Matrices Las matrices son usadas en matemáticas discretas para expresar relaciones entre objetos. Definición :Concepto de matriz Una matriz es un ordenación rectangular de números. Una matriz con m filas y n columnas es llamada una matriz de tamaño m x n. Ejemplo: Es una matriz de tamaño 4 x 3 Se emplean los paréntesis cuadrados con el fin de considerar la ordenación rectangular de números como una entidad. Ahora introduciremos alguna terminología acerca de matrices. En general una matriz A de tamaño m x n frecuentemente se escribe así: La i–ésima fila de A es la matriz de tamaño 1 x n, La j–ésima columna de A es la matriz de tamaño n x 1, El elemento, o entrada , de A es el número , es decir, el número que se encuentra localizado en la i–ésima fila y j–ésima columna de A, Una notación abreviada para expresar la matriz A es escribir , lo cual indica que A es una matriz de tamaño m x n, y su elemento y su elemento es igual a . Ejemplo: Consideremos la matriz Sus filas son Y sus columnas Algunos de sus elementos son Definición: Matriz cuadrada Una matriz A de tamaño n x n, es decir, cuando el número de filas es igual al número de columnas, se denomina una matriz cuadrada de orden n. En una matriz cuadrada A de orden n los elementos se denominan elementos diagonales, y se dice que forman la diagonal principal de A. Ejemplo: La siguiente es una matriz cuadrada de orden 3 Sus elementos diagonales son: Definición: Igualdad entre matrices. Dos matrices y (del mismo tamaño) son iguales si todos los elementos correspondientes son iguales, esto es, si Ejemplo: Hallar si Por la definición de igualdad entre matrices, tenemos: Despejando en las ecuaciones anteriores, tenemos: Operaciones entre matrices Definición: Suma de matrices Sean B es la matriz y y . La suma de A y definida por Esto es, la suma de dos matrices del mismo tamaño es la matriz de ese mismo tamaño obtenida al sumar los correspondientes elementos deA y B. La matrizCse denota por A+B. Por lo tanto, Ejemplo: Sean y Entonces Ejemplo: La suma No esta definida por que las matrices son de tamaño diferente. Definición: Matriz cero. Una matriz en que todos sus elementos son cero se denomina matriz cero (o matriz nula) y se denota por 0. El tamaño de la matriz 0 será evidente dentro del contexto en el cual se use. Ejemplo: Las siguientes matrices son todas cero: El siguiente teorema enuncia las propiedades básicas de la suma de matrices. Teorema SeanA, B, yCmatrices de tamaño m x n. Entonces Demostración: Sean Debemos demostrar que: Para probar esta igualdad, por definición de igualdad entre matrices, tenemos que mostrar que los elementos correspondientes de F y G son iguales. Para esto demostramos las matrices por: Veamos que Teniendo en cuenta las notaciones anteriores y la definición de suma entre matrices obtenemos: Ejercicio: Demostrar las otras partes del teorema anterior. Definición: Producto de matrices Sea y sea El producto de A y B es la matriz definida por La matriz C se denota por AB. En la siguiente figura, hemos resaltado la fila de A y la columna de B que son usadas para calcular el elemento cij de AB. Nótese que el producto de una matriz A con una matriz B solamente se define cuando el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Además el tamaño de la matriz producto es: Ejemplo: Hallar el producto de El producto está definido pues el número de columnas de A es igual al número de filas de B. El producto AB, de tamaño 2 x 4 es de la forma: Donde La multiplicación de matrices no es conmutativa. Es decir, si A y B son matrices, no necesariamente se cumple que AB y BA sean iguales. En realidad, puede pasar que únicamente uno de estos dos productos este definidos. Por ejemplo, sí A es de tamaño 2 x 3 y B es de tamaño 3 x 4, mientras que BA no está definida, puesto que es imposible multiplicar una matriz de 3 x 4 y una matriz de 2 x 3. En general, supongamos que A es una matriz de m x n y B es una matriz de r x s. Entonces AB está definida únicamente cuando n = r y BA está definida solamente cuando s =m. Por otra parte, cuando