no aparezca un 4 o un 9?
2. En una fábrica de camisas se manufactura independientemente corte, costura y pulimento,
siendo estas partes armadas aleatoriamente en cada camisa. Se sabe que en este
proceso, el cinco por ciento (0.05) de los cortes, el cuatro por ciento (0.04) de las costuras
y el dos por ciento (0.02) de las pulidas tienen fallas; ¿qué porcentaje de camisas resulta:
a. Con fallas en sus tres componentes?
c. Sin fallas en sus tres componentes?
MATEMATICAS - Estadística 9
36
PGF03-R03
3. Juan y Valentina estudian en el mismo curso: la probabilidad de que Juan pierda al menos
una materia es de 0.2 y la probabilidad de que Valentina no pierda ninguna es de 0.7. Cual
es la probabilidad de:
a. Que los dos pierdan al menos una materia.
b. Que Juan pierda una y Valentina ninguna.
c. Que Juan No pierda ninguna y Valentina al menos una.
d. Que los dos no pierdan ninguna
4. ¿Cuántas series telefónicas pueden haber en una ciudad, si los números telefónicos están
compuestos por:
MATEMATICAS - Estadística 9
37
PGF03-R03
a. Seis dígitos
b. Siete dígitos
5. Para los vehículos de servicio particular ¿Cuántas placas se pueden elaborar si se
conforman de tres letras y tres dígitos?
1. Teniendo en cuenta el espacio muestral para el lanzamiento de dos dados: ¿Cuál es la
probabilidad de:
a. ¿Sacar un resultado cuya suma de seis?
MATEMATICAS - Estadística 9
38
PGF03-R03
b. ¿Sacar un resultado cuya suma de diez?
c. ¿Sacar un resultado cuya suma de siete?
2. Las caras de un dado común se hallan numeradas de 1 a 6.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que habiéndose lanzado el dado, aparezca en la cara
superior un valor par?
b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor a dos?
c. ¿De que dos de las tres sean sellos?
MATEMATICAS - Estadística 9
39
PGF03-R03
4. ¿Cuál es la probabilidad de que sean varones, dos de tres hijos de una familia?
5. ¿Cuál es la probabilidad, en la experiencia de los dos dados, uno azul y otro rojo, de
obtener? (en cada uno debe establecerse el espacio muestral)
a. De que en uno de ellos se presente el 4 y en el otro un valor menor a 4
b. De obtener en el dado blanco un número menor de tres y en el dado rojo, un valor
mayor a tres
c. Que el resultado sea mayor que 8
MATEMATICAS - Estadística 9
40
PGF03-R03
SUCESOS:
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES:
SUCESOS COMPATIBLES:
SUCESOS INDEPENDIENTES:
SUCESOS DEPENDIENTES:
REGLA DE LA ADICION:
REGLA DE LA MULTIPLICACION:
REGLA DE LA COMPLEMENTACION:
REGLA DEL EXPONENTE:
UNION DE SUCESOS:
INTERSECCION DE SUCESOS:
MATEMATICAS - Estadística 9
41
PGF03-R03
UNIDAD III
UNIDAD 3
TECNICAS DE CONTEO, COMBINACIONES Y
PERMUTACIONES
PROPOSITO
Calcular y desarrollar correctamente permutaciones y combinaciones de los
elementos, aplicando la variación en diferentes conjuntos.
MATEMATICAS - Estadística 9
42
PGF03-R03
CONTEO DE RESULTADOS
Se definen como métodos que nos permiten conocer el número total de resultados de un
experimento aleatorio sin enumeración directa.
Con frecuencia la parte más difícil en el análisis de un experimento y en las operaciones
relacionadas con las probabilidades asociadas con el experimento consiste en contar el
número de resultados posibles.
