cantidad de movimiento

IMPULSO y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
INTRODUCCIÓN
De acuerdo a las leyes de Newton aplicados a
partículas o a cuerpos rígidos sabemos que si
sobre una partícula no actúan fuerzas entonces su
velocidad en los sistemas inerciales permanece
invariable, pero si consideramos partículas en
interacción mutua que no están fijamente unidas
como un cuerpo rígido, de modo que puedan tener
movimiento relativo entre si, al cual llamaremos
“sistemas de partículas” , tienen un punto común
llamado centro de masa cuyo movimiento de
traslación es representativo del conjunto de
partículas. Podemos asumir que la masa del
sistema esta concentrada en el centro de masa y podemos tratar al sistema como si
fuera una única partícula ubicada en el centro de masa. La aplicación de la
Segunda ley de Newton al centro de masa nos conduce a definir la ley de la
conservación de la cantidad de movimiento lineal
Si definimos el concepto de sistema aislado,
comprendiendo con ello el conjunto de
partículas que interactúan entre sí donde
existen una serie de magnitudes relacionadas
con las velocidades que no varían con el
tiempo, como por ejemplo la cantidad de
movimiento del sistema. Este nuevo enfoque
(vectorial) representa un complemento de la
descripción energética (escalar), vista en el
capítulo de trabajo y energía, y las leyes de
Newton para el estudio de los problemas
mecánicos.
Este tercer modo de tratar problemas de
dinámica, solo nos muestra como el hombre
puede explicar una gran cantidad de
fenómenos naturales y darse cuenta como la
física no es tan compleja como muchos
consideran, es decir, no basta con querer aprender de memoria una serie de
formulas, es necesario analizar cuidadosamente los problemas para poder elegir el
camino mas fácil para resolverlos. Gracias a esta nueva descripción se ha podido
descubrir la existencia del núcleo del átomo, estudiar la formación de las diferentes
etapas geológicas de la tierra, enviar una nave espacial a la Luna, además de
entender problemas sencillos como el patear un balón, etc.
IMPULSO
Es una cantidad física vectorial que caracteriza la acción integrada de una fuerza F
en un intervalo de tiempo Δt. El impulso causa un cambio de velocidad.
F
V1
V2
La interacción entre el pie y la pelota produce una fuerza sobre la pelota en un
tiempo Δt.
IMPULSO DE UNA FUERZA CONSTANTE:
Supongamos que una fuerza F constante actúa sobre
la masa m durante un intervalo de tiempo t, tal como
se indica en la figura
m
vi
vf
Una fuerza constante F actuando sobre una masa m durante un tiempo Δt, le cambia su
cantidad de movimiento
Se define el impulso de la fuerza F como el producto de la fuerza por el intervalo de
tiempo de interacción:
I  F t : en [Ns]
El impulso tiene la misma dirección que
la fuerza que la produce
Sí graficamos la fuerza versus el
tiempo, podemos observar que el área
bajo la curva nos proporciona la
magnitud del impulso de la fuerza F
Impulso = Area = F Δt
Gráfica F versus t
IMPULSO DE UNA FUERZA CON MAGNITUD VARIABLE
Si la magnitud de una fuerza F varia con el tiempo tal como se observa en la figura
“La magnitud del impulso recibido por la partícula en el intervalo de tiempo t es
igual al área bajo la curva de la gráfica F versus t”
I  F m t
En esta ultima ecuación la fuerza Fm que aparece es la fuerza media que ha
actuado sobre la partícula en el intervalo t. El impulso tiene la misma orientación
que la fuerza F que la produce.
IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Cuando se estudió la primera ley de Newton se estableció: que toda partícula que se
mueve con velocidad constante o permanece en reposo en algún sistema de
referencia inercial, permanecerá en dicho estado indefinidamente a menos que un
agente externo le modifique su estado de movimiento. Esto es, si el sistema está
aislado:
F = 0
Si se aplica una fuerza F constante a la partícula el efecto será el cambio de
velocidad o aceleración constante I  F t  mat
I  F t  m(v 2  v 1)
I  F t  mΔv
V2
V1
F
El impulso produce el cambio en la cantidad
partícula
I  F t
mv
asociado al movimiento de la
 mv 2  mv 1
La ecuación anterior se escribe como
I  F  t  p  p  p
2
1
Se define la “Cantidad de movimiento o momentum lineal de la partícula de masa m”
la cantidad p  mvv v en kg ms1, donde m es una propiedad del cuerpo y v
depende del sistema de referencia
P2= m2 v2
P1= m1 v1
La fuerza se puede escribir
F

