UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA Departamento de Obras Civiles Hidrología CIV- 243 TAREA N°4 HIDROLOGÍA Integrantes: Fecha: Profesor: Ayudantes: Matthias Breytmann Javier Casanova Mauricio Cisternas 05/12/2008 Ludwig Stowas Raúl Flores Mª Pía Jiménez Tarea Nº4 Hidrología Tabla de contenido Problema 1 – Ajuste de datos a distribución probabilística ............................................................. 3 Distribución de Valores Extremos Tipo I – Gumbel ..................................................................... 4 Distribución Log-Normal ............................................................................................................ 6 Distribución Normal ................................................................................................................... 7 Problema 2 – Curvas IDF ................................................................................................................ 9 Problema 3 – Estimación del Caudal Máximo de Escorrentía ........................................................ 11 Utilizando la fórmula racional: ................................................................................................. 13 Utilizando la fórmula de Peñuelas: ........................................................................................... 13 Utilizando la fórmula de Verni-King: ......................................................................................... 14 Conclusiones................................................................................................................................ 15 Página 2 Tarea Nº4 Hidrología Problema 1 – Ajuste de datos a distribución probabilística Se pide ajustar una distribución de probabilidad a los datos de precipitación entregados por lo que se implementará el test de ajuste de bondad Chi-Cuadrado para verificar si los datos se ajustan a la distribución analizada. En primer lugar se debe plantear una hipótesis nula que se tratará de comprobar, esto requiere suponer que los datos se distribuyen según una determinada distribución probabilística, para luego, de acuerdo a los valores teóricos correspondientes, determinar si el error encontrado respeta la tolerancia respectiva del test. En caso que el error del ajuste se encuentra bajo la tolerancia implica que no hay razón para rechazar la hipótesis y se podría decir que los datos se modelan de acuerdo a la distribución testeada. Si el error es mayor se debe rechazar la hipótesis y buscar otra distribución. Cabe destacar que en algunos casos los datos se pueden ajustar con varias distribuciones debido a que el test entrega esa información, pero en caso que suceda se elige la distribución que presente el menor error. El procedimiento verificar la correcta distribución de los datos es el siguiente: • • En primer lugar se debe realizar una tabla de frecuencias con los datos de precipitación Luego se elege una distribución teórica y calcular la probabilidad de que la variable aleatoria caiga dentro de cada intervalo: Ci P [Ci −1 < X < Ci ] = pi = ∫ f ( x)dx Ci−1 • Se calcula el valor de la frecuencia absoluta teórica de cada intervalo: • Se calcular el error para cada intervalo: ti = N ⋅ pi ε i = fi − ti • Se realiza la prueba con el test ( fi − ti ) 2 X =∑ ti i =1 k 2 m • Se comparan el valor obtenido con la tolerancia, de acuerdo a una variable Chi-cuadrado con v=K-s1 grados de libertad, donde s corresponde al número de parámetros de la distribución testeada y es el número de clases que contiene la tabla. Es importante mencionar que para el análisis se utiliza un 95% de confianza, o 5% de significancia Luego, se modelan y analizan los datos con las siguientes distribuciones: • • • Gumbel Logarítmica Normal Normal Página 3 Tarea Nº4 Hidrología Con los datos de precipitación se construye la siguiente tabla de frecuencias, de acuerdo a la teoría estadística: Límite Inf. Límite Sup. Mi n N f F 15 29 29 43 22 36 4 11 4 15 0.0851 0.2340 0.0851 0.3191 43 57 57 71 50 64 13 4 28 32 0.2766 0.0851 0.5957 0.6809 71 85 85 99 78 92 8 5 40 45 0.1702 0.1064 0.8511 0.9574 99 113 106 2 47 0.0426 1.0000 Nota: La tabla se construyó utilizando los siguientes parámetros • • • Número de clases: k = 1 + 3.3 ⋅ log( n) = 1 + 3.3 ⋅ log(51) = 6.63 ≈ 7 Rango + 1 96 + 1 = ≈ 14 k 7 Límite inferior: L = min { x} − 2 / 2 = 15 Amplitud intervalo: a = Además calculando las medidas de tendencia central se tiene: __ x = 58.03 [mm] σ x = 23.39 [mm] Distribución de Valores Extremos Tipo I – Gumbel Para esta distribución la función de probabilidad acumulada es: F ( x) = e − e −y Interpolando los valores de la tabla que contiene la media y desviación estándar de la variable reducida para diferentes valores de la muestra se tiene que para 47 datos: __ y = 0.547196 m σ m = 1.15537 Luego: _ __ x−x σx = y− ym σm De donde se obtiene el valor de “y” a introducir en la función de distribución acumulada. En este caso x corresponde al límite del intervalo (se evalúa para el límite superior e inferior). Página 4 Tarea Nº4 Hidrología Resumiendo, se tiene la siguiente tabla: P. Lim inf P. lim sup Prob int Frec teoric Error X2 0.0088 0.0936 0.0848 3.9858 -0.0142 0.0001 0.0936 0.3054 0.2118 9.9549 -1.0451 0.1097 0.3054 0.5522 0.2467 11.5959 -1.4041 0.1700 0.5522 0.7427 0.1906 8.9570 4.9570 2.7433 0.7427 0.8616 0.1189 5.5877 -2.4123 1.0414 0.8616 0.9281 0.0665 3.1258 -1.8742 1.1238 0.9281 0.9633 0.0352 1.6548 -0.3452 0.0720 Sumando los valores de la última columna se obtiene el valor de test: χ 2 = 5.2602 Además, como la distribución de Gumbel utiliza 2 parámetros, se deben comparar con un valor de chicuadrado con v=7-2-1=4 grados de libertad con un 95% de confianza de donde se obtiene: 2 χ 4,0.95 = 9.488 Graficando los datos ajustados con la distribución de Gumbel con los observados se tiene: Luego, no existen razones para rechazar la hipótesis de que las precipitación se distribuyen según una distribución Gumbel. Dicho de otro modo, la diferencia entre las distribuciones acumuladas empírica y teórica no es significativa. Página 5 Tarea Nº4 Hidrología Distribución Log-Normal Se tienen las medidas de tendencia central: __ 1 51 ⋅ ∑ ln( xi ) = 3.9744 47 i =1 σ x = 0.4361 x= Luego estandarizando para analizar como si fuera una distribución Normal con media 0 y desviación 1 mediante: __ z= ln( x) − x σx ⇒ N ∼ (0,1) De la misma forma que en el caso anterior, se obtiene la siguiente tabla: Z1 -2.8285 -1.3529 -0.4624 0.1774 0.6770 1.0871 1.4348 Z2 -1.3529 -0.4624 0.1774 0.6770 1.0871 1.4348 1.7366 P. interv. 0.0857 0.2339 0.2485 0.1804 0.1107 0.0628 0.0344 Frec teoric 4.0282 10.9912 11.6794 8.4794 5.2022 2.9529 1.6191 Error 0.0282 -0.0088 -1.3206 4.4794 -2.7978 -2.0471 -0.3809 X2 0.0002 0.0000 0.1493 2.3663 1.5048 1.4192 0.0896 Sumando los valores de la última columna, se obtiene el valor del test : χ 2 = 5.29402 Debido a que la distribución normal consta de dos parámetros, se debe comparar con una variable Chicuadrado de 4 grados de libertad (determinada con el mismo procedimiento del caso anterior) con 95% de confianza: 2 χ 4,0.95 = 9.488 De acuerdo a esto, no existen razones para rechazar la hipótesis nula, es decir los datos se pueden modelar con una distribución Logarítmica Normal. El siguiente gráfico muestra la distribución empírica y teórica en donde se observa que los datos se ajustan en forma aproximada. Página 6 Tarea Nº4 Hidrología Distribución Normal Se tienen las siguientes medidas de tendencia central: __ 1 51 x = 47 ⋅ ∑ x i = 58.0298[mm] i =1 σ x = 23.3878[ mm] De la misma forma que para el caso log-normal, se utiliza un valor de la variable estandarizada: __ z= x−x σx ⇒ N ∼ (0,1) Realizando el mismo procedimiento que los casos anteriores se tiene la siguiente tabla: Z1 -1.8185 -1.2199 -0.6213 -0.0227 0.5760 1.1746 1.7732 Z2 -1.2199 -0.6213 -0.0227 0.5760 1.1746 1.7732 2.3718 Prob int 0.0768 0.1560 0.2237 0.2267 0.1622 0.0820 0.0292 Frec teoric 3.6078 7.3300 10.5162 10.6555 7.6252 3.8533 1.3747 Error -0.3922 -3.6700 -2.4838 6.6555 -0.3748 -1.1467 -0.6253 Sumando los valores de la última columna, se obtiene el valor del test: χ 2 = 7.26796 Página 7 X2 0.0426 1.8376 0.5867 4.1570 0.0184 0.3412 0.2844 Tarea Nº4 Hidrología Al igual que la distribución Log-Normal, se tienen dos parámetros. Luego se debe comparar con una variable Chi-cuadrado de 4 grados de libertad y 95% de confianza: χ 42, 0.95 = 9.49 De acuerdo a esto, no existen razones para rechazar la hipótesis, por lo tanto los datos se pueden modelar mediante una distribución normal. El siguiente gráfico muestra la distribución empírica y teórica en donde se observa que los datos se ajustan en forma aproximada. En conclusión, debido a que las 3 distribuciones cumplen el valor requerido por el test se escoge la distribución que arrojó el menor error, es decir, la DISTRIBUCIÓN LOGARITMICA NORMAL. Esta distribución es la que mejor se ajusta a los datos de precipitación entregados. Además graficando los datos para verificar la teoría se tiene el siguiente histograma: Y comparándolo con los de la distribución de Gumbel, se puede apreciar que se puede apreciar la semejanza de los datos. Página 8 Tarea Nº4 Hidrología Problema 2 – Curvas IDF 1. Obtener el caudal máximo de escorrentía directa para los siguientes periodos de retorno 100, 500, 1000. Asumiendo una distribución de intensidades con un máximo central. Se utilizará la distribución Log-Normal para hacer la siguiente pregunta, pues esta resulto con los menores errores en cuanto a ajustarse a los datos entregados, como se comprobó en la pregunta N°1. Se completa la siguiente tabla para así obtener las curvas Período 5,0 10,0 100,0 500,0 i1 15,7 19,0 30,0 38,1 i15 4,0 4,9 7,7 9,8 Pexc 0,2 0,1 0,0 0,0 i3 9,1 11,0 17,3 22,0 i18 3,7 4,5 7,1 9,0 Poc 0,8 0,9 1,0 1,0 i5 7,0 8,5 13,4 17,0 i20 3,5 4,2 6,7 8,5 Z 0,8 1,3 2,3 2,9 i10 5,0 6,0 9,5 12,1 i22 3,3 4,1 6,4 8,1 y 4,3 4,5 5,0 5,2 i12 4,5 5,5 8,6 11,0 i24 3,2 3,9 6,1 7,8 P24 76,8 93,1 146,8 186,7 Donde: Promedio Desviacion estandar 3,9744205 0,4361235 Se obtuvo desde los datos proporcionados. Además, se sigue el siguiente procedimiento para el relleno de la tabla: Se obtiene la probabilidad de excedencia a través de Pexc = 1 y así se saca la probabilidad de ocurrencia T Poc = 1 − Pexc . Con esta probabilidad se entra a las tablas de distribución normal para encontrar el parámetro Z. Página 9 Tarea Nº4 Hidrología __ Por último se encuentra y por medio de Z= y− y σy , pero como esta variable esta afecta a la transformación logarítmica para encontrar la precipitación diaria se debe despejar la transformación P24 = e y . Para rellenar los datos de intensidad se utiliza la fórmula El gráfico queda: Página 10 it = i24 * 24 P , con i24 = 24 . t 24 Tarea Nº4 Hidrología Problema 3 – Estimación del Caudal Máximo de Escorrentía 3. Estimar el caudal máximo de escorrentía directa para períodos de retorno de 100 y 500 años. Utilice dos métodos e indique con claridad todos los valores y supuestos utilizados. Compare resultados. Estos son los datos encontrados para la cuenca de Casablanca: • • • • • • • • Hmáx = 703 [m] Hmín = 300 [m] A = 839830 [m2] L* = 1,707 [km] (longitud cauce principal) L = 1,405 [km] (longitud media de la cuenca) S = 0,31 (pendiente media de la cuenca) CN= 60 C = 0,82 (coeficiente escorrentía) Se necesita estimar el tiempo de concentración para así poder graficar las curvas intensidad – duración – frecuencia. Esto se hará en base a dos fórmulas encontradas, estas son: L3 Fórmula de Kirpich: tc = K * ∆H 0,385 Donde L: Es la longitud del cauce principal [km]. ∆H : Desnivel máximo. La cual se obtuvo a través de la fórmula ∆H = H máx − H mín . K: Coeficiente de