Conferencia Módulo 4 - Departamento de Matemática Educativa

Taller de Geometría Dinámica
Geometría Dinámica
Introducción
La asignatura tiene como propósito general proporcionar al alumno-docente
una cultura computacional enfocada a su quehacer didáctico. Específicamente, se
pretende mostrar que:

Mediante
la
incorporación
sistemática
de
las
nuevas
tecnologías
computacionales en el aula es posible orientar la enseñanza de la matemática
hacia la comprensión de los conceptos, más que hacia la parte operativa.

Las calculadoras y computadoras, de uso actual en la educación, se pueden
utilizar de manera que formen parte de las herramientas didácticas del docente
para la comunicación, la simulación de situaciones y el cálculo numérico y
simbólico dentro de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas en el aula;

La educación mediada por la tecnología propicia acciones directas sobre
objetos matemáticos y convierte la enseñanza de la matemática en un proceso
experimental.
En la conferencia que corresponde al módulo de Geometría dinámica se
conversará sobre la construcción de ambientes computacionales que pueden ser
un medio para construir conceptos matemáticos o lograr una mejor comprensión
de los mismos.
Se hablará sobre los siguientes ambientes computacionales:
1. Un tangram para la percepción geométrica, que contenga triángulos,
paralelogramos y círculos.
2. Un ambiente computacional para la suma de números enteros y números
racionales en su registro decimal.
3. Un ambiente computacional para mostrar que:

triángulos que tienen la misma base y la misma altura, tienen la misma
área.

la suma de los ángulos interiores de un triángulo, es de 180º.
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
un triángulo inscrito en una semicircunferencia donde uno de los lados es el
diámetro, es un triángulo rectángulo.
4. Un ambiente computacional para tabular y graficar funciones.
5. Un ambiente computacional para el estudio de las cónicas.
Nota. Se proporcionarán los archivos de los primeros cuatro ambientes
computacionales o serán puestos en la red.
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Geometría Dinámica con “Geometer's Sketchpad”
El Geometer's Sketchpad, fue programado como una herramienta para la
exploración de la geometría, el cual nos permite realizar diseños para la
simulación del comportamiento real de algunos objetos donde se pueden articular
diferentes registros como el numérico, el tabular y el gráfico en un sistema
cartesiano, así como, su interrelación dinámica entre todos ellos.
El programa Geometer's Sketchpad permite construir gran variedad de figuras
como:

