simela - perimetros - areas
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Materia: “Introducción a la Física” Introducción Fernando ha comprado un terreno rectangular de 12 m de frente por 50 m de fondo y desea cercarlo con tres vueltas de alambre. Además, quiere parquizar totalmente el fondo del terreno de modo que la zona parquizada resulte cuadrada. Para ello deberá comprar panes de gramilla de 30cm X 30cm. ¿Cuántos metros de alambre y cuántos panes de gramilla necesita? Para contestar estas preguntas, Fernando deberá primero medir nuevamente el terreno para comprobar lo cierto de los valores indicados y deberá tener clara la diferencia entre perímetro y superficie para utilizar las fórmulas adecuadas a la hora de realizar los cálculos. Recordaremos ordenadamente las unidades del sistema métrico decimal que utilizamos para realizar estas y otras mediciones, así como sus múltiplos y submúltiplos. También, dedicamos cierto espacio para ejercitar las conversiones entre unidades de magnitudes homogéneas. Luego indicamos las fórmulas para el cálculo del perímetro y la superficie de las figuras más comunes y útiles: triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios, paralelogramos, rombos, circunferencias y círculos. Finalmente proponemos la resolución de situaciones problemáticas que involucran la aplicación de los conocimientos adquiridos. Materia: “Introducción a la Física” Contenidos UNIDADES DE MEDIDA Desde hace muchos siglos, el hombre sintió la necesidad de efectuar mediciones, ya fuera por relaciones comerciales, construcciones, etc. ¿A quién recurrir? La respuesta la halló en su propio cuerpo y así surgieron el codo (la distancia del codo hasta el extremo del dedo mayor), el palmo (ancho de la mano extendida), el dedo (ancho del dedo), el pie (largo del pie extendido), la pulgada (ancho del dedo pulgar). Pronto surgieron las dificultades: no todos los seres humanos tienen el mismo tamaño y esto traía problemas en los intercambios comerciales. ¿Cuál fue la solución? La Asamblea Constituyente Francesa encargó a la Academia de Ciencias la organización de un sistema de pesas y medidas cómodo y de fácil reducción. Fue así que en 1795 se creó el SISTEMA MÉTRICO DECIMAL (Métrico: porque la base es el metro, Decimal: porque la razón entre las medidas mayores y menores que el metro siempre es potencia de 10). En nuestro país: 1863: 1877: 1878: 1960: 1972: Adopción del Sistema Métrico Decimal. Obligatoriedad de su uso. Prohibición de otros sistemas. Adopción del Sistema Internacional de Unidades (SI). SI. ME. LA. Seguramente, en años anteriores, has tenido la oportunidad de realizar experiencias sensibles con todos los sistemas de medición. Habrás utilizado unidades arbitrarias, habrás medido con piolines, habrás creado diferentes balanzas, etc. Página 2 de 24 Materia: “Introducción a la Física” Ahora recordemos: UNIDADES DE LONGITUD, CAPACIDAD Y PESO Página 3 de 24 Materia: “Introducción a la Física” MEDIDAS DE SUPERFICIE Página 4 de 24 Materia: “Introducción a la Física” MEDIDAS AGRARIAS Actividad 1: En este momento realizá la siguiente actividad. Ejercicio 1: Expresá en forma decimal: 16 hm2 27m2 = 9 ha 246 m2 184 cm2 = 36 ha 5a = 24 ca = Ejercicio 2: Completá: 4,96 m2 = hm2 0,0381 ha = ca 0,0075 km2 = cm2 395 a = ha m2 5,20 cm2 = m2 4,38 ha = 2,071dm2 = dam2 395 cm2 = a POLÍGONOS REGULARES Un polígono es regular cuando tiene todos sus lados y ángulos iguales. Solamente para esta clase de