217 Antenas

Antenas
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RADIACIÓN DE ONDAS
ELECTROMAGNÉTICAS
Hemos estudiado las características fundamentales de las ondas
electromagnéticas, basándonos en un análisis de la estructura y comportamiento de las
ondas planas, en condiciones de espacio libre y en diferentes medios de propagación.
No hemos, hasta ahora, considerado las fuentes, ni su manera de generar dichas ondas.
Estudiamos el modelo matemático usado para representar el campo
electromagnético en la sección 3.1, donde a partir de las soluciones integrales de
Helmholtz para el potencial escalar eléctrico (R) y el potencial vectorial magnético
(R), se obtuvieron expresiones generales para los vectores representativos del campo
E y B [ecuaciones (3.1i) y (3.1j)]. En esas expresiones se observa la existencia de
términos dependientes de la variación temporal de cargas y de corrientes eléctricas que
constituyen la base de un campo que por sus características denominábamos “campo de
radiación”.
Para obtener una radiación eficiente de ondas electromagnéticas, las cargas y
corrientes eléctricas que constituyen su fuente deben estar distribuidas de una manera
determinada y tener variaciones temporales específicas.
Las antenas son las estructuras diseñadas para radiar energía electromagnética de
una manera eficiente y bajo condiciones de contorno determinadas.
El problema esencial consiste en el estudio e investigación de los campos
ondulatorios excitados por esas distribuciones de cargas y corrientes eléctricas que
consideramos prefijadas. De esta forma, el problema se reduce a la exigencia de hallar
el campo electromagnético como resultado de soluciones de las ecuaciones de Maxwell,
y donde están presente en forma explícita corrientes que representan la acción de las
fuentes.
Para hallar la solución de problemas de este tipo, sencillos y, al mismo tiempo,
característicos, analizamos los radiadores elementales, es decir, el dipolo eléctrico y el
dipolo magnético.
218
10.1 Campo de Radiación
Comencemos examinando el campo lejano (R >> 1) excitado por una fuente, de
tal forma, que dicha fuente puede ser considerada como una fuente puntual.
Geométricamente esto puede ser representado por una esfera de radio casi infinito, en
cuyo centro está ubicada la fuente del campo de radiación. El campo que observamos
tiene la apariencia del campo de una onda plana. En consecuencia, los campos
asociados con la onda deben ser campos transversos, y el vector de Poynting resultante
debe fluir en dirección positiva de la coordenada r, como se indica en la figura 10-1. La
intensidad de los campos E y H debe ser proporcional a (1/r), de forma tal, que no haya
cambios en el flujo de potencia correspondiente a un elemento diferencial del ángulo
sólido d, el cual determina el área diferencia dAi en el punto de observación. Esto
solamente puede ocurrir en el caso de no existir ni fuentes ni sumideros entre el punto
fuente y el punto de observación, y la densidad del flujo de potencia (W/m2) será
proporcional a (1/r2), como se indica en la figura 10-1.
dP1  S dA1  S r 2 d
1
dP2  S dA2  S r 2 d
2
Figura 10-1 Representación geométrica del flujo de potencia asociado con
el campo de radiación.
Bajo estas condiciones, el campo de radiación debe tener la siguiente estructura:
219
E  l
E 0 , 
exp jr 
r
(10.1a)
E, 
exp  jr 
r
(10.1b)
H  l
O también,
E  l
E' 0 , 
exp jr 
r
H  l  
E' 0 , 
exp jr 
r
donde  
(10.1c)
(10.1d)
2

