1

1
2
POTENCIACION y RADICACION
La potenciación es el producto de varios factores iguales. Para abreviar la escritura, se escribe el factor
que se repite y en la parte superior derecha del mismo se coloca el número de veces que se multiplica.
La operación inversa de la potenciación se denomina radicación.
Potenciación
La potenciación o exponenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la
multiplicación es una suma de varios sumandos iguales.
En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en
forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma:
3
Una de las definiciones de la potenciación, por recursión, es la siguiente:
x1 = x
Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x·x0. Al dividir los dos términos de la igualdad por x
(que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que x0=1.
Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en principio, no está definido.
Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de producto vacío o simplemente por
analogía con el resto de números.
Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la base, es decir que la
potencia pasa con exponente positivo.
Tabla de contenidos
• 1 Propiedades de la potenciación
♦ 1.1 Potencia de potencia
♦ 1.2 Multiplicación de potencias de igual base
♦ 1.3 División de potencias de igual base
♦ 1.4 Propiedad distributiva
♦ 1.5 Propiedad conmutativa
♦ 1.6 Potencia de exponente 0
♦ 1.7 Potencia de exponente 1
♦ 1.8 Potencia de base 10
• 2 Gráfico
• 3 Véase también
Propiedades de la potenciación
Las propiedades de la potenciacion son las siguientes:
Potencia de potencia
4
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la multiplicación de
los primeros exponentes.
Multiplicación de potencias de igual base
La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a
la suma de los mismos exponentes.
División de potencias de igual base
La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los
exponentes respectivos.
5
Propiedad distributiva
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la
suma ni a la resta.
6
En general:
7
En particular:
(a + b)m = am + bm
(a " b)m = am " bm
Se cumple en los siguientes casos:
• Si m=1.
• Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.
• Si a y b son iguales a 0 y m"0.
Propiedad conmutativa
La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en que base y
exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes.
En general:
8
En particular:
ab = ba
Si y sólo si a=b.
Potencia de exponente 0
Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.
a0 = 1 si se cumple que
Potencia de exponente 1
Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a.
a1 = a
Potencia de base 10
9
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee el exponente.
101 = 10
como tambien pues ser un conjuntos de numeros potenciados o elevados a un exponente
106 = 1000000
104 = 10000
Gráfico
gráfico de Y = X2
El gráfico de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su extremo está en el punto (0, 0), a menos que
el gráfico sea trasladado. Su sentido de crecimiento es positivo en ambas direcciones
Dicho gráfico es continuo y derivable para todos los reales.
gráfico de Y = X3
Por otra parte, el gráfico de una potencia impar puede describirse como una parábola de la cual una mitad
crece en una dirección y la otra crece en la dirección opuesta. Su extremo es también el (0, 0), pero crece en
ambos sentidos del infinito, en el primer y tercer cuadrante.
Radicación
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden
calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a.
Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14.
El número que esta dentro de la raíz se llama radicando, el grado de la raíz se llama índice del radical, el
resultado se llama raíz.
Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En efecto, la raíz cuadrada de
un numero (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo modo la raíz cúbica de a es a1/3 y en general, la raíz
enésima de un numero a es a1/n.
La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir las raíces a potencias y operar
teniendo en cuenta las propiedades dadas para la operación de potenciación.
Raíz cuadrada
1− Para calcular la raíz cuadrada de un número se comienza separando el numero en grupos de dos cifras,
empezando por la derecha
Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01'64
2− A continuación se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o lo mas próximo al
numero del primer grupo, empezando por la izquierda).
10
En nuestro ejemplo el primer numero es 5 y el numero entero que elevado al cuadrado se acerca mas a 5 es 2.
2 es la primera cifra de la raíz.
3− después se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del numero del primer grupo
En nuestro ejemplo 22 = 4 y restándolo del numero del primer grupo que es 5, sale 5 −4 = 1
4− A continuación ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo
En nuestro ejemplo nos quedaría 156
5− después multiplicamos por 2 el numero que hemos calculado hasta el momento de la raíz.
En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4
6− A continuación tenemos que buscar un numero que multiplicado por el numero que resulta de multiplicar
por 10 el numero anterior y sumarle el numero que estamos buscando se acerque lo mas posible al numero
que tenemos como resto. Ese numero será el siguiente numero de la raíz.