PERMUTACION
Es una forma de ordenar o arreglar la totalidad de los elementos de un conjunto con un
p n = n!
orden definido. Se simboliza por
O también
n
pn
= n!; se lee como permutación
de n elementos formados de n en n. El símbolo n! se lee n factorial y se desarrolla así:
8! = 8 7 6 5 4 3 2 1
MODELACIÓN 1
Supongamos que se tienen los siguientes números naturales 1, 2, 3, 4 y se quiere formar
cifras de 4 dígitos. Según la fórmula anterior se tendrá que:
N=4
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = = 24
Veamos cuales serian las cifras que se podrían permutar:
4P4 =
1234
1243
1324
1432
1342
1423
2134
2143
2314
2341
2413
2431
3142
3124
3214
3241
3412
3421
4132
4123
4213
4231
4312
4321
MODELACIÓN 2
Cuantas palabras de cinco letras se pueden formar con las letras de la palabra libro.
N=5
5P5=
5! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 60
MATEMATICAS - Estadística 9
43
PGF03-R03
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN:
Cuando uno o varios elementos están repetidos, el cálculo de las permutaciones varía en
este caso nos referimos a permutaciones con repetición y su fórmula es:
Pn
r
n!
r!
MODELACIÓN 1
Cuantas permutaciones se pueden hacer con las tras de la palabra Casa?
N = 4, r = 2 (a, a)
P4
r2
P4
r2
4!
4 3 2 1
2 1
2!
24
12
2
MODELACIÓN 2
¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra tártara?
N=7
P7
r = 3(a, a, a), 2(r, r), 2(t, t)
r 3,2 ,2
7!
7 x 6 x 54 x 3 x 2 x1
3! x 2! x 2!
6x2x2
5040
210
24
MATEMATICAS - Estadística 9
44
PGF03-R03
1. En una universidad de Bogotá a cinco estudiantes se les califica con las letras A, B, C, D,
E. De cuántas maneras se les puede calificar, si los estudiantes obtienen todos calificaciones
diferentes.
2. Si un futbolista conoce siete jugadas diferentes y si el entrenador le instruye para que
juegue las siete sin que ninguna se repita, ¿Qué libertad le queda a ese jugador?
3.
Una señora invita a cenar a ocho amigos y después de sentarse ella, ¿De cuántas
maneras se pueden sentar sus invitados?
4. Cuántas permutaciones se puede hacer con las letras de la palabra MURCIELAGO
MATEMATICAS - Estadística 9
45
PGF03-R03
5. ¿Cuántas cifras de nueve dígitos se pueden formar con los dígitos del 1 al 9?
6. Un examen consta de cuatro preguntas y se deja en libertad para contestarlas en el orden
que se desee. ¿De cuántas maneras podrá contestar?
7. ¿Cuántas palabras de cinco letras, con o sin sentido idiomático pueden tomarse a partir de
las letras de la palabra COSER?
8. ¿Cuántas permutaciones pueden efectuarse con las letras A, B y C?
MATEMATICAS - Estadística 9
46
PGF03-R03
9. ¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra MISSISSIPPI?
10. ¿Cuántas permutaciones se puede hacer con las letras de la palabra
COOPERADOR?
11.¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra
BARRANQUILLA?
MATEMATICAS - Estadística 9
47
PGF03-R03
COMBINACIONES
Las combinaciones son un arreglo de los elementos sin importar el orden en que se
disponga. La fórmula que se utiliza en el cálculo de las combinaciones es:
n
Cr
n!
n r !r !
Se pronuncia las combinaciones de n elementos organizados de r en r
MODELACIÓN 1
Cambiemos el ejercicio de los cuatro números naturales por las primeras cuatro letras del
alfabeto A, B, C, D. Si se desea combinarlos, ¿cuántas combinaciones se podrán hacer?
Una sola combinación, ya que al no importar el orden de colocación da lo mismo
ABCD = ADBC = ACBD = CBAD = DACB =, etc.
4
4!
4!
4!
C 4 4 4 !4 ! 0 !4 ! 1 4 ! 1
El 0! Es igual a 1, lo que se puede demostrar. Tomamos la calculadora y la utilizaremos así:
0 - SHIFT - ! - = 1
Y aparecerá como resultado 1.
MATEMATICAS - Estadística 9
48
PGF03-R03
MODELACION 2
Si se fueran a combinar esas cuatro letras de dos en dos, se tendría:
AB = BA
AC = CA
4
C2
BC = CB
4!
