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Curso de Nivelación Académica
CETIS 79
Cuadernillo de apoyo para el
curso de nivelación
académica en matemáticas
Dirigido a Alumnos de nuevo ingreso
Agosto de 2014
CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS INDUSTRIAL Y DE
SERVICIOS No.79
ACADEMIA LOCAL DE MATEMÁTICAS
Curso de Nivelación Académica
CETIS 79
Elaboraron: Ing. Leticia Castillo Jiménez---Ing. Silvia Leticia Castro Ramírez.
INDICE
1. ARITMETICA
1.1 SISTEMAS NUMÉRICOS 4
1.1.1. Números Naturales…4
1.1.2. Números Enteros 1.1.3. Números Racionales… 5
1.1.4. Números Irracionales. 1.1.5. Números Reales… 7
1.2 OPERACIONES CON LOS SISTEMAS NUMÉRICOS
1.2.1 Operaciones con números enteros… 7
1.2.1.1 Problemas de aplicación Con Números Enteros… 9
1.2.2 Aplicación con números racionales 10
1.2.2.1. Forma práctica de realizar operaciones con números racionales… 10
1.2.2.2 Multiplicación y división de Fracciones… 11
Ejercicios con números racionales… 12
Problemas de aplicación de números racionales… 13
Problemas de aplicación con números reales… 14
1.3 MÚLTIPLO DE UN NÚMERO. DIVISIBILIDAD. NÚMERO PRIMO 16
1.3.1 Conceptos básicos…16
1.3.1.1 Múltiplo de un número 1.3.1.2 Divisibilidad 1.3.1.3 Números primos…16
1.3.1.4 Potencia de un número… 17
1.3.2Descomposición de un número en sus factores primos… 17
1.3.3 Calculo del m.c.m.
1.3.4 Calculo del m.c.d... 18
Ejercicios y Problemas de aplicación… 19
1
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Elaboraron: Ing. Leticia Castillo Jiménez---Ing. Silvia Leticia Castro Ramírez.
1.4 Leyes de los exponentes…22
1.5 RADICACIÓN… 23
Ejercicios 24
1.6 RAZONES Y PROPORCIONES… 26
Ejemplos de aplicación…27
Problemas de aplicación… 29
Ejercicios y problemas de porcentajes… 29
2. INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA
2.1. Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico… 31
2.2. Notación algebraica.
2.3. Tabla resumen de signos algebraicos… 33
2.4 Expresiones algebraicas… 34
2.5 Clasificaciones de los términos algebraicos… 36
Actividad de conformación de conocimientos…36
2
Curso de Nivelación Académica
CETIS 79
Elaboraron: Ing. Leticia Castillo Jiménez---Ing. Silvia Leticia Castro Ramírez.
DESCRIPCIÓN:
El objetivo de este curso de Nivelación Académica de Matemáticas es mejorar tus conocimientos,
habilidades y aptitudes, en matemáticas a fin de que adquieras una base sólida en formación
matemática
y
facilitar
tu
adaptación
en
este
nivel
bachillerato.
Impartido con una metodología eminentemente práctica, este curso es una ayuda tanto para
manejar con soltura los métodos y técnicas propios de las Matemáticas como para revisar
conceptos fundamentales de aritmética y álgebra, adquiridos en la secundaria.
3
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1. ARITMÉTICA
La Aritmética es la rama de las matemáticas que estudia los números y las
operaciones que con ellos se pueden realizar.
Esta rama sobresale por su exactitud y precisión, es extensa y útil en sus aplicaciones, se
estudian las propiedades esenciales de los números, las relaciones numéricas entre sí y las 4
operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división) con enteros y fracciones; así
como el cálculo de potencias, resolución de problemas de razones y proporciones así como
determinación de porcentajes.
1.1.
SISTEMAS NUMÉRICOS
¿QUE ES UN NÚMERO? Un número es un ente (algo intangible, por decirlo así) que nos sirve para
contar y establecer un orden de sucesión entre las cosas. Los números se pueden clasificar en:
Naturales,
Enteros,
Fraccionarios,
Irracionales,
Racionales
y
Reales.
Cada conjunto de números engloba a otros, como puedes observar en esta imagen:
I
Z
N
Q
R
1.1.1. NUMEROS NATURALES (N)
A través de la historia el ser humano ha tenido la necesidad de contar, y diferentes ideas
para poder hacerlo, probablemente en sus inicios lo hizo utilizando los dedos de sus manos y
después con rayas en el suelo, piedras, varas etc., motivando con ello el tener que agrupar y formar
los diferentes Sistemas Numéricos.
Pero, ¿qué contaba?, contaba la cantidad de animales que tenía que cazar, la extensión
de sus tierras, la cantidad de personas de las tribus enemigas, etc.
Los números naturales son los que sirven para contar, lo representamos con la letra N.
Contar un conjunto es coordinar sus elementos con una parte de la serie de los números naturales
comenzando con el uno.
En forma resumida: Los números naturales son aquellos que normalmente utilizamos para
contar. Son aquellos números positivos y sin parte decimal.
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}
4
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1.1.2 NUMEROS ENTEROS (Z)
Son todos los números naturales y sus opuestos, es decir, los números enteros positivos
y negativos.
Z = {0, 1, -1 ,2, -2 , 3, -3 , 4 , -4... }
Los números enteros son el conjunto formado por los enteros positivos y negativos
incluyendo al cero. Los podemos representar gráficamente sobre la recta numérica, teniendo el cero
como medida central:
NEGATIVOS
POSITIVOS
-5
-4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
1.1.3 NUMEROS RACIONALES (Q)
Son todos aquellos que se pueden escribir en forma de fracción. Incluyen los naturales y
los números enteros.
Los números racionales son aquellos números en forma de fracción:
a
b
a y b son número enteros y
b0
porque la división por cero no existe
Los números enteros a y b reciben el nombre de “términos de la fracción”, separados
mediante una línea horizontal, como se muestra:
2
Numerador
7
Denominador
Indica las partes que se toman de la unidad
Indica el número de partes en que se divide la
unidad
Otras formas de representación son:
a) Como una división
b) Como una razón:
a
 k  a  b (representación con decimales)
b
a
= a:b
(comparación de partes iguales “a” es a “b”)
b
Las cuales pueden ser escritas en tu calculadora científica mediante la tecla: a/b/c
Una fracción puede ser:
a) Impropia: Si el numerador es mayor que el denominador, ejemplo:
4
8
5
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Elaboraron: Ing. Leticia Castillo Jiménez---Ing. Silvia Leticia Castro Ramírez.
b) Propia: Si el numerador es menor que el denominador, ejemplo:
5
8
Nota: Cuando el denominador es la unidad, esta se omite. Se expresa como simplemente 8.
Fracción Equivalente:
Es aquella que se representa en forma diferente, pero tiene el mismo valor, ejemplo:
1
2
Es equivalente a
5
10
Las fracciones equivalentes son muchas y variadas, para hallarlas bastará con
multiplicar al numerador y denominador por un mismo número, ejemplos:
 5  4  20
   
