ECUACION DE VARIABLES SEPARABLES

ECUACION DE VARIABLES SEPARABLES
ECUACIÓN DIFERENCIAL: Es una ecuación que contiene las derivadas o diferenciales de una o más
variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
ORDEN: Es el orden mas alto de las derivadas.
GRADO: Es el máximo exponente que se encuentra en las derivadas de una ecuación diferencial.
LINEALIDAD: Una ecuación diferencial es lineal y de orden n si es de la forma
An(x) dny + an−1(x) dn−1y + .. + a1(x) dy + a0 y = g (x)
dxn dxn−1 dx
si g(x) = 0 la ecuación también es homogénea
si g(x) = 0 la ecuación no es homogénea
Si la ecuación no tiene la forma indicada por la formula no es lineal.
Solución de una ecuación diferencial: una ecuación f cualquiera en algún intervalo I es solución de una
ecuación diferencial en el intervalo si sustituida en dicha ecuación la reduce a una identidad.
Una ecuación diferencial es de variables separables si se puede llevar mediante operaciones a la forma .
dy = g (x)
dx h (x)
la derivada es la pendiente de la recta tangente a un punto
EJERCICIOS .
En los problemas diga si las ecuaciones diferenciales dadas son lineales o no lineales. Indique el orden y el
grado.
1.− (1−x) yI − 4xyI + 5y = cos x lineal, orden 2, grado 1
2.− x d3y − 2 dy 4+ y = 0 no es lineal, orden 3, grado 4
dx3 dx
3.− yyI + 2y = 1 + x2 lineal, orden 1, grado 1
4.− x2dy + (y − xy − xex) dx = 0 lineal, orden 1, grado 1
5.− x3y(4) − x2 yII + 4xyI − 3y = 0 lineal, orden 4, grado 1
6.− d2y + 9y = sen y
1
dx2
En los problemas verifique que la funcion indicada es una solucion de la ecuacion diferencial n dada donde
sea apropiada C1 y C2son constantes.
Variables separadas
6.− dy = 2x
dx
exdy= 2xdx
dy=2xdx
ex
Sustituyendo
ex(2xe−x)=2x
ex2x = 2x
ex
2x=2x
#dy=2x dx
# ex
y=2"x/exdx
y=2"xe−x
"udv=uv−"vdu
−xe−x −"−e−x
−xe−x −"−e−x
y=2(−xe−x + e−x)+c
dy=2 (−x(−ex) + e−x (−1) +e−x
=2(xe−x + e−x + e−x)
dy= 2xe−x
dx
7.− xy'= 4y
2
x dy = 4y
dx
x dy = 4 dy dx
dy = dx
4y x
#dy = dx 1 In x + c
#4y x 4
In y ¼= In x + c
!Iny ¼ = !Inx !c
y1/4 = x
y = cx4
8.− dy + 2xy = 0
dx
dy =− 2xydx
dx
dy =−2x dx
y
#dy = −2"x dx
#y
Iny = −2 x2 + c
2
!iny = !−x2 + c
y = !−x2 !c
y = c!−x2
y=c
!x2
3
9.−dy/dx= y3 / x2
dy=y3/ x2 dx
y="y3/x2
y=y3"x−2dx
y=y3(−x−1)
y= − y3
x
dy = − y3
dx x
dy = (− x (0) − y3 (1) )
dx x2
dy = − (−y3) = y3 +c
dy x2 x2
ejercicios
10.−dy = y + 1
dx x
dy =y +1/x
"dy = " ydx + 1 / xdx
y= y+"1/x
y= y+ln x + c
y´= y + ln x
y´=y+1/x
y´=y+1/x
sustituyendo
y+1/x= y + i/x
26.− sen 3x dx + 2y cos3 3x dy = 0
4
2y cos3 3x dy = −sen 3x dx
2y dy = −sen 3x dx
cos3 3x
2"y dy = −1#sen 3x dx
3# cos3 3x
2 y2 = − 1 x−2 + c
2 3 −2
y2 = 1/6 x−2 + c
y2 = 1 + c
6x2
28.− sec x dy = x cot y dx
1−cos x dy = x cot y dx
1−cos x dy = x [cos y / sen y]dx
dy = x [cos y / sen y]dx
1−cos x
dy = x dx x/1 dx = sec x
cos y/ sen y −1cos x sec x/ tan x x tan x
= 1 sec x
x tan x
= −x cos x
#cos y dy = x dx −x cos x dx
# sen y
−"x cos y = x sen x − "−sen x dx
=x sen x + cos x
In sen y = x2/2 − y sen x − cos y
29.− (ey + 1)2 e−y dx (ex + 1)3 e−x dy = 0
5
(ey + 1)3 e −x dy = − (ey + 1)2 e−y dx
dy = dx
(ey+1)2e−y (ex +1)3 e−x
−eydy = ex dx
(ey+1)2 (ex +1)3
−ey (ey+1)−2dy = !x(!x+1)−3dx
−"!y(!y+1)−2dy = "!x(!x+1)−3dx
− 1 = −1
( !y+1) 2(ex+1)2
1=1[ 1]
(ey+1 2 (ex+1)2
30.− y dy = (1+y2)1/2 (1+y2)1/2
x dx
# y dy = # x dx (1+x)1/2
# (1+y2)1/2 #
1 = 2 (1+x2)3/2
(1+y2)1/2 3
36.− secy dy + sen (x+y) = sen (x+y)
dx
sec y dy = [ sen (x+y) − sen (x−y) ] dx
formulas