BD = DB
AD = DA
4 ! 24
6
4 2 !2 ! 2 !2 ! 4 4
4!
CD = DC
MODELACIÓN 3
En este mismo ejercicio calcular las combinaciones de tres en tres.
ABC = BCA = CBA = ACB = BAC = CAB
ABD = ADB = BDA = BAD = DAB = DBA
ACD = ADC = CAD = CDA = DCA = DAC
BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB
4
C3
4!
4 3 !3!
4!
1!3 !
4!
6
24
4
6
MATEMATICAS - Estadística 9
49
PGF03-R03
1. ¿Cuántos comités diferentes pueden seleccionarse entre 7 hombres y 4 mujeres, si
deben constituirse de:
a. 3 hombres y dos mujeres
b. 5 personas de las cuales por lo menos tres deben ser hombres.
2. Es necesario elegir un comité de 10 personas entre 6 abogados, 8 economistas y 5
ingenieros. Si el comité debe estar integrado por 4 abogados, 3 economistas y 3
ingenieros.
3. ¿Cuántos comités compuestos de tres diputados y cinco senadores pueden formarse
tomando como base un grupo de cinco diputados y ocho senadores?
MATEMATICAS - Estadística 9
50
PGF03-R03
4. ¿Cuántas comisiones de tres personas se pueden formar seleccionándolas entre diez
personas? ¿De siete entre diez?
5. ¿De cuántas maneras se puede sacar dos manzanas de una caja que contiene ocho
manzanas?
6.
Una caja contiene siete fichas rojas, seis fichas blancas y cuatro fichas azules.
Cuántas selecciones de tres fichas se pueden formar si:
a. ¿Las tres deben ser rojas?
b. ¿Ninguna puede ser roja?
MATEMATICAS - Estadística 9
51
PGF03-R03
7. ¿Cuántos grupos de cinco cartas se pueden armar de una baraja de Póker de 52 cartas?
8. Un examen costa de 4 preguntas, hay que dar respuesta a solo 3 de las 4 preguntas.
¿Cuántos exámenes de diferente contenido habrá que corregir como máximo?
9. De una bolsa que contiene 7 bolas negras y 5 blancas, ¿cuántos conjuntos de 5 bolas
pueden extraerse, si se desea que 3 de ellas sean negras y dos blancas?
10. ¿Cuántos grupos diferentes pueden formarse de entre 5 señoritas morenas y 7 rubias, si
se desea incluir 2 dos morenas?
MATEMATICAS - Estadística 9
52
PGF03-R03
VARIACIONES
Son permutaciones en las que se implica orden en la colocación de los elementos, pero con
la diferencia a las permutaciones, de que se toma únicamente una parte de los elementos del
conjunto.
nV r n P r V
n
r
Son los diferentes símbolos, que pueden utilizarse y que se leen como
variaciones o permutaciones de n elementos tomados de r en r.
n Pr
n!
n r !
n es el total de elementos del conjunto y r es aquella parte de los elementos
que se quiere permutar.
MODELACIÓN 1
1. Volvamos nuevamente a los cuatro números naturales: 1, 2, 3, 4 y formemos cifras de tres
dígitos, con los siguientes resultados:
123
132
124
142
134
143
213
231
214
241
234
243
312
321
314
341
342
324
4V 3 4 P 3
4!
4 3 !
413
431
412
421
423
432
4!
24
1!
Con la calculadora 4000p directamente se obtendrá el resultado de 24, si operamos de la
siguiente manera:
4 SHIFT
4 SHIFT
x
x
1
3 EXE con el resultado en pantalla de 24 observe que al teclear
1
3 EXE en la pantalla aparece
4P3
MATEMATICAS - Estadística 9
53
PGF03-R03
MODELACIÓN 2
Si se tienen 8 pupitres puestos en fila, se quiere determinar de cuantas maneras posibles se
pueden ordenar 3 alumnos.
8V 3 8 P 3
5!
8 3 !
8!
336
5!
MODELACIÓN 3
¿Cuántas cifras de 4 dígitos se pueden formar con los números del 0 al 9, usándolos una
sola vez?
10 V
4
8
P
4
10 !