 7  4  28
 3  2  6
   
 5  2  10
La comparación de cada par de números racionales, nos proporciona una razón de
orden, indicado con los símbolos:
>
<
Mayor que
Menor que
Las fracciones equivalentes con el signo:
=
Igual
Para determinar si una fracción es mayor o menor que otra se efectúan los productos
cruzados, siendo mayor la fracción que cuyo numerador genere el mayor producto.
Ejemplo:
8 3

5 7
(8)(7)  56
(5)(3)  15
El numerador que genera el mayor producto es 8, por lo tanto
8
,
5
es la fracción mayor.
Por lo tanto, por simple inspección se puede afirmar que:
2 8

3 12
6 3

7 5
5
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1.1.4 NUMEROS IRRACIONALES (I)
Los números irracionales son elementos que no pueden expresarse mediante el
cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un
periodo definido. De este modo, puede definirse al número irracional como decimal infinito no
periódico. Es decir, son los números que poseen infinitas cifras decimales
Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es
aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135... , es decir, los
tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos
de escribir.
Son ejemplos de este tipo de número todas las raíces cuyo resultado no sea exacto.
Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante
símbolos especiales; los dos principales son los siguientes:
p = 3,1415923,
e = 2,7182818...., También:
7 , 10 , 3 28
1.1.5 NUMEROS REALES: (R)
Incluyen todos los números anteriormente descritos. Cubren la recta real y cualquier
punto de esta es un número real.
4
-7
0
3
5

Se pueden realizar entre los NUMEROS REALES las 4 operaciones básicas, la potenciación y la
radicación.
1.2 OPERACIONES CON LOS SISTEMAS NUMERICOS
1.2.1 Operaciones con números enteros:
Los aspectos preliminares para la realización de las cuatro operaciones básicas, es el uso de la
ley de los signos y el uso de los signos de agrupación que auxilian a la demostración de las
propiedades:
6
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a)
Asociativa: Sin importar de qué manera se agrupen los sumandos, la suma o total no se
altera.
Ejemplo:
3 + 4 + 5 + 6 = (3 + 4) + (5 + 6) = 3 + (4 + 5 + 6)
b)
Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma
Ejemplo:
2+3+4=3+2+4=4+3+2=2+4+3
c)
Distributiva: Esta ley relaciona el producto con la suma, y dice; un producto puede ser
igual a una suma y recíprocamente, la suma igual a un producto, puesto que la igualdad es
simétrica.
Ejemplo:
3(4+5)=(3)(4)+(3)(5)
3 (9) = 12 + 15
27 = 27
Signos de agrupación:
( ) Paréntesis
[ ] corchetes
{ } Llaves
Vínculo
Jerarquía de las operaciones:
Deben efectuarse en el siguiente orden, el cual es el utilizado por las calculadoras científicas:
a)
Primero Potencias y Raíces
b)
Después Cocientes y Productos
c)
Y al final Sumas y Restas
1.- Realiza en tu libreta las siguientes adiciones y sustracciones:
a) ( 4 + 5 + 3 ) + 8 =
e) 150 – [ ( 5 – 1 ) - ( 4 – 3 ) ] =
b) 60 – ( 8 + 5 + 7 ) =
f)
c) ( 43 – 15 ) – 19 =
g) 500 – { 6 + [ ( 14 – 6 ) – ( 7 – 2 ) + ( 4 – 1 ) ]} =
d) ( 9 – 4 ) + ( 3 + 2 + 5 ) =
h) [ 8 + ( 4 – 2 ) ] + [ 9 – ( 3 + 1 ) ] =
450 – [ 6 + { 4 – ( - 3 – 1 )}]
7
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2.- Realiza los siguientes productos:
a) ( 20 –14 ) ( 8 – 6 )=
b) ( 50 x 6 x 42 x 18 ) 9 =
c) ( 11 – 4 ) 5 – 4 ( 6 + 2 ) + 4 ( 5 – 3 ) – 2 ( 8 – 6 ) =
d) 6 [ 3 + ( 5 – 1 ) 2] =
3.- Obtén los siguientes cocientes respetando la jerarquía:
a)
8+63=
b)
62+84=
c)
(5 x 6 x 3 )  15 =
d)
( 9 – 6 )  3 + ( 15 – 3 )  ( 7 – 3 ) + ( 9  3 ) =
1.2.1.1 Problemas de aplicación con números enteros (Realiza las operaciones en tu
cuaderno)
1. Un emperador romano nació en el año 63 a. C. y murió en el 14 d. C. ¿Cuántos años vivió?
R=
2. Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito
situado a 48 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo? R=
3. ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de
conservación de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del pescado congelado, que
está a −18 ºC? ¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura? R=
4. La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300
metros. Si la temperatura al nivel del mar en un punto determinado es de 0ªC, ¿a qué altura
vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC? R=
5. En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 l por
minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de agua
habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento? R=
8
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1.2.2. Aplicación de números racionales.
1. Al repartir un pastel para nueve personas, habrá que dividir el pastel en nueve partes iguales
llamadas:
R = novenos
2. Un padre de familia deja un terreno como herencia a sus tres hijos, el terreno tiene las
siguientes dimensiones: 63 m. de largo y 15 m de ancho ¿cuánto le corresponde en fracciones
de terreno a cada hijo?
1) Se obtiene el área del terreno:
A = b x h = 63 m x 15m = 945 m2
2) Se divide dicha área por el número total de hijos:
945m2
= 315 m2/hijos
33hijos
hijos
Lo que representa del total del terreno,
1
3
Escribe los símbolos de > ó < ó =, entre cada pareja de números racionales según
corresponda:
1)
3)
4
2
7
5
1
2
2
4
2)
4)
31
19
8
7
7
21
2
6
Existen diversas operaciones con fracciones que se utilizan en aritmética: suma, resta,
multiplicación y división.
1.2.2.1 Forma práctica de efectuar operaciones números racionales (FRACCIONES)
Con el mismo denominador:
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
4 1 3
 