sen (x+y) = sen x cos y + cos x sen y
−sen (x−y) = sen x cos y −sen y cos x
secy dy =2 sen y cos x dx
sec y dy = 2cos x dx
sen y
6
1 dy = 2cos x dx
cos y sen y
2 dy = 2cos x dx
2 cos y sen y
2 dy = 2 cos x dx
sen 2y
2 csc 2y dy = cos x dx
"csc 2y dy =" cos x dx
1 ln (sec 2y − cot 2y ) = sen x + c
2
11.− 2yI + y = 0 ; y = e−x/2
y = e−x/2
yI = e−x/2 d − x
dx 2
yI = e−x/2 (−1/2)
yI = −1/2 e−x/2
2 (−1/2 e−x/2 ) + e−x/2
= − e−x/2 + e−x/2
=0
12.− yI + 4y = 32 ; y = 8
yI = 0 sustituyendo con y = 8
0 + 4 (8) = 32 por lo tanto y = 8 si es funcion
13.− dy − 2y = e3x , y = e3x + 10 e2x
dx
dy = d (e3x + 10 e2x)
dx
7
dy = 3e3x + 10*2 e2x
dx
dy = 3e3x + 20 e2x"
dx
(3 e3x + 20 e2x) − 2 (e3x + 10 e2x)
3e3x + 20 e2x − 2 e3x + 20 e2x = e 3x
16.− dy = " y/x ; y= ("x+C1)2
dx
dy="y/x dx ½ In y 1/2 + C1
dy=(y)1/2 / (x)1/2 ½ In y 1/2 = ½ In ½ + C dy = dx In y ½ = 2/2 In x1/2 + C
(y)1/2 (x)1/2 In y1/2 = In X1/2
1 # dy = 1 # dx !In y ½ = !In x ½ + C
2 # (y)1/2 2 # (x)1/2 y1/2 = x1/2 + C y= (x1/2 +C)2
17.− y' + y sen x ; y = ½ senx ½ cosx + 10!−x
y'+ y senx = 0 eln1/y =e−cosx + c
1 = e−cos x+ c
dy = −ysenx y
dx
dy= −y senx dx y −1 = e−cos x + c
−dy = senx dx y = ecos x +c
y
−#dy = "senx dx y' = ! cos (− sen x)
# y y' = − sen x ! cos x
−In y = − cosx + C
In y1/y = − cosx + c
18.− 2xy dx + (x2 + 2y) dy = 0 ; X2y + y2 = C1
8
(x2+ 2y)dy = −2x y dx
dy= −2xy
(x2+2y)
dy = − 2x dx
y x2+ 2y
In y = −2# x dx
#( x2+ 2y)
In y = −2/2 In (x2 + 2y)
In y = In 1
(x2 + 2y)
!In y = !In 1/ (x2 + 2y)
y= 1/ (x2 + 2y) + !c
y(x2 +2y) = 1 + c1
x2y + 2y2 = ½ + c1
222
2x2y + 2y2 = 2 + 2 c1
222
x2y +2y2 = C1
x2dy + 2y dy = −2xy dx
dy + 2y dy = −2 xy dx
x2
dy + 2y dy = −2x dx
x2
dy + 2y dy = −2 x dx
y x2
dy + 2dy = −2x dx
9
y x2
#dy − 2 "dy = − "2x dx
# y x2
In y + 2y = In x−2 + c
!In y + !2y = ! In 1/x2 + C
y + ! 2y = 1 / x2 + C1
x2y + x2!2y = c1
19.− x2 dy + 2xy dx = 0 ; y = −1 / x2
x2 dy = − 2xy dx
dy = −2xy dx
x2
dy = −2x dx
y x2
In y = − in x−2
!Iny= !In −1/x2
y = −1 / x2
20.− (y')3+ xy' = y ; y = x+1
y' + xy' = y1/3
y'( 1+x) = y1/3
y' = y1/3
(1+x)
dy = 1 dx
y1/3 (1+x)
#dy = # dx
#y1/3 #(1+x)
3In y1/3 = In (1+x)
10
In y3/3 = In (1+x)
!Iny = !In (1+x)
y = x+1
30.− d2y − 4dy + 4y = 0 ; y = !2x + x!2x
dx2 dx
dy = 2 !2x+ [x(2!2x) + !2x(1)]
dx
= 2!2x + 2x !2x + !2x= 3!2x + 2x !2x
dy = 6!2x + [2x(2!2x +!2x(2)
dx2
= 6!2x + 4!2x + 2!2x = 8!2x + 4x !2x
Sustitucion
8!2x + 4x !2x − 4[3!2x + 2x !2x] + 4 [!2x + x !2x] = 0
8!2x + 4x !2x −12!2x − 8x !2x + 4! 2x + 4x !2x = 0
0=0
31.− y'' =y ; y = cos hx + sen hx
hx = 0
y = cos + sen
y'= −sen + cos
y''= −(cos ) −sen
y''= − cos hx − sen hx
y''= −1 ( −cos hx − sen hx)
y''= cos hx + sen hx
32.− y'' + 25y = 0 ; y= C1 cos 5x
y''+ 25( c cos 5x) = 0
dy dy + 25 C1 cos 5x=0
11
dx dx
dy dy = 25c1 cos 5x
dx
dy dy = ( 25c cos 5xdx) dx
"dy "dy = "( 25c cos 5xdx) "dx
y2 = 25c1 cos 5x /5
y="25c1 cos 5x
5
y="5c1 cos 5x
5
y = c1 cos 5x
y' = c1 (−5 sen 5x)
y'' = c1 [−5(5cos 5x )]
y'' = −c1 25 cos 5x
Sustitucion
−c1 25 cos 5x + 25 c1 cos 5x = 0
0=0
33.− y'' + (y')2 = 0 ; y = In Ix + c1I + c2
y' = 1 + 0
Ix+c1I
y'' = Ix+ c1I 0 + c1
iX+ c1I2
y'' = 1
I x + c12
sustitucion
−1/Ix + c1I + (1/Ix+c1I)2 = 0
12
0=0
y''+ ( y')2 = 0
y'' = −(y')2
"y'' = −y
dy = −"y''dx
dx
dy= −(dy/dx)½ (dy /dx)½ dx
dy = − dy/dx dx
dy/dy = −dx/dx
"dy/dy = −"dx/dx + c1
dy/y = −(dx/x)+ c1
"dy/y = "dx/x + c1 + c2
In y = (Inx + c1) + c2
!In y = !(In x +c) +c
y = 1 / x + c1 + c2
1 = In Ix+c1I
x+c1
ECUACIONES HOMOGENEAS
Si una ecuación diferencial en la forma ..