p p
f
i  p
t
t
Redefiniendo la segunda ley de Newton de la
siguiente manera:
“El cambio en la cantidad de movimiento de
una partícula con el tiempo es igual a la fuerza
promedio que ha actuado sobre la partícula en
el intervalo de tiempo t”
F  t  p2  p1
F  t  p
p  mvv
p
F 
m t
v
p
m

La primera ley de Newton se reinterpretaría como “ Toda partícula que se mueve
con p constante o que permanezca en reposo con p = 0, se mantendrá en dicho
estado en forma indefinida a menos que algún agente externo le modifique su
estado inicial
La cantidad de movimiento permite diferenciar entre dos partículas con masa distinta
que se mueven con la misma velocidad. Identifica el estado de movimiento de la
partícula
Toda fuerza F que actúa sobre una masa m, cambia su cantidad de movimiento de
p1 hasta p2
I  F t  p  p  p
2
1
Es decir; el impulso de la fuerza F produce el cambio de la cantidad de
movimiento de la partícula.
Esta última relación recibe el nombre “teorema del impulso y la cantidad de
movimiento” y nos permite obtener el impulso que recibe la masa m sin necesidad
de conocer la fuerza F.
SISTEMA DE PARTÍCULAS
Un sistema de partículas es un conjunto de partículas con alguna característica
común que permita delimitarlo y en el que la posición y movimiento de una partícula
depende de la posición y movimiento de las demás. Un sistema de partículas puede
ser discreto o continúo. Un sistema de partículas se reduce al movimiento de una
partícula utilizando el concepto de centro de masa
Un sistema de partículas se puede aislar con el fin de estudiar su movimiento. La
elección de las partículas que conforman el sistema es completamente arbitraria
En el sistema S1 puede considerarse a las bolas 1, 14 y 37 y en el podemos analizar
el movimiento de dichas bolas cuando interactúen con las bolas que estén fuera del
sistema. También se puede considerar otros sistemas como S2 formado por las
bolas 17,82, 23, 37.
FUERZAS INTERNAS Y EXTERNAS
Las interacciones entre las partículas se manifiestan a través de fuerzas que pueden
ser de contacto, eléctricas, electromagnéticas, gravitacionales, etc.
Cuando las fuerzas de interacción se producen dentro del sistema donde se
encuentran las partículas se denominan fuerzas internas. Siempre aparecen en
pares como acción y reacción lo que hace que su resultante sea cero, lo que hace
que no cambie la cantidad de movimiento del sistema.
Las fuerzas externas son las fuerzas entre partículas que se encuentran fuera del
sistema y partículas que se encuentran dentro del sistema. Como son fuerzas
externas al sistema cambia la cantidad de movimiento del sistema.
SISTEMAS AISLADOS Y NO AISLADOS
Un sistema es aislado cuando no actúan sobre él fuerzas externas. Las únicas
interacciones son las que se dan entre las partículas del sistema
Un sistema es no aislado cuando sobre el sistema actúan fuerzas externas además
de las internas
21
11
Fuerzas externas
6
12
Partícula externa
al sistema
Fuerzas internas y externas
CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE DOS PARTÍCULAS:
La cantidad de movimiento de un sistema de partículas es igual a la suma de la
cantidad de movimiento de cada partícula
Dado un sistema de dos partículas de la figura se define la cantidad de movimiento
del sistema como la suma de la cantidad de movimiento de cada una ellas
p = p1 + p2
Sistema aislado de dos partículas
CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN
DOS PARTÍCULAS
SISTEMA DE
Supongamos un sistema de dos partículas sujetas a su interacción mutua F12 , F21 y
a las fuerzas externas Fext.1 y Fext.2 tal como se muestra en la figura:
Observamos que la cantidad de movimiento de cada partícula no es constante
debido a las fuerzas que actúan sobre ellas, entonces nos preguntamos ¿la cantidad
de movimiento del sistema se mantendrá constante?
Para contestar esta pregunta analicemos cada partícula por separado:
p1 no es constante pues sobre m1 actúa la fuerza F12 y Fext.1 aplicando la segunda
ley de Newton tenemos:
Δp
F12  Fext,1  1
Δt
análogamente podemos decir que p2 no es constante pues sobre m2 actúan las
fuerza F21 y Fext.2
Δp
2
F F