Figuras simples para libros de texto

Modelos funcionales del teorema de Pitágoras

Dibujos en perspectiva

Mosaicos estilo Escher

Fractales

Ondas senoidales animadas

Gráficas de funciones etc.
Una vez que se ha dibujado una figura en el programa Geometer's
Sketchpad, se utiliza el Mouse para transformar las figuras conservando la
relación geométrica de su construcción y la relación entre sus variables.
Con el Geometer's Sketchpad se puede construir puntos, rectas y círculos;
diseñar un punto como el punto medio de un segmento; fijar una recta para que
sea paralela a otra; Fijar el radio de un circulo igual a una longitud dada etc.
Mientras se transforma alguna parte de la figura, todas las partes
relacionadas se actualizan simultánea y constantemente. Mientras un dibujo
utilizando papel y lápiz demuestra tan sólo un caso de relación geométrica, el
Geometer's Sketchpad permite examinar un vasto conjunto de casos similares.
En este programa, se pueden medir cantidades que oscilan desde simples
distancias hasta expresiones complejas de su propio diseño. Nos permite,
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además, visualizar el comportamiento de una expresión matemática en diferentes
registros de representación.
En seguida se hará un breve recorrido por los principales menús que
integran el programa, los cuales durante el curso se utilizaran para la construcción
de objetos geométricos que permitirán, a través de la manipulación dinámica,
mostrar las propiedades de algunos teoremas de la geometría plana.
Figura 1
La figura 1 muestra el ambiente donde se trabaja la geometría en forma dinámica
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Las figuras anteriores muestran un puntero con un dibujo en forma de
flecha
que en su primera opción proporciona uno de los recursos más
utilizados en el desarrollo de un trabajo, el cual permite desactivar la herramienta
que en su momento se esté utilizando, para activar esta función se da clic en este
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botón, el mismo efecto se tiene al presionar la tecla Esc . Con la segunda opción
que se encuentra a la derecha del puntero
objetos construidos y con la tercera
(ver figura 2) se puede rotar los
amplificar o reducir dichos objetos. En la
parte de abajo se muestra un icono con la figura de un punto
, con esta
herramienta se construyen puntos, así como con el botón del círculo
se
construyen circunferencias de diferentes diámetros.
En la figura 3, abajo del icono del círculo, se muestra una herramienta para
construir segmentos, rayos y rectas.
En la figura 4 se muestra un botón con el símbolo de la letra A en esta
opción
, dando doble clic en cualquier área de la página de trabajo se puede
insertar texto.
El icono cuya figura es una doble punta de flecha
permite construir o
utilizar herramientas creadas por el programa o por el usuario.
Las figuras que siguen muestran algunos otros recursos con que cuenta el
programa.
Figura 5
Abre una nueva hoja de trabajo
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Figura 6
Deshace la última orden
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Figura 7
Muestra la paleta de colores que se puede utilizar
Figura 9
Menú para transformar
Figura 10
Menú para medir
Figura 12
Muestra los archivos abiertos
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Figura 8
Construye un punto sobre un objeto
Figura 11
Menú para graficar
Figura 13
Muestra la ventana de ayuda
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Taller de Geometría Dinámica
Construcción de ambientes computacionales
Objetivo: que el estudiante comprenda, a través de la exploración, construcción y
manejo de objetos en geometría dinámica, algunas propiedades de los números
reales y de la geometría plana.
Para lograr lo anterior se desarrollarán actividades donde se exploren y se
construyan ambientes computacionales como se muestra en las figuras 14, 15 y
16.
Figura 14
Figura 15
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Figura 16
Para iniciar una sesión con el programa Geometer's Sketchpad se puede
hacer de varias formas como abrir Programas en Windows y dando clic en GSP
4.00 (ver figura 17) o también, dando clic en el botón del escritorio (ver figura 18),
de esta forma, se abre el programa dejando ver la imagen de la figura 1.
Figura 17
Figura 18
Tangram
Para explorar el tangram, abra el archivo Tangram.gsp en el programa Geometer's
Sketchpad para que aparezca la figura 14.

Seleccione y arrastre (traslade) las figuras y vuelva a formar el futbolista.

Cambie de página dando clic en el número 2 que se encuentra en la parte
inferior izquierda (ver figura 14)

Cambie a la página 3 y explore dando clic en los botones Armar la figura o
descomponer la figura (ver figuras 17 y 18)

Para girar las figuras sin que cambien de forma, estas se pueden construir
dentro de circunferencias y luego ocultar los elementos que no se requiera
que se muestren (ver figura 19).
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Figura 17
Figura 18
Figura 19
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Números reales
Suma de Números Enteros
En este ambiente se simulan dos lápices cuyos tamaños se ajustan
desplazando los puntos P/Q y estas medidas se reflejen en una recta que
representa los números reales (recta real) y proporciona el resultado de la suma,
como se muestra en las figuras 20, 21 y 22.
Figura 20
Figura 21
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Figura 22
Suma de Números Racionales en el registro decimal
En forma similar a la suma de enteros, pero ahora, las medidas de los
lápices se puedan ajustar, desplazando los puntos P y Q, hasta décimos o
centésimos como se muestra en las páginas Registro Decimal (Décimos) y
Registro Decimal (centésimos) del archivo Números reales. Gsp (ver figuras 23
y 24)
Figura 23
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Figura 24
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Para diseñar el ambiente computacional de la figura 16, se construirán los
siguientes objetos:

Puntos

Líneas rectas, líneas paralelas o perpendiculares a otra que pasen por un
punto dado.