M (x,y) dx + N(x,y) dy = 0
Tiene la propiedad ..
M(tx,ty) = tn M (x,y) y N (tx,ty ) = tn N (x,y)
Que es una ecuación homogenea o que tiene coeficientes homogeneos
Una ecuación homogenea siempre se puede transformar a una de variables separables por medio del cambio
de variable o de sustitución ..
y = ux dy = udx + xdu
x = vy dx = vdy + ydv
13
f (x,y) es una ecuación homogenea de grado n si ..
f (tx, ty) = tn f (x,y)
Ejercicios ..
En los problemas 1−10 determine si la funcion dada es homogenea, si lo es, indique su grado de
homogeneidad .
1.− x2 + 2xy − y3
x
f (x,y ) x2 + 2xy − y3
x
f (tx,ty) = (tx)2 + 2 (tx)(ty) − (ty)3
tx
f (tx,ty) = t2x2 + 2 t2 xy − t3y3
tx
f (tx,ty) = t2 (x2 + 2xy − y3/x)
f (tx,ty) = t2 f (x,y)
por lo tanto f (x,y ) es homogenes de grado 2
2.− "x+y (4x + 3y)
f(x,y) = "x+y (4x + 3y)
f (tx,ty) = "tx + ty (4x + 3y)
f (tx,ty) = " t (x,y) t (4x + 3y)
f (tx,ty) = " t "x+y t (4x + 3y)
f (tx,ty) = t ½ " x+y tI (4x + 3y)
f (tx,ty) = t 3/2 " x+ y (4x + 3y)
por lo tanto f (tx,ty) = t3/2 f (x,y)
por lo tanto la funcion es homogenea de grado n = 3/2
3.− x3y − x2y2
x + 8y
14
f (x,y ) = x3y − x2y2
x + 8y
f (tx,ty) = (tx)3 ty − (tx)2 (ty)2
tx + 8 (ty)
f (tx,ty) = t3x3 ty − t2 x2 t2 y2
tx + 8ty
f (tx,ty) = t4x3y − t4 x2 y2
t (x + 8y)
f (tx,ty) = t4 (x3y − x2y2)
t (x + 8y)
= t3 f (x,y) por lo tanto es homogenea de grado n=3
4.− x / y2"x4+y4
F(x,y)= x / y2 + "x4+y4
F(tx,ty)= tx / t2y2 + ty4)1/2
= tx / t2y2 + [t4(x4 + y4)]1/2
= tx / t2y2 + t2 (x4+ y4)1/2
= tx / t2 (y2 +(x4+ y4)1/2
= x / t (y2 +(x4+ y4)1/2)
=1/t [x / y2 + (x2+y4)1/2]
=t−1 [x / y2 + (x2+y4)1/2]
Es homogénea de grado −1
5.− cos ( x2 /x+y)
f(x,y)=cos (x2/x+y)
f(tx,ty)=cos (t2x2/tx+ty)
=cos [t2x2 / t(x+y)]
=cos x2 / t (x+y)
15
=cos/t x2/(x+y)
=t−1 cos [x2 /(x+y)]
Homogénea de grado −1
6.− Sen ( x /x+y)
f(x,y)=sen (x/x+y)
f(tx,ty)= sen(tx/tx+ty)
=sen(tx/t(x+y))
=sen(x / (x+y) ) No es homogénea
7.− ln x2 − 2ln y
f(x,y)= ln x2 − 2lny
f(tx,ty)=tlnx2 − 2t ln y
=2tlnx − 2t lny
=t(lnx2 −2 ln y)
Es homogénea de grado 1
8.− (ln x3/ ln y3)
f(x,y)=(lnx3/lny3)
f(tx,ty)= 3t ln / 3t ln y
No es homogenea
9.− (x + y + 1)2
No es homogenea por contener una constante.
EJERCICIOS ....
Resuelva la ecuación diferencial dada usando una sustitución apropiada
11.− (x − y) dx + xdy = 0
M (x,y) = ( x − y )
N ( x, y) = x
M (tx,ty) = tx − ty
16
M (tx,ty) = t (x,y)
M (tx,ty) = t M (x,y)
Por lo tanto M (x,y) es homogenes de grado n = 1 y N (x,y) tambien es homogenea de grado n=1
Para la ecuación diferencial homogenea se puede utilizar los siguientes cambios de variable .
a) y = ux dy= udx + xdu
b) x = vy dx = vdy + ydv
utilizando el cambio ..
y = ux dy= udx + xdu
la ecuación diferencial se transforma en ..
