Unidad I. Teoría de decisiones. Introducción. La teoría de

Unidad I. Teoría de decisiones.
Introducción.
La teoría de decisiones proporciona un marco de referencia para el análisis de una amplia
variedad de problemas administrativos. El marco de referencia establece (1) un sistema de
clasificación de los problemas de decisión, basado en la cantidad de información que está
disponible respecto al problema; (2) un criterio de decisión, o sea una medida de la “bondad” de
una decisión para cada tipo de problema.
En términos generales, la teoría de decisiones trata de las decisiones contra la naturaleza. Esta
frase se refiere a una situación en la que el resultado (rendimiento) de una decisión, depende de
la acción de otro jugador (la naturaleza).
Tres clases de problemas de decisión.
Cada clase se define mediante una conjetura sobre el comportamiento de la naturaleza. Las tres
clases de decisiones son bajo certeza, riesgo e incertidumbre.
Decisiones bajo incertidumbre.
Una decisión bajo certeza es aquella en la que sabe cuál estado de la naturaleza ocurrirá. O de
otro modo, se puede pensar en un caso en el que hay un solo estado natural. Por ejemplo
supóngase que por la mañana está decidiendo si lleva paraguas al trabajo o no y que sabe con
seguridad que cuando salga de trabajar en la tarde estará lloviendo. En la tabla de retribuciones
de este problema se representa un costo de $ 7.00 por mandar el traje a la tintorería si es
sorprendido por la lluvia. Entra a la tabla con signo menos dado que es una tabla de
retribuciones. Es obvio que la decisión óptima consiste en llevar paraguas.
Decisión
Llevar paraguas
No llevarlo
Estado de la naturaleza
Lluvia
0
- 7.00
Desde el punto de vista conceptual es fácil resolver un problema que sólo tiene un estado
natural. Basta con elegir la decisión que produce el máximo rendimiento. En cambio, en la
práctica encontrar la decisión puede ser otra historia.
Una característica de muchos, si no es que la mayoría, de los problemas de decisión del
administrador, es la falta de certidumbre. Por lo tanto parece bastante claro que aquellos que
trabajan con estos problemas de la realidad, ya sea mediante la habilidad o la suerte, con
frecuencia son recompensados ampliamente por sus habilidades. En el primer libro del Antiguo
Testamento, José es ascendido de esclavo a consejero del Faraón por la exactitud con que
predijo siete años de festines y siete de hambruna1
1
Además de ser adivino certero, en virtud de su destreza para interpretar con éxito los sueños de
Faraón. José ha sido llamado el primer psicoanalista. Menos es conocido es el hecho de que José fue el
1
La teoría de decisiones proporciona alternativas de enfoques para los problemas que carecen de
certeza. Uno de dichos tratamientos se llama “decisiones bajo riesgo”. En este contexto, la
palabra “riesgo” tiene un significado estrecho y bien definido. Cuando hablamos de “decisiones
de riesgo” nos referimos a la clase de problemas de decisión para los cuales hay más de un
estado de la naturaleza y para los que tomamos la suposición de que el que toma la decisión
puede estimar la probabilidad con la que ocurrirá cada de estado de naturaleza.
Modelo de maximización.
Ejemplo.
La empresa “Arcoíris” produce pinturas para interiores como para exteriores, partir de dos
materias primas, M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los datos básicos del problema:
Toneladas de materia prima por tonelada de
Pintura para
Pintura para
exteriores
interiores
Materia prima M1
Materia prima M2
Utilidad por tonelada
(1000 dólares)
6
1
4
2
5
4
Disponibilidad
máxima diaria
(toneladas)
24
6
Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para interiores a 2
toneladas. Además la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de
pintura para exteriores por más de 1 tonelada. “Arcoíris” quiere determinar la mezcla del
producto óptima (mejor) de pinturas para interiores y para exteriores que maximice la utilidad
total diaria total.
El modelo de maximización incluye tres elementos básicos:
a) Variables de decisión que tratamos de determinar.
b) Objetivo (meta) que tratamos de optimizar.
c) Restricciones que necesitamos satisfacer.
