unidad 1 conjuntos numericos

UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
En esta unidad se ofrece una información general sobre los diferentes conjuntos de números que se utilizaran en el
desarrollo de este curso. Comencemos con un breve repaso de los conceptos básicos sobre teoría de conjuntos.
1.1 CONJUNTOS
Intuitivamente, un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, que pueden ser de distinta
naturaleza. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.
Ejemplo No. 1
Son ejemplos de conjuntos los siguientes:
 Los números: 1,3 7 y 10
 Las vocales del alfabeto: a, e, i, o, u
 Las personas que habitan la tierra.
 Las ciudades capitales de Europa.
1.2 NOTACIÓN
Es usual denotar los conjuntos por letras mayúsculas A , B , X , Y . Los elementos de los conjuntos se
representan por letras minúsculas a , b , x , y . Al definir un conjunto por medio de la enumeración de sus
elementos, se escriben sus elementos separados por comas y encerrados entre llaves { }. Esta notación es
llamada forma tabular de un conjunto, por ejemplo A  1,3,7,10 . Pero si se define un conjunto enunciando las
propiedades que deben tener sus elementos, entonces se emplea una letra, por lo general x , para representar un
elemento cualquiera, por ejemplo B   x | x es par , lo cual se lee « B es el conjunto de los números x tales
que x es par». Se dice que esta es la forma de definición por comprensión o constructiva de un conjunto.
Ejemplo No. 2
Empleando esta notación, los conjuntos del ejemplo anterior se pueden escribir como:
 A  1,3,7,10 
 B   a, e, i, o, u 
 C   x | x es una persona que habita en la tierra 
 D   x | x es una capital y x esta en Europa 
Si un objeto x es un elemento de un conjunto A , se escribe x  A . Lo cual se lee « x pertenece a A » o « x
está en A ». Si por el contrario un objeto x no es un elemento de un conjunto A , se escribe x  A . Lo cual se
lee « x no pertenece a A » o « x no está en A »
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Ejemplo No. 3
Si B   x | x es par , entonces 12  B y 11 B .
1.3 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Intuitivamente, un conjunto es finito si consta de un cierto número de
elementos distintos, es decir, si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar.
Si no, el conjunto es infinito.
Ejemplo No. 4
 Si A es el conjunto de los días de la semana, entonces A es finito.
 Si B   x | x es par , entonces B es infinito.
 Si C   x | x es un río de la tierra , entonces C es finito. Aunque es difícil contar los ríos del mundo.
1.4 IGUALDAD DE CONJUNTOS
El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento que
pertenece a A pertenece también a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A . Se denota
la igualdad de los conjuntos A y B por A  B
Ejemplo No. 5
Si A  1,2,3,4,5 y B  1,2,3,4,5, entonces A  B
1.5 CONJUNTO VACÍO
Un conjunto vacío es un conjunto que carece de elementos y se denota por  .
Ejemplo No. 6
Si A   x | x es una persona y x tiene 200 años  , entonces A es un conjunto vacío según las
estadísticas demográficas conocidas. Es decir A  
1.6 SUBCONJUNTOS
Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B , entonces se dice que A es un
subconjunto de B . Lo anterior se denota por A  B y se lee « A es subconjunto de B » o « A está contenido
en B »
Ejemplo No. 7
Si A  1,3,5  y B   5,4,3,2,1 , entonces A  B
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Observación:
 En el caso de que A no sea subconjunto de B se denotara como A  B
 El conjunto vacío  se considera subconjunto de todo conjunto.
 Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si A  B y B  A
1.7 CONJUNTO UNIVERSAL
Es el conjunto que contiene a todos los conjuntos a los que se hace referencia y se denota por U .
Ejemplo No. 8
En los estudios sobre población humana el conjunto U es el conformado por todas las personas del mundo.
1.8 CONJUNTOS DISJUNTOS
Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, si ningún elemento de A está en B y si ningún
elemento de B está en A , se dice que A y B son disjuntos.
Ejemplo No. 9
Si A   x | x es un número positivo  y B  x | x es un número negativo , entonces A y B son
disjuntos.
1.9 OPERACIONES CON CONJUNTOS
1.9.1 Unión
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los
elementos que pertenecen a A o que pertenecen a B o a ambos. La unión de
A y B se denota por A  B y se lee « A unión B » o « A unido con B ».
En el siguiente diagrama de Venn se ilustra gráficamente como es A  B .
A B
Ejemplo No. 10
Si A  a, b, c, d , y B   f , b, d , g, entonces A  B  a, b, c, d , f , g
Propiedades:
 A B  B  A
 A   A  B y B   A  B
1.9.2 Intersección
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los
elementos que pertenecen a A y que pertenecen a B . La intersección de A y
B se denota por A  B y se lee « A intersección B » o « A interceptado
con B ». En el siguiente diagrama de Venn se ilustra gráficamente cómo es
A B .
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A B
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Ejemplo No. 11
Si A  a, b, c, d , y B   f , b, d , g, entonces A  B  b, d 
Propiedades:
 A B  B  A
 A B  A y A B  B
 Si A y B son disjuntos, entonces A  B  
1.9.3 Diferencia
La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los
elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B . La diferencia de
A y B se denota por A  B y se lee « A diferencia B » o « A menos B
». En el siguiente diagrama de Venn se ilustra gráficamente como es la
diferencia de dos conjuntos.
A B
Ejemplo No. 12
Si A  a, b, c, d  y B   f , b, d , g, entonces A  B  a, c
Propiedades:
 A B  A
 Los conjuntos A  B , A  B y B  A son mutuamente disjuntos.
1.9.4 Complemento
El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por todos los
elementos que no pertenecen a A , es decir la diferencia del conjunto universal
U y del conjunto A . El complemento de A se denota por AC y se lee
«complemento de A ». En el siguiente diagrama de Venn se ilustra
gráficamente como es el complemento de un conjunto.
AC
Ejemplo No. 13
Si U  N y A  x | x es par  2,4,6,8,, entonces AC  x | x es impar  1,3,5,7,
Propiedades:
 A  AC  U
 A  AC  
 UC 