(x − ux) dx + x (udx + xdu) = 0
x (1 − u ) dx + xudx + x2du = 0
x [1−u+u]dx + x2du = 0
xdx + x2du = 0
x dx + x2 du = 0
x2 x2 x2
dx + du = 0
x
du = − dx
x
"du = − "dx/d por formula .
U = ln x + c
U = c − ln x pero u = y/x
Por lo tanto sustituyendo en u = c − lnx
y = c − lnx y = x (c − lnx)
x
y = cx − xlnx solucion final
17
HOMOGENEAS CON VARIABLES SEPARABLES
13.− xdx + (y + 2x) dy = 0
m(x,y)=x
n(x,y)=y+2x
m(tx,ty)=tx
n(tx,ty)=t(y+2x) son homogéneas
x[dx+2xdy]+ydy=0
x[dx+2x(udx+xdu)] + [y(udx+xdu)] = o
x[dx +2xudx + 2x2du] + [yudx + yxdu] = 0
xdx +2x2udx + 2x3du + yudx + yxdu = 0
xdx + udx (2x2+y) + xdu (2x2+y)=0
xdx + udx + xdu = 0
(2x2+y) z
x"du= − #xdx − u#dx
#z#
xu = − 1 ln z − ux
4
u= − 1 lnz − u
4x
2u=−1/4xlnz
u= − 8x lnz
u= y
x
u= −8x ln z +c = −8 lnz +c/x
u= −8ln (2x2+y)+ c/x
14.− ydx = 2 (x−y) dy
18
m(x,y)=y
n(x,y)=2(x−y)dy
m(tx,ty)=ty
n(tx,ty)=t[2(x−y)]
dx=2(x−y)dy
dx=2xdy−ydy
dx=2xdy−ydy/y
dx=2xdy−dy
dx=dy(2x−1)
dx=(udx+xdu) (2x−1)
dx=2xudx+2x2du−udx−xdu
dx=udx(2x−1)+xdu(2x−1)
dx =udx+xdu
(2x−1)
# dx =u#dx + x#du
#(x−1) # #
1 ln z =ux+xu
2
1 ln z = 2ux
2
u=1/2 x ln z
½
u=2x ln z
u=2x/x ln z
u=2 ln z
u=2 ln (2x−1)
19
15.−(y2+yx)dx−x2dy=0
[(ux)2+(ux)x)dx − x2[udx+xdu]=0
(u2x2+ux2)dx − x2udx + x3 du=0
(x2(u2+u−u)dx+x3du=0
x2[(u2)dx+xdu]=0
x2u2dx+x3du=0
x3du=x2u2dx
xdu =x2dx
u2
du=x2dx
u2
du=x2dx
u2 x3
du=dx
u2 x
ln u2=ln x
elnu2=elnx+c c1=ec
u2=xc1
u="xc1
u="x "c1
u="x"c1
x
u="c1
x
16.− (y2+yx)dx+x2dy=0
[(ux)2+(ux)x)dx + x2[udx+xdu]=0
20
(u2x2+ux2)dx + x2udx + x3 du=0
x2dx[u2+u+u]+x3du=0
x2dx[u2+2u]+x3du=0
x3du =x2dx
(u2+2u)
du = − dx
(u2+2u) x
½ ln (u2+2u) = −ln x
ln z2=ln x
elnz2=eln1/x+ec =c1
z2=c1/x
z= "c1 / "x
z= "c1 / "x
x
z=x"x
"c1
17.−dy = y − x
dx y +x
dy/dx − x/x
dy/dx= −1
dy= −dx
udx+xdu= −dx
u+xdu/dx= −1
xdu/ux= −u
xdu= −udx
#du = #dx
21
#u # x
−ln u = ln x
ln 1/u =ln x
eln1/u =eln x +c
u−1 = c1x
u= 1
c1 x
ECUACIONES EXACTAS
Una expresión diferencial ..
M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0
• Nota .
Una diferencial exacta puede provenir de un producto o un cociente de funciones, por ejemplo;
d (x,y) = xdy + ydx
d x = ydx − xdy
y y2
¿ la ecuación xdy + ydx = 0 es exacta ?
si porque la ecuación se puede expresar como
xdy + ydx = d (x,y)
osea que la ecuación proviene de la diferencial de una funcion en este caso la funcion es.
f (x,y) = xy
¿ la ecuación ydx−xdy = 0 es exacta ?
y2
si porque ydx − xdy = d x
y2 y
osea que la ecuación proviene de la diferencial de una funcion .. f = x
y
22
¿la ecuación xdy − ydx = 0 es una ecuación exacta ?
x2
si pues por inspeccion encontramos que la ecuación se puede expresar como la diferencial de la funcion
f = y es decir . xdy − ydx = d x
x x2 y
¿la ecuación siguiente es exacta 2yxdx − x2dy = 0 ?
y2
si pues 2yxdx − x2dy = d x2 f = x2
y2 y y
METODO DE SOLUCION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
En los ejemplos anteriores vimos como verificar si una ecuación diferencial es exacta utilizando las formulas
..
d (uv) = udv + vdu
d u = vdu − udv
v v2
ahora aplicaremos otra técnica para verificar si las ecuaciones diferenciales son exactas además de desarrollar
la técnica para encontrar la solución. Se utilizan principalmente tres formulas ..
si M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 es la ecuación diferencial se utilizan .
dM = dN para verificar si la ecuación diferencial es exacta
dy dx
df = M (x,y)
df = N
dy
EJEMPLOS ..