10
4 !
10 !
5040
6!
El caso anterior es diferente al de la lotería, tomando los dígitos del 0 al 9 y además, a cada
billete la corresponden 4 cifras de 4 dígitos, el total de billetes será de 10000.
N = 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10000
1. Si un estudiante tiene 9 libros y sedea ordenar a 5 de ellos sobre un estante.
¿De cuantas maneras distintas puede hacerlo?
2. ¿Cuántos números de 4 dígitos pueden formarse con los dígitos 1, 3, 5, 7, y 9, si ninguno
puede aparecer más de una vez en cada número?
MATEMATICAS - Estadística 9
54
PGF03-R03
3. ¿Cuantas palabras de 5 letras diferentes se pueden formar con las 27 letras del alfabeto?
4. ¿Cuántas señales diferentes se pueden formar con 10 banderas distintas, levantando al
menos 3 y no más de 6 banderas en un mástil?
COMBINACIONES SEGÚN EL TRIANGULO DE PASCAL
Se llama Triangulo de Pascal a la distribución de números en forma triangular de la derecha,
la cual se puede extender para que tenga todas las filas que desee. En la figura tiene diez
filas. Trate de encontrar el patrón de formación del triangulo. Se utiliza para resolver
problemas que encierren combinaciones que en otro caso serían difíciles de solucionar.
1 0
0
1 1 1 1
1
0
1 2 2 2 1 2
0
1
2
1 3 3 3 3 3 1 3
0
1
2
3
1 4 4 4 6 4 4 4 1 4
0
1
2
3
4
1 5 5 5 10 5 10 5 5 5 1 5
0
1
2
3
4
5
1 6 6 6 15 6 20 6 15 6 6 6 1 6
0
1
2
3
4
5
6
1 7 7 7 21 7 35 7 35 7 21 7 7 7 1 7
0
1
2
3
4
5
6
7
1 8 8 8 28 8 56 8 70 8 56 8 28 8 8 8 1 8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1 9 9 9 36 9 84 9 126 9 126 9 84 9 36 9 9 9 1 9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
MATEMATICAS - Estadística 9
55
PGF03-R03
MODELACIÓN
En una prueba de cinco problemas el alumno puede responder tres problemas.
¿Cuántas combinaciones diferentes de problemas puede escoger el alumno?
Tomemos la quinta fila del Triangulo de Pascal
1
5
10
10
5
1
0 problemas
5 problemas
4 problemas
3 problemas
1 problemas
2 problemas
Así para un conjunto de 5 problemas, hay diez combinaciones de 3 problemas que el alumno
puede escoger.
1. Por medio del Triangulo de Pascal, halle las respuestas a las preguntas.
a. ¿Cuántos comités de tres miembros se pueden seleccionar entre ocho personas?
b. ¿Cuántos comités de cinco miembros se pueden seleccionar entre siete personas?
MATEMATICAS - Estadística 9
56
PGF03-R03
c. En una prueba de diez problemas, un alumno puede hacer siete cualesquiera.
¿Cuántas selecciones diferentes de los problemas puede hacer?
d. Un entrenador debe seleccionar entre diez jugadores, un equipo de cinco.
¿Cuántos equipos diferentes se pueden formar si no se tiene en cuenta que posición
ocupa cada jugador?
2. En la siguiente figura aparecen tres números consecutivos de una fila del Triangulo de
Pascal. ¿Cuáles son los números de la fila siguiente que van en el espacio?
66
220
495
3. ¿Cuáles serán los dos primeros números de la fila 17 del Triángulo de Pascal?
4. Susana tiene seis gatitos. Quiere quedarse con dos y regalar los demás.
a. ¿Cuántos grupos diferentes de cuatro puede regalar?
MATEMATICAS - Estadística 9
57
PGF03-R03
5. Margarita solo tiene dinero suficiente para comprar dos caramelos pero hay siete
variedades de las cuales puede escoger. ¿Cuántas selecciones diferentes puede hacer si
ambos caramelos son distintos?