7 7 7
4 1 5
 
7 7 7
9
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Con distinto denominador
En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se
restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
5 1 30  4 26 13
 


4 6
24
24 12
5 1 30  4 34 17
 


4 6
24
24 12
1.2.2.2 Multiplicación y división de fracciones
Multiplicación de Fracciones: Se multiplica numerador por numerador y denominador por
denominador. El resultado se simplifica si es posible.
Ejemplos:
3 2 6 1
x 

4 3 12 2
4 7 28
13
x 
1
5 3 15
15
5 3 2 3
x x 
2 7 5 7
NOTA: En el producto de tres o más fracciones se efectúa el mismo procedimiento.
División de Fracciones:
Regla: Existen dos formas de poder efectuar la división de fracciones:
Método 1: Se multiplica el primer numerador por el segundo denominador y se coloca el
resultado como numerador de la nueva fracción, después se multiplica el primer denominador
por el segundo numerador y se coloca el resultado como denominador de nuestra nueva
fracción, se simplifica si es necesario y ese será el resultado. (En zigzag)
Ejemplo:
3
4

1
=
3
9
1
4
2

5
3
=
5
6
Método 2: Se invierte la segunda fracción de la división y ésta se convierte en una multiplicación
de fracciones por lo que habrá que aplicar la regla ya conocida para un producto de fracciones.
Ejemplo:
INVERTIR
5

3
5
2
6
=
6
x
3
2
30
=
6
=
5
INVERTIR
4
5

4
2
8
=
8
x
5
2
10
32
=
10
16
=
5
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1.2.2.3.Ejercicios con números racionales (fracciones)
Instrucciones:
En tu libreta, utilizando las técnicas ya explicadas.
Resuelve:
1 2
) 3
+
3 4
) 3
-
5 2
) 5
+
7 4
) 9
+
9 1
) 2
-
5
3
=
R
=
2
)
=
R
=
4
)
=
R
=
6
)
=
R
=
8
)
=
R
=
10
)
2
5
3
4
3
7
2
5
1
+
4
2
8
4
-
5
+
2
-
4
-
7
R
=
=
R
=
=
R
=
=
R
=
1
3
3
=
1
5
3
R
=
2
7
7
=
2
9
Aplicando las reglas para productos y cocientes con fracciones
Resuelve:
1
)
5
3
)
5
5
)
3
7
)
4
9
)
7
x
9
x
8
1
2
3
4
x
5
x
=
4
)
=
6
)
=
8
)
=
10
)
7
2