Resolver la ecuación 2xydx + (x2 − 1 )dy = 0
M (x,y) = 2xy
N (x,y) = x2 − 1
23
dM = d 2xy = 2x
dy dy
dN = d (x2−1) = 2x − 0
dx dx
dM = dN = 2x
dy dx
aplicar df = M esto es .
dx
df = 2xy df = 2xy dx
dx
" df = " 2xy dx
f = 2y " xdx
f = 2y x2 + g (y) solucion provisional
2
aplicar df = N esto es .
dy
df = x2 −1 con f = yx2 + g (y)
dy
derivar .
d (yx2 + g (y)) = x2 + gI (y) = x2 − 1
gI (y) = x2 −1 − x2
gI (y) = −1 o dg(y) = −1dy
integrando se tiene .
" d g(y) = −1 " dy
g(y) = −y
sustituyendo en f = yx2 + g (y) se tiene −−−−−
24
f = yx2 − y solucion semifinal
f = yx2 − y = c solucion final (al igualar a una constante )
Exactas
1.− (2x+4)dx + (3x−1)dy =0
M=2x+4
N=3y−1
dM/dY =0
dn/dX =0 dM/dY = dN/dX
la ecuación es exacta se usan
df/dx=M
df/dy=N
1ª df/dx=M
df/dx=2x+4 df=(2x+4)dx
"df="(2x+4)dx
f=x2 + 4x + g(r)
2ª df/dy=N
d/dy(x2+4x+g(y))=g´(y)=3y−1
dg(y)=(3y−1)dy
"dg = "(3y−1)dy
g(y)=3y2/2 − y
sustituyendo en la S.P.
f=x2 + 4x + 3/2 y2 − y = c
2.− (2x+y)dx − (x+6y)dy = 0
M=2x+y
N=−(x+6y)
dM/dy= 1
25
dM/dx= −1 dM/dy " dN/dx
la e.d. no es exacta
3.− (5x+4y)dx + (4x − 8y3)dy = 0
M=5x + 4y
N=4x − 8y3
DM/dy = 4
DM/dx = 4
La e.d. es exacta
df/dx=M df M dx
df=Mdx
df=(5x+4y)dx
df=5xdx + 4ydx
"df="5xdx + 4y "dx
f=5x2/2 + 4yx + g(y)
df/dy=N d/dy 5x2/2 + 4yx + g(y) = 4x − 8y3
4x + g(y)=4x−8y3
g`(y) = 4x − 8y3
"dg(y) = "−8y3
g(y)=−8y4/4
g(y)=−2y4
f=5/2x2 + 4yx − 2y4
f=x[5/2 x + 2y (2−y3)]
4.− (seny−ysnex)dx + (cosh + xcosx − y)dy=0
M=(x,y)=sen y − ysenx
N=(x,y)=cosh + xcosx − y
DM/dy = cosy − senx
26
DN/dx= −senx + cos y
La ecuación es exacta
df/dx=M df/Mdx
df= (senx − ysenx)dx
df = xseny + y cosx
"df = xseny + y cosh
f= xseny + ycosx + g(r)
df/dy= N
dxsenx + ycosx + g(x) = cos x + xcosd − ydy
xcosy + cos x + g`(x) = cos x + xcosd − ydy
g´(y)= − ydy
"dg(y) = − "ydy = − y2/2
f=xseny + ycosx − y2/2
f=xseny + y (cosh − y/2)
5.− (2y2x − 3)dx + (2yx2 + 4) dy = 0
M=2y2x − 3
N=2yx2 + 4
dM/dy = 4yx
dN/dx= 4yx
df/dx=2y2x − 3
df = 2y2x − 3 dx
"df = 2y2 x2/2 − 3x
f=y2x2 −3xdx
df/dy=N
d/dy=y2x2 − 3x+g(y) = 2yx2 +4
d=2yx2 g(x)= 2yx2 +4
27
2xy2 − 2xy2 − 4 g(y) = 0
g(x)=4
"dgy="4dy
g(y)´= −4y
f= y2x2 − 3x + 4y = c
15.− ( 1 −3/x + y)dx + (1 − 3/y + x) dy
M=(x,y)= 1 − 3/x + y
N=(x,y)=1−3/y + x
dM/dy = 1
dN/dx= 1
la ecuación es exacta.
