ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA 1

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Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto
fijo llamado centro (C).
Distancia del centro y un punto cualquiera de la circunferencia.
( ; ) = ( − ) +( − ) =
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA
( − ) +( − ) =
Elevando ambos miembros al cuadrado se obtiene:
( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2
( − 4) + ( + 2) = 3
–h=–4;
–k=2
y
radio r = 3
Centro (h; k) = ( 4; – 2)
y
=3
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN
( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2
( x  0) 2  ( y  0) 2  4 2
h = 0;
k=0
y
x2  y2  r 2
r=4
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Consideremos la ecuación ordinaria de la circunferencia:
( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2
Desarrollemos los cuadrados de los binomios:
x 2  2hx  h 2  y 2  2ky  y 2  k 2  r 2
Ordenando la ecuación obtenida, resulta:
2
2
2
2
2
x  y  2 hx  2 ky  h  k  r  0
Si designamos:
–2h = D;
–2k = E;
+
−
=
Obtenemos la Ecuación general de la circunferencia
x 2  y 2  Dx  Ey  F  0
+
−
+
+
=
¡Asiste a la escuela, desamparado!
¡Persigue el saber, muerto de frío!
¡Empuña el libro, hambriento! ¡Es un arma!
Estás llamado a ser un dirigente. …
“El fracaso es solamente la oportunidad de comenzar de nuevo de manera más inteligente”
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“EL ESTUDIO NO SE MIDE POR EL NÚMERO DE PÁGINAS LEÍDAS EN UNA NOCHE, NI POR LA
CANTIDAD DE LIBROS LEÍDOS EN UN SEMESTRE. ESTUDIAR NO ES UN ACTO DE CONSUMIR
IDEAS, SINO DE CREARLAS Y RECREARLAS”
Encuentra la ecuación ordinaria de cada circunferencia a partir de los datos que se indican.
Grafica la circunferencia
1. centro (2; 3) y radio 5
Resolución:
C(2; 3)  h = 2 , k = 3 y r = 5
Reemplazamos en la ecuación ordinaria:
( x  2) 2  ( y  3) 2  5 2
( x  2) 2  ( y  3) 2  25
Centro (-2; -3) y radio 2 u
Resolución:
2.
Centro (0; 0) y radio 5u
Resolución:
3.
Centro (1; 1) y radio
Resolución:
2
u
3
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Centro (-1; 2) y radio 3u
Resolución:
4.
Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro (7; 5) y es tangente a la recta:
x – 2y – 4 = 0
Solución:
 El radio r es la distancia del centro
(7; 5) a la recta tangente:
x – 2y – 4 = 0
r  d (C ; L) 
1(7)  2(5)  4
(1)  (2)
2
2

7
5
 Centro(7;5)  h = 7 ; k = 5
( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2
2
 7 
( x  7)  ( y  5)  

 5
49
2
2
Rpta.- ( x  7)  ( y  5) 
5
5. Encontrar la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro (0; -6) y que pasa por el
punto A(-3; -2).
Solución:
 Hallamos el radio r
2


2
r  d ( A; C )  (3  0) 2  (2  6) 2  5
Como C(0; 6)  h = 0 ; k = -6
Ecuación: ( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2
( x  0) 2  ( y  6) 2  5 2
x 2  ( y  k ) 2  25
RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS
6. Centro (2; 3) y radio 5u
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7.
Centro (0; 7) y radio 2u
8.
Centro (4; 0) y radio 7u
9.
Centro (-5; 6) y radio
7u
10. Centro (3; -7) y diámetro 16u
11. Centro (-4; -3) y diámetro 2 10 u
12.
13.
14.
15.
16.
Centro (-2; 5) y pasa por el punto (4; 9)
Centro (5; -3) y pasa por el punto (-2; 7)
los extremos de un diámetro son A(-3; 6) y B(7; 2)
Centro en el origen y radio 6
Centro en el origen y pasa por el punto (7; 8)
 1
17. Centro 1;  y es tangente a la recta 4x + 3y - 15 = 0
 2
18. Centro (2; 3) y es tangente a la recta 5x + 12y + 6 = 0
19. Halla el centro y el radio de la circunferencia: ( x  5) 2  ( y  7) 2  25
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20. Halla el centro y el radio de la circunferencia: x 2  ( y  8) 2  3
21. Hallar la distancia del centro de la circunferencia: ( x  5) 2  ( y  7) 2  36 a la recta: 4y =
3x + 3
22. El punto (2; y 0 ) pertenece a la circunferencia: x 2  y 2  53 , hallar y 0
23. El punto ( x 0 ; -4) pertenece a la circunferencia: ( x  3) 2  y 2  17 . Hallar x 0
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Encuentre la ecuación general de cada circunferencia e indica los coeficientes D, E
F a partir de los datos siguientes:
24. Centro (-3; -5) y radio 7
Solución:
 Hallamos la ecuación ordinaria de la circunferencia: ( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2
( x  3) 2  ( y  5) 2  7 2
Desarrollamos los cuadrados de los binomios y ordenando:
x 2  6x  9  y 2 10y  25  49
x 2  y 2  6x 10y 15  0