=
2
)
2
3
3
2
3
3
4
11
1
2
2

4

5
7
2
x

7
2
3
1
2
4
=
=
3
8

=
6
9
3
2
2
=
5
6
=
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1.2.2.4. PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON NÚMEROS RACIONALES
Resuelve en tu cuaderno los ejercicios y problemas con fracciones comunes.
1. Calcula qué fracción de la unidad representa:
a) La mitad de la mitad.
b) La mitad de la tercera parte.
c) La tercera parte de la mitad.
d) La mitad de la cuarta parte.
2. Para preparar un pastel, se necesita: 1/3 de un paquete de 750 g de azúcar, 3/4
de un paquete de harina de kilo y 3/5 de una barra de mantequilla de 200 g.
Halla, en gramos, las cantidades que se neces itan para preparar el pastel. R =
3. Un depósito contiene 150 l de agua. Se consumen los 2/5 de su contenido.
¿Cuántos litros de agua quedan?
4. De una pieza de tela de 48 m se cortan 3/4. ¿Cuántos metros mide el trozo
restante? R =
5. Una familia ha consumido en un día de verano: Dos botellas de litro y medio de
agua, 4 botes de 1/3 de litro de zumo, 5 limonadas de 1/4 de litro. ¿Cuántos
litros de líquido han bebido? Expresa el resultado con un número mixto. R=
6. ¿Cuántos tercios de litro hay en 4 l?
7. Un cable de 72 m de longitud se corta en dos trozos. Uno tiene las 5/6 partes
del cable. ¿Cuántos metros mide cada trozo? R=
8. Una caja contiene 60 bombones. Eva se comió 1/5 de los bombones y Ana 1/2.
¿Cuántos bombones se comieron Eva, y Ana? ¿Qué fracció n de bombones se
comieron entre las dos? R=
9. Ana ha recorrido 600 m, que son los 3/4 del camino de su casa al instituto. ¿Qué
distancia hay de su casa al instituto? R=
10. Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A
lleva recorrido los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo.
¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros llevan recorridos cada uno?
R=
12
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11. En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron
para el partido A, 3/10 para el partido B, 5/14 para C y el resto para el partido
D. El total de votos ha sido de 15.400. Calcular: a) El número de votos obtenidos
por cada partido. b) El número de abstenciones sabiendo que el número de
votantes representa 5/8 del censo electoral. R=
12. Elena va de compras con 180 €. Se gasta 3/5 de esa cantidad. ¿Cuánto le
queda? R=
13. Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los 2/3 de su edad
actual. ¿Qué edad tiene Pedro? R=
14. Un padre reparte entre sus hijos 1800 €. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad,
al mediano 1/3 y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué
fracción del dinero recibió el tercero? R = El mayor 800€, el mediano 600€ y el
menor 400€, y la fracción de dinero recibida por el menor fue 2/9.
15. Los 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean combustible,
1/8 se emplea en electricidad, 1/12 en la recogida de basuras, 1/4 en
mantenimiento del edificio y el resto se emplea en limpieza. A) ¿Qué fracción
de los ingresos se emplea en limpieza? B)
De acuerdo con la fracción de
ingresos empleada, ordena las partidas enumeradas de menor a mayor. R=
1.2.2.5. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
En una planta industrial los trabajadores tienen una jornada diaria de trabajo de 8 horas
de lunes a sábado. Todo trabajo realizado después de este tiempo se contabiliza como tiempo
extra y se lleva un registro por trabajador.
La empresa paga el salario mínimo durante el tiempo normal y por cada hora
extra paga el doble, de lunes a viernes. Paga el triple, por tiempo extra del sábado, y si labora
en domingo paga el cuádruple por hora trabajada. El supervisor de producción recopiló la
siguiente información de un equipo de trabajo:
13
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Horas Diarias Trabajadas
Nombre
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
8
9.5
12.4
11.3
8
12.5
3.1
8
8.5
9.3
9
8.5
9.4
2
R. NAVARRETE10
9.6
12.5
8
11.5
8.3
3.5
HERNÁNDEZ
8
8
8
8.7
8
9
0.0
R. ALBOR
8.5
9.8
8.7
8
9.3
9.5
2.5
N. AGUILAR
9
9.5
8.2
8
8
10.5
3.5
8.5
9.5
10.3
10.5
9.7
2
A. MARTINEZ
J. CRUZ
C. FERNANDEZ8.5
CONTESTA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS:
1. ¿Qué trabajador ha laborado el mayor número de horas de trabajo semanalmente?
R.- ___________________________________________
2. ¿Cuál es el que laboró el menor número de horas extras?
R.- ___________________________________________
3. ¿Cuánto ganó Martínez por su horario normal?
R.- ___________________________________________
4. ¿Cuánto pagó la empresa a la semana por este equipo de trabajo?
R.- ___________________________________________
5. ¿Cuánto pagó la empresa por las horas extras?
R.- ___________________________________________
6. Por el horario normal ¿cuánto pagó la empresa?
R.- ___________________________________________
7. Sí estos empleados trabajaran bajo el mismo ritmo durante un mes ¿Cuál sería la nómina
a pagar mensualmente?, ¿Cuánto al año?
R.- ___________________________________________
14
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1.3 MINIMO COMUN MULTIPLO (mcm) Y MAXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
1.3.1 Conceptos básicos.
1.3.1.1 MULTIPLO DE UN NÚMERO. Un número entero "a" es múltiplo de otro entero "b"
cuando existe otro número natural que multiplicado por b nos da como resultado el número a.
Por ejemplo:
a=18
b=9
a=2·b
En este caso, 2 es el número natural que cumple con la condición anteriormente descrita y se
dice que 18 es múltiplo de 9.
Los múltiplos de un número son aquellos que resultan de multiplicarlo por la secuencia de
números enteros.
Así,
Los múltiplos del número 2 serían 2,4,6,8,10,12,...
Los múltiplos del 3 serían 3,6,9,12,15,...
1.3.1.2. DIVISIBILIDAD
Decimos que un número entero b es divisible entre otro entero a (distinto de cero)
si existe un tercer entero c tal que:
b=a·c
Se suele expresar de la forma b/a, que se lee a divide a b, o a es divisor de b, o
también b es múltiplo de a.
Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues no existe un
entero c tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es
cero.
15
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CETIS 79
1.3.1.3. NÚMERO PRIMO es un número natural que tiene exactamente dos divisores naturales
distintos: él mismo y el 1.
Euclides demostró alrededor del año 300 a. C. que existen infinitos números
primos. Se contraponen así a los números compuestos, que son aquellos que tienen algún
divisor natural aparte de él mismo y del 1. El número 1, por convenio, no se considera ni primo
ni compuesto.
Los números primos menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,