Df/dx=M df=Mdx
Df=(1 − 3/x + y)dx
Df= dx − 3 dx/x + y dx
"df = x − 3lnx + yx + g(x)
dx − 3lnx + yx + g(x) = 1−3/y+x
dx
x + g´(y)=1 − 3/y + x
dg(y) = (1 − 3/y) dx
dg(y) = (1 − 3/y) dx
g(x) = x − 3x/y
f= x − 3lnx + yx + x − 3x/y
= − 3ln x + x (1+y+1 − 3/y)
= − 3ln x + x (2+ y − 3/y) + c
17.− (x2+y3 − 1 ) dx + cx3 y2)dy = 0
1+9x2
28
M(x,y)=x2y3 − 1/1+9x2
N(x,y)=x3y2
dM/dy = 3x2 y3
dN/dx= 3x2y2
df/dy= N
df/dy = x3y2 = "df = "x3y2
f=x3y3/3 + g(x)
df/dx=M df/dx= x3y3/3 + g(x) = x2y3 − 1/1+9x2
3x2y3/3 + g (x) = x2y3 − 1 /1+9x2
g(x)=x2y3 − 1/1+9x2 − x2y3
g(x)= −1/1+9x2
"dg(x)=− dx/z
"dg(x)= ½ "dx
g(x)= x/z
z=(1+9x2)
F=x3x3 + x /(1+9x2)
3
f=x[x2y3/3 + 1 /(1+9x2)]
18.− (5y − 2x) dy − 2y dx = 0
M(x,y)= − 2y
N(x,y)= 5y − 2x
dM/dy= − 2
dN/dx= − 2
df/dx=M df= Mdx
df= −2ydx
"df= − 2y"dx
29
f=−2yx + g(y)
df/dy=N
df(−2yx +g(y) = (5y − 2x)dy
−2x + g(y) = (5"ydy − 2x "dy
g(y) =5y2/2 −2xy + 2x
g´(y) =5/2 y − 2x (y−1) z(y−1)
"dg(y) = 5/2 y "dx − 2x z "xdx
g(y) = 5/2 yx − zx2
f= −2yx + 5/2 yx −zx2
f=yx(−2/1 + 5/2) = x2(y−1)
f= yx/2 − x2 (y−1)
f=yx/2 − x(xy − 1)
19.− (tanx − senx seny)dx + (cosx cosy)dy
M(x,y)tanx − senx seny
N(x,y)cosh cosy
dM/dy= −senx cosy
dN/dx= −senx cosy
df/dx M df =Mdx
df/dy=N df= Ndy
df= cosx cosy dy
"df = cosx " cosy dy
f= cosx sen y + g(x)
d cosx seny + g (x) = tanx − senx sen y
−senx seny + g´(x) = tanx dx
"dg(x) = " tanx dx
g(x) ln |senx| + c
30
f= cosx seny + ln |senx| + c
20.− (3x cos 3x + sen 3x) dx + (2x + 5)dy
M(x,y)=3x cos 3x + sen 3x
N(x,y)=2y + 5
dM/dy= 0
dN/dx= 0
dM/dx = M
df = 2y + 5dy
"df = 2"xdx + 5"dy
f=2y2/2 + 5y + g(x)
d= y2 + 5y + g(x)= 3xcox 3x + sen 3x dx
g(x)="3xcos 3x dx + "sen 3x dy
g(x)=(sen 3x + cos 3x /3 )3 − cos 3x /3
"dg(x) = " sen 3x
g(x) = −cos 3x / 3
f= y2 + 5y − cos 3x/3
TRANSFORMACION DE ECUACIONES INEXACTAS A EXACTAS
Si una ecuación no es exacta se puede hacer exacta mediante las siguientes formulas
dln = dM / dy − dN / dx
dx N
dln = dN /dx − dM/dy
dy M
d (xayb) = xa b y b−1dy + y b a xa−1dx
= xa−b y b−1 (bxdy + aydx)
En ocasiones es posible trasnformar una ecuación diferencial no exacta en una ecuación exacta multiplicando
por un factor integrante (x,y) que se determina con las formulas anteriores.
EJERCICIOS ..
31
En los problemas del 37− 42 resuelva la ecuación y verifique si (x,y) es un factor integrante
37.− 6xy dx + (4y + 9x2)dy = 0 (x,y) = y2
M(x,y) = 6xy N(x,y) = 4x + 9x2
dM = d 6xy = 6x dN = d (4y−9x2) = 18x
dy dy dx dx
como dM es diferente de dN la ecuación diferenciañ no es exacta
dy dx
la ecuación diferencial se hece exacta multiplicando por el factor de integración .
dln = dN/ dx − dM/ dy = 18x − 6x
M 6xy
dln = 12x = 2
dy 6xy y
dln = 2 dln = 2 dy
dy y y
integrando ..
"d ln = 2"dy/y
ln = 2 lny
aplicando exponenciales
eln = elny2
= y2 .. es el factor de integración
multiplicando la ecuación diferencial por x2 (se ignora )
6xy3dx + (4y3 + 9x2y2) dx = 0
por lo tanto esta ecuación diferencial ya es exacta .
Comprobación .
M = 6xy3´ N = 4y3 + 9x2y2
dM / dy = 18xy2 dN / dx = 0 + 18 xy2
32
por lo tanto .. dM/dy = dN/dx lo que indica que la ecuación diferencial es exacta
Ecuaciones de Bernoulli
1.− x dy + y = 1
dx y2
dy + y = 1 + 1
dx x x y2
dy + y = 1 + y−2
dx x x
p(x)= 1/x F(x)= 1/x n=−2 w = y1−n= y3
dw + (1−n) p(x)w = (1−n) f(x)
dy
dw +3 1 w = 3 1
dx x x
dw+[31 w − 3 1] dx = 0
xx
3 (w−1)dx + 1dw = 0
x
dIn = dM/dw − dN/dx
xN
dM = d [3/x (w−1)] = 3 (1−0)
dw dw x
dIn =3/x − 0 = 3
x1x
"dIn= 3 "1/x dx
In = 3In x
eIn = eIn x3
33
= x3
3x2(w−1)dx + x3 dw = 0
df = M df = N
dx dw
df= 3x2(w−1)dx
"df = "3x2(w−1)dx
f= 3(w−1) x3 + g(w)
3
f=(w−1)x3 + g(w)
df = N
dw
d [(w−1)x3 + g(w)=x3
dw
x3 + g'(w) = x3
g(w) = C
f= (w−1) x3 + c = c
(w−1) x3 = C w=y3
(y3−1) x3 = C
y = "C/ x3 + 1
2.− x2 dy + y2 = xy
dx
dy + y2 = xy
dx x2 x2
dy + x−2y2 = y
dx x
dy −y = −x−2y2
34
dx x
p(x) = −1
x
f(x) = −x−2
n=2
dw + (−1)(−1/x)w = (−1)(−x−2)
dx
dw + 1 w = x−2
dx x
dw + 1 w − x−2 = 0
dx x
dw + [1/x w − x−2]dx = 0
dM = 1/x
dw
dN = 0 No son exactas
dx
dIn = dM/dw − dN/dx
dx N
dIn = 1/x − 0
dx 1
dIn = 1/x dx
" dIn ="1/x dx
In = In x
eIn = eIn x
=x
x dw + [ x/x w − x/x2]dx = 0
35
x dw + [ w − 1/x] dx = 0
df = M
dx
df = w − 1/x
dx
df= [w − 1/x] dx
"df = "w dx − "1/x dx
f= w"dx − In x
f = wx − In x + g(w)
df = N
dw
d wx − In x + g(w) = x
dw
x + g'(w)= x
g'(w) = x −x
g'(x) = 0
g(w) = c
f = wx −Inx + c
f= y−1x − In x + c
f = x/y − In x + C
y= x
Inx + c
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Se dice que un conjunto de funciones f1 (x), f2 (x) . Fn(x) es linealmente dependiente
Si en un intervalo I existen C1, C2 Cn constantes no todas cero tales que .
