MATRICES-ACTUALIZADO-Prot

MATRICES
DEFINICION.-Definimos matriz como un conjunto de números
reales ordenados en filas y columnas.
2
7
-9
a11
a12
a13
0
1
5
a21
a21
a22
Designaremos la matriz entre paréntesis y sus elementos
con una letra con dos subíndices, el primero para las filas y
el segundo para las columnas.
(aij)
Matriz de i filas y j columnas.
aij
Elemento que ocupa en la matriz
la fila i y la columna j.
DIMENSION de una matriz es el producto indicado de filas
por columnas. Ej.- Matriz de dimensión 2X3
Cuando tienen el mismo nº de filas que de columnas,
llamaremos orden de la matriz al nº de filas ó columnas.
TIPOS DE MATRICES (1).
-Rectangulares.- M. que tienen distinto nº de filas que de
columnas.
-Cuadradas.M. con igual nº de filas que de columnas.
-M.Columna.M. rectangular de dimensión nx1.
-M.Fila.M. rectangular de dimensión 1xm.
-M.Nula.M. que tiene todos sus elementos nulos.
DIAGONAL DE UNA MATRIZ CUADRADA.-DIAGONAL PRINCIPAL es el conjunto de elementos aij / i=j
_DIAGONAL SECUNDARIA es el conjunto de elementos aij / i+j=n+1
n=orden de M.
TIPOS DE MATRICES
-M. Diagonal.- Es una
elementos, excepto los
Ej.
1
0
0
2
0
0
-M. Escalar.Es la
diagonal principal son
(2)
M. cuadrada que tiene nulos todos los
de la diagonal principal.
0
0
5
matriz diagonal cuyos elementos de la
todos iguales.
-M. Unidad.-
Es la matriz escalar cuyos elementos distintos
de 0 son iguales a 1.
-M. Triangular- Es la matriz cuadrada que tiene todos los
elementos por encima o por debajo de la diagonal principal
nulos.
OPERACIONES CON MATRICES
IGUALDAD DE MATRICES.-Dadas dos M. de la misma dimensión,
diremos que ambas son iguales cuando lo son sus elementos
correspondientes.
(aij) = (bij) == i=j Vi,Vj
SUMA DE MATRICES.-En el conjunto de las matrices
rectangulares de dim. nxm , se define una ley de composición
interna llamada suma de matrices como la siguiente aplicación:
Mnxm x Mnxm ----- Mnxm
((aij) , (bij))----- (aij)+(bij) = (aij+bij)
Es decir , a cada par de matrices rectangulares de dim. nxm, le
hacemos corresponder otra matriz de la misma dim. cuyo
elementos se obtienen sumando termino a termino los elementos
correspondientes a cada matriz.
Ej.
2
1
5
1
-2
0
0
-3
2
2
1
3
PROPIEDADES de la suma de matrices.
-Conmutativa.(aij) + (bij) = (bij)+(aij)
-Asociativa.[(aij)+(bij)]+(cij)=(aij)+[(bij)+(cij)]
-Ele.Neutro.(aij)+(0)=(aij)
3
2
-1
-2
5
5
-Ele.Opuesto.-La M. opuesta de una dada es la que resulta de
sustituir en la M. dada, cada elemento por su
opuesto.
La M. opuesta actua como elemento opuesto en la
suma de matrices. (aij)+(bij)=0
Todas estas propiedades son consecuencia de la definición
de suma de matrices y de las correspondientes propiedades de
los
números
reales.
Como
consecuencia
de
todas
estas
propiedades
el
conjunto
de
las
matrices
Mmxn
respecto
a
la
operación suma, tiene estructura de Grupo Abeliano.
PRODUCTO DE UN NUMERO REAL POR UNA MATRIZ.
En el conjunto Mmxn se define la ley de composición externa
denominada producto de un número real por una matriz como la
siguiente aplicación:
R x M -----------Mmxn
(t ,(aij)) -----------t.(aij)=(t.aij)
Es decir el producto de un número real por una matriz
rectangular de dim. mxn, es otra matriz de la misma dim. cuyos
elementos se obtienen multiplicando dicho número por todos los
mxn
elementos de la matriz dada.