polígonos se definen dos nuevos elementos: el centro y la apotema. El centro de un polígono regular es el punto que se halla a igual distancia de los vértices. La apotema es el segmento perpendicular trazado desde el centro a cualquiera de los lados. Página 5 de 24 Materia: “Introducción a la Física” También se puede definir la apotema como el segmento determinado por el centro y el punto medio de uno de los lados. El perímetro de un polígono regular se obtiene multiplicando la longitud de un lado por el número de lados. P = n.l (con l: longitud de un lado y n: número de lados) El área de un polígono regular es: A= pa 2 Donde A es el área del polígono regular, p es el perímetro y a es la apotema. Todos los vértices de un polígono regular están sobre una circunferencia cuyo centro es el centro del polígono. Decimos que el polígono regular está inscripto en esa circunferencia. Para trazar un polígono regular, construimos una circunferencia y dividimos el ángulo central de 360° en tantos ángulos iguales como lados tenga el polígono. Luego trazamos esos ángulos y las intersecciones de los lados con la circunferencia son los vértices del polígono, que quedará construido uniendo dichos vértices en forma consecutiva. En el heptágono regular de la figura hemos señalado el radio de la circunferencia en que el heptágono está inscripto en verde y la apotema de uno de sus lados en azul. En el siguiente dibujo mostramos la circunferencia en la que el heptágono está inscripto. Página 6 de 24 Materia: “Introducción a la Física” Para trazar un hexágono regular, por ejemplo, dividimos 360° por 6, trazamos los ángulos centrales de 60° y las intersecciones de los lados de esos ángulos con la circunferencia, son los vértices del polígono, que queda determinado al unir en forma consecutiva dichos vértices. Los vértices del polígono pueden determinarse en la práctica transportando a partir de uno de ellos, la medida de arcos iguales con un compás. En la figura siguiente mostramos un hexágono regular, la circunferencia a partir de la cual se puede construir, los segmentos que unen el centro con cada uno de los vértices (radios de la circunferencia “madre”) y las apotemas. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO 1. Tomá un plato redondo Con un piolín y con mucho cuidado, rodeá el plato una sola vez y cortá el hilo. Medí la longitud del hilo cortado estirado, que es la longitud del borde exterior del plato, es decir la longitud de la circunferencia. Volcá el resultado en la tabla. Marcá aproximadamente el centro del plato, medí el diámetro, volcá el resultado en la tabla y observá: ¿Cuántas veces entra el diámetro del plato en el hilo? 2. Repetí la misma experiencia con otros objetos circulares de distinto tamaño. ¿Qué comprobás? 3. Anotá los resultados en el siguiente cuadro y efectuá el cálculo indicado en la última columna de la tabla. OBJETO LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA DIÁMETRO LONG. CIRCUNF DIÁMETRO --------------- --------------- --------------- --------------- --------------- --------------- Plato --------------- ------------------------------------------Si has trabajado bien, habrás obtenido aproximadamente 3,1... --------------- Página 7 de 24 Materia: “Introducción a la Física” Entonces: La relación constante entre la longitud de la circunferencia y el diámetro se denomina con la letra griega (pi). = 3,14 = 3,1416......... en la práctica longitud de la circunferencia diámetro = Por lo tanto: . Diámetro = .d O bien, Longitud de la circunferencia = . 