21 ext,2 Δ t
si sumamos estas dos ecuaciones y ordenamos adecuadamente:
Δp
Δp 2
F12  F21  Fext ,1  Fext ,2  1 
Δt
Δt
o
Δ(p  p )
1 2
F F F
F

12 21 ext,1 ext,2
Δt
por la tercera ley de Newton (ley de acción y reacción):
F12 + F21 = 0
entonces :
Fext,1  Fext,2 
Δ( p1  p 2 )
Δt
ó
Δp
F

Ext Δ t
donde FExt es la fuerza externa resultante que actúa sobre el sistema
FExt = Fext,1 + Fext,2
Es decir, el cambio en la cantidad de movimiento del sistema con el tiempo es igual
a la fuerza resultante externa que actúa sobre el sistema
Ahora si la fuerza resultante externa es cero
FExt = Fext,1 + Fext,2 = 0
entonces tendremos:
Δp
0
Δt
Δp  0
esto significa que el cambio en la cantidad de movimiento del sistema en el intervalo
de tiempo t es cero:
p = p1 + p2 = cte
Si la fuerza externa que actúa sobre el
sistema es cero entonces su cantidad de
movimiento se mantiene constante en
todo momento
Resumiendo:
Sí:
FExt = Fext,1 + Fext,2 = 0
entonces
p = p1 + p2 = cte
Esta condición recibe el nombre del principio de conservación de la cantidad de
movimiento del sistema y podemos generalizarla a un sistema conformado por
varias partículas:
Dado un sistema de n partículas se define la cantidad de movimiento del sistema
como:
n
p  p  p  ........  p   p
1
2
n
i
i1
a) Si sobre el sistema actúan varias fuerzas externas se cumple que:
donde
Fext. =

Fj
j
n
es la suma de todas las fuerzas externas al sistema y p =

pi
i 1
b) Si la fuerza resultante externa que actúa sobre el sistema es cero el principio de
conservación de la cantidad de movimiento establece que:
n