  U
C
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A 
C C
A
A  B  A  BC
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1.10 CONJUNTOS NUMÉRICOS
1.10.1 El Conjunto de los Números Naturales
El primer conjunto de números que el hombre utilizó formalmente fue el conjunto de los números naturales, el cual
se simboliza y se define como:
N  1,2,3,4, 
Nótese que este conjunto tiene como primer elemento el uno, pero no existe un último elemento. Por esta razón
diremos que el conjunto de los números naturales es infinito.
1.10.2 El Conjunto de los Números Enteros
El conjunto de los números enteros, se simboliza y se define como:
Z  ,4,3,2,1, 0, 1, 2, 3, 4, 
El conjunto Z no tiene primer elemento ni último elemento, por lo que se dice que es un conjunto infinito y además
se divide en tres subconjuntos:
Z
Z     1,2,3,4, 
Enteros negativos
0 
El cero
Z   1,2,3,4, 
Enteros positivos (los naturales)
Observación:
 La anterior clasificación muestra que el cero no es un entero negativo ni positivo.
 Z  Z    0  Z 
 Z  N
 NZ
1.10.3 El Conjunto de los Números Racionales
El conjunto de los números racionales, se simboliza y se define como:
a

Q   | a  Z , b  Z , con b  0 
b

Donde ba es el cociente, en el cual el numerador y denominador son números enteros, con el denominador diferente
de cero. Es decir, la división por cero está excluida (no está definida), eliminando la posibilidad de dividir por cero.
Observación:
 Según la definición de Q , todo número entero es un número racional, es decir Z  Q
 Z  Z Q
 Z  Z Q
 Todo número racional se puede representar por una expansión decimal periódica finita o por una expansión
decimal infinita periódica (o simplemente por una expansión decimal periódica).
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1.10.4 El Conjunto de los Números Irracionales
Los números con expansiones decimales infinitas no periódicas (aperiódicas) reciben el nombre de números
irracionales. El conjunto de los números irracionales, se simboliza y se define como:
I   x | x no es un número racional 
Las representaciones decimales para números irracionales son siempre infinitas no periódicas, por ejemplo:
2  1,414213562373095

   3.141592653589793
 e  2.718281828459046
El conjunto Q y el conjunto I son disjuntos, es decir Q  I   .
1.10.5 El Conjunto de los Números Reales
La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales determina un nuevo
conjunto de números que se denomina el conjunto de los números reales, el cual se simboliza y se define como:
R QI
Observación:
 QR
 IR
El conjunto de los números reales se puede colocar en correspondencia biunívoca (uno a uno) con los puntos de
una recta l . Es decir, a cada número real se le hace corresponder un punto de la recta l y a cada punto de la recta
l se le hace corresponder un número real, tal como se muestra en la figura:
A