C1f1 (x) + C2f2 (x) + . Cnfn (x) = 0 para toda x en el intervalo
36
Se dice que un conjunto f1 (x), f2 (x) .fn (x) es linealmente independiente si no es linealmente dependiente en
el intervalo I
Por ejemplo ...
f1( x) = sen 2x f2 (x) = senx cosx
son linealmente independientes en − < x <
verificación .....
C1f1 (x) + C2f2 (x) = 0
Tenemos que ver si se cumple la combinacion lineal ....
C1 sen 2x + C2 senx cosx = 0
Investigar por inspeccion los valores de C1 y C2 ...
Si C1 = 1 , C2 = 2 la combinación lineal se cumple, caso excluido
Si C1 = 1 , C2 = 2 entonces la combinación lineal queda ....
Sen2x + 2senxcosx
2senxcosx + 2 senxcosx
= 4senxcosx es diferente de cero (caso excluido)
si tomamos en cuenta que la combinación lineal se puede escribir ....
C1 2senxcosx + C2 senxcosx = 0
Dividimos entre senxcosx .....
C1 2 + C2 = 0 C1 = − C2
2
por lo tanto si existen C1 y C2 no todas cero tal que la combinación lineal sea igual con 0 ....
por lo tanto f1 (x) = sen2x y f2 (x) = senxcosx son linealmente dependientes
por ejemplo si C2 = 1 y C1 = −1/2
−1 2 senxcosx + 1 senxcosx = 0
2
en el ejemplo anterior se vio la dificultad de verificar si f1 (x) y f2 (x) eran linealmente dependientes. El
Wronskiano es un determinante que permite facilitar la tarea anterior.
37
WRONSKIANO
Supongase que f1 (x), f2 (x) ...... fn (x) tiene n−1 derivadas si el determinante ...
f1 f2 ............. fn
f1I f2I ............. fnI
W=
f1(n−1) f2(n−1) ............. fn(n−1)
= 0 las funciones son linealmente dependientes
= 0 las funciones son linealmente independientes
Ejemplo .....
Determinar si f1 (x) = sen2x, f2(x) = cosxsenx son linealmente dependientes
Comprobación .....
Sen 2x cosxsenx
W=
2cos2x cosx cosh + sen (−senx)
sen 2x cosx senx
W=
2cos2x cos2 − sen2x
= sen 2x ( cos2x − sen2x ) − 2 cos2x ( cosx senx )
= sen 2x cos2x − sen2x sen2x − 2cosxsenx
* Nota .... cos 2x = cos2x − sen2x
cos 2x = 1 − 2sen2x
= 2senx cosh cos3x − 25 senx cosx sen2x − 2 (1−2 sen2x ) cosx senx
= 2 senx cos3x − 2sen3x cosx − 2 cosx senx − 4 sen2x cosx senx
= 2 senx cos3x − 2sen3x cosx − 2 cosx senx − 4 sen3x cosx
= 2 senx cos3x − 2sen3x cosx − 2 cosx senx descomponer cos3x / sen3x
= 2 senx cosx cos2x + 2 senx sen2x cosx − 2 cosx senx
38
= 2 senx cosx ( cos2x + sen2x ) − 2 cosx senx
= 2 senx cosx − 2 cosx senx = 0
por lo tanto f1(x) = sen 2x y f2(x) = cosh senx son linealmente dependientes
Comprobar que las funciones f1 (x) = sen2x f2(x) = 1−cos 2x son linealmente dependientes
sen2x 2sen2x
W=
2 senxcosx 4senxcosx
w =sen2x (4 senxcosx ) − 4 sen2x (senxcosx )
w = 4 sen3 x cosx − 4 sen3x cosx
W=0
Por lo tanto f1 y f2 son linealmente dependientes
Operadores
1−10 factorice el operador diferencial cuando sea posible.
