XVI SNHH - Escuela de Ingeniería de Antioquia

El resalto hidráulico en secciones rectangular,
triangular, trapecial y parabólica
Francisco Jaime Mejia Garcés
Ingeniero Civil
Profesor de Hidráulica
Grupo de Investigación GABiS
Gestión del Ambiente para el Bienestar Social
Escuela de Ingeniería de Antioquia
pffmejia@eia.edu.co
Preparado para presentación en el
XVI Seminario Nacional de Hidráulica e Hidrología
Sociedad Colombiana de Ingenieros
Sociedad de Ingenieros del Quindío
Universidad del Quindío
Corporación Autónoma Regional del Quindío
Armenia 29, 30 y 31 de octubre de 2004
Resumen
Con la ayuda de la ecuación de transporte de cantidad de movimiento a lo largo de un canal se
interpreta el comportamiento del tirante hidráulico en el resalto hidráulico. Se destaca cómo es posible
desarrollar una expresión que hace las veces de función del resalto hidráulico en el sentido de expresar la
profundidad secuente en términos del estado de flujo inicial o la profundidad inicial en términos del estado de
flujo secuente. Se considera que este enfoque es de mucho interés en la docencia de la hidráulica.
Se discuten las hipótesis requeridas para desarrollar la función del resalto hidráulico, las
simplificaciones que usualmente aceptan los ingenieros, las razones que tienen para ello, cuáles son las
simplificaciones que no deben aceptarse y se presentan las diferentes formas que toma la función en el caso
de las secciones estudiadas, para finalmente concluir que el estudio del transporte de cantidad de
movimiento en un canal permite predecir:

El comportamiento de la altura del flujo rápidamente variado en un resalto hidráulico si se conocen
las condiciones de flujo en la sección inicial o en la sección secuente.

El comportamiento de la altura del flujo rápidamente variado en un resalto hidráulico en canales de
sección:
o
Trapecial para condiciones conocidas en la sección inicial o en la sección secuente.
o
Rectangular para condiciones conocidas en la sección inicial o en la sección secuente.
o
Triangular para condiciones conocidas en la sección inicial o en la sección secuente.
o
Parabólica para condiciones conocidas en la sección inicial o en la sección secuente.
El resalto hidráulico en secciones rectangular,
triangular, trapecial y parabólica
Introducción
En este escrito se introduce la ecuación de transporte de la cantidad de movimiento, su aplicación
cuando se requiere obtener la función resalto hidráulico en canales y se destaca como su predicción teórica
no se restringe a canales de sección rectangular. Este enfoque toma su mayor interés durante la docencia
de la hidráulica.
La ecuación de transporte de cantidad de movimiento
La ecuación que permite estudiar el transporte de la cantidad de movimiento en un volumen de control
(figuras 1 y 2) puede escribirse como1:
Mi  Mf 
Fe
 senθ

Figura 1. Volumen de control para el análisis de
la cantidad de movimiento.
(1)
Figura 2. Sección longitudinal para el análisis de
la cantidad de movimiento.
Los sumandos de la izquierda en (1) se calculan en cada sección de flujo con la función 2:
M
1
2
Fp

β
Q2
gA
La nomenclatura utilizada se define en la lista de símbolos al final del artículo.
La discusión de esta función y sus consecuencias (Mejía, 2004) aparece en la Revista EIA 1, febrero de 2004
(2)
Esta expresión reúne el empuje específico estático que ejerce el resto del flujo sobre el volumen de
control y el empuje específico dinámico en la sección, que es el flujo de cantidad de movimiento a través de
la superficie de control que la delimita.
La fuerza total en la sección debida a la presión es:
Fp 
 pdA
(3)
Ahora, si se puede ignorar la curvatura de las líneas de corriente (Naudascher, 2001) y se acepta la
distribución uniforme de la velocidad, la fuerza estática sobre la sección se puede obtener con:
donde la presión en el centro de área es:
Fp  pA
(4)
p  hcosθ
(5)
Además se tiene que la profundidad del centro de área es una fracción particular de la altura del flujo en
la sección, que depende de la forma y tamaño de la sección transversal:
h  kh
Fp
de manera que:

(6)
 khAcosθ
(7)
y con (2) se obtiene la función fuerza específica o ímpetu (Newton, 1687) en la sección, descrita con detalle
por Mejía (2004):
M  khAcosθ  β
Q2
gA
Así mismo debe señalarse que la fuerza específica gravitacional, sen
(8)
en (1), depende del tamaño
del volumen de control y de la inclinación del canal.
Ahora, la fuerza externa Fe, paralela al sentido del flujo en (1), se ejerce sobre éste debido a la
combinación de dos acciones de superficie: la fuerza de fricción desarrollada conjuntamente por las paredes
del canal sobre la masa líquida (F) y, en menor medida, por el aire sobre la superficie libre; más el empuje
normal del lecho (Fn) debido a las variaciones de sección o a los obstáculos interpuestos al flujo:
Fe  F  Fn
(9)
La fuerza debida a la fricción puede calcularse por diversos métodos (García, 2000), pero en general
(Newton, 1687; Chow, 1959) puede expresarse como:
F  A 
(10)
  RSf
(11)
donde
y
A   PL
(12)
El empuje normal al flujo ejercido por el lecho o por obstáculos usualmente es una variable que debe
determinarse a partir del principio de cantidad de movimiento.
Transporte de cantidad de movimiento en un resalto hidráulico
En un tramo de canal puede aparecer el conflicto de estados de flujo si aguas arriba del tramo se
impone un control supercrítico y aguas abajo se impone un control subcrítico. La naturaleza resuelve tal
conflicto con un salto hidráulico en un tramo relativamente corto de canal, entre una sección inicial en el
frente del resalto hidráulico y una sección final donde termina el flujo dividido a partir de la cual todas las
partículas fluidas viajan en la dirección general del flujo, sin la ocurrencia de contraflujos ni la presencia de
remolinos locales (figura 21).
El frente del resalto hidráulico se establece en una sección tal que se satisfaga la ecuación de
transporte de la cantidad de movimiento (1), que es la ecuación que permite relacionar la profundidad al final
de la turbulencia del resalto hidráulico con la profundidad al inicio del resalto hidráulico y expresar cualquiera
de ellas en términos de la otra.
Con frecuencia se estudia el resalto hidráulico en un canal horizontal (sen=0) y así se demuestra que
la fuerza específica inicial es mayor que la fuerza específica final. Si se ignora la fuerza específica viscosa
en las paredes de ese volumen de control, se obtiene la igualdad de las fuerzas específicas inicial y final
(figura 22), en diferentes ramas de la curva M y en este caso las secciones y sus respectivas alturas de flujo
se conocen como inicial y secuente; Mi corresponde al estado supercrítico y Ms corresponde al estado
subcrítico:
Mi  M s
Profundidad (y)
(13)
Ms
ys
yf
yc
yi
Mc
Mf
Mi
Fuerza específica (M)
Figura 22. Fuerza específica en un
resalto hidráulico
Figura 21. Resalto hidráulico, Mi > Mf
La solución de esta expresión permite encontrar una de las alturas de flujo en términos de la otra, lo
cual se facilita si se define la relación adimensional:
ys
(14)
yi
que tiene la característica de ser siempre mayor que la unidad y poderse expresar para cada geometría de la
ω
sección transversal como una función de F
2
o como una función de Fs2:
 
(15)
 