6. Realiza un mentefacto conceptual partiendo del concepto “Combinaciones”
MATEMATICAS - Estadística 9
58
PGF03-R03
Señala la respuesta correcta:
1. El valor de 5! es:
a.
b.
c.
d.
e.
15
25
120
3125
Ninguna de las anteriores
2. El número de grupos de 5 estudiantes que se pueden formar con un total de 20
a.
b.
c.
d.
e.
es:
4
15.504
100
20
Ninguna de las anteriores
3. El número de permutaciones que se pueden tomar con las letras de la palabra
“mejoral” es:
a.
b.
c.
d.
e.
7
1260
42
5040
Ninguna de las anteriores
4. El número de cifras distintas que se pueden formar con 3, 3, 3, 5, 5, 6, 7, es:
a.
b.
c.
d.
e.
240
140
5040
504
Ninguna de las anteriores
MATEMATICAS - Estadística 9
59
PGF03-R03
5. Si A y B son un par de eventos cualquiera, el evento de menor probabilidad es:
a.
b.
c.
d.
e.
A
B
A B
A B
Ninguna de las anteriores
6. Si A y B son un par de eventos mutuamente excluyentes, entonces:
a. P( A B ) = P(A) P(B)
b. P( A B ) =
c. P( A B ) = 0
B
P B
A
d. P
e. Ninguna de las anteriores
7. Si A y B son un par de eventos independientes, entonces:
a. P( A B ) = 0
b. P( A B ) = P(A) + P(B)
A
PA
B
c. P
d. Ninguna de las anteriores
8. Se lanzan tres monedas en forma simultánea. La probabilidad de que una sea cara es:
a.
b.
c.
d.
e.
1/2
3/9
3/8
1/8
Ninguna de las anteriores
9. Para calcular la probabilidad de obtener cara con una moneda cargada, se debe emplear:
a.
b.
c.
d.
e.
La fórmula clásica
La fórmula de frecuencia relativa
La fórmula de la suma
La regla de la complementación
Ninguna de las anteriores
MATEMATICAS - Estadística 9
60
PGF03-R03
UNIDAD 4
NOTACION, SUMATORIA Y PRODUCTORIA
Propósito
Calcular sumatorias y productorías de conjuntos o colecciones de datos y
maneja sus propiedades.
MATEMATICAS - Estadística 9
61
PGF03-R03
Matemáticas, estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las
operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades
desconocidas. En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la
cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la
aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo
XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la
ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática
o simbólica —ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de
deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que
transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.
Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de
numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100...),
similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el
símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas
veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se
sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas... de cada número. La
multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.
El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico se
utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña
sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10. Los números
menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en
las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo
que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número
completo.
Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La
innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una
estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos,
este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este
último enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo.
Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y
la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras.
MATEMATICAS - Estadística 9
62
PGF03-R03
1. Según la lectura anterior como fueron las primeras formas de notación del número?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
2. Explique con sus propias palabras la siguiente frase: “En la notación cuneiforme de
Babilonia el símbolo utilizado para el 1 era también usado para representar el 60 y sus
potencias”.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
3. Explique con sus propias palabras cual fue la innovación más importante de los
Griegos.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
4. Busque en el diccionario las palabras desconocidas del texto anterior.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
MATEMATICAS - Estadística 9
63
PGF03-R03
NOTACIÓN
Notación es la acción de indicar o representar por medio de signos convencionales términos
estadísticos. Estas notaciones se pueden representar por medio de índices, subíndices y
símbolos (productoria, sumatoria, etc.).
El uso de la notación genera la rapidez, la versatilidad, la organización de los sistemas
numéricos, los cuales en algunos problemas matemáticos y estadísticos eran muy grandes y
engorrosos, lo que dificultaba la manipulación y la solución pronta a estos problemas; con la
ayuda de la notación se sintetizaron grandes problemas y paso de dificultades grandes a
pequeñas.