Definición dy = d y = Dy
Dx dx
d = D operador diferencial
dx
• 4D2 − 9
(2D2) − 32 = (2D + 3) (2D − 3) aplicamos diferencia de cuadrados
• D2 − 5 aplicando diferencia de cuadrados
D2 − 5 = D2 − ("5 ) 2
= ( D + " 5 ) ( D − "5 )
3. D2 − 4D − 12 aplicando la formula general
a = 1 b = − 4 c = −12
D = − b +− " (b − 4ac)
2a
39
D = − (−4) +− " (−4) 2 − 4 (1) ( −12)
2
D = 4 +− " (16 + 48)
2
D = 4 +− " 64
2
D = 4 +− 8 = D1 = 6 D2 = −2 tomar como signo contrario para
2 factorizar
D2 − 4 D −12 = ( D − 6 ) ( D + 12 )
4. 2 D2 − 3 D −2 por formula general
D = 3 +− "( 32 − 4 (2)(−2) = D = 3 +− 5
2(2) 4
D1 = 2 D2 = − ½
Tomar con signo contrario
2 D2 − 3 D − 2 = ( D − 2)(D + ½)
comprobacion
D2 + ½ D − 2D −1 multlipicar por x
2D2 + D − 4 D − 2
forma dos
2 ( 2D2 − 3D − 2 ) =
2
4D2 − 3( 2D ) − 4 =
2
( 2D ) − 3 ( 2D ) − 4 =
2
( 2D − 4 ) ( 2D + 1) =
40
2
2 ( D − 2 ) (2D + 1)
22
2 ( D − 2 ) ( 2D+1) ( D − 2 )(2D + ½ )
22
6. D3 + 4 D
D3 + 4 D = D ( D2 + 4 )
a = 1 b=0 c=4
D = 0 +− " (0 − 4(1)(4))
2
D = +− " −16
2
D = +− " ((−1)(16))
2
D = +− i 4 D1 = 2i D2 = −2
2
7. D + 2D − 13D + 1 0 = (1−D)(2 − D)(5 + 0)
a) por división sintética
b) por inspección se divide entre x−1
D2 + 3D − 10
D −1 D3 + 2D2 − 13D + 10
−D3 + D2
3D2 − 13D + 10
−3D2 + 3D
−10D + 10
+ 10D − 10
41
0
D3 + 2D2 − 13D + 10 = ( D−1)(D2 +3D − 10)
= (D−1)(D+5)(D−2)
Factorización
D3 + 4D= D (D + 2i)( D −2i)
Comprobación
( D + 2i) ( D − 2i )
= D2 − ( 2i ) 2
= D2 − ( 4i2 )
= D2 − ( 4(−1) )
= D2 − 4 multiplicar por D
D ( D2 + 4 ) = D3 + 4D
9. D4+ 8D = D ( D3 + 8 )
D2 − 2D + 4
D + 2 D3 + 8
−D3 − 2D2
− 2D2 + 8
+ 2D2 + 4 D
4D + 8
−4D − 8
0
D = 2 +− " ( 4 −16 )
2
D= 2 +− " ( −12 )
2
D = 2 +− " (−1)(3)(4)
42
2
D= 2 +− i " (32) = D1= 1 + i" 3 D2= 1 − i" 3
2
D + 8D = D ( D + 2 ) ( D2 − 2D + 4 )
= D ( D + 2 )(1 + i" 3 ) ( 1 − i" 3 )
10. D4 − 8 D2 + 16 = ( D2 − 4) 2
definir x = D2 X2 = D4
x − 8X + 16
x= 8 +− " (64− 64)
2
x= 8/2 = 4 D2 = 4 D= +− " 4 D= +− 2
" D4 − 8D2 + 16 = ( D2 −22 )( D2 + 22 ) = ( D2 − 4 ) 2
Operador anulador anula a cada uno de los polinomios
El operador diferencial D anula d = D
dx
1 x x2 xn−1
Numerador 1 2 3 n terminos
La constante 1 se anula con d1 = 0
dx
nota: cualquier numero o constante tiene grado 0
x1 d2x' = d1 = 0 D2 anulador
dx2 dx
x2 d3x2 = d22x = d2 = 0 D3 anulador
dx3 dx2 dx
x3 d4x3 = d33x2 = d26x = d6 = 0 D4 anulador
dx4 dx3 dx2 dx
43
ejemplo. Hallar un operador diferencial que aunque la siguiente funciones
1 − 5x2 + 8x3 solucion el anulador es D4
comprobación D4 ( 1 − 5x2 + 8x3 ) = D3 ( 0 − 10x + 24 x2 )
D2 ( −10 + 48 x )
D1 ( 48 )
D=0
Operador diferencial ( D − ")n
Anula cada una de las funciones
e"x x e"x x2 e"x x3 e"x xn−1 e"x
n= 1 2 3 4 n
e2x (D− 2) 1 e2x = De2x − 2 e2x
= 2 e 2x − 2e2x
" D−2 es el anulador de e2x
xe2x (D − 2) 2 e2x = (D−2)(D−2) xe2x
= (D−2)(Dxe2x − 2xe2x)
= (D − 2 )(x2e2x + e2x − 2xe2x)
= ( D − 2 ) ( e2x)
= De2x − 2e2x
= 2e2x − 2e2x = 0 " (D − 2) 2 es el anulador xe2x
f1(x) = x f2 (x)= w −x si x " o; x " 0
x " 0 :%1%= 1 x < 0 : %−1% = − ( −1) = 1
%2%= 2 %−2%= − ( − 2) = 2
asi sucesivamente
grafic f1 y f2
f2 (x) = (x)
y
44
De − 00 a 0 f1 y f2 son linealmente independientes
De 0 a +00 f1 y f2 son linealmente dependientes
La combinación de f1 y f2 de −00 es linealmente apoyándose en las líneas anteriores de −00 a f1 y f2 son
linealmente independientes lo que implica que c1 f1(x) + c2 f(x) =0 se cumple
Si c1 = c2 = 0
De o a +00 f1 y f2 son linealmente dependientes lo que implica que c1 f(x) + c2 f2 (x) son LD lo que implica
que c1 f1(x) + c2 f2(x) = 0 se puede cumplir si e2=c2
45