Fundamentos de Investigación de Operaciones Tarea Nº1 INTRODUCCIÓN La programación lineal es un tipo de aplicación que abarca el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible, es decir, en forma óptima. Este problema toma todas las variables involucradas que compiten por recursos escasos necesarios para tomar una decisión óptima dictando la cantidad de cada recurso que consumirá cada una de ellas. Cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general del modelo de programación lineal se puede resolver utilizando métodos eficientes como por ejemplo el método Simplex. Este método lo utilizan los softwares ya que permite trabajar con un sinnúmero de variables y realizar una serie de operaciones simultáneamente como es el caso del software Lingo versión 11 que se utilizó para resolver esta tarea. El objetivo de esta tarea consiste en maximizar los ingresos de un nuevo operador de televisión digital PPV Pay Per View en la Quinta Región cumpliendo con todas las restricciones a las que está sometido. Para que la decisión de la empresa sea la más óptima se analizan varios casos como la cantidad de minutos incluida en el plan para realizar el Call Center, restricciones de presupuesto y el precio de venta del paquete de programas. Se estudia también el segmento al que se deben realizar llamadas ya sea: Casado con Hijos, Casado sin Hijos, Solteros mayores de 30 años y Solteros menores de 30 años. Se toma en cuenta también el horario en el cual se deben realizar las llamadas ya sea Mañana, Tarde o Fin de Semana y por último los gastos que se requieren para pagar al personal contratado que disminuyen el presupuesto. De esta forma se busca elaborar un plan estratégico que permita aumentar los ingresos y saber distribuir en forma correcta el presupuesto, es decir indicar exactamente cuantas llamadas se deben realizar a los distintos sectores en un determinado turno. Página 1 Fundamentos de Investigación de Operaciones Tarea Nº1 Modelo Matemático del Problema de Programación Lineal Caso 1: Variables: : Datos: Costo de cada paquete: -CP1: Paquete 1 Costo $15000 -CP2: Paquete 2 Costo $16000 : Porcentaje de gente que respondió que sí contrataría el plan 1 en el segmento j, con j=1,2,3,4 : Porcentaje de gente que respondió que sí contrataría el plan 2 en el segmento j, con j=1,2,3,4 Segmento Solteros < 30 Solteros > 30 Casados con hijos Casados sin hijos Porcentaje Plan 1 Porcentaje Plan 2 20 15 20 40 20 30 20 50 : Porcentaje de llamadas contestadas en el turno i, con i=1,2,3: Turno Mañana Tarde Fin de Semana Porcentaje 50 60 85 : Duración promedio de llamadas contestadas para el turno i, en minutos y : Duración promedio de llamadas no contestadas para el turno i: Turno Mañana Tarde Fin de Semana Llamadas exitosas Llamadas no exitosas 4 2 6 3 8 5 Página 2 Fundamentos de Investigación de Operaciones Tarea Nº1 : Costo del personal contratado para realizar las llamadas