B

3
2
1
 2.5
0

1
1
2
2
Números reales negativos
4
3
2
2.33
5
a
b

l

23
5
Números reales positivos
La representación gráfica de los números sobre la recta real, implica un orden entre los números reales y la
división en tres subconjuntos así:
R
R
0 
R
Reales negativos
El cero
Reales positivos
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1.10.6 El Conjunto de los Números Complejos
El conjunto de los números complejos, se simboliza y se define como:
C   a  bi | a  R, b  R 
El número a se denomina parte real, bi se denomina parte imaginaria e i se denomina unidad imaginaria, con
i  1 .
1.10.7 Diagrama Lineal de los conjuntos Numéricos
Números complejos
Números reales
Números racionales
Números irracionales
Números enteros
Enteros negativos
El cero
Números naturales
En el siguiente diagrama también se observa la manera como se encuentran organizados y estructurados todos los
números reales:
1.11 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
Propiedades de la adición
 Propiedad conmutativa: Si a  R y b  R , entonces a  b  b  a
 Propiedad asociativa: Si a  R , b  R y c  R , entonces a  b  c  a  b  c
 Elemento neutro: Para todo a  R existe el numero 0  R tal que a  0  0  a  a
 Inverso aditivo: Para todo a  R existe el numero  a  R tal que a   a    a   a  0
Propiedades de la multiplicación
 Propiedad conmutativa: Si a  R y b  R , entonces a  b  b  a
 Propiedad asociativa: Si a  R , b  R y c  R , entonces a  b  c   a  b c
 Elemento neutro: Para todo a  R existe el numero 1 R tal que a 1  1 a  a
 Inverso multiplicativo: Para todo a  R , con a  0 existe el numero 1a  R tal que a  1a  1a  a  1
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Propiedad distributiva
Si a  R , b  R y c  R , entonces a  b  c   a  b  a  c
Propiedad del doble negativo
Para cualquier número real a , se tiene que   a   a
Propiedad de la resta de números reales
a  b  a   b
Productos donde interviene el cero
 Para todo número real a se cumple que a  0  0  a  0
 Si ab  0 , entonces a  0 o b  0
Propiedades de los cocientes
a
1
 a
b
b
a c
Si 
entonces ad  bc
b d
a
a
a


b
b
b
a c ac
 
b b
b
a c ad  bc
 
b d
bd
a c ac
 
b d bd
a c a d ad
   
b d b c bc
 a b 







a
b
c
d

ad
bc
Actividad No. 1
1. Dados los conjuntos A   x | x 2  3x  2  0 , B  1,3  y C  1,2  ¿Cuáles son iguales?
2. Si A   x | 2 x  6  y b  3 ¿es b  A ?
3. Si B   x, y, z . Diga cuales de las afirmaciones siguientes son correctas:
 z  B
d.  z   B
a. x  B
b. y  B
c.
4. Exprese los siguientes conjuntos de forma tabular:
a. A  x  N | x  1  0
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b. B  x  Q | 2 x  3
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c. C  x  Q | x 2  3
e. E  x  Z | x 2  4  0
2
d. D  x  R | x 2  1  0
f. F  x  C | x  1  0
5. Cuáles de los siguientes conjuntos son finitos y cuales infinitos:
a.  x | x es par 
c.  x | x es un ser humano 
b.
1,2,3,,99,100 
d.
6. Cuáles de los siguientes conjuntos son vacíos:
a. A   x | x  x 
1,2,3, 
c. C   x | x es un ser humano inmortal 
b. B   x | x  8  8 
d. D   x | 2 x  3x 
7. Si A   x, y, z , ¿Cuántos subconjuntos hay en A y cuáles son?
8. Sea U  1,2,3,4,5,6,7,8,9 , A  1,2,3,4 y B  2,4,6,8 , determine A  B , A  B , A  B , B  A ,
AC y B C .
9. Indique cuál de los siguientes enunciados son falsos o verdaderos:
a.  7  N
d.  6  Q
g. 3 8  N
2  QC
b.
e. 12  Z
h.  2  R
 5 C
c. 4  Z
f.
i.
4R
Actividad No. 2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
¿Porque no existe elemento neutro para la adición en el conjunto de los Números Naturales?
¿Cuáles operaciones son cerradas en el conjunto de los Números Naturales?
¿Existe elemento neutro para la multiplicación en el conjunto de los Números Naturales? Si existe, ¿Cuál es?
¿Existen los inversos aditivos y multiplicativos en el conjunto de los Números Naturales?
¿Tiene la ecuación 5  x  3 alguna solución en el conjunto de los Números Naturales? Justifique.
¿Tiene la ecuación 2 x  7 alguna solución en el conjunto de los Números Enteros? Justifique.
¿Tiene la ecuación x 2  2  0 alguna solución en el conjunto de los Números Racionales? Justifique.
¿Si A  x  N | x  10  7 entonces A   ? ¿Por qué?
9. Conteste Falso o Verdadero, pero cuando conteste Falso dé un contraejemplo:
a. Todo número real es racional.
b. Todo número entero es un racional.
c. Todo número entero es natural.
d. Todo número racional es entero.
e. Todo número entero es irracional.
f. Todo número real es complejo.
g. Todo número complejo es real.
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