drenaje. En este caso se usara K = 1, suponiendo a Casablanca como una cuenca con red de drenaje normal. Reemplazando los datos se obtiene: Tiempo de concentración = 0,18416 [hr]. Una vez encontrado el tiempo de concentración se procede a realizar una regresión para el período de retorno de 100 y 500 años para así encontrar la intensidad máxima a dicho tiempo. Página 11 Tarea Nº4 Hidrología Para T = 100 Para T = 500 Donde y = f(x) es la fórmula de regresión encontrada. Reemplazando en las regresiones se tiene: Para T = 100 años, la intensidad máxima evaluada en el tiempo de concentración será: i max = 69,815 [mm/hr]. Para T = 500 años, la intensidad máxima evaluada en el tiempo de concentración será: i max = 88,807 [mm/hr]. Página 12 Tarea Nº4 Hidrología Utilizando la fórmula racional: _ Qmáx c* (t ) * AT m3 = i máx s 3,6 Donde C: Coeficiente de escorrentía. i máx.: Intensidad máxima obtenida anteriormente de las curvas intensidad duración frecuencia. [mm/hr]. At: Área total de la cuenca en [km^2]. El ultimo factor permite el cambio de unidades a [ m3 ] s Reemplazando en los datos en la fórmula: m3 s Para T = 100 [años]: Qmáx = 13,3619 m3 s Para T = 500 [años]: Qmáx = 16,988 Utilizando la fórmula de Peñuelas: Qmáx = 0.5 ⋅ P24 2 ⋅ ( m3 At ) 3600 s Donde P: Precipitación en 24 horas At: Área total de la cuenca en [km^2]. El ultimo factor permite el cambio de unidades a [ m3 ] s Reemplazando en los datos en la fórmula: m3 s Para T = 100 [años]: Qmáx = 2.5133 m3 s Para T = 500 [años]: Qmáx = 4.06704 Página 13 Tarea Nº4 Hidrología Utilizando la fórmula de Verni-King: Qmáx = 0.00618 ⋅ P241.24 ⋅ At 0.88 ⋅ ( Donde P: Precipitación en 24 horas At: Área total de la cuenca en[ km 2 ]. El ultimo factor permite el cambio de unidades a [ m3 ] s Reemplazando en los datos en la fórmula: Para T = 100 [años]: Qmáx m3 = 2.5718 s m3 s Para T = 500 [años]: Qmáx = 3.47198 Página 14 At m3 ) 3600 s Tarea Nº4 Hidrología Conclusiones Respecto del problema visto anteriormente se pueden rescatar los siguientes puntos importantes: o Al rellenar la tabla de frecuencia, cabe destacar que se utilizó un número de clases recomendado por la fórmula de Sturges. Respecto de los límites corresponde a un cierto valor más pequeño que el dato extremo en la estadística, esto es debido a que se utilizaron los Rangos de la tabla y de los datos para establecer dicho intervalo. o Cabe destacar que todas las distribuciones de probabilidad analizadas con los datos entregados se ajustan correctamente ya que el test estadístico Chi Cuadrado lo comprueba. Se eligió un ajuste del tipo Log-Normal ya que analizando los errores cometidos entre cada intervalo, ésta distribución era la que tenía el error más pequeño. o Respecto de las curvas idf, se calcularon utilizando el ajuste encontrado (LogNormal) para distintos períodos de retorno. Se determinó la intensidad máxima que puede ocurrir una o más veces en un período de 100 y 500 años a través de dicha probabilidad de ocurrencia. o En cuanto a la estimación de caudal para se utilizaron distintas fórmulas para evaluar los datos, llegándose a la conclusión que algunos discrepan entre sí debido a que son fórmulas empíricas. Es importante destacar que el dato que más se ajusta es mediante la fórmula de Grunsky ( para Peñuelas ) ya que está diseñada para el Valle de Peñuelas que está ubicado muy cerca de la cuenca estudiada en Casa Blanca. Además la fórmula de Verni- King se ajusta muy bien ya que los valores son muy cercanos a la de Peñuelas. o Es importante mencionar que todos los cálculos realizados tienen un pequeño margen de error que se debe a aproximaciones y supuestos utilizados para idealizar el problema. Sin embargo, estos errores no deberían ser significativos ya que lo que se busca es una estimación de la realidad y así tener una buena noción en caso de querer realizar una obra de ingeniería civil en la zona. Página 15