Intervalos en la recta real.

DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS.
APUNTES DE AULA.
Año académico: 2014-2015
I.E.S. “La Ería”
Departamento Didáctico de
Matemáticas
Nivel: ESO
2º ciclo
Tema: Intervalos en la recta real.
Complementos teórico-prácticos.
Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y profesor agregado de Matemáticas en E.S.
Intervalos.

Definición: se llama intervalo en la Recta Real, a todo subconjunto de la
misma comprendido entre dos puntos fijos llamados extremos.
 Ejemplo de Intervalo: I  a, b , donde a es el extremo inferior del intervalo y b es el extremo superior del mismo, además a  b .
 OBSERVACIONES que conviene recordar:
 a  b se lee “a menor que b”, es una desigualdad estricta.
 b  a se lee “b mayor que a”, es una desigualdad estricta.
 Como puedes observar, lo mismo se puede leer de dos formas distintas,
ya que si a es menor que b entonces es que b es mayor que a, lo cual nos
recuerda que toda desigualdad, a < b, al igual que toda igualdad, en
matemáticas se puede leer en dos sentidos, de izquierda a derecha, “a < b,
a menor que b” o de derecha a izquierda, “b > a, b mayor que a”. En cualquier caso el vértice del ángulo siempre apunta al menor de los números.
 a  b se lee “a menor o igual que b” y si cambiamos el sentido de la lectura leeríamos b  a , “b mayor o igual que a”, son desigualdades no
estrictas. Como puedes observar, el vértice del ángulo sigue apuntando al
menor de los números.
 Si a  b y b  a , entonces no queda más remedio que concluir que a =
b.
 Cuando a y b no son iguales ponemos a  b .
 Propiedad transitiva, si a  b y b  c , entonces a  c , dicho lo
mismo de otro modo, si a  b y b  c  a  c, y además a  b  c
 Si a  b y c  d, entonces a  c  b  d .
 Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por
un mismo número, positivo, la desigualdad no varía
si a  b y c  0  a  c  b  c
 Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desi-
gualdad por un mismo número negativo, cambia el sentido
de la desigualdad, así, si a  b y c  0  a  c  b  c .
 Si dos números, cualesquiera, cumplen una determinada desigualdad, sus inversos cumplen la desigualdad contraria, así,
si a  b 
Adaptaciones nivel 3.
1 1
 .
a b
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Intervalos.
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
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Clases de intervalos:
 Abierto: es aquel en el que los extremos no forman parte del mismo, es
decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos forman
parte del intervalo, salvo los propios extremos.
 En otras palabras I  a, b  x   / a  x  b , observa que se trata de
desigualdades estrictas.
 También se expresa en ocasiones como I  a, b .
a
b
 Gráficamente:
 Cerrado: es aquel en el que los extremos si forman parte del mismo, es
decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluidos
éstos, forman parte del intervalo.
 En otras palabras I  a, b  x   / a  x  b , observa que ahora no
se trata de desigualdades estrictas.
a
b
 Gráficamente:
 Semiabierto: es aquel en el que solo uno de los extremos forma parte del
mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos,
incluido uno de éstos, forman parte del intervalo.
 Semiabierto por la derecha, o semicerrado por la izquierda, el extremo
superior no forma parte del intervalo, pero el inferior si, en otras palabras I  a, b  x   / a  x  b , observa que el extremo que queda
fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta.
 También se expresa en ocasiones como I  a, b .
 Semiabierto por la izquierda, o semicerrado por la derecha, el extremo
inferior no forma parte del intervalo, pero el superior si, en otras palabras I  a, b  x   / a  x  b , observa que el extremo que queda
fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta.
 También se expresa en ocasiones como I  a, b .
a
 Gráficamente:
b
Semiabierto por la izquierda
a
b
Semiabierto por la derecha