(16)
ω  f Fβ,2i
ω  f Fβ,2 s
Características geométricas de la sección transversal
La figura 23 ilustra los principales elementos geométricos en una sección transversal perpendicular al
fondo del canal, a partir de los que se establecen las relaciones geométricas de interés que se muestran en
la tabla 2:
h  y cosθ
dA  Tdh
DA T
(17)
(18)
(19)
Sección transversal
Esquema longitudinal
Figura 23. Elementos geométricos del canal.
Tabla 2. Características geométricas de la sección transversal.
Cualquiera
Trapecial
Rectangular Triangular
Parabólica
Sección
h  ax 2
Área
A
1  2b

 zi  z d  h2

2 h

bh
Ancho
superficial
T
b

  zi  z d  h
h

b
zi  zd  h
2 ha
Profundidad
hidráulica
D
1  2b h+zi +zd 
h
2 b h+zi +zd
h
h2
2h 3
k
hh
1 3b h  zi  z d
3 2b h  zi  z d
12
13
25
zi  zd  h2
2
aT3 6
En la tabla 2 se aprecia que las características geométricas de las secciones rectangular (zi=zd=0) y
triangular (b=0) son casos particulares de la sección trapecial, que es aquella donde dos lados son paralelos
entre sí, en este caso el fondo (b) y la superficie libre (T)3.
3
La sección trapecial es diferente de la sección trapezoidal que es aquella donde el fondo de la sección no es paralelo a la superficie
libre.
El número de Froude en canales
A su vez la tabla 3 muestra las expresiones para el número de Froude en diversas secciones
transversales.
Tabla 3. El número de Froude en diversas secciones transversales.
Cualquiera
Trapecial
Rectangular
Triangular
Parabólica
Sección
h  ax 2
v
F
F2
g
k D  h cosθ
β
βQ2
gk D+h A 2cosθ
v
g 1  3b h+zi +z d   4b h+3  zi +z d  
hcosθ
β 6  2b h+zi +z d  b h+zi +z d 
24 Q 2 b h  z i  z d 
g4b h  3z i  z d 3b h  z i  z d 2b h  z i  z d  h5 cosθ
v
g
β
v
gh
hcos θ
βQ2
gb2h3cosθ
β2
cosθ
8βQ2
g  zi +z d  h5cosθ
2
v
g2
β3
hcos θ
27aQ2
32gh4cosθ
Efecto de las pequeñas pendientes longitudinales
La tabla 4 muestra algunos valores de interés asociados a pequeños ángulos de inclinación
longitudinal.
Tabla 4. Ángulos y funciones de interés en hidráulica de
canales.
Ángulo
So
cos
cos2
sen
tan
grado radián
0
0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0%
0.29
0.0050 1.0000 1.0000 0.0050 0.0050 0.5%
1
0.0175 0.9998 0.9997 0.0175 0.0175 1.7%
2
0.0349 0.9994 0.9988 0.0349 0.0349 3.5%
3
0.0524 0.9986 0.9973 0.0523 0.0524 5.2%
4
0.0698 0.9976 0.9951 0.0698 0.0699 7.0%
4.05
0.0708 0.9975 0.9950 0.0707 0.0709 7.1%
5
0.0873 0.9962 0.9924 0.0872 0.0875 8.7%
5.73
0.1000 0.9950 0.9900 0.0999 0.1004 10.0%
6
0.1047 0.9945 0.9891 0.1045 0.1051 10.5%
7
0.1222 0.9925 0.9851 0.1219 0.1228 12.3%
Se observa que para pendientes inferiores a 0,5%, el efecto del peso del volumen de líquido en el
volumen de control, representado por sen, empieza a ser insignificante. Por supuesto que si en algunas
circunstancias los efectos de la corrección para algunas pendientes son insignificantes, no impide que esos
valores puedan calcularse si se requiere mayor pulcritud en los cálculos.
La función resalto hidráulico en un canal horizontal de sección transversal trapecial,
rectangular o triangular
Para un canal trapecial la combinación de (13) con las relaciones geométricas indicadas en la tabla 2
conduce a:
  b

 b

12Q2 
1
1
  3

 zi  zd ω3   3  zi  zd  (20)
3 
2
2 
2b ys  zi  zd ys   ys
gyi  2b yi  zi  zd yi
 yi


que con la expresión para F2,i presentada en la tabla 3 y con ys=yi  de (14), se convierte en:
2ω2  2b yi ω  zi  zd  b yi  zi  z d 
 3b yi ω  zi  zd 3 
ω  1  Fβ,i2