2 radios = .2r Longitud de la circunferencia = = 2. .r SUPERFICIES Partimos de la superficie del rectángulo Sup. Triángulo = Sup. Rectángulo 2 Sup. Triángulo = bh 2 Página 8 de 24 Materia: “Introducción a la Física” Sup.Rectáng = base . altura pero, como se observa en el dibujo, en este caso la base del rectángulo es = B + b Luego: Sup.Rectáng = B b.h Y como también se ve en el dibujo, la superficie de cada trapecio es la mitad de la del rectángulo, por lo tanto: Sup. Trap = B b h 2 Página 9 de 24 Materia: “Introducción a la Física” ROMBO Sup. Rombo = 1 Sup. Rectángulo 2 Base rectángulo = d (sm en el dibujo) altura = D (pq en el dibujo) d: diagonal menor D: diagonal mayor Por lo tanto: Sup. Rombo = Dd 2 lo mismo para el romboide UN CUADRILÁTERO MUY ESPECIAL El CUADRADO Página 10 de 24 Materia: “Introducción a la Física” ESTABLECEMOS DIFERENCIAS ¿Cómo calculamos la superficie del círculo? Consideramos el círculo como un polígono regular de infinito número de lados. Entonces: (1) polígono regular = perímetro . apotema 2 Y perímetro = longitud de la circunferencia apotema = radio (sólo en este caso) Reemplazando en (1) Superficie del círculo = Longitud de la circunf . radio 2 Luego: 1 .2.r.r Superficie del círculo = 2 .r 2 1 Para que recuerdes: Long. Circunf. ..d ó Superficie del círculo 2. .r .r 2 Página 11 de 24 Materia: “Introducción a la Física” Actividad 2: En este momento realizá la siguiente actividad. Ejercicio 1: Dado un círculo de 3 cm de radio, hallá: Superficie del círculo en centímetros cuadrados. Perímetro en milímetros. Superficie del sector circular de 42º. Longitud del arco correspondiente a dicho sector. La superficie en centímetros cuadrados que tendrá la corona circular determinada por el círculo dado y la circunferencia concéntrica de 2 cm de radio. Ejercicio 2: De una cartulina como la que indica la figura debo obtener el mayor número posible de círculos como el dado. ¿Cuántos círculos puedo construir? ¿Cuántos centímetros cuadrados de cartulina me sobran? Dato: el diámetro del círculo es 6 cm. Sugerencia: “Ubicá” los círculos sobre la cartulina y tratá de responder la primera pregunta sin calcular ningún área. EL TEOREMA DE PITÁGORAS Ya nadie duda del origen empírico de la geometría. Las primeras culturas sobre nuestro planeta utilizaron conceptos geométricos quizá sin tener conciencia de ello. Todos sus trabajos en este campo eran resultado de la experiencia y con el fin de resolver problemas reales que los aquejaban. Así, los antiguos egipcios sabían que si “armaban” un triángulo cuyos lados tuvieran 3, 4 y 5 unidades de longitud respectivamente, los lados más pequeños serían perpendiculares y utilizaron este conocimiento para solucionar un problema con que se encontraban cada año: las inundaciones del valle del río Nilo borraban todos los límites de las propiedades de cultivo. Era necesario demarcar los terrenos y lo hicieron usando una soga con trece nudos igualmente espaciados, que tensaban para formar un triángulo rectángulo como el de la figura: Página 12 de 24 Materia: “Introducción a la Física” Había otros triángulos rectángulos como el que tiene lados de 5,12 y 13 unidades de longitud y se había observado que en ambos triángulos se cumplía que el cuadrado del lado mayor (hipotenusa) era igual a la suma de los cuadrados de los otros dos (catetos), es 2 decir: 3 + 42 = 52 y 52 + 122 = 132 Sin embargo, los