 Semirectas reales:
 Semirrecta de los números positivos I  0,   , es decir, desde cero
hasta infinito.
 Semirrecta de los números negativos I   ,0 , es decir, desde el menos infinito, el infinito negativo, hasta cero.
 Con lo que toda la recta de los números reales sería I   ,  .
Adaptaciones nivel 3.
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Cotas:
 Definición: son todos los números reales que son mayores que el extremo
superior de un intervalo, o menores que el extremo inferior del mismo.
 Clases:
 Cotas Superiores: son todos los números reales mayores o iguales que el
extremo superior del intervalo.
 Extremo superior o Supremo: es la menor de las cotas superiores.
 I  2,5  cotas superiores los números 5, 5.0001, 6, 7,
8.01, etc. ...
 Supremo el 5.
 I  3,10  cotas superiores 10, 11, 12, etc. ....
 Supremo el 10.
 I   2,   no tiene cotas superiores, y por lo tanto, tampoco tiene supremo.
 Cotas Inferiores: son todos los números reales menores o iguales que el
extremo inferior del intervalo.
 Extremo inferior o Ínfimo: es la mayor de las cotas inferiores.
 I  2,5  cotas inferiores 2, 1.999, 1, 0, -1, etc. ...
 Ínfimo el 2.
 I  3,10  cotas inferiores 3, 2, 1, 0, -1, -2, etc. ...
 Ínfimo el 3.
 I   ,2  no tiene cotas inferiores, y por lo tanto, tampoco tiene ínfimo.
 CONCLUSIÓN: I   ,   la recta real no tiene cotas
superiores ni inferiores, no está acotada, ya que por definición es
una sucesión ilimitada de puntos puestos éstos unos a continuación
de los otros.
 Máximos y mínimos:
 Máximo: si el supremo pertenece al intervalo, entonces recibe el nombre de máximo.
 En los ejemplos anteriores:
 I  2,5  no tiene máximo, ya que el supremo no pertenece al intervalo por ser éste abierto por la derecha.
 I  3,10  el 10 es el máximo, por ser el supremo y pertenecer éste al intervalo.
 Mínimo: si el ínfimo pertenece al intervalo, entonces recibe el nombre
de mínimo.
 En los ejemplos anteriores:
 I  2,5  el 2 es el mínimo, por ser el ínfimo y pertenecer
éste al intervalo.
 I  3,10  no tiene mínimo, ya que el ínfimo no pertenece
al intervalo por ser éste abierto por la izquierda.
Adaptaciones nivel 3.
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 Observación_1: un intervalo es cerrado y acotado cuando posee máximo y mínimo.
 Observación_2: un intervalo es abierto cuando no posee ni máximo ni
mínimo.

Valor absoluto de un número:
 Definición: una definición poco acertada sería la de que es el número sin el
signo, pero si queremos ser precisos deberíamos decir que es el propio
número, si éste es positivo, o el opuesto del número, si éste es
negativo.
x si x  0
 x  0, x  .
 x si x  0
 Así, tendríamos que: x  
 Otra definición alternativa sería x  x 2 , tomando solo el signo positivo de la raíz.
 Propiedades del valor absoluto:
x  x, x   , en otras palabras, el valor absoluto de un número

siempre es mayor o igual que el propio número, ya que:
 3  3 , en éste caso es igual al propio número.

 5  5 , en éste caso es mayor que el número, ya que 5 > –5.
x  0  x  0, x   , en otras palabras, si el valor absoluto de un

número es cero, lo es porque el propio número es cero.
 x  y  x  y , x, y   , en otras palabras, el valor absoluto de la
suma de dos números siempre es menor o igual que la suma de los
valores absolutos de los sumandos, se conoce como desigualdad
triangular.
 5   3  5  3  2  2  5   3  5   3  5  3  8
x  y  x  y , x, y   , en otras palabras, el valor absoluto del pro-

ducto de dos números siempre es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
 x  y  y  x , x, y   , en otras palabras, el valor absoluto de la diferencia de dos números es indiferente del orden en que realicemos
dicha resta. Ya que de la definición alternativa tendríamos que:
xy 
x  y2
 x 2  2xy  y 2  y 2  2 yx  x 2 


y  x 2
 y  x , c.q.d.
7 5  2  2  2  57
Distancia entre dos puntos de la recta real:
 Definición: se define la distancia entre dos puntos, A y B, de la recta real, y
 
se denota por d AB , como el valor absoluto de la diferencia entre los
 
valores de los mismos, en otras palabras, d AB  A  B

 
PuntosA  7 , B  10  d AB   7  10   7  10   17  17
Adaptaciones nivel 3.
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Intervalos.
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 Propiedades:
 
 d AB  A  B  0 siempre, como consecuencia de la definición de
valor absoluto de un número.
 d AB  0  A  B .

 
dAB  A  B  B  A  dBA , es decir, da igual el sentido en el que
midamos, la distancia entre dos puntos fijos siempre es la misma.
 Si A  C  B  d AB  d AC  d CB , es decir, la distancia entre dos
puntos se puede calcular sumando las distancias que hay entre puntos
intermedios a los dados.
     

