REGLAS DE INFERENCIA - Rosmiro Fuentes Rocha

CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS
ACTIVIDAD ACADEMICA: PENSAMIENTO LOGICO
DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA
UNIDAD N°4: DEDUCCION PROPOSICIONAL
RESUMEN DE LAS REGLAS DE INFERENCIA
1. Modus Ponendo Ponens (PP)
8. Silogismo disyuntivo (DS)
pq
p ~ q
~pq
p
q
p
~ q
~p
q
2. Modus tollendo tollens (TT)
pq
pr
qs
r  s
9. Simplificación disyuntiva (SD)
pq
p r
q  r
r
p  q
q
p
pq
~q
~ p
3. Silogismo hipotético (SH)
10. Ley de absorción (abs.)
pq
qr
p r
pq
 p  ( q  p)
4. Tollendo ponens (TP)
11. Leyes de Morgan (DM)
p  q   p  q

pq
~q
p
o
pq
~p
q

p  q   p  q
12. Leyes conmutativas (LC)
( p  q)  (q  p)

5. Doble negación (DN)
(p)
p
6. Adjunción y simplificación

( premis a)
q
( premis a)
pq
Simplificación (S)
pq
p
q
7. ley de la adición (LA)
p
( p  q)  (q  p)
13. Leyes asociativas (LA)

( p  q)  r  p  (q  r )

( p  q)  r  p  (q  r )
Adjunción (A)
p


( premis a)
pq
14. Leyes distributivas (LD)

p  q  r   p  q   p  r 

p  q  r   p  q   p  r 
15. Ley de exportación (LE)

( p  q )  r   p  ( q  r 
16. Ley de contraposición (contr)

p  q  q  p
Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos
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DEDUCCIÓN PROPOSICIONAL
Con el manejo de unas pocas reglas empezamos a aprender el método de las deducciones formales. Es decir se
ha aprendido el camino preciso de demostrar que los razonamientos son válidos. Un razonamiento es
simplemente un conjunto de proposiciones dadas como premisas y una conclusión deducida de estas premisas.
Cuando se habla de válido se entiende que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas. Una deducción
formal es una serie de proposiciones o pasos en la cual cada paso es una premisa o está deducida directamente
de los pasos que la preceden por medio de una determinada regla.
La deducción puede hacerse teniendo un argumento en forma simbólica o en forma oracional. Veamos los
siguientes ejemplos:
Ejemplo 1: Dado el
siguiente argumento simbólico deducir t  s
1) e  s
2 ) t   j
3) e  j
Demostración
1) e  s
2 ) t  j
3) e  j

4) e
5) s
3.S
1,4 PP
6) j
3.S
7) t
2 ,6TT
8) t  s
5 ,7 A
Ejemplo 2: Deducir t
1) ( p  q )  r
2)  (q  r )
3) s  p
4 )s  t
________
5 ) p  ( q  r ) 1. Exp
6 ) p
2 ,5 TT
7) s
3 ,6 TP
8) t
4 ,7 PP
Ejemplo 3:
Si la ballena es un mamífero, entonces toma oxigeno del aire. Si toma su oxigeno del aire, entonces no
necesita branquias. La ballena es un mamífero y vive en el océano. Por lo tanto no necesita branquias.

Lo primero que hay que hacer es identificar cada una de las proposiciones simples
p: La ballena es un mamífero
q: La ballena toma su oxigeno del aire
r: La ballena necesita branquias
s: La ballena habita en el océano
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
Se simboliza ahora el argumento
p q
(Primera premisa)
q  r
ps
(Segunda premisa)
(Tercera premisa)
------------
r
(Conclusión)
Pero veamos el procedimiento lógico para llegar a esta conclusión, es decir, la deducción proposicional
1) p  q
2) q   r
3)
ps
_______
4) P
5) q
6) r
3.S
1,4 PP
2,5 PP
Ejemplo 3:
Si sigue lloviendo, entonces el río crecerá. Si sigue lloviendo. Si sigue lloviendo y el río crece, entonces el puente
será arrastrado por las aguas. Si la continuación de la lluvia hace que el puente sea arrastrado por las aguas,
entonces no será suficiente un solo camino para toda la ciudad. O bien un solo camino es suficiente para toda la
ciudad o bien los ingenieros han cometido un error. Por tanto, los ingenieros han cometido un error.
 Simbolizando las proposiciones
c: continúa lloviendo
r: el río crece
p: el puente es arrastrado por las aguas
s: un solo camino es suficiente para toda la ciudad
e: los ingenieros han cometido un error