egipcios acumularon este y otros conocimientos matemáticos como un conjunto de meras recetas prácticas con fines utilitarios. Hubo que esperar el surgimiento de ideas nuevas respecto al modo de adquirir conocimiento y especialmente al modo de justificarlo. Y estas nuevas ideas surgieron en el pueblo griego, que convirtió a la geometría en una ciencia deductiva. En particular, quien generalizó la propiedad que vimos más arriba y logró demostrarla fue Pitágoras. Pitágoras fue un místico y aristócrata que mezcló su ciencia con cierta religión y magia. Vivió entre los años 584 y 495 a.C. Nació en una isla del mar Egeo, estudió desde muy joven bajo la dirección de Tales. A instancia de éste, viajó por Egipto, y se dice que, mientras observaba las longitudes de las sombras proyectadas por los pilares de los templos, se interesó por primera vez en demostrar la relación general entre los lados de un triángulo rectágulo. En la actualidad se conocen muchas y muy variadas formas de demostrar el Teorema de Pitágoras. Elegí esta demostración por su simplicidad y gran poder visual de convicción. El teorema sostiene que: en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Consideremos un triángulo rectángulo como el de la figura, en el que hemos llamado a y b a los catetos y c a la hipotenusa. Construimos ahora dos cuadrados de lado a + b que dividimos como lo indican las figuras. Tomate un tiempo para observar los cuadrados y comprender las divisiones realizadas. Página 13 de 24 Materia: “Introducción a la Física” Comprenderás que los dos cuadrados tienen la misma área (porque la longitud de sus lados es la misma). Además, observá que en cada cuadrado han quedado formados cuatro triángulos iguales al original (los coloreados en los dibujos). Podemos deducir entonces que si en cada cuadrado, al área total le restamos el área de estos cuatro triángulos el área restante deberá ser igual. Pero el área restante en el primer cuadrado es el del cuadrado de lado c y en el segundo es la suma de las áreas de los cuadrados de lados b y a (En los dibujos estos cuadrados se han dejado en blanco). Con lo cual queda demostrado lo que queríamos, simbólicamente: c2 = a2 + b2 Actividad 3: En este momento realizá la siguiente actividad. a) Completá el siguiente cuadro en el que c es la hipotenusa del triángulo rectángulo. a2 9cm2 81cm 2 b2 36cm2 100cm2 c2 25cm2 100cm2 b) Completá la siguiente tabla, teniendo en cuenta la anterior: Página 14 de 24 Materia: “Introducción a la Física” a b c ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS FIGURAS 1) En todo triángulo isósceles la altura correspondiente al lado desigual divide al triángulo en dos triángulos rectángulos iguales de los que la altura es su cateto común. La altura ha es mediana del lado a y bisectriz del ángulo . 2) Las diagonales. Observá en los siguientes dibujos. En un rombo las diagonales son perpendiculares y se cortan mutuamente en partes iguales. En un cuadrado, además, las diagonales son iguales. En un rectángulo las diagonales son iguales y se cortan mutuamente en partes iguales, pero no son perpendiculares. En un romboide la diagonal mayor es mediatriz de la menor. En un paralelogramo, las diagonales se cortan en su punto medio. Página 15 de 24 Materia: “Introducción a la Física” 3) Los ángulos interiores. Observá en los dibujos anteriores. En un paralelogramo (y en un rombo) los ángulos opuestos son iguales. En los rectángulos y cuadrados los cuatro ángulos son iguales. En un romboide, los ángulos cuyos lados son desiguales, son iguales. En un trapecio, los ángulos consecutivos cuyos lados son el mismo lado no paralelo del trapecio y una de las bases, son suplementarios. Actividad 4: En este momento realizá la siguiente actividad. Ejercicio 1: Una casa de departamentos tiene 16 pisos de 3 m de altura c/u. Otra casa de la misma altura tiene 15 pisos. ¿Cuál es la altura de cada piso? Ejercicio 2: En una sala de espectáculos, de los 360 asistentes, los 2 son niños. 