3
1
2
24
8
16
8
0
4
1
0
32
8
PROPIEDADES.
-Distributiva mixta del producto de un número real, respecto a
la suma de matrices. t.[(aij)+(bij)]=t.(aij)+t.(bij)
-Distributiva mixta del producto de una matriz respecto a la
suma de números reales. (aij).(t+p)=t.(aij)+p.(aij)
-Asociativa mixta.
(t.p)[(aij)]=t.[p.(a )]
-Elemento neutro para la ley externa. Elemento unidad.
ij
1.(aij)=(aij).1=(aij)
EL ESPACIO VECTORIAL DE LAS MATRICES RECTANGULARES.
Por lo visto anteriormente, el cunjunto de las matrices
rectangulares de dim. nxm respecto de la ley externa, producto
de un número real por una matriz y respecto a la ley de
composición interna, suma de matrices, tiene estructura de
espacio vectorial sobre R.
( Mnxm,+,.R)-----Espacio vectorial.
PRODUCTO DE MATRICES.
En el conjunto Mnxm, en el conjunto Mmxp y en el conjunto Mnxp, se
llama pruducto de matrices a la siguiente aplicación.
Mnxm x Mmxp ----------- Mnxp
((aij),(bjk))------------- (aij).(bjk)= aij.bjk=cik
Es decir, los elementos de la matriz producto se obtienen
sumando los productos que resultan de multiplicar, los
elementos de la fila que ocupa el lugar i de la matriz (aij) por
los elementos de la columna que ocupa el lugar k de la matriz
(bjk).
Observemos que para multiplicar matrices, el número de columnas
del primer factor ha de ser igual al número de filas de la
matriz que actúa como segundo factor.
La dimensión de la matriz producto es nxp siendo:
n=Número de filas de la 1ª matriz
p=Número de columnas de la 2ª matriz
Ejemplos.:
Ejemplos.:
EN EL CONJUNTO DE LAS MATRICES CUADRADAS de orden n
se cumplen las siguientes propiedades del producto de matrices.
-Asociativa.
[(aij).(bjk)].(ckr)=(aij).[(bjk).(ckr)]
-Elem. neutro. La matriz unidad, actua como elem. neutro del
producto de matrices.
PROPIEDAD distributiva del producto respecto de la suma.
(aij).[(bjk)+(cjk)]=(aij).(bjk)+(aij).(cjk)
-IMPORTANTE.: El producto de matrices no es conmutativo.
EL ANILLO DE LAS MATRICES CUADRADAS.
Por todo lo dicho anteriormente podemos asegurar que el
conjunto de las
matrices de orden n con respecto a las dos
leyes internas, suma y producto de matrices tiene estructura de
anillo unitario no conmutativo.
( Mn,+,.)---Anillo unitario.
TRANSPOSICION DE MATRICES.
Sean M y M , el conjunto de todas las matrices de dim. nxm y
nxm
mxn
mxn respectivamente. Se llama transposición de matrices a toda
aplicación:
Mnxm-----------Mnxm
(aij)----------(aij)t=(aji)
Es decir, dicha aplicación asocia a cada matriz de dim nxm,
otra matriz de dim mxn, que se obtiene convirtiendo las filas
en columnas sin alterar su orden.
Ejemplo.
2
7
8
2
5
t
A= 5
4
1
A= 7
4
8
1
TIPOS DE MATRICES.
-Matriz simétrica es aquella matriz que coincide con su
traspuesta. Ej.:
1 0 1
A= 0 2 4
1 4 3
-Matriz antisimétrica es aquella matriz que su opuesta coincide
con su traspuesta. Ej.:
0 -1 -2
A= 1
0
3
2 -3
0
-Mariz ortogonal es aquella matriz cuadrada que cumple que el
producto por su traspuesta es igual a la matriz unidad.
senx
-cosx
Ej.: cosx
senx