p =
pi = cte
i 1
n
F
0
i 1
n
I  0
i 1
Δp  0
es importante notar que las fuerzas internas no cambian la cantidad de movimiento
del sistema de partículas.
CENTRO DE MASA
Cuando se estudio en cinemática el movimiento bidimensional se vio que todo
cuerpo lanzado al aire, bajo la influencia de la gravedad, describiría una trayectoria
parabólica y tomamos como ejemplo un proyectil, una pelota, etc. Pero todos ellos
fueron tratados como partículas puntuales sin dimensiones, pero la realidad es que
todos estos cuerpos están conformados por muchas partículas. Por ejemplo si
lanzamos una mancuerna al aire de la figura
El centro de masa de la mancuerna lanzada al aire describe una trayectoria parabólica
Un observador que se encuentra lejos verá que ésta efectivamente describe una
trayectoria parabólica, pero qué verá el observador si se acerca más y ve
detalladamente lo que sucede
El observador dirá que cada masa en forma individual no describe una trayectoria
parabólica, sino que están girando y moviéndose caprichosamente, pero sin
embargo el punto marcado en la mancuerna si describe una parábola, este punto
particular del sistema recibe el nombre de Centro de masa (CM) y se comporta como
una partícula puntual de masa M + m. Ver figura
El centro de masa de la mancuerna se comporta como una
partícula puntual de masa M+m
PROPIEDADES DEL CM.
Hemos definido el CM como un punto tal que si toda la masa del sistema estuviera
concentrada en él, el sistema se comportaría como una partícula.
1.- El CM permite reducir un sistema de partículas a una sola partícula.
2.- El CM de un sistema se mueve como un punto material cuya masa es la masa
total del sistema, impulsado por las fuerzas exteriores.
3.- Todas las fuerzas exteriores al sistema se suponen aplicadas en su CM. La
aceleración del CM coincide, pues, con la aceleración del sistema.
4.- La cantidad de movimiento de un sistema es igual al producto de la masa del
sistema por la velocidad de sus CM.
5.- Si las fuerzas que actúan sobre un sistema tienen una resultante y un momento
nulos, el CM se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme. Las fuerzas
internas no modifican el movimiento del CM.
6.- Si se toma el CM como origen de referencia, la cantidad de movimiento del
conjunto de partículas es siempre nula.
7.- El movimiento más general que puede tener un sistema se puede reducir a un
movimiento de traslación de su CM más una rotación alrededor de un eje que
pasa por dicho punto.
UBICACIÓN DEL CENTRO DE MASA
Si se tiene un sistema de partículas la ubicación de su centro de masa esta dado
por:
R CM
n
 mr
m r  m r  ......  m r
ii
2 2
n n  i 1
 1 1
n
m  m  ........  m
1
2
n
 m
i
i1
CM
Sistema de varias partículas, su centro de masa se denota por RCM
n
como  mi es la masa total M del sistema esta ecuación se convierte:
i 1
donde r es el vector posición de la masa
mi
n
 mr
ii
R
 i1
CM
M
VELOCIDAD DEL CENTRO DE MASA
El movimiento de cada una de las partículas del sistema nos advierte que el centro
de masa de la misma deberá estar moviéndose también, si analizamos una de ellas,
digamos la j-esima partícula, en un tiempo t ésta deberá haberse desplazado Δrj,
entonces el desplazamiento del CM en ese mismo intervalo de tiempo será:
n
 m Δr
i i
i

1
ΔR

CM
M
si dividimos esta expresión por t y hacemos que este intervalo de tiempo sea lo
mas pequeño posible ( t  0 ) obtendremos:
ΔR CM
t 0
Δt
lim
n
Δri
 mi lim
 t 0 Δ t
 i 1
M
esta es justamente la velocidad instantánea, entonces la velocidad del centro de
masa vCM queda determinada por:
v CM
n
 mi v i
 i 1
M
vi es la velocidad instantánea de la i-esima partícula.
La sumatoria que aparece en esta ultima expresión, es la cantidad de movimiento p
del sistema de partículas
n
n
p   mi v i   p i
i 1
i 1
por lo tanto
vCM

p
M
Es decir, la velocidad del centro de masa, es igual a la cantidad de movimiento del
sistema de partículas entre la masa total del sistema
Esto nos permite expresar la cantidad de movimiento del sistema como:
p = M vCM
por el principio de conservación de la cantidad de movimiento, si la fuerza resultante
externa es cero entonces la cantidad de movimiento de sistema se mantiene
constante por lo tanto vCM deberá también permanecer constante, como si se tratase
de una partícula de masa M, esto confirma una vez mas que el centro de masa se
comporta como una partícula puntual de masa M y velocidad vCM.
ACELERACIÓN DEL CENTRO DE MASA
Si sobre el sistema de partículas actúan varias fuerzas externas, hemos demostrado
antes que:
Δp
F

