Esfuerzo interno - Biblioteca de la UNS

Esfuerzo cortante
El esfuerzo cortante, de corte, de cizalla o de cortadura es el esfuerzo interno o
resultante de las tensiones paralelas a la sección transversal de un prisma mecánico
como por ejemplo una viga o un pilar. Se designa variadamente como T, V o Q
Este tipo de solicitación formado por tensiones paralelas está directamente asociado a la
tensión cortante. Para una pieza prismática se relaciona con la tensión cortante mediante
la relación:
Tensión cortante
Fig 1. Esquema del esfuerzo cortante.
La tensión cortante o tensión de corte es aquella que, fijado un plano, actúa tangente
al mismo. Se suele representar con la letra griega tau (Fig 1). En piezas prismáticas,
las tensiones cortantes aparecen en caso de aplicación de un esfuerzo cortante o bien de
un momento torsor.1 2
En piezas alargadas, como vigas y pilares, el plano de referencia suele ser un paralelo a
la sección transversal (i.e., uno perpendicular al eje longitudinal). A diferencia del
esfuerzo normal, es más difícil de apreciar en las vigas ya que su efecto es menos
evidente.
Tensión cortante promedio
Fig 2. Esfuerzo cortante sobre tornillos.
Un problema que se presenta en su cálculo se debe a que las tensiones no se distribuyen
uniformemente sobre un área, si se quiere obtener la tensión media es usada la fórmula:
donde V (letra usada habitualmente para designar esta fuerza) representa la fuerza
cortante y A representa el área de la sección sobre la cual se está aplicando. En este
caso, el esfuerzo cortante, como su nombre lo indica, corta una pieza. En esta imagen
(Fig 2.), el tornillo y el perno presentan esfuerzo cortante al ser cortados por las piezas
que unen (línea verde).
Fórmula de Collignon-Jourawski [editar]
Si se requiere encontrar la tensión cortante debida fuerza cortante en un punto
específico, lo cual es común en vigas, se usa la siguiente fórmula, conocida como
fórmula de Collignon (1877):
donde Vy representa la fuerza cortante, Qy el producto del centroide y el área que se
abarca desde un extremo hasta el punto donde se quiere encontrar el esfuerzo, Iz el
momento de inercia de la sección total respecto a un eje perpendicular a la dirección del
cortante y tz el espesor de la figura a lo largo de un eje perpendicular a la dirección del
cortante.
Aunque esta fórmula fue publicada por Collignon en 1877 y se conoce con su nombre,
previamente había sido utilizada en 1844 por el ingeniero ruso D. J. Jourawski para
calcular tensiones en vigas de madera, publicando esta fórmula en 1856.
Puntos importantes:



El esfuerzo cortante en el cordón superior y el inferior es cero.
El esfuerzo cortante en la línea neutra de la pieza (coincidente con el centro de
gravedad) es máximo.
El momento de inercia y el centroide de las figuras es con respecto al eje neutro de la
pieza.
Deducción de la fórmula de Collignon
La fórmula de Collignon anterior no proporciona el valor exacto de la tensión
tangencial, sino sólo el promedio a lo largo de una línea que divida en dos la sección
transversal. Para comprender ese hecho conviene examinar la deducción de la misma.
Para la deducción partiremos de las ecuaciones de equilibrio elástico cuando no existen
fuerzas másicas, la primera de ellas para la componente X es igual a:
(1)
Si se presupone que sólo el esfuerzo cortante está dirigido según el eje Y (y que esta
dirección coincide con una de las direcciones principales de inercia), y que el eje X
coincide con el eje de la pieza y, además, que las tensiones están provocadas
únicamente por un esfuerzo normal constante y un momento flector y un esfuerzo
cortante variables, tenemos:
Substituyendo estas dos últimas ecuaciones en la ecuación de equilibrio (1), se tiene la
relación entre la tensión tangencial y el esfuerzo cortante:
(1')
Integrando directamente esa última ecuación se llega a:
La anterior ecuación resulta incómoda porque depende de la coordenada C(z) situada
sobre una vertical donde el cortante se anula (puede comprobarse que coincide que es la
coordenada de un punto sobre el contorno de la sección, usando las condiciones de
contorno que acompañan a las ecuaciones de equilibrio elástico). Sin embargo, se puede
definir la tensión cortante media como:
Esta última coincide (salvo signo) con la fórmula de Collignon usada para calcular la
distribución media de tensiones cortantes a lo largo de la sección que se mencionaba en
el apartado anterior. Cabe señalar que hemos introducido el llamado primer momento de
área parcial definido como:
Tensión cortante máxima
La anterior ecuación puede usarse para calcular la tensión tangencial máxima para
diferentes tipos de sección y comparar su valor con el de la tensión promedio. Puede
probarse que para cualquier tipo de sección transversal se cumple que:
Sección rectangular
Para una sección rectangular de medidas b x h sometida a un esfuerzo cortante paralelo
a uno los lados de la misma, la distribución de tensiones cortantes y la tensión cortante
máximas vienen dadas por:
Donde
es la altura del punto donde se calculan las tensiones
respecto al centro de la sección. Eso significa que para las secciones rectangulares
.
Sección circular
Para una sección circular maciza de radio R sometida a un esfuerzo cortante paralelo a
uno los lados de la misma, la distribución de tensiones cortantes y la tensión cortante
máximas son:
Eso significa que para las secciones circulares
Esfuerzo interno
.
Representación gráfica de las tensiones o componentes del tensor tensión en un punto de un
cuerpo.
En ingeniería estructural, los esfuerzos internos son magnitudes físicas con unidades
de fuerza sobre área utilizadas en el cálculo de piezas prismáticas como vigas o pilares y
también en el cálculo de placas y láminas.
Contenido