2
3b
y

z

z
4b
y

3
z

z
2b
y
ω

z

z
ω

2b
y

z

z

 i  i d   i
i
i
d

i
d
i
i
d  
(21)
Esta es la función resalto hidráulico en un canal trapecial en términos de las condiciones iniciales del
resalto hidráulico.
Con un procedimiento similar se obtiene la función resalto hidráulico en un canal trapecial en términos
de las condiciones secuentes del resalto hidráulico.
2  2bω y s  zi  zd  b y s  zi  zd 
 3 3bω y s  zi  zd 
2
 1  Fβ,s
ω 
3b y s  zi  zd
ω  4b y s  3  zi  z d     2b y s  zi  z d  ω   2bω y s  zi  z d   

3
(22)
2
La solución aceptable para  es aquella mayor que la unidad. Desde estas expresiones se pueden
obtener rápidamente las funciones para el resalto hidráulico en un canal rectangular (zi = 0; zd = 0) y en un
canal triangular (b = 0).
Para el canal de sección transversal rectangular se obtiene la ecuación de Bélanger:
ω
1
2

 1  8F,i  1

2
(23)

(24)
1 1

ω 2

2
1 8Fβ,s
1
Como en la sección inicial el número de Froude es mayor que la unidad y en la sección secuente el
número de Froude es menor que la unidad, será mayor que la unidad.
Para el canal de sección transversal triangular se obtiene:

 3F
ω 2 ω3  1
2
,i
(25)
ω3  1
3 2
 Fβ,s
ω3  ω 2  1 2
(26)
ω 1
2
2
Esta es la función del resalto hidráulico en el canal horizontal de sección transversal triangular, así los
taludes laterales no sean iguales. Si bien esta expresión tiene cinco soluciones para , solamente es
aceptable el único valor de  mayor que la unidad.
La función resalto hidráulico en canal horizontal de sección transversal parabólica
Para la sección parabólica se establece (French, 1985):
y s Ts2
 2 ω
yi
Ti
(27)
3
3
 Ts 
2
  ω
T
 i
y por lo tanto:
(28)
Para resalto hidráulico se satisface (13) y se obtiene:
β
Q2
g
 1
1 
 

 A A   kys A s  kyi Ai
s
 i
(29)
Si se reemplazan A=2Th/3=aT3/6 y la continuidad del flujo, esta ecuación se convierte en:
a

v i2  Ti3 
6

β 
g
2




1
1

  2  y s a Ts3  yi a Ti3 

a 3 a 3 5 6
6 
Ts 
 Ti
6
6

(30)
Se cancelan los coeficientes a/6 y se dividen ambos términos entre yi, para obtener:
5 βv i2
2 gyi
 Ti3 Ti3  y s Ts3 yi Ti3




 T3 T3  y T3 y T3
i
i i
s 
i
 i
(31)
y como F2=v2/gD, la expresión se reduce a:
3  5

ω 2  ω 2  1

  5 F2
,i
3
3
ω 2 1
(32)
y en términos de las condiciones secuentes:
5
ω 2 1
ω
5
2

5 2
 Fβ,s
ω 2 1 3
3

(33)
Esta es la función resalto hidráulico en un canal horizontal de sección transversal parabólica, que tiene
una única solución para  mayor que la unidad.
El resumen de las funciones para el resalto hidráulico se muestra en la tabla 5:
Tabla 5. La función resalto hidráulico para algunas secciones transversales en canales horizontales
Cualquiera
Trapecial simétrica
Rectangular
Triangular
simétrica
Sección
Parabólica
h  ax 2
v
6 Q2 b y  2z
βQ2
F2
gkD  y A
D
yc,

c
g3b y  2z2b y  3zb y  z y
2
 y c,β  A
2
c
 3b y
βQ
gk
2
c,β
+2z  2b y c,β +3z b y c,β +z  y 5c,β
b y c,β +2z
 3b yi ω  2z 3 
Fβ,i2   1
ω .
3b yi  2z


ω2  b yi ω  z b yi  2z 
ω  f Fβ,i2 

 2b yi  3z   b yi  z   b yi ω  z 
6βQ2
=
g
g2
y
β3
2Q 2
gz 2 y 5
27aQ2
32gy 4
βQ b 
g
2 Q 2
y c,   5
gz 2
2
y c,   3

ω
ω3  2b y s  3z   b y s  z  ω2  bω y s  z  
1 1

ω 2


2
1 8Fβ,s
1
y c, 
2
4 27  aQ
32g
ω
3
ω3  1
3 2
 Fβ,s
ω  ω 2  1 2
ω  1
5
ω
ω
5
2
5
2
El comportamiento de la altura del flujo rápidamente variado en un resalto hidráulico si se conocen
las condiciones de flujo en la sección inicial (ecuación 15) o en la sección secuente (ecuación 16).
El comportamiento de la altura del flujo rápidamente variado en un resalto hidráulico en canales y
calcular la otra altura de flujo en resalto hidráulico que se desarrolla en canales de sección:
o
Trapecial para condiciones conocidas en la sección inicial (ecuación 21) o en la sección
secuente (ecuación 22).
o
Rectangular para condiciones conocidas en la sección inicial (ecuación 23) o en la sección
secuente (ecuación 24).
o
Triangular para condiciones conocidas en la sección inicial (ecuación 25) o en la sección
secuente (ecuación 26).
o
Parabólica para condiciones conocidas en la sección inicial (ecuación 32) o en la sección
secuente (ecuación 33).
Lista de símbolos
A
a
área mojada de la sección transversal del canal.
inverso del latus rectum de la sección transversal parabólica.
3
2
5 2
 Fβ,s
3
El estudio del transporte de cantidad de movimiento en un canal permite predecir:

1
ω  1
Conclusiones

2
3
3
no requiere
simetría
transversal
2
ω 2 1
5
 Fβ,i2
3
no requiere
simetría
transversal
ω2 

3bω y s  2z 
F   ω3 
.
3b y s  2z 

bω ys  z b y s  2z 

ω 2 ω3  1 3 2
 F,i
2
ω2  1
1

2
 1  8F,i  1

2
2
β,s
2
ω  f Fβ,s


v
g y
β 2
βQ 2
gb 2 y 3
5
v
v
g
y
β
v
g 1 3b y  2z 2b y  3z
y
β 6 b y  z b y  2z 
g
k D  y 
β
F
Ac
Af
Ai
As
A
b
D
Dc
Fe
F,i
F,s
Fn
Fp
Fpf
Fpi
F
F
f
g
h
h
hc
i
k
L
M
Mc
Mf
Mi
Ms
n-n
p
P
p
Q
R
Sf
So
T
Tc
Ti
Ts

v
vc
vf
vi
x
y
yc
yc,
yf
yi
área mojada crítica de la sección transversal del canal.
área mojada de la sección transversal final.
área mojada de la sección inicial del volumen de control.
área mojada de la sección secuente parabólica.
área del lecho que soporta arrastre por esfuerzo cortante.
ancho del fondo en la sección transversal rectangular o trapecial.
profundidad hidráulica en la sección.
profundidad hidráulica crítica en la sección.
fuerza externa que actúa sobre el volumen de control.
número de Froude en la sección inicial.
número de Froude en la sección secuente.
componente paralela al eje del canal de la fuerza normal ejercida por el lecho y por las paredes del
canal.
fuerza estática total sobre la sección transversal.
fuerza debida a la presión en la sección final del volumen de control.
fuerza debida a la presión en la sección inicial del volumen de control.
número de Froude para flujo de cantidad de movimiento (Boussinesq).
fuerza de fricción desarrollada por las paredes del canal sobre la masa líquida.
subíndice para la sección final del volumen de control.
aceleración gravitacional local.
profundidad hasta el centro de área.
profundidad de flujo en la sección, perpendicular al fondo del canal. Ordenada de la sección
parabólica.
profundidad crítica del flujo en la sección, perpendicular al fondo del canal.
subíndice para la sección inicial del volumen de control.
fracción de profundidad del centro de área en la sección respecto a la profundidad del flujo.
longitud del volumen de control en la dirección del flujo.
fuerza específica.
fuerza específica mínima.
fuerza específica en la sección final del volumen de control.
fuerza específica en la sección inicial del volumen de control o del resalto hidráulico.
fuerza específica secuente en el resalto hidráulico.
sección transversal perpendicular al fondo del canal.
presión en el centro de área.
perímetro sólido mojado de la sección transversal.
función distribución de presión en la sección.
caudal que circula a través de la sección.
radio hidráulico en la sección transversal.
pendiente de la línea de energía debida a la fricción.
pendiente del fondo del canal.
ancho de la superficie libre en la sección transversal.
ancho de la superficie libre crítico.
ancho de la superficie libre en la sección inicial parabólica.
ancho de la superficie libre en la sección secuente parabólica.
volumen del líquido dentro del volumen de control.
velocidad media del flujo en la sección.
velocidad crítica en la sección.
velocidad media en la sección final del volumen de control.
velocidad media en la sección inicial del volumen de control.
abscisa a lo largo del canal, en el sentido del flujo. Abscisa de la sección parabólica en sentido
perpendicular al flujo.
profundidad de flujo, paralela al eje vertical.
profundidad crítica.
profundidad crítica obtenida con el criterio de fuerza específica mínima.
profundidad de flujo en la sección final del volumen de control.
profundidad de flujo en la sección inicial del volumen de control o en el resalto hidráulico.
yn
ys
z
zd
zi
W





profundidad normal del flujo uniforme.
profundidad secuente de flujo en el resalto hidráulico.
componente horizontal del talud (1V:zH), cuando son iguales en ambas márgenes.
componente horizontal del talud (1V:zdH) en la margen derecha del canal.
componente horizontal del talud (1V:ziH) en la margen izquierda del canal.
peso del líquido contenido en el volumen de control.
coeficiente de corrección de cantidad de movimiento o de Boussinesq.
peso específico del líquido.
ángulo de inclinación del canal medido con la horizontal.
esfuerzo cortante.
función del resalto hidráulico: relación entre las profundidades secuente e inicial del resalto hidráulico.
Referencias
Chow, Ven Te (1959). Open-Channel Hydraulics. McGraw Hill. New York, 667 p.
French, Richard H. (1985). Open-Channel Hydraulics. McGraw Hill. México. 724 p.
García, Celso y Batalla, Ramón J, (2000). Cálculo de la tensión de corte a partir de los perfiles de velocidad
en un río de gravas. Ingeniería del Agua, vol. 7 Número 3, Valencia, España. Páginas 237-242.
Mejía G., Francisco Jaime (2003), http://fluidos.eia.edu.co, Escuela de Ingeniería de Antioquia, Envigado,
Colombia, 158 Mb.
Mejía G., Francisco Jaime (2004a), La función fuerza específica en canales, Revista EIA, Escuela de
Ingeniería de Antioquia, Número 1. http://revista.eia.edu.co
Mejía G., Francisco Jaime (2004b), El transporte de cantidad de movimiento en canales, Revista EIA,
Escuela de Ingeniería de Antioquia, Número 2. http://revista.eia.edu.co
Naudascher, Eduard (2001). Hidráulica de canales. México: Limusa. 381 p.
Newton, Isaac (1687). Philosophiae Naturales Principia Matemática. Ediciones Altaza S. A., Barcelona,
España 621 p.
Ohtsu, Iwao y Yasuda, Youichi (1994), Characteristics of supercritical flow below sluice gate, Journal of
Hydraulic Engineering, ASCE, 120(3)
Vischer, D. L. y Hager, W. H. (1998) Dam hydraulics. Baffins Lane, Chichester, Great Britain. John Wiley &
Sons Ltd. 316 p.