Ext Δt
donde
FExt   F j
j
es la suma de todas las fuerzas
n
externas al sistema y p =

pi = MvCM
i 1
Combinando estas ecuaciones
Δv CM
Δp Δ(M v CM )
F


M
Ext Δ t
Δt
Δt
finalmente obtenemos:
FExt. = M aCM
es decir la aceleración del centro de masa es igual a la fuerza resultante externa que
actúa sobre el sistema entre la masa M del sistema de partículas
F
aCM  Ext
M
o equivalentemente:
aCM
m a
i i

M
IMPULSO DE FUERZAS IMPULSIVAS
Son aquellas fuerzas que actúan
durante un intervalo de tiempo
muy pequeño
(  10
4
s)
y que tienen una magnitud
promedio muy grandes.
I
La fuerza en la definición del
impulso
I = Fm Δt es una
fuerza media constante ya que la
fuerza real que actúa durante el
intervalo de tiempo pequeño es
muy difícil de determinar
F
En la figura el pico representa la fuerza
impulsiva y el área bajo la curva del
rectángulo equivale al impulso
La fuerza impulsiva puede variar en
módulo, dirección y sentido, por lo que el
grafico solo representa la magnitud de la
fuerza impulsiva en función del tiempo
Ejemplo
Una pelotita de 0.5 kg se lanza horizontalmente contra una pared con una rapidez de
40 m/s. Si esta rebota con la misma rapidez, determine la fuerza promedio que la
pared ejerce sobre la pelotita. El tiempo de interacción pared-pelota
es
-3
aproximadamente 10 s
Solución:
Determinemos la cantidad de movimiento de la
pelotita p = m v
Antes de chocar con la pared:
Pi = (0,5 kg)(40i m/s ) = 20i Ns
después de rebotar en la pared
pf = (0,5 kg)(40i m/s ) = 20i Ns
El cambio en la cantidad de movimiento será : Δp = pf  pi = 40i Ns
La fuerza promedio que actuó sobre la pelotita es:
Fp = Δp/Δt = 40i Ns / 103 s = 40 000 i N
Durante la colisión no solo a actuado la fuerza de la pared sobre m, también lo ha
hecho el peso, pero si comparamos el peso con la fuerza impulsiva Fp notaremos
Que esta solo representa el 0,0125% de Fp, por lo cual no ha sido considerado en el
calculo.
COLISIONES ELÁSTICAS E INELÁSTICAS EN UNA DIMENSIÓN
Supóngase que dos masas m1 y m2 colisionan frontalmente, como se observa en la
ver figura , durante la colisión aparece, por la tercera ley de Newton, la fuerza de
interacción entre ellas, las cuales son iguales y opuestas, estas fuerzas como ya se
menciono antes no cambia la cantidad de movimiento de las masas
Existen tres tipos de colisiones:
I)
Colisión elástica. En este tipo de colisión la energía de las partículas
inmediatamente antes y después de la colisión permanece constante
II)
Colisión inelástica. En este tipo de colisión la energía de las partículas no se
mantiene constante, parte de ella se pierde en forma de calor y en la
deformación que sufren los cuerpos durante el choque. Figura 19
Durante una colisión inelástica, parte de la energía cinética de las masas
se convierte en calor
III)
Colisión completamente inelástica. Es considerada también una colisión
inelástica pero en este caso los cuerpos permanecen unidos después del
choque.
COLISION ELASTICA EN UNA DIMENSIÓN
Supongamos dos partículas moviéndose en la misma dirección tal como se indica en
la figura 7.15
En la figura se indican las velocidades de las masas inmediatamente
antes y después de la colisión elástica
Si conocemos sus velocidades antes de la colisión ¿cuáles serán sus velocidades
inmediatamente después del choque?
Por ser una colisión elástica su energía se debe conservar, por lo tanto:
1
1
1
