INSTITUTO TÉCNICO DISTRITAL “CRUZADA SOCIAL” Profesor: Hernán Arango Gómez

INSTITUTO TÉCNICO DISTRITAL “CRUZADA SOCIAL”
Profesor: Hernán Arango Gómez
Estudiante: ________________________________________________________________________________________
Grado: 10º _______________
Periodo académico: I
"Me lo contaron y lo olvidé, lo vi y lo entendí, lo hice y lo aprendí" Confucio
CAPITULO 2: MATEMATICAS TECNICAS
Un mecánico generalmente puede realizar una operación particular con varias herramientas, pero una suele ser
la más idónea. Por ello, cuanto más herramientas tengan a su disposición, mejor preparado estará para realizar
su trabajo. Las matemáticas ofrecen a los técnicos algunas de las herramientas básicas de su oficio. Podríamos
decir que las áreas de esta disciplina se parecen a las herramientas: algunas son más aplicables que otras a
ciertos trabajos o situaciones. Cuanto mejor conozca una persona los conceptos matemáticos, en mejores
condiciones estará de analizar y entender las situaciones y problemas físicos.
En el presente capítulo se describirán algunas de las herramientas de las matemáticas técnicas. Se supone que
el lector conoce las nociones fundamentales del álgebra. Aquí nos concentraremos en la notación científica o
potencias de 10, la trigonometría elemental y los vectores.
2.1 Notación científica (potencias de 10)
Muchas aplicaciones y descripciones físicas contienen números muy grandes y muy pequeños. Por ejemplo, la
distancia promedio entre la Tierra y el Sol es de 93000000 millas, y la masa de un electrón es de
0.000000000000000000000000000911 gramos. Para expresar y realizar operaciones matemáticas con cifras tan
enormes y con fracciones decimales suma mente pequeñas se recurre a lo que se llama notación científica
(denominada también potencias de 10). Se trata de una notación simple que usa la base decimal de nuestro
sistema de numeración.
Consideremos el número 72000. Puede escribirse en términos de múltiplos de 10 como sigue:
72000 = 7200 X 10 = 7200 X 101
= 720 X 100 = 720 X 10 X10 = 720 X 102
= 72 x 1000 = 72 X 10 X 10 X 10 = 72 X 103
= 7.2 x 10000 = 7.2 x 10 x 10 x 10 x 10 = 7.2 x 104
donde los múltiplos de 10 han sido expresados como potencias de 10. Es decir, 100 = 10 X 10 = 102, 1000 = 10
X 10 X 10 = 103 y así sucesivamente.
Nótese que el exponente es exactamente igual al número de lugares que el punto decimal ha sido recorrido
hacia la izquierda.
720000. = 7.2 X 104
El superíndice del exponente de un 10 recibe el nombre de potencia de 10. Por ejemplo, 103 es 10 elevado a la
tercera potencia. En general a las cantidades elevadas a la segunda y tercera potencias las llamamos cuadrados
y cubos, respectivamente. Una cantidad elevada a la primera potencia, digamos 101, es exactamente la cantidad
misma, 101 = 10. Por definición, una cantidad elevada a la potencia cero es igual a la unidad; por ejemplo,
100 = 1.
Así pues, al expresar la distancia promedio de la Tierra al Sol, o sea 93000000 millas, en potencias de la
notación de 10, tendremos
93000000 = 93 x 106 (decimal recorrido 6 lugares)
= 9.3 X 107 (decimal recorrido 7 lugares)
Ello significa que el prefijo numérico de 93 o 9.3 se multiplica por 10 seis o siete veces, respectivamente. Se
acostumbra expresar el número en notación científica con un dígito a la izquierda del punto decimal; por
1
ejemplo, 9.3 X 107. Sin embargo; 93 X 106 es el mismo número, y esta forma puede ser la indicada para las
operaciones matemáticas en algunos casos.
Para expresar grandes números en notación científica, el exponente o potencia de 10 es igual al
número de lugares que el punto decimal se recorre a la izquierda.
EJEMPLO 2.1: Expresión de grandes números en notación científica.
80000 = 8 X 104
5280000 = 5.28 X 106
270.6 = 2.706 X 102
100000 = 1 x 105 = 105
(A veces se omite el prefijo numérico de 1 porque se sobreentiende.)
Las cifras muy pequeñas en la forma de fracciones decimales se expresan de modo parecido en notación
científica. Las fracciones decimales indican fracciones de múltiplos de 10; por ejemplo,
48
48
48