en el turno i contestadas y : Para las no contestadas, en pesos: Turno Mañana Tarde Fin de Semana Llamadas exitosas Llamadas no exitosas 300 10 330 11 360 12 Localidades: Valparaíso, Viña del Mar y otros. Función Objetivo: 1 ! ! " 2 ! ! $ ! Sujeto a: Restricción de minutos: %1 " 2$ ! ! " &1 ' 1 " 2$( ! ! ) * 10000 Restricción de costos de presupuestos: % ! ! " 1 ' $ ! ! ) * 38000 Restricción de no negatividad y de variables enteras , / 0, 0 Ζ ; i 1,2,3 j 1,2,3,4 Página 3 Fundamentos de Investigación de Operaciones Tarea Nº1 Modelo en Lingo para el caso 1: A continuación se presenta el modelo matemático del problema de la empresa PPV traspasado al lenguaje que utiliza el software Lingo versión 11. Para este modelo se analizó teniendo en cuenta un límite de 10.000 minutos para realizar las llamadas del Call Center y teniendo un límite de pago al personal contratado de 380.000 pesos. MODEL: MAX = 15000 * (LL11 * LLC1* PI1 + LL21 * LLC2 * PI1 + LL31 * LLC3 * PI1 + LL12 * LLC1 * PI2 + LL22 * LLC2 * PI2 + LL32 * LLC3 * PI2 + LL13 * LLC1 * PI3 + LL23 * LLC2 * PI3 + LL33 * LLC3 * PI3 + LL14 * LLC1 * PI4 + LL24 * LLC2 * PI4 + LL34 * LLC3 * PI4)+ 20000 * (LL11 * LLC1 * PII1 + LL21 * LLC2 * PII1 + LL31 * LLC3 * PII1 + LL12 * LLC1 * PII2 + LL22 * LLC2 * PII2 + LL32 * LLC3 * PII2 + LL13 * LLC1 * PII3 + LL23 * LLC2 * PII3 + LL33 * LLC3 * PII3 + LL14 * LLC1 * PII4 + LL24 * LLC2 * PII4 + LL34 * LLC3 * PII4); Sujeto a: Restricción de Minutos Totales: LL11 * DLLC1 * (PI1 + PII1) * LLC1 * DLLC3 * (PI1 + PII1) * LLC3 + LL12 * DLLC1 * (PI2 + PII2) * LLC1 * DLLC3 * (PI2 + PII2) * LLC3 + LL13 * DLLC1 * (PI3 + PII3) * LLC1 * DLLC3 * (PI3 + PII3) * LLC3 + LL14 * DLLC1 * (PI4 + PII4) * LLC1 * DLLC3 * (PI4 + PII4) * LLC3 + LL11 * DLLNC1 * (1 - (PI1 + PII1)) * LLC2 + LL31 * DLLNC3 * (1 - (PI1 LL12 * DLLNC1 * (1 - (PI2 + PII2)) * LLC2 + LL32 * DLLNC3 * (1 - (PI2 LL13 * DLLNC1 * (1 - (PI3 + PII3)) * LLC2 + LL33 * DLLNC3 * (1 - (PI3 LL14 * DLLNC1 * (1 - (PI4 + PII4)) * LLC2 + LL34 * DLLNC3 * (1 - (PI4 <= 10000; + LL21 * DLLC2 * (PI1 + PII1) * LLC2 + LL31 + LL22 * DLLC2 * (PI2 + PII2) * LLC2 + LL32 + LL23 * DLLC2 * (PI3 + PII3) * LLC2 + LL33 + LL24 * DLLC2 * (PI4 + PII4) * LLC2 + LL34 * + * + * + * + LLC1 + PII1)) LLC1 + PII2)) LLC1 + PII3)) LLC1 + PII4)) LL21 * * LLC3 LL22 * * LLC3 LL23 * * LLC3 LL24 * * LLC3 DLLNC2 + DLLNC2 + DLLNC2 + DLLNC2 * (1 - (PI1 + PII1)) * (1 - (PI2 + PII2)) * (1 - (PI3 + PII3)) * (1 - (PI4 + PII4)) Restricción de Costo de Presupuesto LL11 * CPN1 * (1 - LLC1) + LL21 * CPN2 * (1 - LLC2) + LL31 * CPN3 * (1 - LLC3) + LL12 * CPN1 * (1 - LLC1) + LL22 * CPN2 * (1 - LLC2) + LL32 * CPN3 * (1 LLC3) + LL13 * CPN1 * (1 - LLC1) + LL23 * CPN2 * (1 - LLC2) + LL33 * CPN3 * (1 - LLC3) + LL14 * CPN1 * (1 - LLC1) + LL24 * CPN2 * (1 - LLC2) + LL34 * CPN3 * (1 - LLC3) + LL11 * CP1 * LLC1 + LL21 * CP2 * LLC2 + LL31 * CP3 * LLC3 + LL12 * CP1 * LLC1 + LL22 * CP2 * LLC2 + LL32 * CP3 * LLC3 + LL13 * CP1 * LLC1 + LL23 * CP2 * LLC2 + LL33 * CP3 * LLC3 + LL14 * CP1 * LLC1 + LL24 * CP2 * LLC2 + LL34 * CP3 * LLC3 <= 380000; Página 4 Fundamentos de Investigación de Operaciones Tarea Nº1 @GIN(LL11); @GIN(LL21); @GIN(LL31); @GIN(LL12); @GIN(LL22); @GIN(LL32); @GIN(LL13); @GIN(LL23); @GIN(LL33); @GIN(LL14); @GIN(LL24); @GIN(LL34); DATA: LLC1 = 0.5; LLC2 = 0.6; LLC3 = 0.85; PI1 = 0.2; PI2 = 0.2; PI3 = 0.2; PI4 = 0.2; PII1 = 0.15; PII2 = 0.4; PII3 = 0.3; PII4 = 0.5; DLLNC1 = 2; DLLNC2 = 3; DLLNC3 = 5; DLLC1 = 4; DLLC2 = 6; DLLC3 = 8; CP1 = 300; CP2 = 330; CP3 = 360; CPN1 = 10; CPN2 = 11; CPN3 = 12; ENDDATA Página 5 Fundamentos de Investigación de Operaciones Tarea Nº1 Caso 2: Para este caso se mantiene todo similar al caso anterior, salvo en que se elimina la restricción de costo de presupuesto y se aumenta el plan de minutos de 10000 a 15000 (restricción de minutos). Por lo tanto el modelo queda, manteniendo los datos entregados por el enunciado: Función Objetivo: 1 ! ! " 2 ! ! $ ! Sujeto a: Restricción de minutos: %1 " 2$ ! ! " &1 ' 1 " 2$( ! ! ) * 15000 Restricción de no negatividad y de variables enteras , / 0, 0 Ζ ; i 1,2,3 j 1,2,3,4 Modelo en Lingo para el caso 2: MODEL: MAX = 15000 * (LL11 * LLC1* PI1 + LL21 * LLC2 * PI1 + LL31 * LLC3 * PI1 + LL12 * LLC1 * PI2 + LL22 * LLC2 * PI2 + LL32 * LLC3 * PI2 + LL13 * LLC1 * PI3 + LL23 * LLC2 * PI3 + LL33 * LLC3 * PI3 + LL14 * LLC1 * PI4 + LL24 * LLC2 * PI4 + LL34 * LLC3 * PI4)+ 20000 * (LL11 * LLC1 * PII1 + LL21 * LLC2 * PII1 + LL31 * LLC3 * PII1 + LL12 * LLC1 * PII2 + LL22 * LLC2 * PII2 + LL32 * LLC3 * PII2 + LL13 * LLC1 * PII3 + LL23 * LLC2 * PII3 + LL33 * LLC3 * PII3 + LL14 * LLC1 * PII4 + LL24 * LLC2 * PII4 + LL34 * LLC3 * PII4); Sujeto a: Restricción de Minutos Totales: LL11 * DLLC1 * (PI1 + PII1) * LLC1 * DLLC3 * (PI1 + PII1) * LLC3 + LL12 * DLLC1 * (PI2 + PII2) * LLC1 * DLLC3 * (PI2 + PII2) * LLC3 + LL13 * DLLC1 * (PI3 + PII3) * LLC1 * DLLC3 * (PI3 + PII3) * LLC3 + LL14 * DLLC1 * (PI4 + PII4) * LLC1 * DLLC3 * (PI4 + PII4) * LLC3 + LL11 * DLLNC1 * (1 - (PI1 + PII1)) * LLC2 + LL31 * DLLNC3 * (1 - (PI1 LL12 * DLLNC1 * (1 - (PI2 + PII2)) * LLC2 + LL32 * DLLNC3 * (1 - (PI2 LL13 * DLLNC1 * (1 - (PI3 + PII3)) * LLC2 + LL33 * DLLNC3 * (1 - (PI3 + LL21 * DLLC2 * (PI1 + PII1) * LLC2 + LL31 + LL22 * DLLC2 * (PI2 + PII2) * LLC2 + LL32 + LL23 * DLLC2 * (PI3 + PII3) * LLC2 + LL33 + LL24 * DLLC2 * (PI4 + PII4) * LLC2 + LL34 * + * + * + LLC1 + PII1)) LLC1 + PII2)) LLC1 + PII3)) Página 6 LL21 * * LLC3 LL22 * * LLC3 LL23 * * LLC3 DLLNC2 * (1 - (PI1 + PII1)) + DLLNC2 * (1 - (PI2 + PII2)) + DLLNC2 * (1 - (PI3 + PII3)) + Fundamentos de Investigación de Operaciones Tarea Nº1 LL14 * DLLNC1 * (1 - (PI4 + PII4)) * LLC1 + LL24 * DLLNC2 * (1 - (PI4 + PII4)) * LLC2 + LL34 * DLLNC3 * (1 - (PI4 + PII4)) * LLC3 <= 15000; @GIN(LL11); @GIN(LL21); @GIN(LL31); @GIN(LL12); @GIN(LL22); @GIN(LL32); @GIN(LL13); @GIN(LL23); @GIN(LL33); @GIN(LL14); @GIN(LL24); @GIN(LL34); DATA: LLC1 = 0.5; LLC2 = 0.6; LLC3 = 0.85; PI1 = 0.2; PI2 = 0.2; PI3 = 0.2; PI4 = 0.2; PII1 = 0.15; PII2 = 0.4; PII3 = 0.3; PII4 = 0.5; DLLNC1 = 2; DLLNC2 = 3; DLLNC3 = 5; DLLC1 = 4; DLLC2 = 6; DLLC3 = 8; Página 7 Fundamentos de Investigación de Operaciones Tarea Nº1 Resultados • Caso 1 (Restricción de 10.000 minutos en llamadas y límite de 380.000 de pago a personal contratado) El programa realizado arroja como solución lo siguiente: Global optimal solution found. Objective value: 0.1593410E+08 Objective bound: 0.1593410E+08 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable LL11 LLC1 PI1 LL21 LLC2 LL31 LLC3 LL12 PI2 LL22 LL32 LL13 PI3 LL23 LL33 LL14 PI4 LL24 LL34 PII1 PII2 PII3 PII4 DLLC1 DLLC2 DLLC3 DLLNC1 DLLNC2 DLLNC3 CPN1 CPN2 CPN3 CP1 CP2 CP3 Row 1 2 3 Value 0.000000 0.5000000 0.2000000 0.000000 0.6000000 0.000000 0.8500000 0.000000 0.2000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.2000000 0.000000 0.000000 2449.000 0.2000000 2.000000 0.000000 0.1500000 0.4000000 0.3000000 0.5000000 4.000000 6.000000 8.000000 2.000000 3.000000 5.000000 10.00000 11.00000 12.00000 300.0000 330.0000 360.0000 Slack or Surplus 0.1593410E+08 5830.580 0.2000000 Página 8 Reduced Cost -3000.000 0.000000 0.000000 -3600.000 0.000000 -5100.000 0.000000 -5500.000 0.000000 -6600.000 -9350.000 -4500.000 0.000000 -5400.000 -7650.000 -6500.000 0.000000 -7800.000 -11050.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 Dual Price 1.000000 0.000000 0.000000 Fundamentos de Investigación de Operaciones Tarea Nº1 • Caso 2 (con 15.000 minutos como límite para realizar llamadas y sin ninguna restricción de pago al personal contratado) El programa realizado arroja como solución lo siguiente: Global optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: Total solver iterations: Variable LL11 LLC1 PI1 LL21 LLC2 LL31 LLC3 LL12 PI2 LL22 LL32 LL13 PI3 LL23 LL33 LL14 PI4 LL24 LL34 PII1 PII2 PII3 PII4 DLLC1 DLLC2 DLLC3 DLLNC1 DLLNC2 DLLNC3 CP1 CP2 CP3 CPN1 CPN2 CPN3 Row 1 2 0.5734950E+08 0.5734950E+08 0.000000 0 0 Value 0.000000 0.5000000 0.2000000 0.000000 0.6000000 0.000000 0.8500000 0.000000 0.2000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.2000000 0.000000 0.000000 8823.000 0.2000000 0.000000 0.000000 0.1500000 0.4000000 0.3000000 0.5000000 4.000000 6.000000 8.000000 2.000000 3.000000 5.000000 300.0000 330.0000 360.0000 10.00000 11.00000 12.00000 Slack or Surplus 0.5734950E+08 0.9000000 Página 9 Reduced Cost -3000.000 0.000000 0.000000 -3600.000 0.000000 -5100.000 0.000000 -5500.000 0.000000 -6600.000 -9350.000 -4500.000 0.000000 -5400.000 -7650.000 -6500.000 0.000000 -7800.000 -11050.00 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 Dual Price 1.000000 0.000000 Fundamentos de Investigación de Operaciones Tarea Nº1 Análisis de Resultados Análisis del 1er Caso El resultado que se obtiene al maximizar la función objetivo es de 15.934.100 