MAT 1-4 Divisibilidad

E.S.P.A.: MATEMÁTICAS 1
RESUMEN
1.-MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO
 Un número es múltiplo de otro cuando la división del primero entre el segundo es exacta
 Un número es divisor de otro cuando la división del segundo entre el primero es exacta.
 Todo número es múltiplo de sí mismo y de la unidad.
2. -CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Un número es divisible por diez si acaba en cero.
Un número es divisible por dos si acaba en cero o cifra par.
Un número es divisible por cinco si acaba en cero o en cinco.
Un número es divisible por cuatro o por 25 si las dos últimas cifras son ceros o forman un
número múltiplo de 4 o 25, respectivamente.

n número es divisible por 3 o por 9 ,cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3 o de




3. -NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS


Un número natural distinto de 1 es número primo si sólo tiene como divisores el 1 y él mismo.
Un número natural es compuesto si tiene otros divisores además del 1 y del mismo
4. -DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS

Para descomponer un número en factores primos se divide por el menor número primo del que sea
múltiplo. Lo mismo se hace con los cocientes que se vayan obteniendo.
5. -MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Máximo común divisor es el mayor divisor común a varios números. Se obtiene
descomponiendo los números en factores primos. A continuación ser multiplican los factores comunes
afectados por el menor exponente.

Mínimo común múltiplo es el menor de los múltiplos comunes a varios números. Se obtiene
descomponiendo los números en factores primos. A continuación se multiplican los factores comunes y
no comunes afectados por el mayor exponente.

Unidad 3. Divisibilidad
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1.-MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO
Un número es múltipo de otro cuando la división del primero entre el segundo es
exacta
10 es múltiplo de 2 ya qu 10 : 2 = 5
Un número es divisor de otro cuando la división del segundo entre el primero es
exacta.
2 es divisor de 10 ya que 10 . 2 = 5
Todo número es múltiplo de sí mismo y de la unidad.
El 0 es múltiplo de cualquier número natural.
Ejercicio 1.
a)
b)
c)
d)
Contesta en el cuaderno:
¿Es 50 múltiplo de 6?
¿· es divisor de 240?
¿El número 17 es divisible por 3? ¿y por 2?
escribe dos divisores de 12
Ejercicio 2.
Ejercicio 3.
Escribe seis múltiplos de cada uno de estos números: 8, 7, 4 y 15.
Escribe todos los divisores de los números:
a) 45
b) 36
2.-CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Los criterios de divisibilidad son unas reglas que nos permiten averiguar, en algunos
casos, si un número es divisible por otro sin necesidad de efectuar la división.

Un número es divisible por diez si acaba en cero.

Un número es divisible por dos si acaba en cero o cifra par.

Un número es divisible por cinco si acaba en cero o en cinco.

Un número es divisible por cuatro o por 25 si las dos últimas cifras son ceros o forman
un número múltiplo de 4 o 25, respectivamente