1000 100  10 10  10  10
48
 48  10  3
=
3
10
0.048 =
o bien
donde se emplea la relación recíproca 1/1Ox = 10 -x. Nótese que el exponente negativo es igual al número de
lugares que el punto decimal ha sido recorrido a la derecha.
0.048= 48 X 10-3
o en forma estándar con un número o dígito a la izquierda del punto decimal,
0.048 = 4.8 X 10-2
Por tanto,
Para expresar una fracción decimal en notación científica, el exponente negativo es igual al
número de lugares que el punto decimal se recorre a la derecha.
EJEMPLO 2.2: Expresión de pequeños números (fracciones decimales) en la notación científica:
0.000037 = 3.7 X 10-5
0.0168 = 1.68 X 10-2 = 16.8 X 10-3
0.0002 = 2 X 10-4
0.000001 = 1 X 10-6 = 10-6
(Algunas veces se omite el prefijo de 1 porque se sobreentiende.)
Conviene señalar que un número puede expresarse en distintas formas de potencias en la notación de 10.
Aunque se acostumbre tener un dígito a la izquierda del punto decimal en el prefijo numérico, a menudo
conviene tener prefijos más grandes o más pequeños en las operaciones matemáticas. Esto se consigue
recorriendo el punto decimal, con lo cual cambia la potencia de 10.
He aquí el efecto de esta operación:
El exponente disminuye en uno por cada lugar que el punto decimal se recorre a la derecha. El
exponente aumenta en uno por cada lugar que el punto decimal se recorre a la izquierda.
Por ejemplo,
6.4 X 102 = 64 X 101 = 0.64 X 103
2.8 X 10-3 = 28 X 10-4 = 0.28 X 10-2
2
Multiplicación y división
Una de las principales ventajas de la notación científica es la rapidez y facilidad con que se efectúan las
operaciones matemáticas, en especial la multiplicación y división. Las multiplicaciones y divisiones largas, con
números muy grandes o pequeños tienden a inducir a error. Ello sucede en particular cuando hay muchos ceros,
pues resulta difícil recordar cuántos se han utilizado. Incluso con una calculadora puede omitirse alguno.
Sin embargo, no existe ese problema cuando se emplea la notación científica. Supongamos que multiplicamos
800000 por 120000000 o en notación científica, 8 X 105 por 1.2 X 108. Entonces simplemente,
(8 X 10.5)(1.2 X 108) = 9.6 X 1013
Para multiplicar números en la notación científica, los prefijos numéricos se multiplican y se suman
los exponentes de las potencias de 10.
La división es simplemente simple. Pongamos el caso de dividir 120000000 entre 600000, o sea (1.2 X 108)/(6 X
105).
En la división de números en la notación científica, los prefijos numéricos se dividen, y se restan
los exponentes de las potencias de diez (el exponente del denominador se resta al exponente del
numerador).
Por tanto,
1.2  108 12  107 12

  107  5   2  102
5
5
6  10
6  10
6
donde resultó conveniente recorrer el punto decimal en el numerador antes de dividir. Nótese que restar los
exponentes equivale a llevar la potencia de 10 en el denominador al numerador, lo cual exige un cambio de
signo en el exponente y sumar los exponentes.
EJEMPLO 2.3: Multiplicación y división con la notación científica:
(0.04 X 10-3)(2 X 108) = (4 X 10-5) (2 X 108) = 8 X 103
(3 X 10-7)(2 X 10-3) = 6 X 10-10
(6 X 104)2 = 36 X 108 = 3.6 X 109
(2 X 10-3)3 = 8 X 10-9
(8 X 106)/(4 X 10-2) = 2 X 10 6-(-2) = 2 X 108
(1 x 103)(6 X 10-12)/(4 X 105) =
1  6  10 (3125)
4
 1.5  10 14
Raíz cuadrada
Para sacar la raíz cuadrada de un número en potencias de la notación de 10, el exponente ha de
ser un número par.
Como se advierte en la tercera operación del ejemplo anterior, cuando un número se eleva al cuadrado el
exponente se duplica. Como extraer la raíz cuadrada constituye el proceso inverso, el exponente se reduce a la
mitad o se divide entre 2 cuando se saca la raíz cuadrada y, por lo mismo, debe ser un número par. La raíz
cuadrada del prefijo numérico se toma en el sentido ordinario.
EJEMPLO 2.4: Extracción de las raíces cuadradas de números en potencias de notación de 10:

4  108  4  108

1
2
 2  104
3
La potencia 1/2, por ejemplo ( )1/2, indica la raíz cuadrada, como lo hace el símbolo
.Como se señaló con
anterioridad, la raíz cuadrada de la potencia de 10 se obtiene dividiendo entre 2 o, en forma equivalente,
multiplicando por 1/2.
9  10   3  10
3.6  10   36  10 
1
4 2
1
13 2
40  10 
1
7 2
2
1
12 2
 6  106
1
6 2
 (4.0  10 )  2  10 3
Si el exponente no es par, como en los dos últimos ejemplos, el decimal se recorre para hacerlo par.
Las raíces cúbicas siguen el mismo principio. Cuando un número en la notación científica se eleva al cubo, el
exponente se suma tres veces o se multiplica por tres. Así pues, al extraer la raíz cúbica, el exponente ha de ser
divisible entre tres. En este caso los símbolos son:
3
o bien ( )1/3
Adición y sustracción
La adición y sustracción de números expresados en la notación científica requiere que sus
exponentes sean iguales.
El requisito anterior garantiza que los puntos decimales se encuentren alineados en columnas, como se necesita
cuando se suma o se resta una columna de números. Las potencias de 10 son iguales al desplazar los puntos
decimales de uno o más de los números. La resta es simplemente una forma de adición: la adición de
cantidades negativas.
EJEMPLO 2.5: Adición y sustracción de números en potencias de notación de 10:
(2.4 X 103) + (7.1 X 103) = 9.5 X 103
(9 X 10-3) - (0.3 X 10-2) = (9 X 10-3) - (3 X 10-3) = 6 X 10-3
NOTA:
Este documento se encuentra en la página Web de Ciencias Naturales: www.cruzaciencias.jimdo.com
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