En nuestro ejemplo el numero seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el numero que se aproxima mas a 156 y la
raíz seria 23...
7− Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el numero obtenido del que queríamos obtener
realmente.
En nuestro ejemplo: 156 − 129 = 27
8− A continuación repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente
grupo
En nuestro ejemplo: 2701
9− A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46
10− después repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo el numero seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el numero que se aproxima mas a 2701 y
la raíz seria 235...
11− después repetimos el paso 7
En nuestro ejemplo: 2701 − 2325 = 376
12− A continuación repetimos el paso 8
En nuestro ejemplo: 37664
13 A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470
11
14− A continuación repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo el numero seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el numero que se aproxima mas a
37664 y la raíz seria 2358
15− A continuación repetimos el paso 7
En nuestro ejemplo: 37664 − 37664 = 0 En este caso la raíz es exacta pues el resto es cero.
Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas
Este método se debe a Newton
Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación mejor utilizando la siguiente
fórmula:
ai = 1/2(ai−1 + A/ai−1)
Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la aproximación 2, entonces:
a1 = 2
a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250
a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236
Raíz cúbica
1− Para calcular la raíz cúbica de un número se comienza separando el numero en grupos de tres cifras,
empezando por la derecha
Por ejemplo: 16387064 lo separaríamos 16'387'064
2− A continuación se calcula un numero entero que elevado al cubo se aproxime lo mas posible al numero del
primer grupo (empezando por la izquierda).
En nuestro ejemplo el primer numero es 16 y el numero entero que elevado al cubo se acerca mas a 16 es 2. 2
es la primera cifra de la raíz.
3− después se eleva al cubo esta cifra y se resta del numero del primer grupo
En nuestro ejemplo 23 = 8 y restándolo del numero del primer grupo que es 16, sale 16 − 8 = 8
4− A continuación ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo.
En nuestro ejemplo nos quedaría 8387
5− después tenemos que calcular un numero a que haciendo las operaciones siguientes:
3 * (raíz obtenida hasta el momento)2 * a * 100 + 3 * (raíz obtenida hasta el momento) * a2 * 10 + a3
se aproxime lo mas posible al numero obtenido en el punto 4.
El número a, es el siguiente dígito de la raíz.
12
En nuestro ejemplo seria ese número sería 5, porque 3 * 22 * 5 * 100 + 3 * 2 * 52 *10 + 53 = 7625
6− A continuación restamos este numero al numero obtenido en el paso 4.
En nuestro ejemplo: 8387 − 7625 = 762.
7− Repetimos el paso 4
En nuestro ejemplo: 762064
8− Repetimos el paso 5 y el numero obtenido seria el siguiente numero de la raíz.
En el ejemplo sería el 4 porque 3 * 252 * 4 * 100 + 3 * 25 * 42 * 10 + 43 = 762064
9 Repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo 762064 − 762064 = 0
Radicación de números complejos
La forma más fácil es la polar, y es la que se utiliza habitualmente.
La fórmula es la misma que para la potencia sustituyendo n por 1/n.
Clases de numeros:
Número
Sistema numérico en matemática.
Conjuntos de Números
• Número
• Naturales
13
• Enteros
• Racionales
• Irracionales
14
• Reales
• Complejos
Números con propiedades especiales
15
Primos
, Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos,
Sociables, Algebraicos
Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad. El símbolo de un número recibe el nombre
de numeral. Los números se usan con mucha frecuencia en la vida diaria como etiquetas (números de
teléfono, numeración de carreteras), como indicadores de orden (números de serie), como códigos (ISBN),
etc. En matemática, la definición de número se extiende para incluir abstracciones tales como números
fraccionarios, negativos, irracionales, trascendentales y complejos.
Número natural
Sistema numérico en matemática.
Conjuntos de Números
• Número
• Naturales
16
• Enteros
• Racionales
• Irracionales
17
• Reales
• Complejos
Números Especiales
18
• Nominales
• Ordinales {1o, 2o, ...} (de orden)
• Cardinales
{
}
• Números infinitos
• Números transfinitos
Números con propiedades especiales
Primos
, Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos,
Sociables, Algebraicos
Un número natural es cualquiera de los números: 0,1, 2, 3... que se pueden usar para contar los elementos de
un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos de
la naturaleza.
Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un
número natural, mientras que otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, tienen la
postura opuesta.
19
Número entero
Sistema numérico en matemática.
Conjuntos de Números
• Número
• Naturales
• Enteros
20
• Racionales
• Irracionales
• Reales
21
• Complejos
Números destacables
•
♦ (Pi) (3,1415926535...)
♦ e (2,7182818284...)
♦ (1,6180339887...)
♦i
22
(
)
Los números enteros son del tipo: −59, −3, 0, 1, 5, 78, 34567, etc., es decir, los naturales, sus opuestos
(negativos) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y
cero. Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales un
subconjunto de los enteros.
Los enteros se representan gráficamente en la recta de números enteros como puntos a un mismo espacio entre
sí desde menos infinito, −3 , −2, −1, 0, 1, 2, 3, hasta más infinito: los números enteros no tienen principio ni
fin.
Los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas,
profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros.
Históricamente, durante mucho tiempo fueron rechazados por creer que "no existían" y no fue sino hasta el
siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos, aunque matemáticos italianos del renacimiento
como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer
grado.
Número racional
Sistema numérico en matemática.
Conjuntos de Números
23
• Número
• Naturales
• Enteros
24
• Racionales
• Irracionales
• Reales
25
• Complejos
Números destacables
•
♦ (Pi) (3,1415926535...)
♦ e (2,7182818284...)
♦ (1,6180339887...)
♦i
26
(
)
En sentido amplio se llama número racional o fracción común a todo número que puede representarse como
el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero; el término "racional" alude a "ración" o parte de
un todo, y no al pensamiento o actitud racional, para no confundir este término con un atributo del
pensamiento humano.
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada. De todas
ellas se toma como representante canónico del número racional en cuestión a la fracción irreducible, la de
términos más sencillos. Las fracciones equivalentes entre sí −número racional− son una clase de equivalencia,
resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios.
El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b cuando a y b son números enteros.
El conjunto de los racionales se denota por
, que significa quotient, "cociente" en varios idiomas europeos. Este conjunto de números incluye a los
números enteros y es un subconjunto de los números reales.
Los números racionales
Número irracional
27
Sistema numérico en matemática.
Conjuntos de Números
• Número
• Naturales
• Enteros
28
• Racionales
• Irracionales
• Reales
29
• Complejos
Números destacables
•
♦ (Pi) (3,1415926535...)
♦ e (2,7182818284...)
♦ (1,6180339887...)
♦i
30
(
)
Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales),
podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la
recta de los números reales.
Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números
racionales.
Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de
dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido. De este
modo, puede definirse número irracional como decimal infinito no periódico.
Toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional
referido, por ejemplo, el número racional 1.4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del
número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales que no siguen un periodo.
Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a
1.4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1.4142135 ... , es decir, los tres puntos hacen referencia a los
infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.
Debido a ello, los más célebres números irracionales son identificados mediante símbolos especiales; los tres
principales son los siguientes:
• (pi): relación entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro.
31
• e:
• (número áureo):
Los números irracionales se clasifican en dos tipos:
1.− Irracionales algebraicos: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número
finito de radicales libres o anidados; si x representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro
mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de
cualquier orden son irracionales algebraicos.
Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica:
x2 " x " 1 = 0, por lo que es un número irracional algebraico.
2.− Irracionales trascendentes: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o
anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.
También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo
definido, respectivamente, como los dos siguientes:
0.193650278443757 ...
32
0.101001000100001 ...
Número real
Sistema numérico en matemática.
Conjuntos de Números
• Número
• Naturales
• Enteros
33
• Racionales
• Irracionales
• Reales
34
• Complejos
Números destacables
•
♦ (Pi) (3,1415926535...)
♦ e (2,7182818284...)
♦ (1,6180339887...)