5 Respondé: a. ¿Cuántos mayores asisten? b. Si a la función nocturna concurren 1 más de espectadores. ¿Cuál es el total de 3 personas? c. Si las localidades vendidas para dicha función representan 8 de la capacidad total de 9 la sala. ¿Cuántas localidades quedan vacías? Página 16 de 24 Materia: “Introducción a la Física” Ejercicio 3: Calculá el perímetro de la circunferencia y la superficie del círculo de la siguiente figura, sabiendo que el lado del cuadrado es de 3m. (Ayudita: usá el teorema de Pitágoras.) Actividad 5: En este momento realizá la siguiente actividad. Resolvé los siguientes problemas: Ejercicio 1: Se apoya una escalera de 7m de longitud sobre el extremo superior de un muro vertical. La distancia medida sobre el piso desde el extremo inferior de la escalera a la pared es de 3,6m. ¿Cuál es la altura aproximada del muro? Ejercicio 2: Un barco sale del puerto A y recorre 36km hacia el Sur. Allí cambia de rumbo y se dirige hacia el Oeste, para arribar al puerto B localizado a 60km en línea recta del puerto A. ¿Qué distancia debió navegar hacia el Oeste? Ejercicio 3: ¿Cuál es la diagonal de un cuadrado cuyo perímetro es 48m? Ejercicio 4: ¿Qué superficie tiene un cuadrado si su diagonal mide 10m? Ejercicio 5: En un triángulo isósceles, cada uno de los lados iguales mide 5m y cada uno de los ángulos iguales es de 45°. Calculá: a) La base del triángulo. b) La altura c) El perímetro. d) La superficie. Ejercicio 6: Página 17 de 24 Materia: “Introducción a la Física” En un terreno rectangular, el ancho es la cuarta parte del largo y la diagonal del terreno mide 52m. Calculá: a) El perímetro del terreno. b) La superficie. Ejercicio 7: En un trapecio rectángulo la altura mide 2,8cm y sus bases 7cm y 4,9cm respectivamente. Calculá: a) La longitud del otro lado b) El perímetro c) La superficie Ejercicio 8: El perímetro de un trapecio isósceles es de 64cm, la base mayor es de 24 cm y la menor es las tres cuartas partes de la mayor. Calculá: a) La altura del trapecio b) La superficie Página 18 de 24 Materia: “Matemática” Unidad Didáctica 5 Perímetros y superficies Resumen Las unidades fundamentales de longitud, peso y capacidad son: el metro (m), el gramo (g) y el litro (l) respectivamente. Para los submúltiplos se utilizan los prefijos: Deci (la décima parte de la unidad) Centi (la centésima parte de la unidad) Mili (la milésima parte de la unidad) Para los múltiplos se utilizan loa prefijos: Deca (diez unidades) Hecto (cien unidades) Kilo (mil unidades) En la siguiente tabla resumimos las fórmulas para calcular los perímetros y áreas de las principales figuras estudiadas: Página 19 de 24 Materia: “Matemática” Unidad Didáctica 5 Perímetros y superficies Actividades (Respuestas) Actividad 1: Ejercicio 1: Expresá en forma decimal: 16 hm2 27m2 = 16,0027m2 9 ha 246 m2 184 cm2 = 246,0184cm2 36 ha 5a = 9,05ha 24 ca = 36,0024ca Ejercicio 2: Completá: 4,96 m2 = 0,000496hm2 0,0381 ha = 381ca 0,0075 km2 = 75000000cm2 5,20 cm2 = 0,00052 395 a = 3,95ha m2 4,38 ha = 43800m2 2,071dm2 = 0,0002071dam2 395 cm2 = 0,000395a Actividad 2: Ejercicio 1: 28,26cm2. 