Resolución de ecuaciones lineales

CORPORACIÓN UNIFICADA DE EDUCACIÓN NACIONAL-CUN
LÓGICA Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO
GUIA Y TALLER 5
ECUACIONES Y FUNCIONES
PROFESOR: FREDY RIOS
Las ecu aci on es l i n e al es o d e p ri me r gr ad o son del t i po ax + b = 0 ,
con a ≠ 0, ó cual qu i er ot ra e cua ci ón en l a qu e a l oper ar, t r asponer
t érm i nos y si m pl i fi c ar adopt en esa ex pre si ón.
Res ol u ci ón d e ecu aci on es l i n eal es
En general para resol ver u n a ecu aci ón l i n eal o d e p ri me r grad o
debemos seguir los siguientes p asos :
1 º Quitar paréntesis.
2 º Qui t ar denom i nad ores.
3 º Agru par l os t érm i nos en x en un m i em bro y l os t é rm i nos
i ndependi ent es en el ot ro.
4 º R educi r l os t érm i nos sem ej ant es.
5 º Des pej ar l a i ncó gni t a.
Ej em pl os:
1. Resolver la ecuación
Agrupam os
l os
t érm i nos
sem ej ant es
y
l os
i ndependi ent es,
y
s um am os:
2. Resolver la ecuación
Qui t am os denom i nadores, para el l o en pri m er l uga r hal l am os el
m í ni m o com ún m úl ti pl o.
Qui t am os
parént es i s,
agrup am os
y
sum am os
l os
térm i nos
s em ej ant es:
Despej am os l a i ncó gni t a:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1. Métod o d e De ter mi n an tes
Esta regla es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se
puede utilizar cuando la matriz
determinante no nulo. El que
de coeficientes del sistema es cuadrada y
sea cuadrada significa que el numero de incognitas
y el numero de ecuaciones coincide.
Ejemplo
Consideremos el sistema de ecuaciones:
En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz
cuadrada y
de los coeficientes es una matriz
. Por lo tanto, podemos aplicar la regla de
Cramer para resolverlo:
3. Método de reducción o eliminación.
Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de
incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.
Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la
ecuación por dicho número. Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva
ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos (
izquierdos ) de las ecuaciones que se suman.
Ejemplo
Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las
ecuaciones
El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación
Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca
al sumar ambas ecuaciones. Sustituyendo
por uno en la primera ecuación del
sistema de ecuaciones de partida, se obtiene
que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Cualquier ecuación de segundo grado se puede expresar de la forma:
ax2 +bx + c = 0
en donde a, b y c serán números enteros (positivos o negativos). Para ello bastará
obtener el denominador común (si hay denominadores), para eliminarlo y pasar todos
los términos al primer miembro.
Sabemos que una vez conseguida dicha forma, las dos "posibles" soluciones de la
ecuación son:
Así la ecuación del ejemplo inicial: 3x2 - 4x + 1 = 0: tendrá por
soluciones:
Luego 1 y 0,33 son las dos soluciones o raíces de la ecuación.
EJERCICIOS
A. Resolver las siguientes ecuaciones
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
B.
Resuelve
por
sustitución,
igualación,
sistema:
1.
2.
reducción
y gráficamente
el
C. Resolver los sistemas por el método de determina ntes
1.
2.
D. Resolver las ecuaciones cuadráticas
1.
3.
5. 7 x 2 + 2 1 x − 2 8 = 0
7.
2.
(Graficar)
4.
6.
8.
x2 + (7 − x)2 = 25( gráficar)
−x2 + 4x − 7 = 0 (gráficar)
(Graficar)
E. Solucionar los siguientes problemas:
1. Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15
manzanas más que el tercero ¿cuántas manzanas hay en cada cesto?
2. Dentro de 22 años la edad de Juan será el doble de la edad de su hijo y actualmente es el triplo. Hallar
las edades actuales.
3. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar ambos números.
4. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del
medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas.
5 Si el triplo de un número se le suma su cuadrado se obtiene 88. ¿ cuál es el número?