♦i
35
(
)
Números Especiales
• Nominales
• Ordinales {1o, 2o, ...} (de orden)
• Cardinales
{
}
• Números infinitos
• Números transfinitos
Números con propiedades especiales
Primos
36
, Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos,
Sociables, Algebraicos
Los números reales se definen de manera intuitiva como el conjunto de números que se encuentran en
correspondencia biunívoca con los puntos de una recta infinita (continuum): la recta numérica. El conjunto
de los números reales se le simboliza con la letra
. El nombre de número real se propuso como antónimo de número imaginario.
El concepto de número real se originó cuando se constató la existencia de los números irracionales. Así, el
conjunto de los números reales se origina como la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto
de los irracionales.
Debido a que el conjunto de números reales contiene al conjunto de números racionales, y éste a su vez
contiene a los enteros que a su vez contiene los números naturales, se sigue que el conjunto de los números
reales contiene también a los números enteros y a los números naturales. Asimismo, el conjunto de números
reales contiene al de los números irracionales.
Por tanto, los números reales pueden ser racionales o irracionales, algebraicos o trascendentes; y positivos,
negativos, o cero.
Número complejo
37
Sistema numérico en matemática.
Conjuntos de Números
• Número
• Naturales
• Enteros
38
• Racionales
• Irracionales
• Reales
39
• Complejos
Números destacables
•
♦ (Pi) (3,1415926535...)
♦ e (2,7182818284...)
♦ (1,6180339887...)
♦i
40
(
)
Números Especiales
• Nominales
• Ordinales {1o, 2o, ...} (de orden)
• Cardinales
{
}
• Números infinitos
• Números transfinitos
Números con propiedades especiales
Primos
41
, Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos,
Sociables, Algebraicos
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números
complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y
electromagnetismo entre otras de gran importancia.
Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más
dignas de la inteligencia humana.
Cuaternión
Sistema numérico en matemática.
Conjuntos de Números
• Número
• Naturales
42
• Enteros
• Racionales
• Irracionales
43
• Reales
• Complejos
Números destacables
44
•
♦ (Pi) (3,1415926535...)
♦ e (2,7182818284...)
♦ (1,6180339887...)
♦i
(
)
Números Especiales
• Nominales
• Ordinales {1o, 2o, ...} (de orden)
• Cardinales
{
}
• Números infinitos
• Números transfinitos
Números con propiedades especiales
45
Primos
, Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos,
Sociables, Algebraicos
Los Cuaterniones son una extensión de los números reales
Sistema numérico en matemática.
Conjuntos de Números
• Número
• Naturales
46
• Enteros
• Racionales
• Irracionales
47
• Reales
• Complejos
Números destacables
48
•
♦ (Pi) (3,1415926535...)
♦ e (2,7182818284...)
♦ (1,6180339887...)
♦i
(
)
Números Especiales
• Nominales
• Ordinales {1o, 2o, ...} (de orden)
• Cardinales
{
}
• Números infinitos
• Números transfinitos
Números con propiedades especiales
49
Primos
, Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos,
Sociables, Algebraicos
Los octoniones son la extensión no asociativa de los cuaterniones. Fueron descubiertos por John T. Graves en
1843, e independientemente por Arthur Cayley, quien lo publicó por primera vez en 1845. Son llamados, a
veces números de Cayley.
Los octoniones forman un álgebra 8−dimensional sobre los números reales y pueden ser comprendidos como
un octeto ordenado de números reales. Cada octonión forma una combinación lineal de la base: 1, e1, e2, e3,
e4, e5, e6, e7. La forma de multiplicar octoniones está dada en la tabla siguiente:
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Octoniones"
Sedeniones
Sistema numérico en matemática.
Conjuntos de Números
• Número
• Naturales
• Enteros
• Racionales
• Irracionales
50
• Reales
• Complejos
Números destacables
51
•
♦ (Pi) (3,1415926535...)
♦ e (2,7182818284...)
♦ (1,6180339887...)
♦i
(
)
Números Especiales
• Nominales
• Ordinales {1o, 2o, ...} (de orden)
• Cardinales
{
}
• Números infinitos
• Números transfinitos
Números con propiedades especiales
52
Primos
, Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos,
Sociables, Algebraicos
Los sedeniones forman una álgebra 16−dimensional sobre los números reales y se obtienen aplicando la
Construcción de Cayley−Dickson sobre los octoniones.