23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97
Son ejemplos de números compuestos:
4, es divisible por 1, 2 y por 4.
12, es divisible por 1, 2, 3, 4, 6,12
1.3.1.4. POTENCIA DE UN NÚMERO. Es el resultado tras la sucesiva multiplicación de un
número por sí mismo. La potenciación es un modo abreviado de escribir un producto de un
número por sí mismo.
En la expresión de la potencia de un número se consideran dos partes:
-La base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
-El exponente es el número que indica las veces que la base aparece como factor.
Una potencia se escribe tradicionalmente poniendo el número base de tamaño normal
y junto a él, arriba a su derecha el exponente, de tamaño más pequeño.
Para nombrar o leer una potencia decimos primeramente el número base, después
decimos lo referente al exponente. Cuando el exponente es 3 se dice “elevado al cubo”. En los
demás casos se dice “elevado a la cuarta, quinta, sexta,…potencia”
Más adelante se expondrán las leyes que siguen la potenciación de una cantidad.
1.3.2 DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS
Todo número puede expresarse como producto de factores primos. Para
descomponer un número en sus factores primos, se debe seguir el siguiente procedimiento:
1. Dividir el número por el menor número primo posible.
2. Si el resultado puede dividirse nuevamente por ese número, realizar la división.
16
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CETIS 79
3. Si el resultado no puede volver a dividirse por ese número, buscar el menor número
primo posible para continuar dividiendo.
4. Seguir con el procedimiento hasta obtener el cociente igual a uno.
Ejemplo: descomponer 90 en sus factores primos:
1.3.3. CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M)
Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos,
expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado
de multiplicar los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, por ejemplo el
m.c.m de 72 y 50 será:
50  215 2
72  2 33 2
Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:
1.3.4 CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)
17
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CETIS 79
El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando
la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes
con su menor exponente, el producto de los cuales será el mcd. Por ejemplo, para calcular
el máximo común divisor de 48 y de 60 obtenemos la factorización en factores primos
De las factorizaciones de 48 y 60:
El mcd son los factores comunes con su menor exponente, esto es:
Ejercicios del m.c.m. y m.c.d, resolver en tu libreta:
1.
2.
3.
a.
b.
c.
d.
e.
Calcular el m.c.d. de 55 y 280
Calcular el m.c.m. de 105 y 350
Indicar cuál de las siguientes expresiones son correctas:
m.c.d. (15,28) = 6
m.c.d. (3,25) =3
m.c.d.(6,12,42)= 6
m.c.m. ( 15,28)=210
m.c.m.(25,3)275
PROBLEMAS DE M.C.D. Y M.C.M. resolver en tu libreta
1. Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 m de largo y 96 m de ancho, en
cuadrados lo más grandes posibles. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado?
¿Cuántos cuadrados se tienen de la plancha de madera? R= se aplica máximo común
divisor, y se obtiene un cuadrado de 25 ó 32 m de lado, este número divide tanto a la longitud
como al ancho, y se obtienen 3 x 8 ó 24 cuadrados.
2. Un viajante va a Sevilla cada 18 días, otro va a Sevilla cada 15 días y un tercero va a Sevilla
cada 8 días. Hoy día 10 de agosto han coincidido en Sevilla los tres viajantes. ¿Dentro de
cuantos días como mínimo volverán a coincidir en Sevilla? R = El número de días que han
18
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CETIS 79
de transcurrir como mínimo para que los tres viajantes vuelvan a coincidir en Sevilla tiene
que ser un múltiplo de 18, de 15 y de 8, y además tiene que ser el menor múltiplo común;
luego hay que calcular el m.c.m. (18,15, 8), el cual da 360 días.
3. Andrés tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsitas de 24
botones cada una y no sobra ningún botón. En la caja B tiene bolsitas de 20 botones cada
una y tampoco sobra ningún botón. El número de botones que hay en la caja A es igual que
el que hay en la caja B. ¿Cuántos botones como mínimo hay en cada caja? R= Aplicando m.c.m.
se obtienen que son 120 botones como mínimo en cada caja.
4. Se encuentran en el autobús dos amigos magos que no se veían hace mucho tiempo. Dice
uno: “Tengo tres hijas, el producto de sus edades es 36 y la suma es el número del autobús
en el que vamos. ¿A que no sabes qué edades tienen?” El otro hace unos cálculos y
exclama: “Me hacen falta datos”. Bueno, la mayor toca el piano”. “Ah, ya sé las edades de
tus hijas” ¿Qué edades tienen? (A. Einstein). R = Sean a, b y c las edades de las tres
hermanas, en orden creciente. Entonces abc = 36 = 2232. . Por la factorización única, las
posibilidades para (a, b, c) son las siguientes: (1, 1, 36), (1, 2, 18), (1, 3, 12),(1, 4, 9), (1, 6,
6), (2, 2, 9), (2, 3, 6) y
(3, 3, 4). La suma a + b + c vale en cada caso 38, 21, 16, 14, 13,13,
11 y 10; así pues los magos viajan en el autobús número 38, 21, 16, 13, 11 ó 10. Si viajaran
en el autobús 38, 21, 16, 11 ó 10, al segundo mago no le faltarían datos (por ejemplo, si el
número del autobús fuera el 38, ya sabría que el primer mago tiene dos hijas de un año y
otra de 36). Luego viajan en el autobús número 13. Entonces el primer mago tiene una hija
de 1 año y dos de 6 o bien dos hijas de 2 años y una de 9; como “la mayor toca el piano”,
tiene dos hijas de 2 años y una de 9.
5. Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada
minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán
a coincidir en los cinco minutos siguientes.
12 = 2 2 · 3
18 = 2· 3 2
60 = 2 2 · 3 · 5
m. c. m. (12 , 18, 60) = 2 2 · 3 2 · 5= 180
180 : 60 = 3
Sólo a las 6.33 h
19
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CETIS 79
6. Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado
los dos en Barcelona. ¿Dentro de cuántos días volverán a estar los dos a la
vez en Barcelona?
7. ¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48,
en cada caso, da de resto 9?
m. c. m. (15, 20, 36, 48) = 2 4 · 3 2 · 5 = 720
720 + 9 = 729
8. En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y
540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales.
Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se
pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de
garrafas que se necesitan.
m. c. d. (250, 360, 540) = 10
Capacidad de las garrafas = 10 l.
Número de garrafas de T 1 = 250 / 10 = 25
Número de garrafas de T 2 = 360 / 10 = 36
Número de garrafas de T 3 = 540 / 10 = 54
Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas.
9. El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m
de ancho. Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de
baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de
ellas.
3 m = 30 dm 30 = 2 ·3 · 5
5 m = 50 dm 50 = 2 · 5 2
A = 30 · 50 = 1500 dm 2
m. c. d. (30, 50) = 2· 5= 10 dm de lado
A b = 10 2 = 100 dm 2
1500 dm 2 : 100 dm 2 = 15 baldosas
10. Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de
modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y,
20
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CETIS 79
además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja
y el número de cajas necesarias.
m. c. d. (12 028, 12 772) = 124
124 naranjas en cada caja.
Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 104
Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97
Cajas necesarias = 104 + 97 = 201
1.4. LEYES DE LOS EXPONENTES
Para el cálculo de potencias enteras de números racionales es necesario conocer las
propiedades o leyes de los exponentes.
Potenciación:
1.- Cualquier número elevado a la potencia cero es igual a la unidad
20 = 1; 60 = 1; 15.10 =1; etc.
Ejemplo:
2.- Cuando dos potencias de la misma base se multiplican, sus exponentes se suman.
(32 ) ( 34 ) = 32 + 4 = 36
Ejemplo:
3.- Cuando dos potencias de la misma base se dividen, se escribe la misma base y se eleva a
la diferencia de los exponentes, el del numerador menos el del denominador.
Ejemplo:
36
=
36-2 =
34
32
4.- Si una potencia se eleva a un exponente, se escribe la base elevada al producto de los
exponentes.
Ejemplo:
( 52 )3 =
5(2)(3)
=
56
5.- Si un término cualquiera formado por dos o más factores se eleva a un exponente, éste
afecta por igual a cada factor.
Ejemplos:
a)
( 3 x 8)2 = 32 x 82
b)
3
2
=
32
8
82
6.-Si una cantidad está elevada a un exponente negativo dicho signo se vuelve positivo con
cambiar dicha cantidad de numerador a denominador ó viceversa, según donde se encuentre
dicha cantidad.
21
Curso de Nivelación Académica
Ejemplos:
4-2 =
CETIS 79
1
1
53 =
42
5-3
1.5 RADICACIÓN:
La radicación es la operación inversa a la potenciación.
8 2  64
64  8
Un radical, es un signo que representa exponentes fraccionarios, siendo la base de la
potencia el radicando, el numerador del exponente será el exponente del radicando, y el
denominador el índice de la raíz.
Ejemplos:
x3 = x
3
x5 = x
2
5
2
6
x7  x
7
6
Nota: el único índice que no se indica es el 2.
Reglas de los signos de radicación:
a) Si el índice es impar y el radicando es positivo, la raíz es única y positiva
3
64  4
b) Si el índice es impar y el radicando es negativo, la raíz es única y negativa
3
 8  2
23
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CETIS 79
Si el índice es par y el radicando es positivo, existen dos raíces de igual valor absoluto,
pero de diferente signo.
25  5
25  5
c) Sí el índice es par y el radicando es negativo, no hay solución en el campo de los
números reales, ya que su resultado es imaginario.
7 = i
No hay solución en el campo de los números reales, porque no existe un
número que al multiplicarse por sí mismo nos dé un resultado igual a – 7.
Ejercicios de potencias, resuelve en tu cuaderno:
1.-Escribe en forma de una sola potencia:
1. 3 3 · 3 4 · 3 =
9. 2 5 · 2 4 · 2 =
2. 5 7 : 5 3 =
10. 2 7 : 2 6 =
3. (5 3 ) 4 =
11. (2 2 ) 4 =
4. (5 · 2 · 3) 4 =
12. (4 · 2 · 3) 4 =
5. (3 4 ) 4 =
13. (2 5 ) 4 =
6. [(5 3 ) 4 ] 2 =
14. [(2 3 ) 4 ] 0 =
7. (8 2 ) 3 =
15. (27 2 ) 5 =
8. (9 3 ) 2 =
16. (4 3 ) 2
2.-Realizar las siguientes operaciones con potencias:
1. (−2) 2 · (−2) 3 · (−2) 4 =
6. 2 − 2 : 2 3 =
2. (−8) · (−2) 2 · (−2) 0 (−2) =
7. 2 2 : 2 − 3 =
3. (−2) − 2 · (−2) 3 · (−2) 4 =
8. 2 − 2 : 2 − 3 = 2
4. 2 − 2 · 2 − 3 · 2 4 =
9. [(−2) − 2 ]
5. 2 2 : 2 3 =
10. [(−2) 6 : (−2) 3 ] 3 · (−2) · (−2) − 4 =
24
3
· (−2) 3 · (−2) 4 =
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3.-Realizar las siguientes operaciones con potencias:
1. (−3) 1 · (−3) 3 · (−3) 4 =
6. 5 − 2 : 5 3 =
2. (−27) · (−3) · (−3) 2 · (−3) 0 =
7. 5
3. (−3) 2 · (−3) 3 · (−3) − 4 =
8. 5 − 2 : 5 − 3 =
4. 3 − 2 · 3 − 4 · 3 4 =
9. (−3) 1 · [(−3) 3 ] 2 · (−3) −4 =
5. 5 2 : 5 3 =
10. [(−3) 6 : (−3) 3 ]
2
: 5
4.-Realiza las siguientes operaciones con potencias:
8
1
9
2
10
3
11
4
5
12
6
13
7
25
−3
=
3
· (−3) 0 · (−3) − 4 =
Curso de Nivelación Académica
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5.-Efectúa:
6.-Opera:
7.-Calcula los valores de las siguientes potencias:
3)
1)
4)
2)
1.6 RAZONES Y PROPORCIONES
Razón: Es la relación comparativa que existe entre dos cantidades de la misma especie. Cuando
se comparan dos cantidades, pueden hacerlo por diferencia (aritmética) y por cociente
(geométrica).
La razón se compone de dos términos, antecedente y consecuente, ejemplo:
Antecedente
9 - 5
9
consecuente
Antecedente
5
Consecuente
Proporción: Se define como la igualdad entre dos razones
Proporción
2
1
Razón
6
=
3
Razón
2: 1 :: 6 : 3 Esto se lee: “2 es a 1, como 6 es a 3”
26
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CETIS 79
Proporcionalidad: Dos cantidades son proporcionales cuando al variar una de ellas, la otra
también varía.
Proporcionalidad directa: Cuando al aumentar una cantidad la otra también aumenta o cuando
disminuye una la otra también lo hace.
Proporcionalidad inversa: Cuando al aumentar una cantidad la otra disminuye o cuando
disminuye una de ellas la otra aumenta.
Porcentaje: Cantidad que resulta de multiplicar un numero por el tanto por ciento en fracción
decimal.
n% =
n
100
1.6.1 EJEMPLOS DE APLICACIÓN:
1. La mamá de Luis va a comprar tela para mandarse hacer un vestido. El metro de tela de
popelina cuesta $15.00, mientras que el de seda cuesta $90.00. Con la compra de un metro de tela
de seda, ¿cuántos metros de popelina puede comprar?, ¿Cuál es la diferencia entre el costo de un
metro de seda y un metro de popelina?
Datos:
a)
b)
c)
d)
Precio del metro de popelina = $15.00
Precio del metro de seda = $90.00
X = diferencia de precio de seda y popelina
Y = cociente de precio de seda entre popelina
Operaciones:
X = precio de 1metros de seda – el precio de 1mt. de popelina
X = $90.00 - $15.00
X = $75.00 ; este resultado se le llama razón aritmética
Costo de un metro de seda
Y=
Costo de un metro de popelina
Y
90
6
15
Y=
6 veces más caro el metro de seda; a este resultado se le llama razón geométrica
27
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CETIS 79
2. Un alumno del CETIS. no. 79 va a comprar sus útiles escolares y cursará 7 materias; en cada
una utilizará una libreta que le cuesta $15.00 ¿cuánto tendrá que pagar por 7 libretas?
Datos:
Una libreta = $15.00
7 libretas = $X
Operaciones:
1
7