1 Definición
2 Esfuerzos en vigas y pilares
o 2.1 Cálculo práctico de esfuerzos en prismas
o 2.2 Cálculo de tensiones en prismas
3 Esfuerzos en placas y láminas
o 3.1 Cálculo de esfuerzos en placas
o 3.2 Cálculo de tensiones en placas
4 Véase también
5 Enlaces externos
Definición
Los esfuerzos internos sobre una sección transversal plana de un elemento estructural se
definen como un conjunto de fuerzas y momentos estáticamente equivalentes a la
distribución de tensiones internas sobre el área de esa sección.
Así, por ejemplo, los esfuerzos sobre una sección transversal plana Σ de una viga es
igual a la integral de las tensiones t sobre esa área plana. Normalmente se distingue
entre los esfuerzos perpendiculares a la sección de la viga (o espesor de la placa o
lámina) y los tangentes a la sección de la viga (o superficie de la placa o lámina):

Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado
por la resultante de tensiones normales σ, es decir, perpendiculares, al área para la
cual pretendemos determinar el esfuerzo normal.

Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por la
resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual
pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Esfuerzos en vigas y pilares [editar]
Para un prisma mecánico o elemento unidimensional los esfuerzos se designan como:


Esfuerzo normal (Nx)
Esfuerzo cortante total (V, T o Q)
o Esfuerzo cortante según Y (Vy)
o Esfuerzo cortante según Z (Vz)
Dado un sistema de ejes ortogonales, en que el eje X coincide con el eje baricéntrico de
un elemento unidimensional con sección transversal uniforme los anteriores esfuerzos
son las resultantes de las tensiones sobre cada sección transversal:
En un abuso de lenguaje, es común también denominar esfuerzos a:

Momento torsor (Mx)

Momento flector
o Momento flector según Z (Mz)
o Momento flector según Y (My)
Bimomento (Bω)

Donde
es el alabeo seccional de la sección transversal.
Cada uno de estos esfuerzos van asociados a cierto tipo de tensión:


tensión normal, el esfuerzo normal (tracción o compresión) implica la existencia de
tensiones normales σ, pero estas tensiones normales también pueden estar
producidas por un momento flector, de acuerdo con la ley de Navier. Los bimomentos
también provocan tensiones normales por efecto del alabeo seccional.
tensión tangencial, por otro lado los esfuerzos cortantes y el momento torsor implican
la existencia de tensiones tangenciales τ.
Cálculo práctico de esfuerzos en prismas [editar]
Consideremos la viga o prisma mecánico que se observa en la primera figura y
supongamos que se encuentra vinculado al resto de la estructura de forma isoestática.
Supondremos también que sobre este prima actúan fuerzas externas activas en el plano
de su eje baricéntrico (o línea recta que uno los baricentros de todas las secciones
transversales rectas del prisma).
El primer paso es dividir el rígido en dos bloques más pequeños. Quedan determinados
los bloques 1 y 2 de la figura.
Seguidamente estudiaremos el bloque 1, donde aparecen 2 fuerzas externas reactivas
actuando (P1 y P1). Como se puede ver este bloque ahora no se encuentra vinculado
isoestáticamente, así que para que pueda quedar en equilibrio deben existir fuerzas que
equilibren al mismo. Estas fuerzas son fuerzas reactivas también y corresponden a la
acción del bloque 2 sobre el bloque 1. Las fuerzas reactivas del bloque 2 sobre el 1
pueden ser reducidas a una fuerza y un momento actuando sobre el baricentro de la
sección recta A. De hecho estas fuerzas y momentos son la fuerza resultante y el
momento resultante de la distribución de tensiones sobre el área recta A.
Como estamos tratando el caso especial de fuerzas externas activas actuando sobre el
plano del eje baricéntrico, el momento y la fuerza al que se reducen las fuerzas reactivas
del bloque 2 sobre el bloque 1, deben de ser una fuerza contenida en dicho plano y un
momento perpendicular a mismo plano.
Llamaremos a la fuerza R2-1 del bloque 2 sobre el bloque y al momento lo llamaremos
M2-1. La fuerza R2-1 puede descomponerse en una componente vertical y otra horizontal
en el plano que se halla contenida. Llamaremos R2-1,y a la fuerza descompuesta en
sentido vertical y R2-1,x a la descompuesta en sentido horizontal. Resumiendo tenemos
que el sistema de fuerzas en equilibrio que está formado por:



Las fuerzas activas externas sobre el bloque 1.
Las fuerzas reactivas P1 y P2.
Las fuerzas reactivas R2-1,x, R2-1,y y el momento M2-1.
A las fuerzas reactivas R2-1,x, R2-1,y y al momento M2-1 se los conocen como esfuerzos
internos. Y representan respectivamente el esfuerzo normal (N = R2-1,x), el esfuerzo de
corte (Q = R2-1,y) y el Momento flector (Mf = M2-1).
Cálculo de tensiones en prismas [editar]
Artículo principal: Teoría de vigas de Navier-Bernouilli
En piezas prismáticas sometidas a flexión compuesta (no esviada y sin torsión), el
cálculo de las tensiones resulta sencillo si se conocen los esfuerzos internos, para una
pieza simétrica en la que el centro de gravedad esté alineado con el centro de cortante y
con un canto total suficientemente pequeño comparado con la longitud de la pieza
prismática, de tal manera que se pueda aplicar la teoría de Navier-Bernouilli, el tensor
tensión de una viga viene dado en función de los esfuerzos internos por:
Donde las tensiones normal (σ) y tangencial (τ) pueden determinarse a partir de los
esfuerzos internos
. Si se considera un sistema de ejes
principales de inercia sobre la viga, considerada como prisma mecánico, las tensiones
asociadas a la extensión, flexión y cortante resultan ser:
Donde ksec es el coeficiente que relaciona la Tensión cortante máxima y la tensión
cortante promedio de la sección. Un criterio frecuentemente empleado para las vigas
metálicas es verificar que en todas las secciones se verifique la siguiente condición:
Siendo la tensión última o tensión admisible normalmente definida en términos del
límite elástico del material. Para piezas prismáticas susceptibles de sufrir pandeo el
cálculo anterior no conduce a un diseño seguro, ya que en ese caso se subestima la
tensión normal susceptible de desarrollarse en la pieza.
Esfuerzos en placas y láminas [editar]
Artículos principales: Teoría de placas y láminas y Membrana elástica
En un elemento bidimensional, parametrizado por dos coordenadas α y β, el número de
esfuerzos que deben considerarse es mayor que en elementos unidimensionales:



Esfuerzos de membrana, según la dirección de la línea coordenada α,
según la dirección de la línea coordenada β,
.
Esfuerzos cortantes:
Esfuerzos de flexión,
,
Cálculo de esfuerzos en placas [editar]
En una lámina sometida fundamentalmente a flexión en la que se desprecia la
deformación por cortante y los esfuerzos de membrana se llama lámina de LoveKirchhof, los esfuerzos internos se carazterizan por dos momentos flectores
según dos direcciones mútualmente perpendiculares y un esfuerzo torsor mxy.
Estos esfuerzos están directamente relacionados con la flecha vertical w(x, y) en cada
punto por:
Donde:
, es el coeficiente de Poisson del material de la placa.
, es la rigidez en flexión de la placa, siendo:
el módulo de Young del material de la placa.
es el espesor de la placa.
Cálculo de tensiones en placas [editar]
Las tensiones sobre una placa son directamente calculables a partir de los esfuerzos
anteriores: