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UNIDAD 13
LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA
PROBLEMAS PROPUESTOS
Objetivo general.
Al terminar esta Unidad aplicarás las definiciones y los
elementos que caracterizan a la circunferencia y a la
parábola en las soluciones de ejercicios y problemas.
Objetivos específicos:
1.
Recordarás cuáles son las curvas cónicas y porqué se les da ese nombre; la
ecuación general de segundo grado y las condiciones para que una ecuación
cuadrática represente a cada sección cónica.
2.
Recordarás y aplicarás la definición de la circunferencia como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.
3.
Recordarás las características de los coeficientes de una ecuación de segundo
grado que representa a una circunferencia y la necesidad de conocer tres
constantes independientes para determinar la ecuación de esta curva. Utilizarás
estos conceptos para resolver problemas.
4.
Recordarás y aplicarás la definición de la parábola como un lugar geométrico y
su ecuación en la forma canónica y en la forma general.
5.
Recordarás y aplicarás las características de los coeficientes de una ecuación de
segundo grado que representa a una parábola, y la necesidad de tres condiciones
para determinar su ecuación.
Problemas propuestos:
En los problemas 1 al 6, determina la ecuación en la forma canónica y en la forma general
de la circunferencia sabiendo que:
1.) Su centro está en el punto (5, -2) y pasa por el punto (-1, 5)
2.) Uno de sus diámetros es el segmento que une los puntos (5, -1) y (-3, 7)
3.) Pasa por el origen del sistema cartesiano, la longitud de su radio es 13 y la abscisa
de su centro es -12 (dos soluciones).
4.) Su centro está sobre el eje y y pasa por los puntos A(2, 2) y B(6, -4)
5.) Su centro es C(-4, 2) y es tangente a la recta 3 x  4 y  16  0
6.) Pasa por los puntos A(-3, 3) y B(1, 4) y su centro está sobre la recta
3 x  2 y  23  0
7.) Demuestra
que
 x  3 2   y  4  2
el
punto
A  2, 5 
es
interior
a
la
circunferencia
 36 , y que el punto B  4,1 es exterior a ella.
8.) Determina la longitud de la tangente desde el punto A(x1, y1) a la circunferencia
 x  h 2   y  k 2
 r2
9.) Calcula la longitud de la tangente desde el punto A(-4, 1) a la circunferencia
 x  3 2   y  4  2
 36
Encuentra las coordenadas del centro y la longitud del radio de las circunferencias:
10.) 3 x 2  3 y 2  9 x  12 y  21  0
11.) x 2  y 2  5 x  5 y  0
Determina si las siguientes ecuaciones
representan o no a una circunferencia. Si la
respuesta es afirmativa determina su centro, su radio, la longitud de la circunferencia y el
área del círculo que limita
12.) 4 x 2  4 y 2  28 x  8 y  53  0
13.) x 2  y 2  10 x  4 y  56  0
Encuentra la ecuación, el centro y el radio de la circunferencia que pasa por los puntos
14.) (5, 3), (6, 2) y (3, -1)
15.) (1, 2), (5, 4) y (3, 8)
Encuentra la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo
16.) Cuyos vértices son los puntos P1(-1, 1), P2(3, 5) y P3(5, -3).
17.) Formado por las rectas R1: x  y  8  0 ; R2 2 x  y  14  0 ; R3: 3 x  y  22  0
En los problemas 18 al 21, encuentra la ecuación de la parábola con las características que
se indican, y completa sus elementos de manera que se conozcan el vértice, el foco, la
directriz y la longitud del lado recto.
18.) Su vértice es el origen, su eje es el eje x, y pasa por (–3, 6)
19.) Su foco es el punto (6, –2) y su directriz la recta x – 2 = 0
20.) Su vértice está en (2, 3), su eje es paralelo al eje y y pasa por el punto (4, 5)
21.) Su vértice y su foco son los puntos (–2, 3) y (1, 3), respectivamente.
22.) Encuentra la longitud de la cuerda que pasa por el foco de la parábola x 2  8 y  0
que es paralela a la recta 3 x  4 y  7  0
23.) Encuentra las coordenadas del vértice y del foco, las ecuaciones de la directriz y
del eje y la longitud del lado recto de la parábola 9 x 2  24 x  72 y  16  0
24.) Encuentra la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el centro de la
circunferencia x 2  y 2  2 x  4 y  5  0 y su foco en el punto (1, 2)
25.) Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los puntos
extremos del lado recto de la parábola x 2  4 y  0
26.) Se lanza una piedra horizontalmente desde la cima de una torre de 185m de altura
con una velocidad de 15m/seg . Encuentra la distancia del punto de caída al pie de
la torre suponiendo que el suelo es horizontal
27.) Determina el lugar geométrico que define la ecuación x 2  4 x  2 y  10  0
28.) Encuentra
el
lugar
geométrico
de
los
puntos
(x,
y)
tales
que
 y  22  3x  2  1  31  x)
29.) ¿Cuál es la ecuación del eje de la parábola y 2  4 x  4 y  7  0 ?
30.) Encuentra la ecuación de la parábola cuyo eje sea paralelo al eje y y que pase por
los puntos (4, 5), (–2, 11) y (–4, 21)
31.) Encuentra el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto fijo (–2, 3) sea
igual a su distancia a la recta x + 6 = 0
32.) Encuentra la ecuación de la parábola cuyo vértice está sobre la recta 2 x  3 y  0 ,
su eje es paralelo al eje x y pasa por los puntos (3, 3) y (6, –1)
Soluciones:
1.)
x  52   y  22  85
;
x 2  y 2  10 x  4 y  56  0
2.)
x  12   y  32  32
;
x 2  y 2  2 x  6 y  22  0
3.)
x  12 2   y  52
 x  12 
y
 169
x 2  y 2  24 x  10 y  0
2
11 
325

4.) x   y   
3
9

2
5.)
 x  4 2   y  2 2
6.)
x  2
;
 16 ;
x2  y2 
22
204
y
0
3
9
x 2  y 2  8x  4 y  4  0
2
2
17 
629

y  
2
4

;
x 2  y 2  4 x  17 y  85  0
7.) d AC  2  6 ; d BC  74  8.602  6
8.) l 
x1  h 2   y1  k 2  r 2
9.) l  38
2
2
  y  5   169
;
53
3

10.) C  ,2  ; r 
2
2

5 2
 5 5
11.) C   .  ; r 
2
 2 2
12.) Es un punto.
13.) C(5, -2); r  85 ; Longitud = 6.2882 85 u. Área = 267.036 u2
14.) x 2  y 2  8 x  2 y  12  0
C(4, 1), r  5
15.) x 2  y 2  4 x  10 y  19  0 C(2, 5),
2
2
16  
4
442

16.)  x     y   
5 
5
25

17.)
r  10
x  32   y  22  25
;
;
x2  y2 
32
8
170
x y
0
5
5
25
x 2  y 2  6 x  4 y  12  0
18.) y 2  12 x ; F(–3, 0); x – 3 = 0; LR = 12
19.) y 2  4 y  8 x  36  0 ; V(4, –2); x  2  0 ; LR = 8
20.)
x  2 2
5
 7
 2 y  3 ; x 2  4 x  2 y  10  0 ; F  2,  ; y   0 ; LR = 2
2
 2
21.) y 2  6 y  12 x  15  0 ; x – 1 = 0; LR = 12
22.)
25
2
4
 4 
 4

23.) V   ,0  ; F   ,2  ; y –2 = 0 ; x   0 ; LR = 8
3
 3 
 3

24.)
x  12  16 y  2 ;
x 2  2 x  16 y  31  0
25.) x 2  y 2  5 y  0
26.) 92.5m
27.) Parábola con V(2, 5); p 
1
9
 11 
; F  2,  ; directriz: y   0 ; eje: x  2  0
2
2
 2
28.) La recta y = –2, paralela al eje x
29.) y  2  0
30.) x 2  4 x  2 y  10  0
31.) La parábola y 2  6 y  8 x  23  0
32.) y 2  6 y  4 x  17  0 ; 11 y 2  98 y  108 x  539  0