15 X
También: 1:15:: 7: x (Esta es una proporción)
Despejando X resulta:
X = (7) (15)
X = 105
Se observa que a más libretas compradas más dinero gasta, a esto se le llama proporción directa.
3. Dos alumnos de computación tardan en capturar un trabajo 2.5 horas.; 5 alumnos ¿cuánto
tiempo necesitan para realizarlo?
Datos:
a) 2 alumnos -
tiempo 1 = 2.55 horas
b) 5 alumnos -
tiempo 2 = X
Operaciones:
Procediendo en forma directa quedaría:
2 2.55

5
x
x
2.555  6.25
2
¡Esto es un error!
ya que no es posible que 5 alumnos ocupen más tiempo en realizar el trabajo, lo cual nos indica
que la proporción no es directa, sino inversa, y procedemos de la siguiente manera:
Se invierte cualquiera de las razones para convertir a proporción inversa, es decir:
2
x

5 2.55
x
22.55x
 1Hr
5
¡Este es el resultado correcto!
28
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CETIS 79
1.6.2 PROBLEMAS DE APLICACIÓN (Resuelve en tu cuaderno)
1.- Pedro tiene $20.00 y Juan $10.00, ¿Cuáles son las razones aritmética y geométrica de lo que
tiene Pedro en relación a lo que tiene Juan? R =
2.- El costo normal de un refrigerador es de $8,200.00, pero al pagar al contado se hace un
descuento del 12%, ¿Cuánto paga un cliente al adquirir al contado el refrigerador? R =
3.- La distancia de una ciudad a otra es de 220 km., un autobús tarda en recorrer ésta distancia
2.75 hrs. a 80 km/hrs, ¿Cuánto tardará en recorrer la misma distancia si aumenta la velocidad a
110 km/hrs? R =
4.- Si al papá de Juan le aumentan el sueldo en un 10%, a la quincena ganaría $3,795.00, ¿Cuánto
gana actualmente? R =
5.- En un grupo de 54 alumnos, el 33.33% son mujeres, ¿Cuántos hombres hay en el grupo? R =
6.- Si una camisa cuesta $60.00 y tiene un descuento del 20%. ¿Cuánto pagó? R =
7.- Un agricultor quiere comprar un tractor que le cuesta $130,000.00, pero él tiene $80,000.00 y
le han prometido rebajarle un 12% de lo que pueda pagar al contado y lo restante lo pagará en
letras mensuales cargadas al 8%, ¿Cuánto pagará el agricultor finalmente? R =
8.- Calcule el tanto por ciento de:

20% de 50
R=

140% de 1000
R=

0.5% de 200
R=
1.6.3 EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE PORCENTAJES
1.-De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de
alumnos ha ido de viaje? R=
2.-Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es
el porcentaje de aumento? R =
29
Curso de Nivelación Académica
CETIS 79
3.-Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%.
¿Cuánto hay que pagar por el vehículo? R=
4.-Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto
tenemos que pagar? R=
5.-Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha
comprado en 80 €. Halla el precio de venta. R=
6.-Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido
a 180 € para ganar al venderlo el 10%. R=
7.-¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a 280 €, para perder
el 12% sobre el precio de venta? R=
8.-Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio
de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €. R=
2. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
ALGEBRA es la parte de las Matemáticas que se dedica en sus aspectos más elementales
a resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Los algoritmos de resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones han ocupado a
muchos matemáticos a lo largo de la historia. Así, se conoce la existencia de problemas resueltos
por procedimientos algebraicos, que datan del año 1900 a. C. El lenguaje simbólico utilizado en
estos procesos se atribuye a los árabes.
EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONES
El idioma del álgebra es la ecuación.
Isaac Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal escribió: «Para resolver
un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades basta con traducir dicho
problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico»
También mostró con ejemplos como debía efectuarse dicha traducción. He aquí a LA VIDA
DE DIOFANTO. La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable
matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la
dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático.
Reproducimos esta inscripción:
30
Curso de Nivelación Académica
CETIS 79
EN LA LENGUA VERNÁCULA
EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA
X
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de
Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh
milagro!, cuán larga fue su vida,
Cuya sexta parte constituyó su infancia.
Había transcurrido además una duodécima parte
de su vida, cuando de vello cubriose su barbilla.
Y la séptima parte de su existencia transcurrió en
un matrimonio estéril.
Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el
nacimiento de su precioso primogénito,
Que entregó su cuerpo, su hermosa existencia,
que duró tan sólo la mitad de la de su padre a la
tierra.
Y con profunda pena descendió a la sepultura,
habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su
hijo.
X/6
X/12
X/7
5
x/2
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
2.1 TRADUCCIÓN DEL LENGUAJE COMÚN AL LENGUAJE ALGEBRAICO Y VICEVERSA.
El lenguaje algebraico es la manera correcta de escribir y leer las expresiones algebraicas,
relacionando los elementos y símbolos de la aritmética con los algebraicos
Los matemáticos tienen un idioma con el cual se pueden comunicar mundialmente, el
Lenguaje algebraico. Éste le ha permitido eliminar prácticamente todas las confusiones que
pudieran surgir para la realización de su trabajo. En éste tema aprenderemos a “convertir” los
problemas cotidianos al lenguaje algebraico y nos daremos cuenta que es más fácil resolver los
problemas que involucran números y comprobar sus resultados de ésta forma.
Algunas expresiones del lenguaje común al lenguaje algebraico:
a) Un número cualquiera
...............................................x
b) La suma de tres cantidades
c) La edad de María es el doble de la de
................................. a + b + c
Juan
d) El volumen de una esfera es 4/3  por el
radio al cubo
..................................... M = 2J
e) El cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma del cuadrado de los catetos
............................. V = 4/3  r3
31
Curso de Nivelación Académica
CETIS 79
Traducción de algunas expresiones algebraicas al lenguaje común:
Actividad de estudio:
a) Convierta al lenguaje común las siguientes expresiones algebráicas, realiza la actividad en tu
cuaderno.
1.
2.
3.
4.
5.
b)
A =  r2 ...................................................................
( A – B )2 ................................................................
C =  d ...................................................................
D = V * t .................................................................
A = l * a ..................................................................
Convierta las siguientes expresiones del lenguaje común al algebraico:
1. El perímetro de un rectángulo es la suma de dos veces el largo y dos veces el ancho.
________________________
2. El interés simple es el producto del capital por el interes en fracción decimal.
_________________________
3. Energía es igual a un medio de la masa por el cuadrado de la velocidad.
___________________________
4. Momento lineal es igual a la masa por la velocidad de desplazamiento de la masa.
____________________________
5. Trabajo es igual a la fuerza por la distancia.____________________
32
Curso de Nivelación Académica
CETIS 79
2.2. NOTACIÓN ALGEBRAICA
La Notación algebraicas es la forma como se deben escribir las expresiones algebraicas.
Al estudiar el lenguaje algebraico observamos la relación entre letras y números, ahora
estudiaremos otros elementos que son básicos en la notación algebraica, los cuales se denominan
“signos del algebra”, cuya clasíficación es:
a) Signos de operación
Signos del algebra
b) Signos de relación
c) Signos de agrupación
2.3. TABLA DE RESUMEN DE SIGNOS ALGEBRAICOS
+ Más.
- Menos.
Signos
de
operació
n.
x Por.
 División.
xn Exponente.

Radical.
= Igual.
Signos
algebraicos.
Signos
de
relación.
> Mayor que.
mayor o igual que:
< Menor que.
Menor o igual que
( ) Ordinario.
Signos de
[ ]
Corchete.
Agrupación
 
Llave.
___
Vínculo.
33
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CETIS 79
2.4 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Expresión algebraica: Es una representación que se aplica a los números y letras que conforman
las operaciones básicas.
Ejemplos:
3x2 ;
2mn + n ;
7x – 2y + z
Término algebraico: Es cualquier parte de una expresión que consta de uno o varios símbolos
separados entre si por el signo “+” o “-“.
Ejemplo:
x + 3m – 2xy + 1/3 y
Elementos de un término: Son las partes que lo forman como signo, coeficiente, literal, y grado
(donde al exponente se le conoce como grado)
Ejemplo 1:
Signo +
Exponente 1
a
n
Literal
Coeficiente 1
Exponente 1
Ejemplo 2:
Signo +
 6mn2
Coeficiente 1
34
Literales
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CETIS 79
El coeficiente es el número de veces que se suma la base y generalmente es el primer
factor que conforma un término, pero este puede ser de dos clases:
-7XY el coeficiente es 7.
NUMÉRICO
COEFICIENTE
a xy el coeficiente es a.
LITERAL
Los términos se pueden clasificar de la siguiente manera:
TERMINO ENTERO. Es aquel que no tiene denominado literal como 3ª, 7x2,
TERMINO FRACCIONARIO. Es el que tiene una literal en el denominador
5x
2
5 x 2ac
b , yb
TERMINO RACIONAL. Es el que no tiene radical, como lose ejemplos anteriores, y se llaman
1
IRRACIONALES. Término que esta baja el signo racal o tiene exponente fraccionario.
TERMINOS HOMOGENEOS. Son los que tienen el mi
2a , x 3
5x
4
2 3
smo grado absoluto. 4 x y 6 x y
2
,
Son términos con grado absoluto igual a 5. (El grado absoluto de un término, se obtiene sumando
los exponentes de las literales).
TERMINOS HETEROGENEOS. Son los que tienen disferente grado absoluto: 2x, 4x 3
35
Curso de Nivelación Académica
CETIS 79
2.5 CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS:
Consta de un término
MONOMIO
–2X3
BINOMIO
Consta de dos
términos
–2X3 +3x
EXPRESIÓN
ALGEBRAICA
Consta de tres términos
POLINOMIO
TRINOMIO
4 O MÁS
TÉRMINOS
6x2 + 2x - 4
3X5 + 2X4 – X3 –X2 + X – 9
ay4 – by3 + cy2 – dy + 12
ACTIVIDAD DE CONFIRMACIÓN DE CONOCIMIENTOS:
1.- Dados los siguientes términos identificar sus elementos:
TÉRMINO
SIGNO
COEFICIENTE
-y2
nx
- 4x3y
2abcx
36
LITERAL
GRADO
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2.- Identifica anotando en el renglón la clase de términos a la que pertenecen las siguientes
expresiones:
a) 4ax _______________________
b) 5ab / c _____________________
c)
7y
_____________________
d) 5ax, 7ax2, 5a2x ______________
e) 8x2y, 7xy3 __________________
37