La prueba formal de validez es:
(Primera premisa)
2) ( c  r )  p
(segunda premisa)
3) ( c  p )  s
(Tercera premisa)
4) s  e
(cuarta premisa)
_________________
c r
∴e
(conclusión)
Veamos como se llega a la conclusión
1) c  r
2) ( c  r )  p
3) ( c  p )  s
4) s  e
_____________
5) c → (c ∧ r)
1, Abs.
6) c → p
5,2, S.H.
7) ∼ s
8) e
3,6, P P.
4,7, TP.
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PRUEBA DE INVALIDEZ
Es obvio que, para un argumento inválido no existe una prueba formal de validez. Pero, si no se puede hallar una
prueba de validez para un argumento, eso no quiere decir que sea inválido y que no se pueda construir dicha
prueba.
A continuación se describe un método que está muy relacionado con el de las tablas de verdad, pero que es
mucho más breve, en el cual se prueba la invalidez de un argumento hallando un único caso en el que se asignan
valores de verdad a las variables del enunciado de tal forma que las premisas sean verdaderas y la conclusión
falsa, lo que lleva a concluir que la forma argumental es inválida. Un argumento se prueba inválido mostrando que
por lo menos en un renglón de su tabla de verdad todas las premisas son verdaderas pero su conclusión es falsa
Ejemplo 1: Probar la invalidez del siguiente argumento por el método de asignar valores de verdad.
1. p → q
2. r → q
3. ∴ p → r
Prueba
Para probar que este argumento es inválido sin tener que construir una tabla de
verdad completa, es necesario tener claro que un condicional es falso solamente si su antecedente es verdadero
y su consecuente falso, utilizando este hecho se procede a asignar valores de verdad a las proposiciones de la
conclusión, es decir, si F es verdadero y P es falso, entonces, la conclusión es falsa. Si a la proposición R se le
asigna el valor verdadero, ambas premisas se convierten en verdaderas, porque un condicional es verdadero
siempre que su consecuente sea verdadero. Lo anterior permite afirmar que si a las proposiciones F y R se les
asigna un valor verdadero y a la proposición P un valor falso, entonces el argumento tendrá premisas verdaderas
y una conclusión falsa, con lo cual queda probado que el argumento es inválido.
Con este método lo que realmente se hace es construir un renglón de la tabla de verdad del argumento indicado,
la relación se puede observar más claramente cuando los valores de verdad se escriben horizontalmente, de la
siguiente forma:
p
v
q
v
r
f
p→q
v
r→q
v
p→r
f
Ejemplo 2: Si Sandra es inteligente y estudia mucho, sacará buenas calificaciones y aprobará el curso. Si Sandra
estudia mucho pero no es inteligente, sus esfuerzos serán apreciados y si sus esfuerzos son apreciados,
aprobará el curso. Si Sandra es inteligente, entonces estudia mucho. Luego, Sandra aprobará el curso.
Prueba
Tomando el siguiente lenguaje simbólico
i: Sandra es inteligente
s: Sandra estudia mucho
g: Sandra sacará buenas calificaciones
p: Sandra aprobará el curso
a: Los esfuerzos de Sandra serán apreciados
se pueden establecer las siguientes premisas:
1. (i ∧ s) → (g ∧ p)
2. [(s ∧ ∼ i) → a ] ∧ [a → p]
3. i → s
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4. ∴ p