La definición apropiada de las variables de decisión es un primer paso esencial hacia el
desarrollo del modelo. Una vez que se definen las variables, la tarea de construir la función
objetivo y las restricciones no debe ser muy difícil.
Para el problema de “Arcoíris” necesitamos determinar las cantidades que se van a producir de
pintura para interiores y para exteriores. Por consiguiente, las variables del modelo se definen
como:
primer científico de la administración. Anticipándose a la hambruna, advirtió al Faraón que construyese
medios de almacenaje para conservar inventario de grano. Cuando todo había terminado y
sobrevivieron a la hambruna preguntaron a José como había adquirido tales conocimientos y sabiduría.
“Programando los años flacos” fue la respuesta.
2
x1 = Toneladas diarias producidas de pintura para exteriores.
x2 = Toneladas diarias producidas de pintura para interiores.
Utilizando estas definiciones, la siguiente tarea es construir la función objetivo. Un objetivo lógico
para la compañía es incrementar tanto como sea posible (es decir maximizar) la utilidad total
diaria de la pintura, tanto para exteriores como interiores. Si z representa la utilidad diaria total
(en miles de dólares), obtenemos:
z = 5x1 + 4x2.
El objetivo de la compañía es:
Maximizar z = 5x1 + 4x2.
El último elemento del modelo aborda las restricciones que limitan el empleo y la demanda de
materia prima. Las restricciones de la materia prima se expresan verbalmente como:
(empleo de materia prima para ambas pinturas) ≤ (disponibilidad máxima de materia prima)
De los datos del problema resulta que:
Empleo de materia prima M1 = 6x1 + 4x2
Empleo de materia prima M2 = 1x1 + 2x2
Debido a que las disponibilidades diarias de la materia prima M1 y M2 están limitadas a 24 y 6
toneladas, respectivamente, las restricciones asociadas se expresan como:
6x1 + 4x2 = ≤ 24 (Materia prima M1)
1x1 + 2x2 ≤ 6 (Materia prima M2)
Hay dos tipos de restricciones de la demanda: (1) la demanda máxima diaria de la pintura para
interiores se limita a 2 toneladas2 y (2) el exceso de producción diaria de pintura para interiores
sobre la pintura para exteriores es cuando mucho de 1 tonelada3. La primera restricción es
directa y se expresa como x2 ≤ 2. La segunda restricción se puede traducir para expresar que la
diferencia entre la producción diaria de pinturas para interiores y para exteriores, x2 – x1, no
exceda de 1 tonelada, es decir x2 – x1 ≤ 1.
Una restricción implícita (o “que se entiende como tal”) sobre el modelo, es que las variables x1 y
x2 no deben ser negativas. Por tanto añadimos las restricciones de no negatividad, x1 ≥ 0, x2 ≥
0, para satisfacer este requerimiento.
El modelo completo de la empresa “Arcoíris” se escribe como:
2
3
(4 y 2)
(6 y 4; 2 y 1)
3
Maximizar z = 5x1 + 4x2.
6x1 + 4x2 ≤ 24
1x1 + 2x2 ≤ 6
x2 – x1 ≤ 1.
x2 ≤ 2
x1, x2 ≥ 0,
Cualquier solución que satisface todas las restricciones del modelo es una solución factible.
Por ejemplo, la solución x1 = 3 toneladas y x2 = 1 tonelada es factible porque no viola ninguna de
las restricciones, incluyendo las restricciones de no negatividad. Para verificar este resultado,
sustituimos (x1 = 3, x2 =1) en el lado izquierdo de cada restricción, para asegurarnos de que se
satisfagan las desigualdades. Por ejemplo, en la primera restricción 6x1 + 4x2
6 x 3 + 4 x 1 = 22, que es menos que el lado derecho de la restricción (=24)
El valor de la función objetivo asociada con la solución (x1 = 3, x2 =1) es z = 5 x 3 + 4 x 1 = 19
(miles de dólares)
Desde el punto de vista de todo el modelo, lo que en realidad nos interesa es la solución factible
óptima que produce la máxima utilidad total. Si reflexiona usted un poco, deberá concluir que el
modelo tiene un número muy grande (de hecho infinito) de soluciones factibles.
La determinación de la solución óptima requiere la identificación de la dirección en la cual
incrementa la función de la utilidad z = 5x1 + 4x2 (recuerde que estamos maximizando z). De
manera que los valores de x1 y x2 se determinan resolviendo la ecuación:
6x1 + 4x2 = 24
1x1 + 2x2 = 6
La solución produce x1 = 3 y x2 = 1.5, con z = 5 x 3 + 4 x 1.5 = 21. Esto quiere decir que la
mezcla óptima diaria del producto de 3 toneladas de pintura para exteriores y 1.5 toneladas de
pintura de interiores producirá una utilidad diaria de $ 21,000.
En el ejemplo anterior, las funciones del objetivo y de las restricciones son todas lineales. En las
suposiciones de linealidad están intrínsecas las dos propiedades siguientes:
1. Proporcionalidad, que requiere que la contribución de cada variable de la decisión, tanto
de la función del objetivo como en las restricciones, sea directamente proporcional al
valor de la variable. Por ejemplo “Arcoíris” otorga descuentos por cantidad cuando las
ventas exceden cierto límite, entonces los ingresos ya no serán proporcionales a la
cantidad de ventas.
2. Aditividad, que estipula que la contribución total de todas las variables en la función del
objetivo y en las restricciones sea la suma directa de la contribución individual de cada
4
variable. Por ejemplo, dos productos competidores, en donde un incremento en el nivel
de ventas de un producto afecta en forma adversa el del otro, no satisface la propiedad
de aditividad.
Modelo de minimización.
La empresa “Alimentos balanceados” utiliza diariamente por lo menos 800 libras. El alimento
especial es una mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes composiciones:
Alimento para ganado
Maíz
Semilla de soya
Libra por libra de alimento por ganado
Proteínas
Fibra
Costo (/libra)
0.09
0.02
0.30
0.60
0.06
0.90
Los requerimientos dietéticos diarios del alimento especial estipulan por lo menos un 30% de
proteínas y cuando menos un 5% de fibra. La empresa “Alimentos balanceados” desea
determinar el costo mínimo diario de la mezcla de alimentos.
Debido a que la mezcla de alimentos consiste de maíz y semilla de soya, las variables de
decisión del modelo se definen como:
x1 = libras de maíz en la mezcla diaria.
x2 = libras de semilla de soya en la mezcla diaria.
La función objetivo trata de minimizar el costo diario total (en dólares) de la mezcla de alimento y
se expresa como:
Minimice z = 0.3x1 + 0.9x2
Las restricciones del modelo deben de reflejar la cantidad diaria necesaria y los requerimientos
dietéticos. Debido a que “Alimentos balanceados” necesita 800 libras de alimento al día, la
restricción asociada se puede expresar como:
x1 + x2 ≥ 800
La restricción del requerimiento dietético de proteínas se desarrolla después. La cantidad de
proteínas incluida en x1 libras de maíz y x2 libras de semilla de soya es (0.09x1 + 0.6x2) libras.
Esta cantidad debe ser igual por lo menos a 30% de la mezcla total de alimento (x1 + x2) libras, lo
que por tanto nos da:
0.09x1 + 0.6x2 ≥ 0.30 (x1 + x2)
De manera similar, la restricción de fibras se construye como:
0.02x1 + 0.06x2 ≤ 0.05 (x1 + x2)
Las restricciones anteriores se simplifican agrupando todos los coeficientes de x1 y x2 en el lado
izquierdo de cada desigualdad. De manera que el modelo completo se convierte en
5
Minimice z = 0.3x1 + 0.9x2
Sujeta a
x1 + x2 ≥ 800
0.21x14 - 0.30x25 ≤ 0
0.03x16 + 0.01x27 ≥ 0
x1, x2 ≥ 0
Probando x1 = 470.6 libras y x2 = 329.4 libras = 800
z = $ 437.64.
Debido a que este modelo busca la minimización de la función objetivo, necesitamos reducir el
valor de z tanto como sea posible.
4
= (0.30x1 – 0.09x1)
= (0.30x2 – 0.60x2)
6
= (0.05x1 – 0.02x2)
7
= (0.05x1 – 0.06x2)
5
6