188,4mm. 3,297 cm2. 2,198cm = 21,98mm. 15,7cm2. Ejercicio 2: Se pueden construir 8 círculos. Sobran 73,92 cm2 de cartulina. Nota: en esta y en todas las respuestas tomamos Actividad 3: a) a2 9cm2 64cm2 81cm2 b2 16cm2 36cm2 100cm2 c2 25cm2 100cm2 181cm2 b 4 6 10 c 5 10 13,45 = 3,14. b) a 3 8 9 Página 20 de 24 Materia: “Matemática” Unidad Didáctica 5 Perímetros y superficies Actividad 4: Ejercicio 1: Respuesta: 3,2m Ejercicio 2: a) Asisten 216 mayores. b) A la función nocturna asisten 480 personas. c) Quedan 60 localidades vacías. Ejercicio 3: a) Radio aproximado de la circunferencia: 2,12m2 b) Superficie aproximada: 141124cm2 c) Perímetro aproximado: 133,1dm Actividad 5: a) b) c) d) Ejercicio 1: La altura aproximada del muro es 6m. Ejercicio 2: Debió navegar hacia el Oeste 48km. Ejercicio 3: La diagonal del cuadrado es 16,97m. Ejercicio 4: La superficie del cuadrado es 50m2. Ejercicio 5: La base del triángulo es 7,07m. La altura es 3,53m El perímetro es 17,07m. La superficie es 12,48m2. Ejercicio 6: a) El perímetro del terreno es 126,12m. b) La superficie es 636,17m2. Ejercicio 7: a) La longitud del otro lado es 3,5cm. b) El perímetro es 18,2cm c) La superficie es 16,66cm2. Ejercicio 8: a) La altura del trapecio es 10,58cm. b) La superficie es 222,18cm2 Página 21 de 24 Materia: “Matemática” Unidad Didáctica 5 Perímetros y superficies Autoevaluación 1) ¿Qué significa SIMELA? 2) Completá: a. 3,9m = ... hm b. 0.0053km = c. 5692cm = ... ... dm km d. 0,0067hm2 = … m2 e. 483,79cm2 = … dam2 f. 45,37km2 = … cm2 g. 4,785km3 = … dam3 h. 0,00037dam3 = … i. 18,9cm3 = … m3 j. 0,056kg = … g k. 6739cg = l. … 4859mg = kg … m. 47,49cl = dag … l n. 25,7 l = … ml o. 4,85hl = … ml p. 6,45ca = … a q. 12,5km2 = r. 350 ha = … … cm3 ha m2 3) Se ha comprado un terreno rectangular de 24m de frente por 50m de fondo. a. Se lo desea cercar con tres vueltas de alambre, ¿cuántos rollos de 60m de longitud habrá que comprar?, ¿sobra algo de alambre?, ¿cuánto? b. Se lo desea parquizar con panes de gramilla de 20cm X 20cm, ¿cuántos panes habrá que comprar? Página 22 de 24 Materia: “Matemática” Unidad Didáctica 5 Perímetros y superficies 4) En la figura, ab = 12 cm, bc = 6cm y cd = 20cm Calcula: a. El área del rectángulo abce b. El área del triángulo aed c. El perímetro del triángulo aed (ayudita: deberás utilizar el teorema de Pitágoras en un cálculo previo). d. El área y el perímetro del trapecio de la figura Página 23 de 24 Materia: “Matemática” Unidad Didáctica 5 Perímetros y superficies Autoevaluación (Respuestas) 1. SIMELA, significa sistema métrico legal argentino. 2. Completá: a. a 3,9m = 0,039 hm b. 0.0053km = 53 dm c. 5692cm = 0,05692 km d. 0,0067hm2 = 67 m2 e. 483,79cm2 = f. 45,37km2 = 0,0000048379 dam2 453700000000 cm2 g. 4,785km3 = 4785000 dam3 h. 0,00037dam3 = 370000 cm3 i. 18,9cm3 = 0,0000189 m3 j. 0,056kg = 56 g k. 6739cg = 0,06739 kg l. 4859mg = 0,4859 dag m. 47,49cl = n. 25,7 l = 0,4749 l 25700 ml o. 4,85hl = 485000 ml p. 6,45ca = 0,0645 a q. 12,5km2 = 1250 ha r. 350 ha = 3500000 m2 3. a. Habrá que comprar 8 rollos y sobran 36m de uno de ellos. b. Habrá que comprar 30000 panes de gramilla. 4. a. b. c. d. El El El El área del rectángulo abce es 72 cm2 área del triángulo aed es 24 cm2 perímetro del triángulo aed 24 cm área del trapecio es 96 cm2 y el perímetro es 48 cm Página 24 de 24