Estas notaciones se representaron de la siguiente manera:
Se reemplaza “n” en la ecuación después de sigma, por los enteros 1, 2,........,n
suman las expresiones que resulten.
y se
MODELACIÓN
En una encuesta a hogares sobre el presupuesto familiar se preguntó sobre el número de
integrantes en la familia. Fueron encuestadas diez familias y los datos son los siguientes:
3
3
5
7
4
8
6
3
4
4
En primer lugar asignamos a cada valor su posición correspondiente así:
X1 = 3
X6 = 3
X2 = 5
X7 = 7
X3 = 4
X8 = 8
X4 = 6
X9 = 3
X5 = 4
X10 = 4
X1 = 3 significa que la primera familia encuestada tiene tres integrantes.
X2 = 5 significa que la segunda familia encuestada tiene cinco integrantes y así
sucesivamente.
La variable X en este caso es equivalente a las familias y el subíndice n es igual a la posición
en la que la familia fue encuestada en distintas observaciones de un estudio estadístico
también así:
X1 “se lee” “equis sub-uno” que corresponde al primer dato.
MATEMATICAS - Estadística 9
64
PGF03-R03
X2 “se lee” “equis sub-dos” que corresponde al segundo dato y así sucesivamente hasta Xn
“se lee” “equis sub-ene” que es la última o n-ésima medición.
El conjunto de n observaciones constituye una muestra de tamaño n.
El conjunto de datos X1, X2,......,Xn no permite apreciar los elementos importantes para
analizar, pero sí conocer su posición.
1. A la siguiente familia de datos asígnele el sub-índice correspondiente y de una ligera
explicación sobre sus posiciones.
1
2
1
1
2
6
1
5
4
1
4
4
4
5
6
2
3
3
2
3
3
2
2
1
1
5
4
3
2
1
2
5
4
1
3
1
1
3
2
5
2. Realizar la tabla de Frecuencias para el punto 1.
a. Grafica de tres maneras diferentes los resultados obtenidos.
3. Elaborar una tabla y enunciar un ejercicio donde se destaquen la posición de los datos
recolectados en la tabla.
MATEMATICAS - Estadística 9
65
PGF03-R03
SUMATORIA
En estadística nos encontramos frecuentemente con la suma de un gran número de
términos. Con el fin de simplificar, es indispensable indicar mediante un símbolo dacha suma.
Notación simplificada y simbólica de la suma de un gran número de términos que guardan
entre sí cierta relación. Se simboliza (sigma).
MODELACIÓN
Dado un conjunto de datos:
4,
X1
8, 3, 12, 15,
X2 X3 X4 X5
16,
X6
20,
X7
22,
X8
21, 14, 12, 5..........
X9, X10, X11, X12 ......... Xn
Se puede representar la suma de los n primeros términos con la notación sumatoria o sigma,
así:
n
i 1
Donde:
xi
n = limite superior de la sumatoria
Xi = elemento genérico de la sumatoria
∑ = Sumatoria
i = limite inferior de la sumatoria
Y esto se lee:
La sumatoria de los equis sub - i que van desde 1 hasta n. La letra X es el índice de la suma
o variable de la sumatoria; ahora:
12
x 1
xi
= 4 + 8 + 3 + 12 + 15 + 16 + 20 +22 + 21 + 14 +12 +5 = 152
MATEMATICAS - Estadística 9
66
PGF03-R03
PROPIEDADES DE LA SUMATORIA
Además de que el signo de la sumatoria sea el más utilizado en las propiedades de
Estadística, las propiedades de la sumatoria tienen una gran importancia.
Entre algunas de las propiedades de la sumatoria tenemos:
La sumatoria del producto de una constante por una variable: es igual al producto de la
constante por la sumatoria de la variable.
MODELACIÓN 1
n
n
i 1
i 1
ki = k i
5
2i
i 1
( 2 )1 2 2 ( 2 ) 3 ( 2 ) 4 ( 2 ) 5 2 4 6 8 10 30
Siendo igual a la expresión de:
5
2 i
i 1
2 1 2 3 4 5 2 15 30
Entre otros casos especiales de la sumatoria tenemos:
n
a.
i
i 1
n n 1
=
2
MATEMATICAS - Estadística 9
67
PGF03-R03
MODELACIÓN 2
10
i = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55
i 1
10
i=
10 10 1
i 1
n
b.