,     


Estas combinaciones pueden existir para cualquier tipo de polarización; en el caso
de una polarización circular, por ejemplo, E0’ = jE0. Los signos y direcciones
determinan la dirección correcta del vector de Poynting. La dependencia radial estará
siempre dada por el factor [exp(-jr)/r], y la dependencia de las coordenadas  y 
depende de las características particulares de la fuente.
10.2. Fuentes de ondas planas
La ondas emitidas por un sistema radiante a distancias mucho mayores que sus
propias dimensiones son similares a una onda plana Este hecho permite realizar
aproximaciones que simplifican notablemente los cálculos. La complejidad que hemos
visto al determinar los campos generados por dipolos elementales justifica que se
estudien ampliamente esas aproximaciones.
Una onda plana tiene sus campos con la misma magnitud y fase en todos los
puntos de un plano que sea perpendicular a la dirección de su propagación.
Una lámina, como la presentada en la figura 10-2, con distribución uniforme de
corriente puede ser una fuente de ondas planas, si su extensión es indefinida, es decir, si
a y h tienden a infinito. A pesar de que esta estructura es físicamente irrealizable, ella
constituye una fuente equivalente que satisface las condiciones necesarias requeridas
por el campo electromagnético asociado con ondas planas.
220
Figura 10-2 Lámina de corriente como fuente de ondas planas
Supongamos que Ix = -aJ0 varía senoidalmente dentro de la lámina. Esto genera
un par de ondas planas, una a cada lado de la lámina viajando en dirección
perpendicular a su superficie y alejándose de ella. Las líneas del campo magnético
encierran la corriente en la forma usual. El campo eléctrico representa el generador, al
ser la fuente de movimiento de las cargas eléctricas.
Si consideramos que 0, estamos realmente en presencia de una lámina de
corriente, donde J0 = K (A/m), que representa una densidad superficial de corriente.
Esto nos permite establecer las condiciones de contorno para la circulación de H sobre
el contorno C1:
 H  dl   J  jE   dS  Ka
C1
(10.2a)
C1
Ya que cuando   0, jE.dS  0, y
H0 
K
2
(10.2b)
En consecuencia, para una onda plana viajando en la dirección z, se le puede
asignar una fuente equivalente a una lámina de corriente de densidad superficial igual:
221
K  2l n  H
(10.2c)
donde 1n representa el vector unitario en dirección de la propagación de la onda.
También, es posible justificar el uso de un modelo de fuente de ondas planas
basado en una lámina de corriente magnética de densidad igual:
K m  2l n  E
(10.2d)
Este resultado implica la adición de un término en la ecuación representativa de la
ley de inducción de Faraday, para incluir la fuente magnética:
 E 
B
M
t
(10.2e)
donde M representa la fuente de corriente magnética en Volts/m2.
Las fuentes que manejamos en la práctica no constituyen láminas indefinidas de
corriente. En su lugar, nos encontramos con distribuciones volumétricas y superficiales
de dimensiones limitadas y específicas. La radiación de estas fuentes las determinamos,
haciendo uso de las ecuaciones de Maxwell, de acuerdo a las condiciones de contorno
existentes.
En el capítulo 3 obtuvimos, a partir de las ecuaciones de Maxwell y de las
funciones potenciales (R) y A(R), haciendo uso de las soluciones integrales de
Helmholtz, expresiones generales que nos permitieron representar adecuadamente los
llamados campos de radiación. También, podemos observar, la relación entre los
potenciales y sus fuentes dada por las ecuaciones diferenciales (3.1e) y (3.1d). Vimos,
igualmente, esta última expresión en su forma frecuencial, es decir:
 2 A  2A  J
(10.2f)
La solución de la ecuación (10.2f) es una expresión proporcional a la función
[exp(-jR)/R], lo cual nos indica que podemos establecer la siguiente correspondencia:

2
 2 
 exp RjR   f R   0; R  0
(10.2g)
La condición de existencia de la función f(R), nos indica que ésta debe ser una
función impulso, o función delta. Para confirmar esto, procedemos a integrar f(R) sobre
una pequeña región esférica alrededor de R = 0.
Considerando, que en la región cercana a R = 0, exp(-jR)  1, se debe efectuar la
siguiente evaluación:
222

lím   2   2 
R 0
 R1 dV
  1   2  
= lím       
dV
R 0
R 
  R

1
 2   
dR 
= lím  dS   4R 2 
R 0 
R
 R  


dS 
= lím  2 
R 0 
R 
=  4
(10.2h)
Este resultado nos confirma que f(R) es una función delta, ubicada en R = 0, y de
intensidad igual a 4. De esta forma, podemos suponer que la distribución de corriente
puede ser representada por la superposición de infinitas funciones impulso, como se
representa en la figura 10-3, donde para una fuente puntual de intensidad J(r’), ubicada
en r’ genera un potencial A, igual:
Ar '   J r '
exp  j R 
4R
(10.2i)
Figura 10-3 Distribución de corriente J(r) =  J(rn)
A medida que el número de funciones delta tiende a infinito, con un
espaciamiento infinitesimal, obtenemos:
223
 Jr    Jr'r'r    Jr'r'r dr '
n
n
n
(10.2j)
n
En consecuencia, para una fuente de intensidad J(r’), ubicada en r’, como se
indica en la figura 10-4, que genera un potencial vectorial en el punto r, puede ser
representada por la siguiente expresión:
A r    Jr '
exp j r  r ' 
4  r  r'
dV '
(10.2k)
donde dV’ = dS.dl representa el volumen diferencial de la fuente.
La integral (10.2k) tiene múltiples aplicaciones en la determinación de los campos
de radiación de una antena. En este caso, la integral es una expresión de la
superposición de los diferentes campos generados por los elementos diferenciales que
constituyen el modelo representador de la antena. Pero, para poder obtener una solución
debemos conocer la distribución de la corriente en el radiador. Esto, generalmente,
representa un proceso difícil y laborioso.
La determinación de la distribución de corriente en una antena se obtiene a partir
de un modelo que recoja sus características geométricas y constitutivas. Esto conduce a
la obtención de una ecuación integral.
Una de las mejores aproximaciones para la distribución de corriente en una antena
cilíndrica simétrica se obtiene a partir de la conocida ecuación integral de Hallen.
10.3 El radiador eléctrico elemental
Cuando el elemento considerado es un elemento lineal, que tiene una distribución
de corriente uniforme y una longitud diferencial, estamos en presencia de un dipolo
elemental o dipolo de Hertz. En la figura 10–4, a una distancia R de la fuente (punto del
observador), tenemos:
AR  
 J
dV
4  R
(10.3a)
Pero el elemento diferencial de volumen correspondiente al elemento diferencial
de corriente es igual:
dV  dS  dl , por consiguiente:

exp  j R 
I0
dz

4 0
R
dl
A
224
A  I 0 l
exp  jR 
4R
(10.3b)
Figura 10-4 Sistema de referencia para el campo de radiación de un dipolo
Eléctrico.
En coordenadas esféricas:
Az  Az l R cos  l sen 
(10.3c)
Haciendo uso de la relación   A  B , y de las ecuaciones de Maxwell,
obtenemos:
1 1 
H  l  C 2   2  sen 
x x 
(10.3d)
1 
 1
E R  l R 2C0 2  2  3  cos
x 
x
(10.3e)
1 
1 1
E   l  C0 2   2  3  sen 
x 
x x
(10.3f)
donde C 
Il exp  jR 
4
x  jR
Cuando R >> 1,
225
0 Il

exp jR sen 

4R

Il
H   j
exp jR sen 
4R

E   j
(10.3g)
(10.3g) representa una onda plana en condiciones de espacio libre, que constituye
el campo de radiación del dipolo eléctrico elemental.
Si consideramos la relación de los campos E y H, obtenemos:
 E 
1

 1 
 H  jR 
 

 
 1    1 jR 


0

(10.3h)
(10.3h) representa la impedancia de una línea de transmisión, como se indica en la
figura 10-5:
Figura 10-5 Representación circuital de la impedancia equivalente (E/H)
 1 
 refleja el predominio del campo de inducción en las
Cuando R << 1, 
 jR 
cercanías del radiador. Para valores grandes de R, donde domina el campo de
radiación, la reactancia capacitiva (1/jr) tiende a ser igual a cero (un cortocircuito), y
la reactancia inductiva (jr) tiene a ser infinita (circuito abierto). Esto implica que la
impedancia de la onda tiende a ser igual a 0, la impedancia de una onda plana en
condiciones de espacio libre.
Para R << 1 nos encontramos en el dominio del campo cercano (campo de
inducción):
226
 Il  cos 

E R  
3
 j  2R 

 Il  sen  

E   
3
j


 4R 
H 
(10.3i)
Il
4R 2
(10.3j)
(10.3i) representa el campo electrostático de un dipolo eléctrico y (10.3j)
representa la intensidad del campo magnético de un elemento de corriente de longitud
l.
Obsérvese que, (Il/j) es equivalente a  Q l = p (momento dipolar eléctrico).
El equivalente realizable de un dipolo de Hertz consistiría en un corto alambre
conductor de longitud dl terminado en dos pequeñas esferas conductoras, como se
representa en la figura 10-6.
Figura 10-6 Dipolo de Hertz
La corriente en el alambre conductor debe ser uniforme y variar armónicamente
en el tiempo:
227
it   I cost  ReI exp jt 
(10.3k)
Ya que la corriente debe ser igual a cero en los extremos del alambre, las
pequeñas esferas deben tener una carga eléctrica para satisfacer la condición de
continuidad:
  J dV   

dV
t
(10.3l)
es decir:
i t   
dq t 
dt
(10.3m)
Las cargas depositadas en las pequeñas esferas ubicadas en los extremos del
alambre de longitud dl constituyen efectivamente un dipolo eléctrico, donde:
I
j
(10.3n)
l z Qdl  p
Q
(10.3ñ)
10.4. El dipolo magnético elemental
Consideremos, ahora, una pequeña espira de radio b en la cual circula una
corriente i(t) = I cos t, como se indica en la figura 10-7.
Bajo esas condiciones, esa pequeña espira representa un dipolo magnético
elemental, de momento dipolar magnético igual a:
m  l z Ib 2
(10.4a)
Para determinar el potencial vectorial bajo estas condiciones, haremos uso del
desarrollo de la siguiente expresión:
exp jR 1   exp jR  exp jR 1  R 
 exp jR 1  jR1  R 
(10.4b)
Substituyendo la expresión (10.4b) en la relación general representativa del
potencial vectorial A, obtenemos:
228
A  l
 l
 0 I exp jR 1 
dl'
4 
R1


I
dl'
exp jR  (1  jR)   j  dl'
4
R1


(10.4c)
Figura 10-7 Dipolo magnético elemental
La segunda integral, en la expresión (10.4c) es igual a cero, es decir:
A 
0m
1  jR  exp jR sen 
4R 2
(10.4d)
Haciendo uso de la relación xA = B y de las ecuaciones de Maxwell,
obtenemos:
229
E 
j0 m 2  1
1 
 

 sen  exp jR 
2 
4
 jR  jR  
(10.4e)
HR 
j0 m 2  1
1 
 2

 cos exp jR 
2
3
40
(
j

R
)
(
j

R
)


(10.4f)
H 
j0 m 2  1
1
1 
 


  sen  exp jR 
2
40
 jR 3 
 j  R  j R 
(10.4g)
Al comparar las estructuras de las expresiones representativas de las intensidades
de los campos de un dipolo eléctrico y de un dipolo magnético, se revela nuevamente la
dualidad del campo electromagnético.
Cuando R >> 1, en la zona lejana, los campos de radiación para el dipolo
magnético tiene la siguiente representación:
 0 m  exp jR  

