Universos dominados por radiación

Universos dominados por radiación
A medida que nos vamos a épocas más tempranas del universo, la densidad de
materia m aumenta con la disminución del volumen como
m /m = [a(t0)/a(t)]3 = (1+z)3,
Donde el subíndice 0 siempre indica el presente. Sin embargo la densidad de
energía de la radiación aumenta más rápidamente como (1+z)4. El factor
adicional puede ser explicado por el hecho de que la longitud de onda de la luz
evoluciona proporcionalmente al parámetro de expansión a(t) que es a su vez
proporcional a(1+z), por lo que la frecuencia de la radiación (y por tanto su
energía) aumenta con el desplazamiento al rojo z de la misma manera. Llegará un
momento en que las densidades de energía de radiación (r) y de materia (m
sean del mismo orden. Esto ocurrirá para un desplazamiento al rojo tal que
r = m m(1+z)3 r(1+z)4 (1+z)m/ r
La densidad de materia (en función de la densidad crítica) cae, según las
observaciones, casi con entera seguridad en algún lugar entre m y
m
La densidad de energía de radiación se puede calcular a partir de la
temperatura del fondo cósmico de microondas. Después de la medidas
de COBE, este valor se conoce con gran precisión, T0 = 2,728±0,002 K .
La densidad de energía de un campo de radiación con espectro de
cuerpo negro en función de la temperatura es
u(T) = 4 /c T4
donde  = 5.67051 10-08 ± 1.9 10-12 W m-2 K-4 es la constante de StefanBoltzman y c la velocidad de la luz, y por tanto
u(T0) = 4.2 10-14 J m-3
Sin embargo, existe además un fondo de neutrinos que también puede
contribuir a la densidad de radiación. Los neutrinos, debido a que son
fermiones de espin 1/2 pero que se presentan en un solo tipo
determinado por su helicidad contribuyen con una densidad de energía,
teniendo en cuenta que existen tres tipo de neutrinos,
u4 (7/16 3) /c T4
La temperatura del fondo de neutrinos es exactamente(4/11)1/3de la del
fondo de fotones, es decirTy por tanto la contribución del fondo
de neutrinos es exactamente.
u(21/16) (4/11)4/3 u = 1.43 10-14J m-3
¿Y qué ocurre con la radiación procedente de las estrellas?
La densidad de luminosidad visible observada es (1.7 ± 0,6) h L/Mpc3,
h es como siempre H0/100 y Les la luminosidad solar L= 3.9 1026 W
lo que significan que se están emitiendo en el visible unos 10-41 W m-3que
aún en 20 109años no contribuirían con más de 10-23 J m-3.
Teniendo en cuenta todo esto, podemos estimar la contribución actual
de la radiación en el Universo en 5.63 10-14J m-3. Y finalmente podemos
calcular
m/r~ m1.879 h2 10-26 c2/5.63 10-14
de tal manera que podemos establecer un orden de magnitud de este
valor para
h = 0.65 y m~
m/r~ 104
y por tanto tenemos que para z > ~ 104 el universo empezará a estar
dominado por la contribución a la energía de la radiación.
En un universo dominado por radiación (o por cualquier tipo de
partículas con velocidades relativistas, a veces denominada materia
caliente) tenemos que considerar la densidad de energía, además de la
contribución de la presión. La ecuación del movimiento (ecuación de
Friedman) puede ser escrita en este caso como:
d2a/dt2 = - 4/3  G (rad + 3 Prad/c2) a
Donde el término que sutituye a la densidad se obtiene a partir de la
traza del tensor energía-impulso en la ecuación de campo de Einstein.
Por tanto el lector tiene que aceptar este hecho sin demostración. Se
puede entender de todas maneras como que la contribución gravitacional
dentro del volumen está dada por la densidad de energía sumada al flujo
de densidad de momento que entra en el volumnen en cada dirección
espacial debido precisamente a la presión de la radiación (de ahí el factor
3).
Pero la presión de un gas de partículas relativistas de densidad de
energía u viene dada por
P = u/3 = rad c2/3
Lo que pruduce como efecto una contribución doble de la densidad.
La presión produce un efecto añadido de disminución de la densidad que
podemos medir por el trabajo
dW = P dV = rad c2 4/3 R2 dR
Que hay que restar a la energía total4/3 R3 rad c2
Y por tanto
d [R3 rad ] = - R2 rad dR  d[log(rad) ] = - 4 d [log R ] rad R-4
Este resultado se puede entender como que se produce una
disminución de la densidad por un factor R-3 debido al aumento de
volumen, y un factor adicional R-1 producido por el aumento de la longitud
de onda de la partícula debido a la expansión. Como este último hecho
es bastante intuitivo, el lector podría invertir todo el razonamiento anterior
para entender el origen del la ecuación del movimiento.
La dinámica se convierte entonces en
d2a/dt2 = - 4/3  G (2 0) a-3
Cuya primera integración nos lleva a una ecuación para la energía:
E = (da/dt)2 - 8/3  G  a-2
Donde E es el doble de la energía total (ver dinámica de la expansión).
La densidad crítica en este caso tiene la misma expresión que habíamos
encontrado para el universo de Einstein-de Sitter. El parámetro de
expansión para un universo crítico dominado por radiación evoluciona
por tanto como a(t)  t1/2