AB y BA están definidas, ellas no son del mismo tamaño a menos que m = n = r = s. Por consiguiente, si AB y BA están definidas, entonces A y B tienen que ser cuadradas y del mismo tamaño. Además, puede pasar que, A y B sean matrices de tamaño n x n, y AB no es necesariamente igual a BA, como lo demuestra el siguiente ejemplo. Ejemplo: Sean Entonces Por lo tanto, . Las propiedades básicas de la multiplicación de matrices se enuncian en el siguiente teorema. Teorema En las operaciones indicadas hemos supuesto que A, B, y C son matrices de tamaño tal que las operaciones se puedan efectuar. Demostración: b) Sean Debemos demostrar que Para probar esta igualdad, por definición de igualdad entre matrices, tenemos que mostrar que los elementos correspondientes de G y H son iguales. Para esto denotemos las matrices por: Veamos que Teniendo en cuenta las notaciones anteriores, las definiciones de suma y producto de matrices, y las propiedades de la suma y el producto de números reales obtenemos: Ejercicio: Demostrar las otras partes del teorema anterior. Definición: Una matriz cuadrada de orden n que tiene todos los elementos diagonales iguales a 1 y todos los demás componentes iguales a 0 se llama matriz identidad (o idéntica) de orden n y se denota por En otra palabras, si entonces por lo tanto, Ejemplo: Si el orden es evidente dentro del contexto, se escribe simplemente I . Si A es una matriz de m x n es sencillo verificar que Ejercicio: Sea A una matriz de m x n. Demostrar que Definición: Potencia de una matriz Sea A una matriz de n x n. Definimos la n - enésima potencia de A de la siguiente manera Ejemplo: Sea Entonces Se pueden probar las siguientes leyes de los exponentes. Teorema: Sean m y n enteros no negativos. Entonces Obsérvese que la igualdad embargo, si no es cierta para matrices cuadradas. Sin , entonces . Definición: Producto por escalar Sea por escalar es la matriz y c un número real. El producto definida por Esto es, la matriz producto por escalar se obtiene al multiplicar cada elemento de A por c. La matriz B se denota por . Por lo tanto Ejemplo: Utilizando la definición de producto por escalar, podemos definir la diferencia de matrices. Definición: Diferencia de matrices Sean diferencia por y . Se define la Ejemplo: Ejemplo: El siguiente teorema resume las propiedades básicas del producto por escalar. Teorema Si c y d son números reales y A y B son matrices, entonces Demostración: b) Sean Debemos demostrar que Para probar esta igualdad, por definición de igualdad entre matrices, tenemos que mostrar que los elementos correspondientes de D y G son iguales. Para esto denotemos los elementos de las matrices por: Veamos que Teniendo en cuenta las notaciones anteriores, la definición de suma y producto por escalar entre matrices, y la ley distributiva del producto sobre la suma para números reales obtenemos: Ejercicio: Demostrar las otras partes del teorema anterior. Definición: Transpuesta de una matriz. Sea La transpuesta de A es la matriz B . definida por Esto es, la transpuesta de A se obtiene intercambiando las filas y columnas de A. La matriz B se denota por . Por lo tanto Ejemplo: Sea Entonces El siguiente teorema resume las propiedades básicas de la transpuesta. Teorema Si c es un número real y A y B son matrices, entonces Demostración: c) Sean Debemos demostrar que Para probar esta igualdad, por definición de igualdad entre matrices, tenemos que mostrar que los elementos correspondientes de D y G son iguales. Para esto denotemos las matrices por: Veamos que Teniendo en cuenta las notaciones anteriores, las definiciones de producto de matrices y transpuesta de una matriz, y la ley conmutativa del producto de números reales obtenemos: Ejercicio: Demostrar las otras partes del teorema anterior. Definición:Matriz simétrica. Una matriz cuadrada A se denomina simétrica si. Por lo tanto es simétrica Obsérvese que una matriz es simétrica si y solamente si es cuadrada y es simétrica con respecto a su diagonal principal Ejemplo: Sean Entonces A es simétrica y B no es simétrica.