Comparando esta ecuación con la ecuación general de la circunferencia.
x 2  y 2  Dx  Ey  F  0
Se tiene: D = 6;
E = 10
Resuelve los siguientes ejercicios
y
F = -15
25. Centro (3; -1) y radio 5
26. Centro (0; 4) y radio
6

27. Centro (-6; 0) y pasa por  4; 5

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y
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28. Centro (-9; -2) y diámetro 16
29. Centro (0; 0) y pasa por (3; 4)
30. Los extremos de un diámetro son los puntos A(-3; -5) y B(1; 7)
31. Los puntos A(0; 0), B(2; 4) y C(6; -2) pertenecen a ella.
32. Centro (5; 12) y pasa por el punto (0; 0)
33. Los puntos A(1; 0), B(3;-2) y C(1; 4) pertenecen a ella.
TRANSFORMACIÓN DE LA FORMA GENERAL A LA FORMA ORDINARIA
Halla las coordenadas del centro y el radio de las siguientes circunferencias.
34. x 2  y 2  4 x  8 y  20  0
Solución:
COMPLETANDO cuadrados para darle
forma ordinaria de la circunferencia
. − 4 + + 8 + 20 = 0
Por definición de ecuación general:
x 2  y 2  Dx  Ey  F  0
-2h = D;
.(
−4 )+(
+ 8 ) = −20
Sumamos en ambos miembros de la
igualdad el cuadrado de la mitad de los
coeficientes de “x” e “y”
.
=4
entonces
- 2k = E
h k r  F
2
= 16
2
2
x 2  y 2  4 x  8 y  20  0
D = -4; E = 8; F = 20
Centro: (h; k) = (2; -4)
-2h=-4  h = 2
-2k = 8  k = -4
Radio :
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( x 2  4 x  4)  ( y 2  8 y  16)  20  4  16
2 2  ( 4) 2  r 2  20
( x  2) 2  ( y  4) 2  0
Luego:
C(2; -4) y radio = 0
No existe el valor del radio, entonces la
circunferencia es imaginaria
4  16  20  r
r =0
Por lo tanto dicha ecuación no
corresponde a una circunferencia si
al punto
 D E
  ;  = (2; -4)
 2 2
35. x 2  y 2  6 x  10 y  30  0
36. x 2  y 2  6 x  10 y  30  0
37. x 2  y 2  2 x  4 y  20  0
38. x 2  y 2  x  6 y 
1
0
4
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39. x 2  y 2  6 x  3  0
40. x 2  y 2  3x  2  0
RESUELVE EN TU CUADERNO
Halla la ecuación de la circunferencia que Halla la ecuación general de la circunferencia
pasa por los puntos:
que pasa por los puntos dados.
41. (1; 2), (6; 5) y (9; 0)
46. A(-4; 2); B(4; 2); C(0; -2)
42. (3; 5), (2; -8) y (3; 2)
47. A(-7; 2); B(1; -2); C(-2; -3)
43. (-1; 4), (3; 7) y (5; 6)
48. A(-6; 9); B(6; 1); C(6; -9)
44. (-9; 8), (5; 4) y (3; 4)
49. A(4; 4 3 ); B(  4 3 ; 4); C(8; 0)
45. (10; 5), (-3; 4) y (8; -7)
50. A(9; -10); B(3; 8); C(-3; 6)
51. A(-10; 3); B(-7; 12); C(-3; 19)
Determina la ecuación general de cada una Encuentre el centro y el radio de cada una de
de las circunferencias cuyos centro y radio las circunferencias.
2
2
son:
60. x  y  10 x  6 y  24  0
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
Centro (3; 2) y radio r = 5
Centro (-8; -10) y radio r = 2
Centro (-25; 30) y radio r = 7
Centro (4; 7) y radio r = 2
Centro (7; 2) y radio r = 20
Centro (8; -20) y radio r = 25
Centro (-6; 25) y radio r = 30
Centro (2; 4) y radio r = 2
61. x 2  y 2  12 x  10 y  41  0
62. x 2  y 2  20 x  14 y  119  0
63. x 2  y 2  14 x  20 y  109  0
64. x 2  y 2  16 x  8 y  70  0
65. x 2  y 2  22 x  14 y  150  0
66. x 2  y 2  30 x  30 y  410  0
67. x 2  y 2  8  0
68. x 2  y 2  8 y  0
69. 9 x 2  9 y 2  12 x  8 y  58  0
70. x 2  y 2  6 x  10 y  6  0
171
71. x 2  y 2  12 y 
0
5
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