Segmentos de recta

Polígonos

Los interiores de los polígonos
La construcción de los objetos anteriores es para aprender a:

Medir segmentos de recta, ángulos, perímetros y áreas de polígonos

Utilizar la calculadora para verificar las medidas que proporciona el
programa en una sola acción

Descubrir algunas propiedades (teoremas) de las figuras que se designan
con el nombre de invariantes al desplazar los puntos del polígono

Etiquetar los objetos construidos

Insertar texto y utilizar los recursos que este programa proporciona
Construcción de un punto
Se da clic en el icono
de la barra de herramientas, se lleva el cursor del
Mouse a la ventana de trabajo del programa, se da clic en botón derecho para
insertar el punto y se desactiva esta herramienta presionando la tecla Esc del
teclado o llevando el cursor del Mouse y dando clic en el botón
de la barra de
herramientas.
Construcción de una recta
Se da clic en el icono
presionando hasta que abra el menú
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de la barra de herramientas y se sostiene
del cual se puede elegir un
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segmento, un rayo o una recta, en nuestro caso, se elige el de recta. Se da clic en
la ventana de trabajo en un lugar determinado y se arrastra el Mouse, apareciendo
una recta que se puede poner en cualquier inclinación arrastrando el cursor del
Mouse, pero, si se quiere poner horizontal o vertical en una forma sencilla, antes
de soltar la tecla del Mouse se presiona la tecla Mayúsculas (Shift) y finalmente se
suelta la tecla del Mouse.
Nota importante- Cuando se construye un objeto este queda seleccionado,
para quitarle esta selección, se da un clic en cualquier lugar de la ventana donde
no haya objetos, y para seleccionarlos nuevamente, se vuelve a dar clic en ellos.
Recuerde, para liberar la herramienta hay que presionar la tecla Esc o dar
un clic en
.
Para etiquetar un objeto se da clic en
de la barra de herramientas y el
cursor del Mouse se transforma en una mano señalando con el dedo índice, si se
acerca a un objeto esta cambia al color negro y dando clic aparece una etiqueta
representada por una letra la cual si se da doble clic aparece una ventana de
dialogo donde se le puede poner cualquier nombre o caracteres como se muestra
en la figura 20.
Construcción de una recta perpendicular
Dados una recta y un punto, construir una recta perpendicular a la primera
que pase por dicho punto.
Se seleccionan los dos objetos dando clic en cada uno, recuerde que hay
que liberar la barra de herramientas antes de cada acción, se da clic en Construc
para desplegar su menú y luego en Perpendicular Line (ver figuras 20, 21 y 22)
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Figura 20
Figura 21
Figura 22
Construcción de una recta paralela
Dados una recta y un punto, trazar una recta paralela a la primera y que
pase por el punto.
Se seleccionan dando un clic en la recta horizontal y en el punto, después se abre
el menú Construc y se da clic en Parallel Line (ver figura 23 y 24).
Para ocultar las etiquetas se da clic en
y otro en los objetos (en el
cursor se forma una mano) ver figura 25.
Ocultamiento de objetos
Para ocultar objetos, estos se seleccionan, se abre el menú Display y se da
clic en Hide Points (ver figura 24). Obsérvese en la figura 26, que ya no aparece
el punto en la recta horizontal.
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Figura 23
Figura 25
Figura 24
Figura 26
Construcción de un triángulo cuyos vértices se encuentran entre líneas
paralelas
Para construir un triángulo entre líneas paralelas, se pueden seguir las
siguientes actividades: Construya un punto en la línea superior y dos en la inferior,
etiquételos dando clic en
y otro en cada objeto, después cambie las etiquetas
por las letras A, B y C. Dando doble clic aparece la ventana de diálogo como se