Entorno de un punto:
 Definición: se llama entorno de un punto a de radio ε al conjunto de
números reales, x, tales que a    x  a   , dicho de otro modo, todos los
números reales comprendidos entre los puntos de corte que con la recta
produce una semicircunferencia trazada con centro en a y radio ε.
 Otras definiciones:
 Como distancia: a,   x   / x  a   , es decir, todos los puntos
de la recta real que se encuentren a una distancia del punto central,
a, menor que el radio ε.
 Como intervalo abierto: a,   x   / x  a  , a  
 Como desigualdad: a,   x   / a    x  a  
 OBSERVACIÓN: el entorno de un punto es siempre un intervalo
abierto.
 Clases de entornos:
 Laterales: incluyen el punto central y todos los puntos situados a la
derecha o a la izquierda del mismo, salvo el supremo.
 Entorno lateral por la derecha:
 a,   x   / a  x  a    x   / x  a, a  

Entorno lateral por la izquierda:
 a,   x   / a    x  a  x   / x  a  , a 
 Reducidos: son los que contienen todos los puntos menos el centro, así,
 a,   x   / a    x  a  , y x  a  a,   a

Ejemplos y metodología:
 Metodología:
 Transformar intervalos abiertos o cerrados en desigualdades en valor
absoluto:
 Se calcula el diámetro del intervalo, D, es decir, el ancho total,
el cual será por definición la distancia entre los extremos del mismo.
D
 Se calcula la mitad de dicho ancho,   , y, una de dos:
2
 Se le añade al extremo inferior.
Adaptaciones nivel 3.
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Intervalos.
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

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 Se le resta al extremo superior.
En cualquier caso obtenemos el centro del intervalo, a.
Con esa información, podemos poner ya que:
 Si es abierto x  a   , que es la desigualdad buscada.
 Si es cerrado x  a   , que es la desigualdad buscada.
 Transformar intervalos en entornos:
 Solo los intervalos abiertos se pueden transformar en
entornos.
 El proceso es, básicamente, el mismo de antes: calcular el centro y
el radio, y por último ponerlo con la notación de entorno.
 Transformar desigualdades en valor absoluto en desigualdades en
línea:
 Realizar la transformación:
x  a   
x  a  
x a    

 a   x  a 
 x  a    x  a    x  a  

Resolver ecuaciones en valor absoluto: solo es necesario tener en cuenta que la expresión encerrada dentro del valor absoluto puede ser positiva
o negativa, con lo que habrá que tomar ésta una vez en valor positivo y
una segunda vez con valor negativo, y resolver ambas por separado., así:
cb

x

 ax  b   c

a

 ax  b  c  
  ax  b   c  x  c  b   c  b

a
a
 Ejemplos:
 E1.- Sea el intervalo I  2,5 , representarlo gráficamente, como una desigualdad en línea, como una desigualdad en valor absoluto, como el entorno de un punto, dar cotas superiores, inferiores, supremo, ínfimo, máximo y mínimo:
 Desigualdad en línea: 2  x  5
7 3
 Desigualdad en valor absoluto: x  
2 2
3
 Ancho: 5  2  3  radio  
2
3
3 7
 Centro: a  2   5  
2
2 2
7
3


 Entorno:  , 
2 2
2
5
 Gráficamente:
 Cotas superiores: 5, 6, 7, etc. ...
 Cotas inferiores: 2, 1, 0, etc. ...
 Supremo: 5
Ínfimo: 2.
 Es un intervalo abierto, luego no hay máximo ni mínimo.
Adaptaciones nivel 3.
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Intervalos.
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 E2.- Sea el intervalo I   1,3 , representarlo gráficamente, como una
desigualdad en línea, como una desigualdad en valor absoluto, como el
entorno de un punto, dar cotas superiores, inferiores, supremo, ínfimo,
máximo y mínimo:
 Desigualdad en línea:  1  x  3
 Desigualdad en valor absoluto: x  1  2
 Ancho: 3   1  4  radio   2
 Centro: a  1  2  3  2  1
 Entorno: no se puede, ya que un entorno siempre es un intervalo
abierto, y éste es cerrado.
-1
3
 Gráficamente:
 Cotas superiores: 3, 4, 5, etc. ...
 Cotas inferiores: -1, -2, -3, etc. ...
 Supremo: 3
Ínfimo: -1
 Máximo: 3
Mínimo: -1
 E3.- Transformar el siguiente entorno, 3.5,1.5 , en un intervalo, en una
desigualdad en línea, en una desigualdad en valor absoluto, dar sus cotas,
el supremo y el ínfimo:
 Intervalo: I  2,5
 Desigualdad en línea: 2  x  5
 Desigualdad en valor absoluto: x  3.5  1.5
 Cotas superiores: 5, 6, 7, etc. ...
 Cotas inferiores: 2, 1, 0, etc. ...
 Supremo: 5
Ínfimo: 2
 E4.- Resolver la siguiente ecuación en valor absoluto: x 2  x  6
x 2  x   6
Por definición de valor absoluto: x 2  x  6  
 x 2  x   6
debemos resolver cada una por separado, la solución será el conjunto de valores reales que satisface la ecuación inicial.
 De la primera: x 2  x  6  0  x1  2 ; x 2  3
 De la segunda: x 2  x  6  0  no tiene soluciones reales.
 Luego las únicas soluciones reales que cumplen las condiciones
iniciales son las dadas.
 Transformar la siguiente desigualdad en valor absoluto en una desigualdad en línea y en un intervalo: x  4  3


Adaptaciones nivel 3.
x  4  3
x  7
x 4 3 

 1  x  7  I  1,7.
 x  4  3 x  1
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Intervalos.
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Actividades de aplicación.
P1.- Resolver las siguientes ecuaciones en valor absoluto:
a) x  3  7
b) 2x  5  9
d)
x 5
8
2
e)
g)
4x  3 5

x4
7
h) x 2  5x  6
j) 2 x 2  1  9
k)
c) 3x  4  11
2x  19 2

5
3
f)
3x  5
6
x 3
i) x 2  5x  6
2x  3 7

x 1
5
l) 12x  5  22
P2.- Escribir las siguientes desigualdades mediante intervalos abiertos, cerrados o
semiabiertos, indicando el diámetro o la anchura del mismo en cada caso:
3
2
b)
7
x6
3
c)  11  x  11
3
3
x
4
8
e)
2
5
x
5
2
f)  4  x 
a)    x 
d) 
g) 7  x  
j)
4
8
x
5
9
m)
h)  5  x  15
i)
1
9
x
7
7
1
3
l)
2
5
x
3
6
k)  2  x 
1
4
x
4
5
n)
2
7
1
2
x
3
5
P3.- Expresa, mediante intervalos abiertos, los entornos de a de radio r que se
indican a continuación:
a) a  5 ; r  0,01
d) a  3 ; r 
1
50
g) a  1 ; r  0,03
j) a  9 ; r 
Adaptaciones nivel 3.
3
50
b) a  4 ; r  10-2
c) a  10 ; r  10-1
e) a  7 ; r  0,05
f) a  6 ; r  0,02
h) a  7 ; r  0,1
i) a  5 ; r  0,01
k) a  2 ; r  0,01
l) a  2,5 ; r 
Página.- viii
1
250
Intervalos.
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P4.- Escribe el signo ∈, pertenece, o ∉, no pertenece, según corresponda en cada
caso:
a) 1,982,0.03
d)
31.7,0.03
g)  3,1
j)
2
   0.6,0.1
3
b)
2 1.4,0.1 c)
e) 3,1
2 1.41,0.01
f)  3,1
h)
2
0.8,0.2
3
k)
2
5
   0.7,0.1 l)
 2.7,0.3
3
2
i)
2
0.6,0.2
3
5
5
    2.5,0.2 
m)      2.5,0.1 n)
2
2
P5.- Escribir como una desigualdad en valor absoluto los siguientes intervalos:
a)  3  x  7
b) I  2,12
c) 0  x  6
d) I   4,2
e)  3  x  5
f) 2,5
g) 3  x  12
h)  12  x  1
i) I   4,12
P6.- Escribir en forma de entorno las desigualdades siguientes:
a) x  3  2.5
d) 3  x 
Adaptaciones nivel 3.
b)  0.33  x  2
c)
2
7
x
3
5
48
12
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Intervalos.