Un número es divisible por 3 o por 9 ,cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3 o de
9, respectivamente
Ejercicio 4.
Dados los números 121, 7392, 6061, 4320, 1915, 3276, 428, 505, 400, 936
indica, empleando los criterios de divisibilidad:
a) cuales son divisibles por 2
b) cuáles son divisibles por 3
c) cuáles son divisibles por 5
d) cuáles son divisibles por 4
Ejercicio 5.
¿Cuál es el valor que debe tener la letra a para que los números siguientes sean
divisibles por 3?
a) 2 a 46
b) 301 a
c) 413 a
d) a 314
Ejercicio 6.
Contesta, sin realizar la división, si los números 102, 210, 387, 225, 360,
121 y 3.600 son múltiplos de 2, 3, 4 y 5.
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3.-NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Un número natural distinto de 1 es número primo si sólo tiene como divisores el 1 y él
mismo.
Un número natural es compuesto si tiene otros divisores además del 1 y del mismo
13 es primo, sus divisores son 1 y 13
2
12 es compuesto , sus divisores son 1, 2, 3, 4,
11
TABLA DE NÚMEROS PRIMOS
31
41
6, 12
3
13
23
5
7
17
37
47
43
53
(CRIBA DE ERATÓSTENES)
19
29
59
67
73
83
79
89
97
Ejercicio
7.
De
los
siguientes
números
decir
cuales
son
primos:
43,
47,49,55,74,83,96,107,121.
Ejercicio 8.
Tacha
a)
b)
c)
d)
Escribe los números del 2 al 100 en una tabla de 10 filas y 10 columnas.
los siguientes números:
de 2 en 2 a partir del 2.
de 3 en 3 a partir del 3.
de 5 en 5 a partir del 5.
de 7 en 7 a partir del 7.
e) de 11 en 11 a partir del 11.
f) de 13 en 13 a partir del 13.
g) de 17 en 17 a partir del 17.
4.-DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES
PRIMOS
Para descomponer un número en factores primos de divide por el menor número
primo del que sea múltiplo . Lo mismo se hace con los cocientes que se vayan obteniendo.
60
30
15
5
POTENCIA: es el producto
de factores iguales.
2
2
3
5
2 2= 2 · 2 = 4
2 3=2·2·2=8
BASE EXPONENTE
60= 2·2·3·5
Ejercicio 9.
Hacer la descomposición en factores primos de 40, 50, 60, 100, 240, 180,
75, 2250, 1400, 1690, 1440, 2560
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5.-MÁXIMO
MÚLTIPLO
COMÚN
DIVISOR
Y
MÍNIMO
COMÚN
Máximo común divisor es el mayor divisor común a varios números. Se obtiene
descomponiendo los números en factores primos . A continuación ser multiplican los factores
comunes afectados por el menor exponente.
m.c.d. (48 32, 35)
48=24·3
32=25
m.c.d. = 22 = 4
36=22·33
Mínimo común múltiplo es el menor de los múltiplos comunes a varios números. Se
obtiene descomponiendo los números en factores primos. A continuación se multiplican los
factores comunes y no comunes afectados por el mayor exponente.
m.c.m. ( 12, 15, 20)
12=22·3
m.c.m. = 22 · 3 · 5 = 60
15=3·5
20=22·5
Si dos números no tienen divisores comunes, se dice que son primos entre sí.
Ejercicio 10.
Calcular el mcd y el mcm de 60 y 108.
Ejercicio 11.
Calcula :
m.c.d ( 56, 84 )
m.c.m ( 56, 84 )
Ejercicio 12.
a)
b)
c)
d)
m.c.d. ( 24, 56, 110 )
m.c.m ( 24, 56, 110 )
Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de:
870 y 261
930 y 1240
340, 560 y 720
105, 140, y 700
Ejercicio13.
Tenemos dos cuerdas, una de 12 metros y otra de 8 metros ¿Cómo las
dividiremos de modo que los trozos se una sean de igual longitud que los de la otra y lo más largos
posibles?
Ejercicio 14.
Un padre y dos hijos tiene ocupaciones tales que el primero no puede estar en
casa más que cada 15 días, uno de los hijos cada 10 días, y el otro, cada 12. El día de Navidad están
juntos los tres. Indíquese la primera fecha en que vuelvan a coincidir los tres en casa
Ejercicio 15.
Para medir exactamente el contenido de 3 recipientes de 30, 45 y 105 l de
capacidad con un recipiente del mayor tamaño posible¿ Qué capacidad deberá tener la vasija que
emplearemos?
Ejercicio 16.
Tres aviones salen de un mismo aeropuerto, uno cada 7 días, otro cada 12 y el
tercero cada 18. Si hoy salen los tres juntos,¿ Cuándo a hacerlo de nuevo por primera vez?
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
Ejercicio17.
Calcular los divisores de 60.
Ejercicio 18.
¿Es primo el número 89?
Ejercicio 19.
Calcular todos los divisores de 20, 27, 85, 100
Ejercicio 20.
Factoriza los siguientes números:98, 105, 136, 346, 940
Ejercicio 21.
Sustituye “ b” por un dígito de forma que el número 66b sea divisible:
a)
b)
c)
d)
Por
Por
Por
Por
2
3
5
2
y por 5
pero no por 5
pero no por 3
por 11 y por 5
Ejercicio 22.
a)
b)
c)
d)
Contesta a las siguientes preguntas, razonando las respuestas :
¿Cuántos divisores tiene un número primo ?
¿Cuántos divisores tiene el número 0 ?
¿Es el número 0 divisor de algún número ?
Si un número tiene dos divisores distintos, ¿cómo es el número ?
Ejercicio 23.
¿Será primo un número que no es divisible por 2, ni por 3, ni por 5, ni por 7, y
que tenga dos cifras? Razona la respuesta
Ejercicio 24.
Al dividir un número n por 7 da de resto 3. Piensa y contesta:
a) ¿Es múltiplo de 7?
b) ¿Cuánto debemos restar a n para obtener un múltiplo de 7?
c) ¿Cuánto se debe sumar a n, como mínimo para obtener un múltiplo de 7?.
Ejercicio 25.
Averigua todos los divisores de 60 y de 72
Ejercicio 26.
Resuelve los siguientes apartados :
a) m.c.d ( 90, 1540 )
b) m.c.m ( 12, 42, 90 )
c) Descompón en factores primos el número 1260.
Ejercicio 27.
Los periodistas asistentes a una rueda de prensa son más de 100 y menos de
120. Su número es tal, que si se agrupan de 5 en 5 sobran 2 ; si se agrupan de 2 en 2 sobra 1 y si lo
hacen de 3 en 3 no sobran ninguno. ¿Cuál es el número de periodistas ?
Ejercicio 28.
Se tienen dos cubas de vino, una de 420 litros y otra de 225 litros. Queremos
envasar el vino en el mínimo número de botellas iguales. ¿Qué capacidad tendrá cada botella?
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Ejercicio 29.
La longitud del neumático delantero de una bicicleta mide 60 cm y el trasero
175 cm. Se señalan con tiza los puntos de los neumáticos que tocan el suelo y se hace andar la
bicicleta. ¿Cuánto debe avanzar como mínimo la bicicleta para que coincidan las dos señales a la vez
en el suelo?
Ejercicio 30.
Tres amigos recorren un circuito en bicicleta. El primero tarda 3 minutos, el
segundo tarda 1 minuto más que el primero y el tercero 2 minutos más que el segundo. ¿ cuándo
coincidirán de nuevo los tres en la línea de salida ?
Ejercicio 31.
Tengo un local rectangular que mide 45 m de largo por 36 de ancho y quiero
embaldosarlo con planchas de cierto material. Por razones estéticas, deseo que tengan el mayor
tamaño posible y que no haya que partirlas. ¿De que dimensiones deben de ser las planchas?
Ejercicio 32.
Las luces del primer semáforo de una calle de Badajoz cambian de rojo a verde
cada 40 seg, y las del segundo semáforo de esa misma calle cada 60 seg. A las 9 de la mañana los
dos semáforos estaban en verde. ¿Cuántas veces y a que hora coincidirán los dos semáforos hasta la
mediodía ?
Ejercicio 33.
Hay que llevar 10 perros y 18 gatos de un sitio a otro. ¿Cuántas jaulas se
necesitarán de tal forma que en cada una haya el mismo número de animales ?
Ejercicio 34.
El autobús de la línea A pasa por la primera parada cada 10 minutos y el de la
línea B cada 12 minutos. ¿Cuándo se encontrarán sabiendo que han salido los dos a las siete de la
mañana ?
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