Este argumento es inválido porque con cualquiera de las siguientes asignaciones de valores de verdad la
conclusión P es falsa.
i
s
g
a
p
ó
i
s
g
a
p
v
f
v
f
f
f
f
f
f
f
Ejemplo 3: Si la inflación continua, entonces las tasas de interés permanecerán altas. Si la inflación continúa,
entonces si las tasas de interés permanecen altas, descenderá la actividad comercial. Si las tasas de interés
permanecen altas, entonces si la actividad comercial decrece, el desempleo aumenta. Así, si el desempleo
aumenta, continuará la inflación.
Prueba
Tomando el siguiente lenguaje simbólico:
p: la inflación continúa
q: las tasas de interés permanecen altas
r: descenderá la actividad comercial
s: el desempleo aumenta
Se pueden establecer las siguientes premisas:
1) p → q
2) p → (q → r)
3) q → (r → s) / ∴ s → p
Este argumento es inválido porque la siguiente asignación de valores de verdad hace las premisas verdaderas
pero la conclusión falsa:
p
f
q
f
r
f
s
v
p→q
v
p → (q → r)
v
q → (r → s)
v
s→p
f
TALLER DE ESTUDIO INDEPENDIENTE
I. Para cada uno de los siguientes argumentos enuncie la regla de inferencia mediante la cual se sigue la
conclusión.
1. (P ∧ Q) → R
∴ (P ∧ Q) → (P ∧ Q) ∧ R
2
1) ∼ (P ∧ ∼ Q) → (P → Q)
2) (Q ↔ P) → ∼ (P ∧ ∼ Q)
∴ (Q ↔ P) → (P → Q)
II. Cada una de las siguientes es una prueba formal de validez del argumento indicado. Enuncie la justificación de
cada renglón que no sea una premisa de la prueba.
1
1). A ∧ B
2) (A ∨ C) → D
3) A
4) A ∨ C
5) D
________
∴A∧D
2
1) Q → R
2) ∼ S → (T → U)
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3) S ∨ (Q ∨ T)
4) ∼ S 5) T → U
6) (Q → R) ∧ (T → U)
7) Q ∨ T
________
∴R∨U
III. Construir una prueba formal de la validez de cada uno de los siguientes argumentos:
1.
1. ∼ (P ∨ ∼ R) ↔ ∼ P ∧ R
2. Q ∨ P
3. R → S
4. (Q ∧ S) → (T ∧ S)
________
∴S∧T
2
1. ∼ T ∨ ∼ S
2. ∼ Q → T
3. Q → ∼ R
4. R
_______
∴∼S
IV. Probar la validez ó invalidez del siguiente argumento utilizando el método de asignación de valores de verdad.
1.
1). [(x ∧ y) ∧ z] → a
2). [z → a] → [b → c]
3). b
∴x→c
2.
1) a → ∼ b
2) ∼ (c ∧ ∼ a) / ∴ c → ∼ b
3.
1) s → (t → u)
2) v → (w → x)
3) t → (v ∧ w)
4. ∼ (t ∧ x)
∴s↔u
V. En cada uno de los siguientes argumentos, utilizar un lenguaje simbólico y construir una prueba formal de
validez o invalidez por el método de asignar valores.
1. Si el papel tornasol se vuelve rojo, entonces la solución es un óxido. Luego, si el papel se vuelve rojo, entonces
o la solución es un óxido o hay algo que anda mal.
2. O el ladrón entro por la puerta, o el robo fue cometido desde dentro y uno de los sirvientes debe estar
involucrado en él. El ladrón sólo pudo entrar por la puerta si el cerrojo fue levantado desde dentro; pero uno de los
sirvientes seguramente se halla implicado en el robo, si el cerrojo fue levantado desde dentro. Por ende, uno de
los sirvientes está involucrado en el robo.
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3. Si la víctima tenía dinero en sus bolsillos, entonces el robo no fue el motivo del crimen. Pero el motivo del
crimen fue, o bien el robo, o bien la venganza. Luego, el motivo del crimen debe haber sido la venganza.
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