1
m1 (v1)2 + m2(v2)2 =
m1 (v1)2 + m2 (v2)2
2
2
2
2
de aquí se obtiene
m1((v1)2  (v1)2 ) = m1((v2)2  (v1)2 )
por conservación de la cantidad de movimiento
p1 + p2 = p1 + p2
como están en la misma dirección podemos eliminar el vector unitario iˆ
m1v1 + m 2v 2 = m1v1 + m 2v 2
m1(v1  v 1) = m2 (v 2  v 2)
de aquí:
dividiendo las ecuaciones
(v1  v2) = (v2  v1)
o:
(v1  v2) =  (v 1  v 2)
la cual nos indica que la velocidad relativa de acercamiento es igual y opuesta a la
velocidad relativa de alejamiento
Resolviendo las ecuaciones obtenemos las velocidades después de la colisión:
(m  m 2 )
2 m2
v1'  1
v1 
v
(m1  m 2 )
(m1  m 2 ) 2
v 2' 
(m  m1 )
v1  2
v
(m1  m 2 )
(m1  m 2 ) 2
2 m1
COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN:
Retomemos nuevamente la ecuación
(v1  v2) =  (v 1  v 2)
y analicemos la siguiente situación:
Supongamos dos partículas moviéndose una al encuentro de la otra con velocidades
de 10 m/s y 30 m/s tal como se indica en la figura
Si fijamos un observador en la partícula 1
¿Qué verá este observador antes y después de la colisión?
El observador en todo momento asumirá que la partícula 1 no se mueve respecto de
él y que la partícula 2 se le aproxima con una rapidez de 40 m/s (ver figura)
Velocidad de las partículas vistas por un observador fijo en la partícula 1
además como la colisión es elástica, el observador con seguridad dirá que la energía
cinética de la partícula 2 será la misma antes y después de la colisión es decir su
velocidad no cambia, (ver figura)
El entonces puede afirmar que la velocidad de acercamiento y la velocidad de
alejamiento de la partícula 2 son iguales y opuesta, es decir:
vacercamiento = valejamiento
Velocidad de alejamiento de la partícula 2 vista por el 0bservador fijo en 1
Ahora ¿qué vera el observador si la colisión es inelástica?
La rapidez de alejamiento de la partícula 2 medida por el observador es menor que la
de acercamiento
En este caso el observador vera que debido a la colisión se ha liberado calor y se ha
producido una deformación en ambas partículas, tal como se indica en la figura 25
En este caso el observador puede afirmar que la rapidez de acercamiento es mayor
que la rapidez de alejamiento, es decir:
vacercamiento  valejamiento
Por ultimo ¿qué vera el observador si la colisión fuera completamente inelástica?
En este caso el observador vera que la partícula 2 queda unida a la partícula 1 y ha
perdido toda su energía como consecuencia de la colisión completamente inelástica,
es decir: valejamiento = 0
En una colisión completamente inelástica, para el observador ligado a la partícula
1, la partícula 2 no se mueve
Tengamos en cuenta que la velocidad que mide el observador ligado a la partícula 1
es la velocidad relativa de la partícula dos respecto de la partícula 1, entonces para
un observador en tierra las ecuaciones correspondientes serán:
Para una colisión elástica:
(v1  v2) =  (v 1  v 2)
v1'  v2 '
1
v v
2
1
para una colisión inelástica:
(v1  v2) <  (v 1  v 2)
v1 '  v 2 '
1
v 2  v1
ó
y para una colisión completamente inelástica: (v 1  v 2) = 0
ó equivalentemente:
v1 '  v 2 '
0
v 2  v1
Se define el coeficiente de restitución como:
=
v1 '  v 2 '
v 2  v1
el cual nos permite analizar que tipo de colisión se ha efectuado
si
ε 1
si
0  ε  1 la colisión es inelástica y
si
ε 0
la colisión es elástica
la colisión es completamente inelástica