pesos. Este valor es el óptimo para el problema y al analizar el número de llamadas que se deben realizar en el turno i y segmento j (LLij) se observa que las únicas variables que actúan en el problema son LL14 y LL24 ya que son diferentes de 0. Esto quiere decir que se deben realizar 2449 llamadas en el turno 1 (Mañana) al segmento 4 (Casados sin Hijos) para la primera variable LL14 y 2 llamadas en el turno 2 (Tarde) al segmento 4 (Casados sin Hijos) para la segunda variable LL24. Al realizar este procedimiento se puede inferir que casi la totalidad de llamadas se deben realizar en un solo turno y a un solo segmento. Análisis del 2do Caso Al eliminar la restricción de presupuesto se obtiene un nuevo valor para la función objetivo que es en este caso mucho mayor que la obtenida para el 1er caso, el programa arroja como resultado maximizado del modelo un valor para la función objetivo de 57.349.500 pesos. Este valor es el óptimo para el problema y al analizar el número de llamadas que se deben realizar en el turno i y segmento j (LLij) se observa que la única variable que actúa en el problema es LL14 ya que es diferentes de 0. Sucede casi lo mismo que en el caso anterior pero cambia la cantidad de llamadas a realizar. Ahora son 8823 llamadas que se deben realizar en el turno 1 (Mañana) al segmento 4 (Casados sin Hijos) .Al realizar este procedimiento se puede inferir que casi la totalidad de llamadas se deben realizar en un solo turno y dirigida a un solo segmento para maximizar los ingresos. Conclusiones Los modelos de programación lineal están compuestos por una función objetivo que contiene variables que están sujetas a una cierta cantidad de restricciones. En esta tarea se ha modelado matemáticamente las restricciones y se ha llevado a cabo la optimización utilizando el software Lingo versión 11. Este programa utiliza el método simplex para resolver dicho problema, y el objetivo es comprender su utilidad ya que éste método es utilizado en casi todas las áreas en donde se requiere tomar decisiones como la ingeniería y administración. Se deduce también del análisis para los 2 casos que el resultado se da de una forma muy particular, ya que Lingo asigna todos los recursos a una sola variable, y esto se puede deber a que no existe alguna restricción para a la cantidad de llamadas a realizar en algún turno y/o por segmento. De esta manera el resultado que arroja el software Lingo es el más óptimo, debido a que no existe alguna combinación de las variables para obtener un valor más alto para la función objetivo. En conclusión respecto del problema se puede decir que los resultados obtenidos respecto del análisis 1 es el más real ya que toma en cuenta las restricciones de presupuesto de pago al personal. El hecho de tener que pagar al personal es causa de grandes sumas de dinero que se deben tener en cuenta a la hora de tomar una decisión en una empresa. Página 10