i
10 11
2
2
=
i 1
110
2
55
2
n n 1 2 n 1
6
MODELACIÓN 3
10
i
2
2
i 1
10
i
2
=
i 1
n
c.
i
i 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 385
10 10 1 20 1
=
6
3
n n 1
=
2
110 21
= 385
6
2
MATEMATICAS - Estadística 9
68
PGF03-R03
MODELACIÓN 4
5
i
3
i 1
5
i
i 1
3
3
3
3
3
3
= 1 2 3 4 5 = 225
5 5 1 30
=
=
= 15
2 2
2
2
2
225
Resolver las siguientes sumatorias:
5
1.
i
i 1
7
2.
i
i4
MATEMATICAS - Estadística 9
69
PGF03-R03
3
3.
i
2
i4
5
4.
5i
i 1
5
5.
(i
i 1
8
6.
2)
2
i
i2
MATEMATICAS - Estadística 9
70
PGF03-R03
PRODUCTORIA
Notación simplificada y simbólica de la multiplicación de un gran número de términos que
guardan relación entre sí. Se simboliza:
(pi).
MODELACIÓN
Dado el siguiente conjunto de datos:
2,
X1
4, 3,
X2 X3
6
X4
Se puede representar el productos de los n primeros términos con la notación productoria
así:
n
x
i 1
i =
x x
1
2
........
x
n
Se reemplaza la n en la ecuación productoria por los enteros 1, 2,......., n y se multiplican las
expresiones que resultan, con lo que se llega al lado derecho de la expresión; esto se lee: La
productoria de los equis sub-ene que van desde uno hasta ene.
La letra X es el índice del producto, ahora:
n
x
i 1
i
2 4 3 6 144
MATEMATICAS - Estadística 9
71
PGF03-R03
PROPIEDADES DE LA PRODUCTORIA
El producto de una constante es igual a una potencia: en donde la base es la constante y
el exponente es el límite superior del producto.
n
i 1
n
k
=
k k k ........ k
k
n
Ó sea
k
i 1
k
n
MODELACIÓN 1
3
2 = 222 2
i 1
3
8
El producto de una constante por una variable: es igual a la constante elevada al límite
superior por la productoria de la variable.
n
x
k
i 1
i
k
=
n
n
i 1
x i
n
k x = k x k x ....... k x = k k k ..... k x x
i
i 1
1
2
n
2
.... x n
n
k x
n
=
1
i 1
i
MODELACIÓN 2
3
3
2 i = 2 i = 81 2 3 8 6 48
3
i 1
i 1
MATEMATICAS - Estadística 9
72
PGF03-R03
Resolver las siguientes productorias:
4
1.
i
i 1
5
2.
2i
i 1
3
3.
4
i 1
MATEMATICAS - Estadística 9
73
PGF03-R03
5
4.
4i
i 1
3
5.
2i
i 1
7
6.
i
i3
3
7.
i
i 1
MATEMATICAS - Estadística 9
74
PGF03-R03
1. Realizar de los siguientes datos las sumatorias y productorias correspondientes:
a. 7, 9, 12, 6, 4, 3, 5, 1, 2, 4.
b. 2.5, 3.2, 0.4, 5.8, 1.7, 1.0, 2.5, 3.5, 1.2,
2. Responder con sus propias palabras las siguientes preguntas:
a. ¿Qué se entiende por índice y subíndice?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
b. ¿Qué es una sumatoria?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
c. ¿Qué es una productoria?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
3. Redacta un ejemplo de sumatoria y otro de productoria.
MATEMATICAS - Estadística 9
75
PGF03-R03
INDICE:
SUB- INDICE:
SUMATORIA:
PRODUCTORIA:
CONSTANTE:
NOTACION:
SIGMA:
PI:
MATEMATICAS - Estadística 9
76
PGF03-R03
BIBLIOGRAFIA
Estadística y Muestreo. Ed. Ecoe Ediciones
Matemática con Tecnología Aplicada 10. Ed. Prentice Hall
Serie Matemática Moderna Segundo Curso. Ed. Norma
Manual Práctico de Estadística 2. Ed. Pime
www.wikipedia.com
www.monografias.com
MATEMATICAS - Estadística 9
77