ALGEBRA DE MATRICES A

ALGEBRA DE MATRICES
Explicaciones generales
matriz 3 x 4
fila
columna
El primer número nos indica el número de filas que tiene la matriz.
El segundo indica la cantidad de columnas que tiene la matriz.
Ejemplo:
1 2 3 4 
5 6 7 8 
3 filas


La matriz es 3 x 4
9 10 11 12




4 columnas
Si la matriz es A las posiciones de cada número son ai j
i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz
A.
Si la matriz es B las posiciones de cada número son bi j
i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz
B.
Ejemplos:
 a11
A  a 21
 a31
a12
a 22
a32
a13 
a23 
a33 
b11
B  b21
b31
b12
b22
b32
b13 
b23 
b33 
En la siguiente matriz indica la posición del número circulado.
1 2 3 4
5 6 7 8

A
 9 10 11 12


13 14 15 16
2 __________
7 __________
9 __________
14 __________
Suma de matrices
Para poder sumar matrices deben de tener el mismo orden, ambas matrices deben
tener el mismo número de filas y columnas.
Definición de suma:
Si A = (ai j) mxn y B = (bi j) mxn
entonces su suma es
A + B = (ai j + bi j) mxn.
Ejemplo:
Suma las matrices A + B
A
1 3
5 7
B
5 7
4 8
1+5=6
1 3 5 7 6


5 7 4 8
Suma a1 1
+
b1 1
Suma a1 2
+
b1 2
Suma a2 1
+
b2 1
Suma a2 2
+
b2 2
3 + 7 = 10
1 3 5 7 6 10


5 7 4 8
1 3 5 7 6 10


5 7 4 8 9
5+4=9
1 3 5 7 6 10


5 7 4 8 9 15
7 + 8 = 15
Propiedades:
Ley asociativa
Ley conmutativa
A  B  C    A  B   C
A B  B  A
Elemento neutro
0 0 1 2 1 2


0 0 3 4 3 4
Producto de un escalar
Definición:
Si kA = k(ai j) mxn
Debes multiplicar cada número de la matriz por el escalar.
Ejemplo:
Opera 2A
A
1 5
3 4
2A  2
1 5 2 10

3 4 6 8
Inverso aditivo (resta)
A
2 3
4 1
B
4 5
1 2
Opera A – B
A B 
2 3  4 5 6 8


4 1 1 2 5  3
El orden es igual que en la suma pero debes
fijarte muy bien en los signos.
HOJA DE TRABAJO
b) B – A c) 2 A + 3 B d) 5 A - 4 B
En cada ejercicio realiza: a) A + B
1
1
2
1) A  3
4
B 2
6
1 0
0
4
2)
A
3
5 2
6 3
B
3 8
4 9
2
3) A   4
3
3
2
5
5 2
6
7 1
4 2
0
1
B  3
4
7
8
2 9 7
1
0
2 1
B
2
1  2 3
4)
A
5)
A  1 0 B  0 1
1
2
3
4
2 3 4 5
6) A 
B
0
3
2
1
1 2  2 0
7)
A  0 B  1
8)
A  2 5
B 5 7 9
5
0
4
5
7 9 4
3 1 1
6 8 7
0 3
4
9)
A
5 3
 2 8
B
2 1
7 3
Multiplicación de matrices:
Para poder multiplicar debemos revisar primero el numero de filas x columnas
Si tenemos que una matriz es 3 x 5
Matriz A
y la otra 5 x 2 se puede multiplicar si
Matriz B
El tamaño de la
respuesta es 3 x 2
3 x 5
5 x 2
Si los números centrales son
iguales entonces se puede
multiplicar y el tamaño de la
respuesta son los números de los
extremos 3 x 2
Debe ser igual entonces
si se puede multiplicar
Resuelve el siguiente ejercicio e indica si se puede multiplicar las matrices o no, y cual es el tamaño
de la matriz de la respuesta.
Matriz A
Matriz B
3x4
5x6
5x3
7x8
4x2
5x7
3x1
4x3
2x5
¿se puede multiplicar?
Tamaño de respuesta
4x5
6x2
4x6
8x2
3x4
7x2
1x4
4x3
5x4
Ejemplo:
6
7
8
33
 9 10 11  
3 4 5
12 13 14 
0 1 2
1) Reviso el tamaño de la matriz
A= 2x3 B=3x3
Como son iguales se puede
multiplicar.
El tamaño de la matriz de la
respuesta es 2 x 3



Se opera asi:
0  6  1 9  2 12 
0  9  24  33
2)
Siempre se toma la primera matriz
con la fila 1 (horizontal) con la 1
columna (vertical) marcada en la
matriz.
0 1 2
3 4 5
6
7
8
7
8
33 36
9 10 11  
12 13 14 




0  7   110  2 13 
0  10  26  36
0 1 2
3 4 5
6
33 36 39
9 10 11  


12 13 14 

0  8  111  2 14 
0  11 28  39
0 1 2
3 4 5
6
7
8
 33 36 39
9 10 11  

114


12 13 14

3  6  4  9  5  12 
18  36  60  114
0 1 2
3 4 5
6
7
8
 33 36 39
9 10 11  

114 126

12 13 14 

3  7   4  10  5  13 
21  40  65  126
0 1 2
3 4 5
6

7
8
 33 36 39 
9 10 11  
114 126 138

12 13 14
3  8  4  11  5  14 
24  44  70  138
Respuesta:
0 1 2
3 4 5
6

7
8
33 36 39
9 10 11 
114 126 138
12 13 14
EJERCICIOS
Encuentra AB y BA, si es posible.
1)
3 5 
A

2  6
2)
 4  3
A

 2 1 
5  2
B

1 7 
2 1 
B

4 2
3 0  1

4
2 
3) A  0

5  3 1 
1  5 0 
B  4 1  2
0  1 3 
5 0 0 


4) A  0  3 0


0 0 2
3 0 0 
B  0 4 0 
0 0  2
 4  3 1
5) A  

 5 2 2
 2 1
B   0 1 
 4 7 
1 2


6) A  3 4


5 6
2
0

B   1  2
 3
4 
7)
A  1 1
1 
B  2
3
8)
1 2 3
A

4 5 0
1 5 7
B

 2 3 0
Resuelve el siguientes problema:
1) Tres ebanistas: José, Pedro y Arturo trabajan a destajo para una compañota de muebles .Por
cada juego de alcoba en caoba les pagan $500; si es de cedro les pagan $400 y si es de pino tratado
les pagan $100. A continuación están las matrices A y B que representas sus producciones en enero
y febrero. La matriz X es la matriz pago/unidad.
Producción
Salario/
Producción
enero
febrero
Unidad
A
B
X
Caoba Cedro Pino Caoba Cedro Pino
José 
Caoba 500



2
0
3  1
2
3 
Pedro 
Cedro 400
 1
1
4  2
0
3 
Arturo 

 Pino 100
2
3  2
1
4 
 1
Calcule las siguientes matrices y decida que representan.
a) AX
b) BX
c) A  B
D)
 A  B X
Evalúa la expresión matricial
3  3 7 
- 9 5 - 8


A  2 6  2 y B   3 - 7 1 
4 2
 - 1 2 6 
5 
Evalúa:
a) A  B
2
2
b) 3 A  BA
c) A  5B
2
d) A  A  B  B
2
2