Como en los octoniones, la multiplicación de sedeniones no es conmutativa, ni asociativa. Pero al contrario
que los octoniones, los sedeniones no tienen ni siquiera la propiedad de ser un álgebra alternativa. Sin
embargo, tienen la propiedad de ser potencia−asociativos.
Los sedeniones tienen el 1 como elemento neutro e inversas para la multiplicación, pero no son un álgebra de
división, ya que tienen divisores del cero.
Todo sedenión es una combinación lineal de los sedeniones unitarios 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10,
e11, e12, e13, e14 y e15, que forman la base del espacio vectorial de los sedeniones. La tabla de
multiplicación de estos sedeniones unitarios es la siguiente.
Números hiperreales
Los números hiperreales o reales no estándar, son una extensión de los números reales
, en dónde se añaden números infinitamente grandes así como números infinitesimales.
El estudio de estos números, sus funciones y propiedades se llama análisis no estándar el cual, para muchos,
es más intuitivo que el análisis real estándar.
Cuando Isaac Newton y Gottfried Leibniz introdujeron los diferenciales, ellos estaban usando infinitesimales
y éstos también fueron usados por Leonhard Euler y Augustin Louis Cauchy.
Sin embargo, estos conceptos, desde el principio, no fueron muy bien vistos. Hasta la definición del límite con
'epsilon' y 'delta' por Cauchy y Weierstrass no fueron tomados en serio.
El análisis no estándar fue desarrollado hace unos escasos 30 años.
53
El análisis no estándar pretende, y logra, justificar rigurosamente el empleo de números infinitos e
infintesimales. Estos números, llamados hiperreales ya fueron empleados por los matemáticos griegos, pero
eso sí, de un modo totalmente intuitivo. Se siguió empleándolos hasta bien entrado el siglo dieciocho, cuando
se inventó y perfeccionó la teoría de los límites, que hizo inútil los infinitesimales. El precio de este rigor fue
un formalismo pesado y poco intuitivo, aunque más productivo.
Se soñó en los siglos XIX y XX con inventar unas matemáticas que dejarían cabida para los añorados
números infinitos (grandes o pequeños).
La tentación era siempre añadir estas cantidades mal definidas al conjunto de los números reales, pero el
problema era que se tenía entonces que averiguar si los teoremas vigentes en los reales eran o no válidos para
los hiperreales. Y naturalmente, nunca se logró.
Porque no era el método adecuado.
La idea para salir de este callejón fue la siguiente: Para añadir los hiperreales, no hay que tocar la construcción
de los conjuntos de números, sino el lenguaje lógico que sirve de fundamento para esa construcción.
Concretamente, se inventó un nuevo predicato unario: "estándar" y de ahí se presenta dos casos: un número x
es estándar o no lo es.
Luego se impusó tres condiciones a este predicato (llamadas transferencia, idealización y estandarización)
para asegurarse de la existencia de nuevos números, no estandares con las propiedades adecuadas, dignas de
infinitesimales e infinitos. Toda una hazaña.
Veámoslo más en detalle:
Una propiedad o proposición es estándar si es clásica es decir que no requiere la palabra estándar o una de
sus derivadas para definirse. Puede parecer paradójico, mas no lo es.
La propiedad de transferencia es la siguiente:
• Si para cualquier x estándar, P(x) es cierto (P es una proposición estándar) entonces P(x) es cierto
para cualquier x (sea o no estándar):
54
Está propiedad significa que todas las reglas clásicas, que son ciertas en las matemáticas usuales se
generalizan (sin cambio) en los conjuntos no estándares. O sea, no hay que demostrarlos de nuevo. Por
ejemplo, sea P(x) la proposición: x>0 y existe y tal que 0<y<x.
Sabemos que P(x) es siempre cierta en los reales usuales. P es además una proposición clásica (estándar). en
consecuencia, P es válida también para todos los reales no estándares.
La propiedad de idealización es la siguiente: (con P una proposición estándar)
• Si para todo x estándar existe un y tal que P(x, y) sea cierta, entonces existe un y tal que para todo x
estándar, P(x, y) sea cierta:
Se ha permutado los x y los y, y el nuevo y es ideal en el sentido que funciona con todos los x.