sen  


4 
R



 0 m  exp jR  

H  
 sen 
40 
R

E 
(10.4h)
Al examinar la estructura de las expresiones (10.2g) y (10.3g) podemos observar
que las funciones representativas de los campos de radiación para el dipolo eléctrico
están en cuadratura espacio-temporal con las funciones representativas de los campos
de radiación del dipolo magnético. La superposición de ambos campos constituye lo
que se conoce como el elemento de Huygens, el cual sirve de base fundamental para el
desarrollo de los campos de radiación en aquellas antenas cuya fuente radiante está
representada por una abertura.
230
Figura 10-8 Patrón de radiación representativo del campo lejano de una
antena de abertura.
10.5 Presión por radiación.
Al estudias la incidencia de una onda electromagnética sobre una superficie
conductora, observamos cómo la cantidad de energía transmitida al medio conductor
era muy pequeña en comparación con la cantidad de energía incidente.
Hemos demostrado como una onda electromagnética puede transportar energía.
También puede, en consecuencia, ejercer una fuerza en la dirección de propagación. La
presión por radiación es la fuerza por unidad de superficie que una onda ejerce sobre un
material en el cual incide.
La corriente inducida en el medio conductor tiene la dirección del campo E, y
perpendicular al campo H. Bajo estas condiciones, los electrones de conducción están
sometido a la fuerza magnética (qvxB) en la dirección de la propagación de la onda, lo
cual, debido a las colisiones entre electrones, genera la presión de radiación. Para un
conductor perfecto la corriente inducida será completamente superficial y la reflexión
de la onda será total. Para un conductor perfecto la conductividad está representada por
una cantidad imaginaria y por lo tanto se comporta como un inductancia ideal.
Una onda electromagnética que se propague en condiciones de espacio libre se
considera que representa un flujo de momento cinético que es igual a la densidad de
energía que transporta. Esto está de cuerdo con lo establecido en los estudios de la
física atómica, cuando se dice que la energía fotónica equivalente de una onda
electromagnética es igual a:
h
 , donde h = 6,63 x10-34 joules-segundo, es la constante de Planck.
2
231
La presión de radiación ha sido comprobada experimentalmente, y esto, también,
ha confirmado la hipótesis de que la inducción magnética que actúa sobre los electrones
lentos que existen dentro del material conductor magnético es igual a 0H en lugar de
ser igual a H.
En general, el trabajo efectuado por unidad de tiempo, o la potencia mecánica es:
P  F.v W 
(10.5a)
donde F representa la fuerza que efectúa el trabajo, W = F.l, y v es la velocidad
dada por ( l /t) = (00)-½, en condiciones de espacio libre. Para una onda plana con
variación sinusoidal (onda armónica), el valor medio temporal del vector de Poynting
viene dado por:
F.v 
2
W / m 


A
F
S 

 p   w
A
v
S  
(10.5b)
 N / m 2 


(10.5c)
La presión de radiación de la onda es, por lo tanto, igual al promedio de la
densidad volumétrica total de la energía asociada con la onda y actúa en la dirección y
sentido del recorrido de la onda (dirección de la propagación).
La fuerza generada por la radiación electromagnética se transfiere al objeto sobre
el cual incide la onda. De donde, si un objeto absorbe completamente una radiación
electromagnética que le llega, sobre él actúa una fuerza igual a la potencia de la onda
dividida por la velocidad de la misma, F = P/v . Por otro lado, si un cuerpo, tal como un
objeto metálico, refleja casi completamente la onda, la fuerza que actúa sobre el cuerpo
es el doble que la absorción, o sea F = 2P/v, (una vez por la absorción y otra por la
reemisión de la onda desde el objeto metálico). Esto implica que cuando un radiador
emite una onda de potencia P en determinada dirección, el propio radiador estará
sometido a una fuerza de reacción en sentido contrario a la causa de la emisión que es
equivalente a la fuerza F = P/v que actúa sobre el radiador.
Una onda plana que incida normalmente sobre una superficie perfectamente
conductora, y cuyo valor medio del vector de Poynting de radiación sea del orden de 10
W/m2, ejercería una presión sobre la superficie conductora del orden de 70 nano
Newtons por metro cuadrado, lo cual es una presión muy pequeña, pero no se debe
descartar sus posible aplicaciones.
232
A veces es mejor usar el momento cinético (cantidad de movimiento) L en lugar
de la fuerza F, ya que, F = (L / t), y como F = (W /t) /v. L (cantidad de
movimiento o momento total del impulso de la onda) es igual a W /v, y W =  <w> dV.
Adviértase que la fuerza de retroceso es independiente de la frecuencia de la
fuente. Una fuente de ondas radio eléctricas o de luz, si la potencia de salida es la
misma, experimentará el mismo retroceso.
Podemos generalizar que un campo normal (E o B) sobre una superficie
conductora siempre produce una tracción, mientras que un campo tangencial (E o B)
siempre produce un empuje. Sobre una superficie conductora sólo puede existir un
campo eléctrico normal y un campo magnético tangencial. De donde podemos escribir
para la fuerza total por unida de área, o presión ejercida por el campo:
2 
 0 E2
 0 H tan


F
n
p 



A  2
2 

(10.5d)

Figura 10-19 Presión de radiación.
233