muestra en las figuras 27, 28 y 29. En la figura 27 aparece la letra C y se cambia
por A (ver figuras 27 y 28). Al final debe de quedar como la figura 29.
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Estos ejercicios sirven para poner, quitar y cambiar los nombres de las etiquetas.
Figura 27
Figura 28
Figura 29
Hay varias formas de construir los segmentos para formar el triángulo, una
de ellas es de la barra de herramientas seleccionar el primer icono el cual
corresponde a segmento
este es
. Con esta herramienta unir
arrastrando el Mouse, cada uno de los vértices (ver figura 30).
Para construir el interior del polígono, se seleccionan sus puntos en orden
de las manecillas del reloj o en sentido contrario, esto, con el propósito de que no
queden cruzadas las líneas, como puede ocurrir cuando se trata de polígonos de
más de tres lados. Después se abre el menú Construct y dar clic en Triangle
Interior, apareciendo coloreado su interior (ver figuras 31 y 32).
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Figura 30
Figura 31
Figura 32
Construir el interior del polígono tiene sus ventajas, se puede medir en una sola
acción su área o su perímetro como más adelante se vará.
Medidas de los lados del triángulo
Se pueden medir los segmentos por diferentes vías, una de ellas es
seleccionar los segmentos y del menú Measure se da clic en Length con lo cual
aparecen las tres medidas (ver figuras 33 y 34) o se puede seleccionar uno de los
segmentos y del menú Measure se da clic en Length apareciendo su medida, se
repite el proceso para los otros dos lados (ver figuras 34 y 35).
Figura 33
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Figura 34
Figura 35
Medida del perímetro y del área del triángulo
Para medir el perímetro y el área en una acción, se selecciona el interior del
triángulo y del menú Measure se da clic en una primera acción Perimeter y
después en Area (ver figuras36 y 37 ).
Figura 36
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Figura 37
Medida de ángulos
Para medir los ángulos del triángulo, se seleccionan tres puntos y como lo
índica la forma convencional, la medida que se obtiene corresponde al vértice que
fue seleccionado en el segundo lugar, para esto, del menú Measure se da clic en
Angle y esto se repite para medir los ángulos faltantes (ver figuras 38 y 39)
Figura 38
Figura 39
Uso de la Calculadora
Con la Calculadora se puede realizar operaciones con las medidas de los
objetos en una forma sencilla, así como utilizar las funciones trigonométricas, raíz
cuadrada, redondear, truncar, la función exponencial, la función signo etc. Como
ejemplos se va a determinar el perímetro del triángulo y la suma de sus ángulos.
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Para desplegar la Calculadora se da clic en Measure y Calculate (ver
figuras 40 y 41)
Figura 40
Figura 41
Una vez desplegada la Calculadora se da clic en cada una de las medidas con los
signos más (+) correspondientes y se termina dando clic en Ok (ver figuras 42 y
43)
Figura 42
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Figura 43
Edición de Texto
Para editar texto se da clic en el botón
y doble clic en el área donde se desea
insertar. Realizando lo anterior, aparece la barra de edición de la cual se puede
cambiar el tipo de letra, color y símbolos matemáticos (ver figura 44 y 45).
Figura 44
Figura 45
Inserte el texto para obtener el ambiente computacional que se muestra en la
figura 46, “Longitud de los lados”, “Comprobación del Perímetro”, “Medida de los
ángulos” e “Invariantes”.
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Figura 46
A continuación se diseñará el ambiente computacional que se muestra en la
figura 47, el cual permitirá resolver el siguiente problema
Problema.- Mostrar que el triángulo, inscrito en una semicircunferencia
donde uno de los lados es el diámetro, es rectángulo.
Para ello se construirán los siguientes objetos:

Circunferencias

Diámetros

Arcos
El propósito de construir los objetos anteriores es para aprender a:

Medir la longitud de un arco, el área del círculo y el perímetro de la
circunferencia

Utilizar la calculadora para operar las medidas de los objetos y explorar
algunas propiedades de las figuras

A trabajar con las diferentes animaciones que proporciona el programa a
través de la construcción de botones

Integrar varias hojas en un mismo archivo

Copiar y ordenar hojas
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Figura 47
Construcción de circunferencias
Para construir circunferencias se da clic en el icono
de la barra de
herramientas y se ubica el cursor del Mouse desplazándolo en la ventana del
programa (ver figura 49).
Figura 48
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Trazo del diámetro de una circunferencia
Una vez construida la circunferencia se construye una línea dando clic en
de la barra de herramientas, se lleva el cursor del Mouse hasta el
centro y se arrastra. Con lo anterior se asegura que la recta pase por el centro.
Después, se traza un segmento de recta que una los puntos de intersección y se
oculta la recta. Para no tener problemas que den lugar a los cambios del tamaño
de la circunferencia y a la inclinación de la recta, también, se ocultan los puntos
que los modifican (ver figuras 49, 50 y 51). Se pone un punto en la circunferencia y
se unen con los extremos del diámetro por medio de segmentos de línea para
construir el triángulo (ver figura 52).
Figura 49. Puntos que modifican los objetos
Figura 51. Recta oculta
Figura 50. Puntos ocultos
Figura 52. Triángulo
Animación de un punto
Etiquetar los puntos como se muestra en la figura 53. Seleccionar el punto
C, abrir los Menús Edit, Actinon Buttons y Animation (ver figuras 53 y 54)
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Figura 53
Figura 54
De las acciones anteriores, aparece el botón
y una ventana
de dialogo de la cual se pueden utilizar tres menús que son Animate, Label y
Objet. A su vez en Animate se muestran las opciones que el programa tiene para
la animación como sentido contrario a la manecillas del reloj, en el sentido de
las manecillas del reloj, bidireccional y aleatorio. (ver figura 55). También se
tiene diferentes opciones para realizar la animación al desplegar el menú Speed,
como lento, medio, rápido y otro (ver figura 56) se puede ajustar este último a
las necesidades del problema (ver figura 57). Cave mencionar que si se da clic en
Once Only la animación se realiza en un ciclo, de lo contrario esta se realiza
hasta que se presiona el botón que le dio lugar a la animación.
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Figura 55
Figura 56
En la ventana Lavel se puede cambiar el titulo del botón de animación (ver
figuras 58 y 60).
Figura 57
Figura 58
En la ventana Objet se puede observar las propiedades del objeto, así
como de los objetos de los que depende su construcción y de los que dependen
de él Menús y Children (ver figura 59).
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Cuando se da clic en el botón Animar el Punto C, este punto se mueve
alrededor de la circunferencia, en la figura 60 se muestra el punto C en un tiempo
determinado. Para detener la animación se vuelve a dar clic en el mismo botón.
Mida los tres ángulos del triángulo y mueva el punto C. observe que el
ángulo ACB es un invariante, esto es, su valor no cambia y debido a este valor
(90º), se concluye que el triángulo es rectángulo, lo que se quería mostrar del
problema.
Figura 59
Figura 60
Construcción de un arco de circunferencia
Para construir un arco de circunferencia se ubican tres puntos sobre ella y
se seleccionan en sentido de las manecillas del reloj para generar el arco que se
encuentra en la parte inferior, o en sentido contrario para obtener el arco superior,
del menú Construct se da clic en Arc Trough 3 points lo cual genera el arco (ver
figuras 61 y 62).
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Taller de Geometría Dinámica
Figura 61
También
se
puede
Figura 62
construir
un
arco
sobre
una
circunferencia
seleccionando dos puntos de ésta y la circunferencia (ver figura 61), es importante
el orden de la selección de los puntos porque esto da el arco o su complemento, si
se seleccionan el punto B, la circunferencia y luego el punto A el arco que se
construye es el que se encuentra en la parte superior de la circunferencia (ver
figura 64), si se selecciona el punto A, la circunferencia y luego el punto B, el arco
que se construye es el que se muestra en la figura (ver figura 65).
Figura 63
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Figura 64
Figura 65
Para ocultar la circunferencia y solo se observe el arco, esta se selecciona
en un lugar que no contenga el arco y se oculta (ver figuras 66).
Figura 66
Medida de la longitud y radio de un arco de circunferencia
Para medir la longitud y el radio de un arco de circunferencia, se selecciona
el arco y del menú Measure, se determina una por una las medidas del ángulo, la
longitud y el radio del arco (ver figuras 67 y 68).
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Figura 67
Figura 68
Gráfica de funciones en Geometer's Sketchpad
Para graficar funciones en el Geometer's Sketchpad, se despliega el menú
Graph y se da clic en New Function con lo cual aparece la calculadora donde se
captura la expresión matemática (ver figuras 69 y 70)
Figura 69
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Figura 70
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Ejemplo
Graficar f ( x)  x 2 sin x
Se captura la expresión x2, para la expresión sinx se despliega el menú
Function, se da clic en sin y en x, y al dar clic en Ok el programa le asigna la
notación f(x) (ver figuras 71, 72, 73 y 74)
Figura 71
Figura 72
Figura 73
Figura 74
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Para graficar, se selecciona la expresión, del menú Graph se da clic en
Plot Function lo cual da lugar a la grafica de la función (ver figuras 75 y 76).
Figura 75
Figura 76
Bibliografía

Bennett, D., Finzer, William. (1998). El Geómetra. Geometría Dinámica
para el Siglo XXI. Grupo Editorial Iberoamérica. México
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