Por ejemplo, tomemos el P anterior: P(x, y) significa: x>0 y 0<y<x. Sabemos que para cualquier x>o estándar,
existe un y entre él y 0, por lo tanto debe existir un y ideal que sea siempre entre 0 y cualquier x>0 estándar.
En otras palabras, existe un número distinto de cero pero inferior a cualquier real positivo. Este número es por
definición un infinitesimal.
De la misma manera se demuestra que existen números infinitos (que no tienen nada que ver con los ordinales
infinitos o los cardinales infinitos).
La propiedad de la estandarización es técnica, y de poco interés aquí.
Para ver el beneficio que se puede sacar del análisis no estándar, comparemos la expresión de la continuidad
en el punto x:
• Expresión clásica:
55
• Expresión en análisis no estándar:
La fórmula no estándar resulta mucho más intuitiva y práctica.
En general, los números hiperreales permiten suprimir muchos cuantificadores, es decir, bajar la complejidad
de las fórmulas.
Sistema numérico en matemática.
Conjuntos de Números
56
• Número
• Naturales
• Enteros
57
• Racionales
• Irracionales
• Reales
58
• Complejos
Números destacables
•
♦ (Pi) (3,1415926535...)
♦ e (2,7182818284...)
♦ (1,6180339887...)
♦i
59
(
)
Números Especiales
• Nominales
• Ordinales {1o, 2o, ...} (de orden)
• Cardinales
{
}
• Números infinitos
• Números transfinitos
Números con propiedades especiales
Primos
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, Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos,
Sociables, Algebraicos
NUMEROS INFINITO
El concepto del infinito aparece en varias ramas de la matemática, entre otras en la geometría (punto al
infinito de la geometría proyectiva), en el análisis (límites infinitos, o límites al infinito) y en los números
(números ordinales y números cardinales) dentro de la teoría de conjuntos.
Dígito
Un dígito (palabra proveniente del latín con el significado de dedo) es cada una de las cifras que componen un
número en un sistema determinado. Ej. 157 en el sistema decimal se compone de los dígitos 1, 5 y 7.
Véase también: bit, para el sistema binario.
• En metrología, una unidad de medido basada en el tamaño del dedo humano.
• Revista Digit (revista) es una revista india de tecnología de información (informática).
• En astronomía un dígito astronómico es cada una de las partes iguales en que se divide el diámetro
de los discos lunar y solar para expresar la importancia de un eclipse. Por ejemplo, un eclipse de Luna
de 8 dígitos afecta a los dos tercios del diámetro de nuestro planeta: ver magnitud de un eclipse
Sistema de numeración
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos
los números válidos en el sistema. Un sistema de numeración puede representarse como N = S + R donde:
• N es el sistema de numeración considerado
• S son los símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1...9}; en el
binario son {0,1}; en el octal son {0,1...7}; en el hexadecimal son {0,1...9,A,B,C,D,E,F}
• R son las reglas de generación que nos indican qué números son válidos y cuáles son no−válidos en el
sistema.
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Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que
para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos
permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeracíon utilizado se añade como subíndice al
número).
Ejemplos:
• el número 125(10 es un número válido en el sistema decimal, pero el número 12A(10 no lo es, ya que
utiliza un símbolo A no válido en el sistema decimal.
• el número 35(8) es un número válido en el sistema octal, pero el número 39(8 no lo es, ya que el
símbolo 9 no es un símbolo válido en el sistema octal.
• el número F1E4(16) es un número válido en el sistema hexadecimal, pero el número FKE4(16 no lo
es, ya que el símbolo K no es un símbolo válido en el sistema hexadecimal.
Número p−ádico
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Para cada número primo p, los números p−ádicos forman una extensión de cuerpos de los números racionales
descritos por primera vez por Kurt Hensel en 1897. Fueron usados en la resolución de varios problemas en
Teoría de números, a menudo con el principio local−global de Helmut Hasse , que dice, más o menos, que una
ecuación puede resolverse en los números racionales sii se puede resolver en los números reales y en los
números p−ádicos para todo primo p. El espacio Qp de todos los números p−ádicos tiene la propiedad
topológica, deseable, de completitud, que nos permite el desarrollo del Análisis p−ádico, similar al Análisis
real.
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