DOSSIER MATEMATICA 2015

NIVEL TERCIARIO
CUADERNO
DE
MATEMÁTICA
Docentes:
Prof. Alvarenga Elva
Prof. Caballero Luis
Prof. Sandoval Enrique
Prof. Vargas Javier
-2015-
ESCUELA NORMAL SUPERIOR REPÚBLICA DEL PARAGUAY
PROFESORADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA
PROGRAMA DE MATEMÁTICA – 1ER AÑO – CICLO 2015
UNIDAD N° 1: Sistemas de numeración.
Breve historia de los sistemas de numeración en las civilizaciones primitivas. Concepto de base.
Sistemas de numeración aditivos: el sistema de numeración egipcio. El sistema de numeración
griego. Sistemas de numeración híbridos: el sistema de numeración chino. Sistemas de numeración
posicionales: el sistema de numeración babilónico. El sistema de numeración maya. El sistema de
numeración romano. El sistema decimal. Sistemas posicionales y no posicionales.
UNIDAD N° 2: Sistema de numeración decimal y binario
Sistema de numeración decimal. Símbolos. Reglas.
Descomposición de un número.
Descomposición polinómica. Sistema de numeración binaria. Cambios de base de numeración.
UNIDAD N° 3: Conjunto de números naturales N
Conjunto N. Características y propiedades del conjunto de números naturales. Representación en la
recta numérica. Adición de números naturales. Propiedades de la adición. Sustracción de números
naturales. Propiedades de la sustracción. Suma algebraica. Supresión de paréntesis. Multiplicación
de números naturales. Propiedades de la multiplicación. División de números naturales. Propiedades
de la división. Potenciación de números naturales. Propiedades de la potenciación. Radicación de
números naturales. Propiedades. Operaciones combinadas. Ecuaciones. Lenguaje algebraico,
lenguaje simbólico y lenguaje coloquial. Ecuaciones. Propiedad uniforme. Transposición de
términos. Verificación de resultados.
UNIDAD N° 4: Divisibilidad en N
División entera. Divisibilidad. Múltiplos y divisores. Números primos y números compuestos.
Criterios de divisibilidad. Descomposición de un número en sus factores primos. Máximo común
divisor y mínimo común múltiplo. Algoritmo de Euclides.
UNIDAD N° 5: Conjunto de números racionales positivos Q+
Números racionales positivos. Conjunto Q+. La fracción, distintos significados: como cociente,
como parte de un todo, como operador, como indicadora de probabilidad. Fracción propia y
fracción impropia. Fracciones equivalentes. Simplificación y amplificación. Orden en el conjunto
Q+. Representación en la recta numérica. Fracciones decimales. Expresiones decimales, exactas y
periódicas. Conversiones. Operaciones con fracciones. Adición, sustracción, multiplicación,
división, potenciación y radicación. Propiedades. Operaciones con expresiones decimales.
Ecuaciones.
UNIDAD N° 6: Proporcionalidad Directa e Inversa.
Razón y proporción numérica: razón entre dos números. Proporción numérica. Magnitudes
directamente proporcionales e inversamente proporcionales. Constante de proporcionalidad.
Representación gráfica. Regla de tres simple directa. Regla de tres simple inversa.
UNIDAD N° 7: Geometría y medida.
Geometría. Punto, conjuntos de puntos, recta, semirrecta, segmento, plano, semiplano. Posiciones
relativas de dos rectas. Trazado de rectas. Mediatriz de un segmento. Ángulos en el plano.
Operaciones con unidades angulares. Suma, resta, multiplicación y división. Bisectriz de un ángulo.
Relaciones entre dos ángulos. Ángulos consecutivos, ángulos complementarios, ángulos
suplementarios, ángulos adyacentes, ángulos opuestos por el vértice.
UNIDAD N° 8: Triángulos
Definición. Elementos, construcción, clasificación, propiedades de sus lados y sus ángulos
interiores y exteriores. Relaciones entre lados y ángulos. Área y perímetro. Medianas de un
triángulo, mediatrices, bisectrices y alturas. Puntos notables, baricentro, incentro, circuncentro y
ortocentro. Propiedades de los triángulos isósceles. Teorema de Pitágoras.
UNIDAD N° 9: Cuadriláteros
Cuadriláteros. Clasificación. Construcción. Área y perímetro. Paralelogramo. Rectángulo. Rombo.
Romboide. Cuadrado. Trapecio. Ángulos interiores de un cuadrilátero.
UNIDAD N° 10: Polígonos
Polígonos. Medidas en los polígonos regulares. Construcción de polígonos regulares.
Circunferencia y círculo.
UNIDAD N° 11: Cuerpos
Cuerpos. Características. Medidas. Elementos. Poliedros y cuerpos redondos. Área de poliedros.
Prismas. Desarrollo y área. Volumen. Pirámides. Tronco de pirámide. Poliedros regulares. Cuerpos
de revolución. Cilindro. Cono. Esfera. Tronco de cono. Volumen de poliedros y de cuerpos de
revolución.
UNIDAD N° 12: Estadística y probabilidad.
Estadística. Variables. Tablas de distribución de frecuencias. Gráficos. Medidas de centralización.
Probabilidad. Gráficos estadísticos.
BIBLIOGRAFÍA
1) GARAVENTA-LEGORBURU-RODAS (2002): “Carpeta de Matemática 7”. Editorial Aique
Grupo Editor.
2) GARAVENTA-LEGORBURU-RODAS-TURANO (2004): “Carpeta de Matemática 8”. Editorial
AIQUE GRUPO EDITOR
1) AMENEDO-CARRANZA-DIÑEIRO-GRAU-LATORRE (1997): “Matemática 1”. Editorial
Santillana.
2) MATEMÁTICA, 1, 2 de Nelly V. De Tapia y otros. Editorial Estrada.
3) MATEMÁTICA 7, 8 y 9. Susana Semino y otros. A-Z Editora.
4) DIVISIBILIDAD. Modesto Sierra y otros. Editorial Síntesis.
5)
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA. Editorial Síntesis.
6)
SERIE DE LIBROS DE EDICIONES NOVEDADES EDUCATIVAS.
CAMPO
NUMÉRICO
SISTEMAS NUMÉRICOS
Un sistema numérico es una forma de representación de los números, son construcciones
conceptuales, los forjo el hombre en el seno de distintas culturas con el objeto de contabilizar,
enumerar, ordenar, etc. Cada sistema surgió fundamentalmente de necesidades prácticas, de
problemas concretos.
El primer procedimiento aritmético de contabilización es el denominado de correspondencia unidad
por unidad o correspondencia biunívoca, que permitía comparar dos colecciones de objetos.
Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en
una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la
cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.
En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se
alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este
número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el
número anterior y se añade otra marca de la segunda clase. , se añade una de tercer orden y así
sucesivamente.
La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser
ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son la
numeración babilónica que usaba 60 como base y la numeración maya que usaba 20 aunque con
alguna irregularidad.
Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas,
centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la
forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance
científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.
Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos
pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar
grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de símbolos que los hace poco prácticos.
Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación,
requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados.
El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes.
Sistemas de Numeración Aditivos
Para ver cómo es la forma de representación aditiva consideremos el sistema jeroglífico egipcio.
Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco y por
cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un jeroglífico específico. Así para escribir
754 usaban 7 jeroglíficos de centenas 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades
están físicamente presentes. Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas
las unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características
es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido
una determinada disposición. Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60),
hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y
árabes.
El Sistema de Numeración Egipcio
Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema describir los números en base diez
utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos órdenes de unidades.
Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda
a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso.
Al ser indiferente el orden se escribían a
veces según criterios estéticos, y solían ir
acompañados
de
los
jeroglíficos
correspondientes al tipo de objeto
(animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo
número indicaban.
Estos signos fueron utilizados hasta la
incorporación de Egipto al imperio
romano.
El Sistema de Numeración Griego
El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base
decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban
tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.
Para representar la unidad y los
números hasta el 4 se usaban
trazos verticales. Para el 5, 10 y
100 las letras correspondientes a
la inicial de la palabra cinco
(pente), diez (deka) y mil
(khiloi)..
El Sistema de Numeración Romano
Es un sistema de numeración que usa letras mayúsculas a las que se ha asignado un valor numérico.
Este tipo de numeración debe utilizarse lo menos posible, sobre todo por las dificultades de lectura
y escritura que presenta.
Reglas:
La numeración romana utiliza siete letras mayúsculas a las que corresponden los siguientes valores:
Letras
I
V
X
L
C
D
M
Valores
1
5
10
50
100
500
1.000
Si a la derecha de una cifra romana de escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la
anterior. Ejemplos: VI = 6; XXI = 21; LXVII = 67
La cifra "I" colocada delante de la "V" o la "X", les resta una unidad; la "X", precediendo a la "L" o
a la "C", les resta diez unidades y la "C", delante de la "D" o la "M", les resta cien unidades.
Ejemplos: IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900
En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas. En la antigüedad se
ve a veces la "I" o la "X" hasta cuatro veces seguidas. Ejemplos: XIII = 13; XIV = 14; XXXIII =
33; XXXIV = 34
La "V", la "L" y la "D" no pueden duplicarse porque otras letras ("X", "C", "M") representan su
valor duplicado. Ejemplos: X = 10; C = 100; M = 1.000
Si entre dos cifras cualesquiera existe otra menor, ésta restará su valor a la siguiente. Ejemplos: XIX
= 19; LIV = 54; CXXIX = 129
El valor de los números romanos queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales
se coloquen encima de los mismos. Ejemplos: M = 1.000.000
Algunos Números Romanos
1=I
2 = II
3 = III
4 = IV
5=V
6 = VI
7 = VII
8 = VIII
9 = IX
10 = X
11 = XI
12 = XII
13 = XIII
14 = XIV
15 = XV
16 = XVI
17 = XVII
18 = XVIII
19 = XIX
20 = XX
21 = XXI
29 = XXIX
30 = XXX
31 = XXXI
39 = XXXIX
40 = XL
50 = L
51 = LI
59 = LIX
60 = LX
61 = LXI
68 = LXVIII
69 = LXIX
70 = LXX
71 = LXXI
74 = LXXIV
75 = LXXV
77 = LXXVII
78 = LXXVIII
79 = LXXIX
80 = LXXX
81 = LXXXI
88 = LXXXVIII
89 = LXXXIX
90 = XC
91 = XCI
99 = XCIX
100 = C
101 = CI
109 = CIX
114 = CXIV
149 = CXLIX
399 = CCCXCIX
400 = CD
444 = CDXLIV
445 = CDXLV
449 = CDXLIX
450 = CDL
899 = DCCCXCIX 900 = CM
989 = CMLXXXIX
990 = CMXC
999 = CMXCIX
1.000 = M
1.010 = MX
1.050 = ML
Sistemas de Numeración Híbridos
En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los
sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los híbridos utilizan la combinación del
5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos para los números más
complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un símbolo para el 0. Para representar el 703 se usa
la combinación del 7 y el 100 seguida del 3.
El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones, se dan así los
pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100 etc. se repiten siempre en los
mismos lugares, pronto alguien piensa en suprimirlos, dándolos por supuestos y se escriben sólo las
cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero para ello es necesario un cero, algo que
indique que algún orden de magnitud está vacío y no se confundan el 307 con 370, 3070 ...
Además del chino clásico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo y el etíope.
El Sistema de Numeración Chino
La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C.
aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de
10. Utiliza los ideogramas de la figura:
Usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar
para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000. El orden de escritura se hace
fundamental.
Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo
aunque también se hace de izquierda a derecha
como en el ejemplo de la figura. No es necesario
un símbolo para el cero siempre y cuando se
pongan todos los ideogramas.
Por ejemplo, en el sistema Chino el Nº 7.829 se escribe:
Si utilizaran un sistema posicional, se escribiría de modo más reducido:
Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Para los documentos
importantes se usaba una gráfica más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores.
Sistemas de Numeración Posicionales
En ellos la posición de una cifra nos dice si son decenas, centenas... o en general la potencia de la
base correspondiente. Sólo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este
tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia del
cero impidió a los chinos un desarrollo completo hasta la introducción del mismo. Los sistemas
babilónico y maya no eran prácticos para operar porque no disponían de símbolos particulares para
los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena. Los
mayas por su parte cometían una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás
de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los números al calendario, una
de sus mayores preocupaciones culturales.
Fueron los indios antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin
más que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Los árabes
transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cálculo asociado a ellas, aunque
tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez más se produjo una gran resistencia a algo por el
mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes.
El Sistema de Numeración Babilónico
Entre la muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos
sistemas de numeración; se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para
números superiores.
Para la unidad se usaba la marca
vertical que se hacía con el punzón en
forma de cuña. Se ponían tantos como
fuera preciso hasta llegar a 10, que
tenía su propio signo.
De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.
A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando
sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así sucesivamente como en los
ejemplos que se acompañan.
El Sistema de Numeración Maya
Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba
por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que
se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la
misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.
Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo
signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar
el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado.
Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de
magnitud mayor.
Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero,
con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo
usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo
usaron simplemente para indicar la ausencia
TRABAJO PRÁCTICO N° 1: SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Ejercicio n° 1: Escriba los siguientes números usando el sistema solicitado
NUMERO
EGIPCIO
GRIEGO
ROMANO
CHINO
87
714
2498
13054
NUMERO
BABILONICO
MAYA
1549
10304
Ejercicio n° 2: Traduce los siguientes números al sistema decimal:
Egipcio
=
=
Chino
=
=
Griego
=
=
Babilónico
=
=
Maya
=
=
SISTEMA DE NUMERACION DECIMAL
El sistema de numeración que todos conocemos y usamos en la vida diaria es un sistema decimal,
pues cuenta las cantidades de diez en diez. Esto se debe primordialmente a que los dedos de ambas
manos son diez. Así, contar los objetos es relativamente fácil al asignar un dedo por objeto y llevar
la cuenta de cuantas veces llenamos las manos (juntamos un diez o una decena). Al llenar diez
veces ambas manos hemos contado una centena. Este fue el origen de nuestro sistema de
numeración decimal tan utilizado y conocido en todo el mundo y por todas las culturas. Este
sistema lo dieron a conocer los árabes al ejercer el comercio en todo el mundo, pero se tienen
registros de que se inventó en la India. Así pues, nuestro sistema de numeración decimal y
posicional recibe también el nombre de "Sistema de numeración Indo-Arábigo".
Los Símbolos
El sistema está compuesto por diez signos que, combinándolos de determinada manera, pueden
representar a cualquier número natural. Hay estabilidad entre signos y números, es decir, a cada
número le corresponde uno y solo un signo y cada signo representa un solo número.
El sistema de numeración que utilizamos actualmente usa 10 símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9, que se
llaman cifras. Estos números formados por una sola cifra se llaman dígitos. Combinándolos de
acuerdo con ciertas reglas se pueden representar todos los números naturales. El conjunto de
símbolos y reglas constituye el sistema de numeración.
Las Reglas
El sistema de numeración decimal utiliza 10 símbolos y agrupa las unidades de 10 en 10. Por esta
razón se denomina de base 10.
10 u= 1 decena
10 d=1 centena
10c= 1 u de mil
Sistema decimal
Sistema Egipcio
1------ uno
111
1 uno
10 diez
100 cien
I--------- uno
III
1
1
1
3
Cada símbolo tiene un valor absoluto que no
depende del lugar que ocupa. Este sistema no
es posicional ( y no utiliza el cero)
Cada símbolo tiene un valor relativo que
depende del lugar que ocupa. En
consecuencia el sist. decimal es un sist.
posicional. En estos sistemas se utiliza el cero
que se escribe en el lugar correspondiente
cuando no figuran unidades de un
determinado orden.
Es un sistema de base 10, es decir, cada unidad de un orden equivale a 10 del orden anterior.
10u = 1 d ; 10d = 1 c ; 10 c= 1 u mil
Es posicional, es decir, según el lugar que ocupe la cifra en el número, representa un valor distinto.
Se escribe en orden decreciente de izquierda a derecha.
Descomposición De Un Número
El valor relativo de cada unidad se obtiene multiplicando por 10 el valor de la unidad anterior. De
esta manera puede descomponerse un número en las unidades de los distintos órdenes.
7 8 4 5
5 u
4 x10 u
8 x100 u
7 x 1000 u
=
5u
=
40 u
= 800 u
= 7.000 u
7.845 = 7 x 1.000 + 8 x 100 + 4 x 10 + 8
Descomposición Polinómica
1
10 2 = 100 10 3 = 1.000
Teniendo en cuenta que: 10 = 10
Podemos expresar que: 7.845 = 7 x 103 + 8 x 102 + 4 x 101 + 5
Esta forma se llama descomposición polinómica de un número.
SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO
El sistema de numeración más simple que usa la notación posicional es el sistema de numeración
binario. Este sistema, como su nombre lo indica, usa solamente dos dígitos (0,1). Por su simplicidad
y por poseer únicamente dos dígitos diferentes, el sistema de numeración binario se usa en
computación para el manejo de datos e información. Normalmente al dígito cero se le asocia con
cero voltios, apagado y el dígito 1 se asocia con encendido.
Como el sistema binario usa la notación posicional entonces el valor de cada dígito depende de la
posición que tiene en el número, así por ejemplo el número 110101b es:
1*(20) + 0*(21) + 1*(22) + 0*(23) + 1*(24) + 1*(25) = 1 + 4 + 16 + 32 = 53d
Existen dos dígitos (0 o 1) en cada posición del número. Numerando de derecha a izquierda los
dígitos de un número, empezando por cero, el valor decimal de la posición es 2n.
Por ejemplo,1101(2 (en base 2) quiere decir:
1 1 0 1
1 x 20
0 x 21
1 x 22
1 x 23
=
=
=
=
1
0
4
8
13
O bien: 1*(23) + 1*(22) + 0*(21) + 1*(20) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13(10
Cambios De Base De Numeración
Existe un procedimiento general para cambiar una base cualquiera a otra cualquiera:
Para pasar de una base cualquiera a base 10, hemos visto que basta con realizar la suma de los
productos de cada dígito por su valor de posición. Los valores de posición se obtienen como
potencias sucesivas de la base, de derecha a izquierda, empezando por el exponente cero. Cada
resultado obtenido se suma, y el resultado global es el número en base 10.
Para pasar de base 10 a otra base, en vez de multiplicar, dividimos el número a convertir entre la
nueva base. El cociente se vuelve a dividir por la base, y así sucesivamente hasta que el cociente sea
inferior a la base. El último cociente y los restos (en orden inverso) indican los dígitos en la nueva
base.
TRABAJO PRÁCTICO N° 2
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Ejercicio n° 1: Expresen en forma polinómica los siguientes números:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
26434 =
14002 =
5 u de mil, 8 c, 3 d, 9 u =
5 c, 3 d , 1 u =
24733 =
1538000 =
1 u de mil, 5 d =
Ejercicio n° 3: Expresen los siguientes números en el sistema binario.
1)
2)
3)
4)
41 =
155 =
3528 =
5582 =
Ejercicio n° 4: Expresen los siguientes números binarios en el sistema decimal.
a) 1110011 =
b) 101011 =
c) 110101 =
d) 10110101 =
2) 10101010 =
Ejercicio n° 5: Para hacer dibujos geométricos en una grilla de seis filas por seis columnas, una
computadora cuenta con un programa que asigna a cada cuadrado de la grilla, según esté coloreado
(1) o no (0).
Para cada fila se forma un número binario, que puede tener hasta seis cifras. El usuario debe
ingresar los números en el sistema decimal. Es decir, por cada dibujo ingresa una serie de seis
números (uno por cada fila). ¿Qué números ingresó el usuario para obtener los siguientes dibujos?
Dibujen el resultado de ingresar las siguientes series de números:
1)
42, 21, 12, 51, 21, 42
2)
32, 48, 56, 60, 62, 63
EL CONJUNTO DE LOS NATURALES
Los números naturales se representan por N.
N={1,2,3,4,5,6, . . . }
Este conjunto tiene las siguientes características:
1)
2)
Primera: existe un primer elemento, el uno.
Segunda: cada número tiene su siguiente, que es el que resulta al añadir una unidad al anterior. Por
tanto, se trata de un conjunto con infinitos elementos.
Nota Sobre El Numero Cero: Entorno al número cero hay diversidad de opiniones, según el punto
de partida de los autores. Unos lo colocan entre los números naturales (quizá denominándolo de otra
manera), y otros lo sitúan dentro ya de los números enteros (sin especificar su origen).
NATURALES: REPRESENTACIÓN Y ORDENACION
Para representar gráficamente los números naturales en una recta, se marca un punto que será el 1
A su derecha marcamos un punto, que será el siguiente del 1 es decir el 2.
A la derecha del 2, a igual distancia, señalaremos otro punto que será el 3.
Y así sucesivamente con el 4, 5, . . .
Diremos que un número natural es mayor que otro si representa más cantidad de unidades.
Esta relación se representa mediante los símbolos ">" y "<" que se leen "mayor" y "menor"
respectivamente
2 es menor que 4
23 es mayor que 12
313 es menor que 321
2 < 4
23 > 12
313 < 321
La relación mayor o menor se puede observar en la representación gráfica en el siguiente sentido:
Cuanto más a la derecha los números son mayores.
Cuanto más a la izquierda los números son menores.
Propiedades De La Suma
Propiedad Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma. a + b = b + a
Propiedad Asociativa: La suma de tres números puede hacerse de dos formas:
(a+b)+c= a+(b+c)
a) Sumando los dos primeros números y sumándole después al resultado el tercero.
b) Sumando los dos últimos números y sumándole después al resultado el primero.
Los paréntesis indican qué operación debe hacerse en primer lugar.
Elemento Neutro: El elemento neutro de la suma es el número 0.
Si consideramos al conjunto de los NATURALES unido al CERO pues cualquier número sumado
con él da como resultado ese número. a + 0 = 0 + a = a
LA RESTA DE NUMEROS NATURALES
Restar dos números naturales es hallar otro número natural con tantas unidades como resulta de
quitar a uno de ellos las unidades del otro.
La resta la expresamos con el signo “ –“ .
Para restar dos números naturales a y b es necesario que a sea mayor o igual que b.
En la resta a - b = c , a es el minuendo, b el sustraendo y c es la diferencia (c es un número
natural)
520 y 315 son dos números naturales.
520 > 315
En una resta se cumple que:
1) Minuendo = sustraendo + diferencia
2) Sustraendo = minuendo - diferencia
520 - 315 = 205  520 = Minuendo
315 = Sustraendo
205 = Diferencia
Propiedades De La Resta
La resta de números naturales no cumple ninguna de las propiedades que verifica la suma.
- No verifica la propiedad conmutativa:
5 - 3 tiene por resultado 2 y en cambio 3 - 5 ni tan siquiera se puede realizar pues el minuendo es
menor que el sustraendo.
- No verifica la propiedad asociativa:
7 - (3 - 2) = 7 - 1 = 6 no es lo mismo que (7 - 3) - 2 = 4 - 2 = 2
-No tiene elemento neutro:
5 - 0 = 5 pero 0 - 5 no se puede realizar ya que 0 < 5
La sustracción posee una propiedad que se utiliza en el algoritmo de la resta:
Si sumamos o restamos un mismo número al minuendo y sustraendo el resultado de la resta no
varía.
En la resta 8 - 3 = 5
Si sumamos tanto al minuendo como al sustraendo 12 se obtiene 20 - 15 = 5
Si restamos tanto al minuendo como al sustraendo 2 obtenemos 6 - 1 = 5
LA MULTIPLICACION DE NATURALES
Una multiplicación es una suma con todos los sumandos iguales.
Multiplicar el número natural a por el número natural b es sumar a consigo mismo b veces.
La multiplicación se expresa con ”x” o con “.“
Si a, b y c son tres números naturales y a · b = c
A los números a y b se les llama factores y al c se le llama producto.
Propiedades De La Multiplicación De Naturales
Propiedad Conmutativa: El orden de los factores no altera el valor del producto.
Esta propiedad se expresa matemáticamente: a . b = b . a
Propiedad Asociativa:
La multiplicación de tres números puede hacerse de dos formas:
(a.b).c= a.(b.c)
a) Multiplicando los dos primeros números y multiplicando después el resultado por el tercero, o
b) Multiplicando los dos últimos y multiplicando después el resultado por el primero.
Elemento Neutro: El elemento neutro del producto es el número 1, ya que cualquier número,
multiplicado por 1 da el mismo número.
Si a es un número cualquiera, esta propiedad se expresa matemáticamente así: a . 1 = 1 . a = a
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
Esta es la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.
Si a,b y c son números naturales se tiene:
a . ( b + c) = a.b + a.c
También se verifica esta propiedad respecto de la resta: a . ( b - c) = a.b - a.c
Para fabricar los muebles de un comedor, un carpintero y su ayudante tardan 14 días. Si el sueldo
del carpintero es de $ 150 diarios y el de su ayudante de $ 100., ¿qué cantidad debe pagarse en
concepto de sueldos?
Podemos realizar el cálculo de dos formas distintas:
- Sumamos el sueldo diario del carpintero y su ayudante juntos y lo multiplicamos por 14.
- Calculamos por separado el sueldo de 14 días del carpintero y el de su ayudante, y sumamos
ambas cantidades.
Factor Común
En una suma o una resta se llama factor común a un número que sea factor en todos y cada uno de
los miembros de la suma o resta.
La operación 7 · 5 - 7 · 3 + 7 · 8 consta de tres sumandos: 7 · 5, 7 · 3 y 7 · 8. En todos ellos el 7 es
un factor. El 7 es un factor común de la expresión anterior.
En una expresión, el factor común no siempre está a la vista.
5 + 15 es una suma compuesta de dos sumandos en la que aparentemente no hay ningún factor. Sin
embargo, si escribimos 5 + 15 = 5 · 1 + 5 · 3, el 5 es un factor común.
En una expresión en que haya algún factor común se llama sacar factor común a aplicar la
propiedad distributiva del producto con respecto a la suma.
Sacamos factor común en 7 · 5 - 7 · 3 + 7 · 8. El factor común es 7, luego:
Sacamos factor común en 14 + 21 - 7. Si la expresión 14 + 21 - 7 se escribe en la forma 7 · 2 + 7 · 3
- 7 · 1, se observa que el factor común es 7.
Por tanto: a.b + a.c = a . ( b + c )
LA DIVISION
Dividir es repartir en partes iguales una cantidad.
La cantidad que se reparte es el dividendo (D). El número de partes que se hacen es el divisor (d).
La cantidad que corresponde a cada parte es el cociente (c) y lo que sobra es el resto (r).
Se puede distinguir dos tipos de divisiones según sea el resto:
- Si el resto es cero la división se llama exacta.
- Si el resto no es cero la división se llama entera.
Propiedades De La División
Primera propiedad: Si se multiplican o dividen el dividendo y el divisor de una división exacta por
el mismo número, el cociente no varía.
Segunda propiedad: Si se multiplican o se dividen el dividendo y el divisor por un mismo número,
el cociente no varía, pero el resto queda multiplicado o dividido por ese número.
Consideremos la división entera
Cuando se multiplican el dividendo (60) y el divisor (8) por 2, el cociente (7) no varía, pero el resto
(4) queda multiplicado por 2.
Cuando se dividen el dividendo (60) y el divisor (8) por 2, el cociente (7) no varía, pero el resto
queda dividido por 2.
Tercera propiedad: Para dividir un producto por un número se puede hacer dividiendo uno de los
factores por dicho número y multiplicando el resultado por el otro factor.
Consideremos la operación (324 x 32) : 9.
Se puede hacer de dos formas:
En general
Casi siempre es más conveniente hacer primero la división y después, la multiplicación.
POTENCIA DE UN NUMERO NATURAL.
Las potenciación de un número natural es el producto sucesivo o reiterado de un mismo número.
Ejemplos: 4 x 4 = 42
4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 45
El factor que se repite es la base , el número de veces que se repite es el exponente y al resultado de
la operación se le llama potencia.
Los productos 2·2·2·2 , 3·3 , 5·5·5 son potencias. Y se escriben 24, 32, 53
En la potencia 24 = 16 el factor que se repite 2 se llama base y el número de veces que se repite 4 se
llama exponente.
La potencia de exponente 2 se llama cuadrado de un número.
La potencia de exponente 3 se llama cubo de un número.
n
En general a se lee elevado a la n
No debes confundir: el multiplicar un número por otro, con multiplicarlo varias veces por sí
mismo.
a
Propiedades De Las Potencias
Primera propiedad: Para multiplicar potencias de la misma base, se deja la misma base y se suman
los exponentes.
Segunda propiedad: Para dividir potencias de la misma base, se deja la misma base y se restan los
exponentes.
Tercera propiedad: Para elevar una potencia a otra potencia se deja la misma base y se multiplican
los exponentes.
Cuarta propiedad: Para multiplicar potencias del mismo exponente se multiplican las bases y se deja
el mismo exponente.
Esta propiedad también se puede enunciar al revés: Para elevar un producto a una potencia se eleva
cada uno de los factores a dicha potencia.
OPERACIONES COMBINADAS
Observa las siguientes series de operaciones:
2·3+4
; 12 : 3 + 2 (1 + 5) - 2 · 4 ; 7 - (3 + 2) + 6 : 2 · 3
En todas ellas aparecen conjuntamente varias operaciones, separadas en algunos casos por
paréntesis.
Para efectuar estas operaciones es preciso tener presente el orden de prioridad o jerarquía de las
operaciones matemáticas:
Las operaciones se efectúan en el siguiente orden:
En primer lugar si hay paréntesis ( ), se efectúan las operaciones que hay en su interior. Los
corchetes, [ ], tienen la misma función que los paréntesis.
En segundo lugar se efectúan las potencias
En tercer lugar las multiplicaciones y divisiones.
En cuarto lugar sumas y restas.
TRABAJO PRÁCTICO N° 3
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES
Ejercicio n° 1: Analicen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y escriban un
ejemplo cuando sea posible:
1) Todo número natural tiene consecutivo……
b) Todo número natural tiene antecesor……
2) El conjunto N tiene un último elemento……
c) El conjunto N tiene infinitos elementos……
Ejercicio n° 2: Completen el cuadro con los resultados de las cuentas indicadas, cuando sea posible
resolverlas y el resultado sea un número natural o cero.
a
36
b
4
a+b
b+a
a–b
b–a
15
22
0
a.b
b.a
a:b
b:a
14
44
7
Ejercicio n° 3: Cambien la posición de las cifras de estos números para obtener en cada caso el
mayor y el menor número posible.
1) 102497
b) 890113
c) 483128
d) 300701
e) 793229
f) 1268
Ejercicio n° 4: Dados los números representados por las siguientes las letras
a= 4 . 2
b= 100 – 10
h= 9 . 2 +1
c= 24 : 3
d= 20 . 2
e= 14 – 4
f= 27 + 13
g= 80 : 2
Indique si cada una de las relaciones dadas a continuación es verdadera o falsa
1) a = c
+8=c
b) e = b
c) f = d
d) e + h > g
e) a . b ≤ 721
f) e . f = g . h
g) h
Ejercicio n° 5: Expresen el número 14 como la suma de tres números naturales de tres formas
diferentes.
Ejercicio n° 6: Expresen el número 36 como el producto entre dos números naturales de todas las
formas posibles.
Ejercicio n° 7: Escriba el signo = o ≠ e indique que propiedad se cumple o no.
(6 – 2 + 8) . 5
1:3
48 : ( 4 + 2 )
25 . ( 6 . 4 )
( 16 + 40 ) : 2
(7–2)–5
6.5–2.5+5.8
3:1
48 : 4 + 48 : 2
6 . ( 25 . 4 )
16 : 2 + 40 : 2
7–(5–2)
Ejercicio n° 8: Busque el término desconocido e indique su nombre en las siguientes operaciones:
1)
327 + ....... = 1.208
....... = 623
b) ....... – 4.121 = 626
c) 321 · ....... = 32 100
Ejercicio n° 9: Busque el término desconocido en las siguientes operaciones
d) 28.035 :
1)
4 · (5 + ...) = 36
8 = 25
b) (30 – ...) : 5 + 4 = 8
d) 30 – ... :
c) 18 · ... + 4 · ... = 56
Ejercicio n° 10: Calcule de dos modos distintos las siguientes operaciones
1)
17 · 38 + 17 · 12 =
b) 6 · 59 + 4 · 59 =
c) (6 + 12) : 3
Ejercicio n° 11: Extraiga factor común
7 · 5 – 3 · 5 + 16 · 5 – 5 · 4 =
+ 8 · 20 =
2)
b) 6 · 4 – 4 · 3 + 4 · 9 – 5 · 4 =
c) 8 · 34 + 8 · 46
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
Ejercicio n° 1: Completen el siguiente cuadro
k
k2
k3
1
2
3
9
27
4
5
6
7
8
9
10
11
Ejercicio n° 2: Resuelvan las siguientes potencias.
1)
2)
3)
4)
24
42
26
62
5)
6)
7)
8)
21
037
199
251
9)
10)
11)
12)
Ejercicio n° 3: Descompongan los siguientes números en potencias de 10.
1)
42060
3)
3701
2)
604013
4)
25080
Ejercicio n° 4: Complete con = o  y justifique
a) ( 5 – 2 ) 2
b) 2 3 . 3 3
c) 10 2 + 5 2
d) (14 : 2 ) 3
_____ 5 2 – 2 2
_____ ( 2 . 3 ) 3
_____ ( 10 + 5 ) 2
_____ 14 3 : 2 3
Ejercicio n° 5: Resuelva de la manera más conveniente
1)
2)
3)
( 3 . 10 ) 2 =
( 2 + 5 )2 =
( 7 – 4 )3 =
Ejercicio n° 6: Resuelva
1)
2)
3)
( 3 + 18 ) – ( 5 – 3 ) + 35 : 5 =
( 99 : 11 ) 2 + 2 2 . 2 2 - 16 0 - 4 2 =
2 3 + 3 2 - 50 : 25 + 3 – 1 =
4)
5)
6)
12 3 : 4 3 =
14 2 : 7 2 =
32 + 52 =
102
104
1003
10002
12
4)
11 2 - ( 8 – 6 ) . 4 + 9 2 - 18 0 =
Ejercicio n° 7: Completen los exponentes.
1) 1 000 000 000 = 10….
2) 1 000 000 = 10…..
3) 100 000 000 = 10….
Ejercicio n° 8: Calcule
1)
2)
3
6)
7)
8)
9=
3)
4)
4=
64 =
3
1000 =
9)
10)
81 =
5)
3
125 =
144 =
3
512 =
3
12)
3
243 =
13)
4
81 =
121 
216 
Ejercicio n° 9: Resuelva las siguientes operaciones combinadas
1)
2)
3)
4)
32 – ( 3 – 1 ) 3 + 40 2 : 16 =
2 3 . 2 2 + 4 4 : 4 2 100 : 5 – 7 0 =
5
125.8 – 1 8 + 32  4 2 =
7 2 – 81: 3 2 + ( 3 64 + 2) . 2 =
3
10 2  5 2 + 64 : 6 2 – ( 19 – 17 ) 3 – 1 =
5)
3
6)
7)
49 + 5 2 . 3 – 25 1 =
12 – 4 . 2 2 + ( 12 – 4 ) 2 . 3 2 - 3 512 : 8 =
8)
73 + 9 . ( 8 – 3 )2 -
100 +
400 =
11)
36 . 2 -
300  100 - 82 =
Ejercicio n° 10: Una con flechas cada cálculo con su resultado correspondiente.
DIVISIBILIDAD
Una división es exacta cuando el resto de la misma es cero (0).
Un número a es divisible por otro número b si la división de a por b es exacta.
Cuando esto ocurre decimos que a es múltiplo de b y que b es divisor de a.
Multiplicando dos o más números el producto obtenido es un múltiplo de los factores y dichos factores
son divisores del producto.
Ej: 54 es divisible por 6, entonces 6 es divisor de 54 y 54 es múltiple de 6.
NÚMEROS PRIMOS: Son aquellos que solo tiene 2 divisores el 1 y el mismo número. EJ: 3,7,19,31
NÚMEROS COMPUESTOS: Son aquellos que tienen más de dos divisores.
El número 1 es un caso especial, no es primo ni compuesto.
Descomposición De Un Número En Sus Factores Primos
Los factores primos de un número son sus divisores primos.
Factorizar un número es expresarlo como producto de sus factores primos. Para cada número esta
descomposición es única.
Todo número compuesto se puede escribir como un producto de sus factores primos. Esta manera de
expresar un número se llama factorización.
Usualmente se utiliza la siguiente
técnica:
Ej: 12 = 2 . 2 . 3 = 2 2 .3
12 2
6 2
3 3
1
Entonces 12 = 2 2 .3
Criterios De Divisibilidad.Los siguientes criterios nos permiten saber de forma sencilla, sin necesidad de realizar una división, si un
número es divisible por otro.
N
2
Criterio
El número termina en una cifra par (0, 2, 4,
6, 8).
Ejemplo
378: porque la última cifra (8) es par.
3
La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
4
El número formado por las dos últimas 7324: porque 24 es múltiplo de 4.
cifras es un múltiplo de 4 o cuando termina
en doble cero.
480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3.
8200: porque termina en 00.
5
La última cifra es 0 o 5.
485: porque termina en 5.
6
El número es divisible por 2 y por 3 a la vez. 18: es múltiplo de 2 y de 3 a la vez.
Un número es divisible entre 7 cuando, al
separar la última cifra de la derecha,
7
multiplicarla por 2 y restarla de las cifras
restantes la diferencia es igual a 0 o es un
múltiplo de 7.
34349: separamos el 9 ,y lo doblamos (18), entonces
3434-18=3416. Repetimos el proceso separando el 6
(341'6) y doblándolo (12), entonces 341-12=329, y
de nuevo, 32'9, 9*2=18, entonces 32-18=14; por lo
tanto, 34349 es divisible entre 7 porque 14 es
múltiplo de 7.
El número formado por las tres últimas
8
cifras es un múltiplo de 8 o termina en tres 27280: porque 280 es múltiplo de 8.
ceros.
9
La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9.
10 La última cifra es 0.
Sumando
las
cifras
470: termina en cifra 0.
(del
número)
en
posición impar por un lado y las de posición
par por otro. Luego se resta el resultado de 42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 42702 es
ambas sumas obtenidas. Si el resultado es múltiplo de 11
11 cero (0) o un múltiplo de 11, el número es
divisible por éste.
66: porque las dos cifras son iguales. Entonces 66
es Múltiplo de 11
Si el número tiene sólo dos cifras y estas
son iguales será múltiplo de 11.
12 El número es divisible por 3 y 4.
420: es múltiplo de 3 ya que 4+2+0=6 y de 4 puesto
que 20 también lo es. Por tanto es múltiplo de 12.
Un número es divisible entre 13 cuando, al 3822: separamos el último dos (382'2) y lo
separar la última cifra de la derecha, multiplicamos por 9, 2*9=18, entonces 382-18=364.
13 multiplicarla por 9 y restarla de las cifras Repetimos el proceso separando el 4 (36'4) y
restantes la diferencia es igual a 0 o es un multiplicándolo por 9, 4*9=36, entonces 36-36=0; por
múltiplo de 13
14
15
Un número es divisible entre 14 cuando es
par y divisible entre 7
lo tanto, 3822 es divisible entre 13
546: separamos el último seis (54'6) y lo doblamos,
6*2=12, entonces 54-12=42. 42 es múltiplo de 7 y
546 es par; por lo tanto, 546 es divisible entre 14
Un número es divisible entre 15 cuando es 225: termina en 5 y la suma de sus cifras es múltiplo
divisible entre 3 y 5
de 3; por lo tanto, 225 es divisible entre 15
Un número es divisible entre 17 cuando, al
separar la última cifra de la derecha, 2142: porque 214'2, 2*5=10, entonces 214-10=204,
17 multiplicarla por 5 y restarla de las cifras de nuevo, 20'4, 4*5=20, entonces 20-20=0; por lo
restantes la diferencia es igual a 0 o es un tanto, 2142 es divisible entre 17.
múltiplo de 17
18
Un número es divisible por 18 si es par y 9702: Es par y la suma de sus cifras: 9+7+0+2=18
divisible por 9 (Si es par y además la suma que también es divisible entre 9. Y efectivamente, si
de sus cifras es múltiplo de 9)
hacemos la división entre 18, obtendremos que el
resto es 0 y el cociente 539.
Un número es divisible por 19 si al separar
19
la cifra de las unidades, multiplicarla por 2 y
sumar a las cifras restantes el resultado es
múltiplo de 19.
20
Así por ejemplo: 3401, hacemos 340+2= 342, ahora
34+4=38 que es múltiplo de 19, luego 3401 también
lo es.
Un número es divisible entre 20 si sus dos 57860: Sus 2 últimas cifras son 60 (Que es divisible
últimas cifras son ceros o múltiplos de 20
entre 20), por lo tanto 57860 es divisible entre 20.
Los números terminados en 00 o múltiplos
25 de 25
100, 125, 250, 375,...
(25, 50 y 75)
Un número es divisible por 29 si al separar
29
la cifra de las unidades, multiplicarla por 3 y
sumar a las cifras restantes el resultado es
múltiplo de 29.
Un número es divisible por 31 si al separar
31
la cifra de las unidades, multiplicarla por 3 y
restar a las cifras restantes el resultado es
múltiplo de 31.
10
0
Los números terminados en 00
Así por ejemplo: 2262, hacemos 226+6= 232, ahora
23+6=29 que es múltiplo de 29, luego 2262 también
lo es.
Así por ejemplo: 8618, hacemos 861-24=837, ahora
83-21=62 y por último 6-6=0 que es múltiplo de 31,
luego 8618 también lo es.
100, 200, 34500,...
Nota 1: Existen muchas versiones de los criterios de divisibilidad. Así por ejemplo, para el 13 resulta
equivalente el criterio: al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 4 y sumarla a las cifras
restantes la suma es igual a 0 o es un múltiplo de 13.
Nota 2: Aunque existen criterios similares para cualquier número primo, con frecuencia resulta más
sencillo dividir que aplicar un criterio complicado (como el del 13). Sin embargo existe un criterio
general que funciona siempre y que en muchos casos es suficientemente práctico: restar el número primo
(o múltiplos de éste) a las cifras de la izquierda sucesivamente hasta obtener cero o ese número primo.
Así el ejemplo del 13 se podría comprobar con el proceso siguiente (usamos el 39 =3*13 para abreviar
pasos): 3822 (restamos 13 dos veces a la izquierda) → 2522 → 1222 (restamos 39 tres veces de las tres
cifras de la izquierda) → 832 → 442 → 52 y al restar de nuevo 39 obtenemos 52-39 =13
Nota 3: Para saber si un número de 3 cifras es múltiplo de 8. Hay que tener en cuenta lo siguiente: Si la
cifra de las centenas es par y las otras 2 es un múltiplo de 8 (288→ 2 es cifra par, y 88 múltiplo de 8) o si
la cifra de las centenas es impar y las dos últimas son el resultado de la diferencia o suma de un múltiplo
de 8 con 4 (168→ 1 es cifra impar y 68+4=72; 72 es múltiplo de 8.
Máximo Común Divisor: ( MCD )
El “MCD” de dos números, es el mayor de los divisores que tenga en común.
Ej:
Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12,
Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18,
El algoritmo para el cálculo del “MCD”, es
MCD ( 12 y 18 ) = 6
el producto de los factores primos comunes
a ambos elevados al menor exponente.
12 2
18 2
6 2
9 3
MCD ( 12; 18) = 2 . 3
3 3
3 3
= 6
1
1
12 = 2 2 .3
18 = 2 . 3 2
Mínimo Común Múltiplo : ( mcm )
El “mcm” de dos números es el menor de los múltiplos comunes. Ejemplo: Los múltiplos de 6 y 8, son:
Multipos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78 …
Multipos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88 …
Entonces en “mcm” de 6 y 8 es: 24
Ej:
6 2
8 2
3 3
4 2
1
2 2
1
6=2.3
8 = 23
El algoritmo para el cálculo del “mcm”, es el
producto de los factores no comunes y
comunes con el mayor exponente.
mcm ( 6, 8 ) = 3 . 23 = 3 . 8 = 24
TRABAJO PRÁCTICO N° 4
DIVISIBILIDAD
Ejercicio n° 1: Considerando la división entera (sin extraer decimales), completen el siguiente cuadro.
Dividendo Divisor
Resto
Cociente
10
0
Dividendo Divisor Cociente Resto Comprobación
2
5
29
10
2
13
2
5
0
4
4
10=5.2 + 0
3
24
Ejercicio n° 2: Completen las siguientes frases
Dados dos números naturales a y b, decimos que a es múltiplo de b si existe un número c tal que se
verifica lo siguiente: a = …………..
Todo número natural mayor que cero tiene al menos……..divisores, los cuales son………………………
Un número es compuesto cuando tiene más de…………divisores.
Un número que solo tiene como divisores a 1 y a si mismo se llama……………………..
Todo número compuesto se puede expresar como descomposición………………………de sus factores
primos.
Ejercicio n° 3: Completen la siguiente tabla de acuerdo con el ejemplo de la primera fila y aplicando los
criterios de divisibilidad.
Número
54
648
1000
43
99
363
10800
215
13596
1
SI
2
SI
3
SI
4
NO
Es divisible por
5
6
7
NO
SI
NO
8
NO
9
SI
10
NO
11
NO
Ejercicio n° 4: ¿Cuál es el múltiplo de 17 más próximo a 219?
Ejercicio n° 5: ¿Cuál es el primer múltiplo de 13 mayo que 300?
Ejercicio n° 6: Escriba todos los números capicúas (números que se leen igual de derecha a izquierda o al
revés, por ejemplo 45954) de cuatro cifras que sean divisibles por 3 y por 5.
Ejercicio n° 7: Respondan SI o NO a cada una de las siguientes preguntas y justifiquen la respuesta.
1)
2)
¿42 es divisible por 7?.............................................................................................
¿63 es múltiplo de 21? ...........................................................................................
3)
¿7 es divisor de 42? ................................................................................................
4)
¿6 es múltiplo de 13? .............................................................................................
5)
¿18 es divisible por 3? ............................................................................................
Ejercicio n° 8: Si sabemos que un número es divisor de otro ¿es cierto que se puede asegurar que
también lo es de los múltiplos de éste?.¿Por qué?
Ejercicio n° 9: En cada caso, completen los recuadros con una cifra adecuada para que se cumpla la
condición indicada.
1)
2)
3)
4)
257__ es divisible por 6
__89__ es divisible por 10 y por 6
__1__2 es divisible por 4 y por 9
354__25__ es divisible por 5 y por 9
Ejercicio n° 10 : El profesor de Educación Física de tercer año propuso a sus alumnos un juego en el que
es posible competir en forma individual o en grupos de igual número de integrantes o también formando
todos un equipo para enfrentar a otra división.
a)¿Cuáles son todas las formas en que pueden organizarse los 28 alumnos de 3° primera de manera que
ninguno se quede fuera del juego?
b)¿Y los 29 alumnos de 3° segunda?
Ejercicio n° 11: Escriban el conjunto de divisores comunes a cada uno de los siguientes pares de
números.
1)
2)
3)
4)
15 y 13
23 y 31
49 y 91
1547 y 221
Ejercicio n° 12: Descompongan los siguientes números en sus factores primos.
1)
2)
3)
4)
80
81
1260
1001
Ejercicio n° 13: La cantidad de libros que hay en una biblioteca es tal que se pueden distribuir en pilas de
12 o 36 libros sin que sobre ninguno; en cambio, si se los acomodan en grupos de 14 libros, sobran 4. Se
sabe, además, que son más de 200 pero no llegan a 400. ¿Cuántos libros hay?.
Ejercicio n° 14: Victoria jugaba con tapitas de gaseosa y verificó que si los agrupa de a 3, de a 4 o de a 5,
en todos los casos le sobra uno. Al hacer cuentas descubrió que la cantidad de tapitas que tiene es el
menor de los números que cumplen con esta condición. ¿Cuántas tapitas tiene Victoria?
Ejercicio n° 15: Calculen
1)
2)
3)
4)
MCM (120 , 90)
MCM (35 , 42)
MCM (10 , 100)
MCM (40 , 60 , 36)
Ejercicio n° 16: Calculen el MCM en cada caso y luego complete las propiedades indicadas
1) MCM (10 , 1)=
2)
3)
4)
5)
6)
MCM (8 , 1)=
MCM (20 , 4)=
MCM (30 , 6)=
MCM (8 , 15)=
MCM (25 , 14)=
Propiedades:
1)
2)
3)
MCM (a , 1) = …………
Si a es múltiplo de b, entonces MCM (a , b) = …….
Si a y b no tienen ningún divisor primo común, entonces MCM (a , b) =…….
Ejercicio n° 17: Escriban dos números a y b tal que se cumpla lo indicado
a=......., b=………. MCD (a, b) = 1
a=......., b=………. MCD (a, b) = 13
a=......., b=………. MCD (a, b) = 6
Ejercicio n° 18: Juan Ignacio tiene 24 bolitas rojas y 18 bolitas verdes y las quiere repartir en bolsitas de
manera que en cada una entre igual cantidad de cada color y que esta cantidad sea la mayor posible.
¿Cuántas bolitas tiene que poner en cada bolsa?
Ejercicio n° 19: El profesor de Educación Física tiene que armar los equipos para el torneo de gimnasia
deportiva intercolegial. Participan 72 mujeres y 60 varones. Los equipos no pueden ser mixtos, tienen que
estar conformados por igual cantidad de alumnos y, además, el profesor tiene que presentar la mayor
cantidad de grupos posibles. ¿Cuántos integrantes tiene que tener cada equipo?
Ejercicio n° 20: Indiquen cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Expliquen por qué y
propongan ejemplos para cada caso.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
El 0 es múltiplo de todos los números.
El 1 es múltiplo de todos los números.
El 0 es divisor de todos los números.
El 1 es divisor de todos los números.
Si un número a es divisor de otro número b, también es divisor de todos los múltiplos de b.
Si un número a es múltiplo de otro número b, también es múltiplo de todos los divisores de b.
Todos los números son múltiplos de sí mismos.
Todos los números son divisores de sí mismos.
Ejercicio n° 21: Ivanna y Camila fueron a correr alrededor de la plaza. Partieron desde una de las
esquinas de la plaza, en la que hay una fuente, y corrieron largo rato manteniendo el ritmo constante.
Ivanna volvió a pasar frente a la fuente a los 20 minutos, y Camila a los 25 minutos. ¿Cuánto tiempo
después de haber salido volvieron a pasar juntas por la fuente?
Ejercicio n° 22: ¿Cuáles son las medidas del cuadrado de menor tamaño posible que se puede cubrir en
forma exacta con azulejos rectangulares de 8cm de base y 6cm de altura?
Ejercicio n° 23: El propietario de un terreno indica un trabajo a su jardinero diciéndole: “Mi terreno es
rectangular y mide 65 metros por 91 metros. Quiero que coloque árboles en sus esquinas y luego plante
otros en su contorno, de modo que la distancia entre dos consecutivos sea siempre la misma y la mayor
posible”
a)¿Cuántos árboles colocará en total el jardinero?
b)¿Cuál será la distancia entre dos árboles consecutivos?
NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS
Definición:
Se llama número RACIONAL a todo aquel que puede ser expresado como una
fracción. Es decir, incluye los números
de cero.
a
,en los cuales
a y b son naturales, y b es distinto
b
El conjunto de los números racionales se simboliza con la letra Q.
En símbolos:
aєNybєN
a / b є Q : b 0
Las fracciones se expresan de la siguiente manera:
1)
El numerador indica la cantidad de partes que se tiene.
2)
El denominador indica la cantidad de partes en que está partido el entero .
Las expresiones decimales, que pueden pasarse a fracciones son también números
racionales.
Los números naturales son también números racionales, pues pueden ser expresados como
fracciones de denominador igual a 1.
Así, las fracciones son números racionales, pues representan cocientes de números
enteros. Ejemplos:
1
4
3
0,5 
2
3
2
2
1
1)
La fracción como parte cociente:
Uno de los motivos por los cuales surgen nuevos conjuntos numéricos es por la
imposibilidad de resolver operaciones con los conjuntos ya existentes. Si hacemos 8:2 es
igual a 4 con resto cero, no ocurre lo mismo con 8 : 5; no existe un número natural que
multiplicado por 5 dé por resultado 8. Sin embargo esta división puede expresarse
como un número racional.
8
8:5 
5
2)
La fracción como parte de un todo:
Las fracciones también se utilizan para indicar el número de partes iguales de un
“todo” o unidad.
3)
La fracción como operador:
Muchas veces escuchamos expresiones como la siguiente” la encuesta indic a que de un
total de 200 alumnos la mitad reprobó los exámenes de matemáticas”
½ de 200= 100
4)
La fracción como probabilidad:
Cuando podemos contar los resultados posibles de un experimento aleatorio y todos
tienen la misma probabilidad de ocurrir, podemos calcular su probabilidad de la
siguiente forma:
P
número de casos favorables
número total casos posibles
¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en el lanzamiento de una moneda?
casos.. favorables
1
P
casos.. posibles
2
5)
La fracción como porcentaje:
Toda fracción cuyo denominador sea cien, puede expresarse directamente como un
porcentaje.
25
 25%
100
Representación en la recta numérica
Para representar números racionales en la recta numérica, primero se divide cada
unidad de la recta en tantas partes como indica el denominador y tomamos, a partir del
cero, tantas partes como indica el numerador.
Clasificación de fracciones
6)
Fracciones propias:
DENOMINADOR.
Son
las
que
tienen
el
numerador
menor
que
el
7)
Fracciones
impropias: Son las que tienen el numerador
DENOMINADOR.
8)
Fracciones aparentes: Son las que tienen en el numerador un múltiplo del
denominador.
mayor que el
Número Mixto: son números que tienen una parte entera y otra fraccionaria.
Si se efectúa la división entre el numerador y el denominador de u na fracción se obtiene la expresión
decimal de la fracción.
Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad. Representan el
mismo punto en la recta numérica. Para obtener fracciones equivalentes, se debe
multiplicar o dividir el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número
distinto de cero.
Cuando se multiplica, se está ampliando la fracción:
2 2  5 10


3 3  5 15
5 5  7 35


8 8  7 56
9 9  3 27


4 4  3 12
Cuando se divide, se está simplificando la fracción:
1)
27 27 : 3 9
9:3 3



  fracción irreducibl e
36 36 : 3 12 12 : 3 4
2)
25
25 : 5
5 1


  fracción irreducibl e
100 100 : 5 20 4
Una fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador de la misma son coprimos, es
decir, que no tienen divisores comunes distintos de 1.
Relación de orden
La relación de orden en el conjunto de los números racionales permite establecer cuándo
una fracción es menor, igual o mayor que otra.
Existen varias maneras de analizar si una fracción es menor, mayor o igual a otra:
* Se buscan fracciones equivalentes a las dadas de igual denominador. Se comparan los
numeradores de las fracciones obtenidas y es mayor la que tiene mayor numerador.
4 5
y
3 4
4 8 12 16
 

3 6 9 12
y
5 10 15


4 8 12
16 15

12 12
4 5

3 4
* Se transforman en expresiones decimales. Primero se comparan las partes enteras; si
éstas son iguales, entonces se comparan las cifras de los décimos. Si las cifras de los
décimos son iguales, se comparan las cifras de los centésimos, y así sucesivamente hasta
que las cifras sean distintas.
1 3
y .
4 8
1
 0,25.
4
y
3
 .0,375
8
0,25  0,375
1 3
 .
4 8
Clasificación de las expresiones decimales
♣ Expresiones decimales exactas: tienen un número finito de cifras decimales.
♣ Expresiones periódicas puras: tienen infinitas cifras decimales periódicas.
♣ Expresiones periódicas mixtas: tienen una parte decimal no periódica seguida de otra
periódica
♣ Expresiones decimales infinitas no periódicas: tienen infinitas cifras decimales no
periódicas. Constituyen los llamados números irracionales. Por ejemplo:  , 2 .
Pasaje de una expresión decimal a fracción
♣ Expresiones exactas: en el numerador todas las cifras del número sin la coma, y en el
denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga.
1,6 
16
10
1,36 
136
100
♣Expresiones periódicas puras: en el numerador todas las cifras del número sin la coma
menos la parte entera , en el denominador tantos 9 como cifras tenga el período.
♣ Expresiones periódicas mixtas: colocamos en el numerador todas las cifras del número sin la
coma y restamos la parte entera seguida de la parte decimal no periódica. En el denominador
tantos nueves como cifras tenga la parte periódica y tantos ceros como cifras tenga la parte
decimal no periódica.
Suma o resta de fracciones de igual denominador
La suma o resta de o más fracciones con igual denominador es otra fracción que tiene el mismo
denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores de los sumandos. Es decir,
a c ac
 
b b
b
Suma o resta de fracciones de distinto denominador
Si los denominadores son distintos, se buscan fracciones equivalentes con un común
denominador. Cualquier múltiplo de los denominadores puede utilizarse, pero es conveniente
para facilitar los cálculos que este común denominador sea el mínimo común múltiplo de los
denominadores.
2 5 8 15 23
 


3 4 12 12 12
Multiplicación y división de números racionales
Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores
entre sí. Antes de efectuar la multiplicación de los numeradores y los denominadores, es
conveniente simplificar cualquier numerador con cualquier denominador y viceversa.
Como la división es la operación inversa de la multiplicación, para dividir dos fracciones
multiplicamos la primera por la inversa de la segunda utilizando los pasos ind icados para la
multiplicación
Potenciación de de números racionales
De la misma manera que se escribe abreviadamente, por ejemplo, 53 , en lugar de
5  5  5 , también es posible expresar el producto de fracciones iguales, en forma
abreviada, como una potencia con exponente natural. Por ejemplo:
2
5 5 52 25
5
     2 
3 3 3
9
 3
Para elevar una fracción a un exponente natural, el numerador y el denominador de
la fracción a elevan a ese exponente. Es decir, si n es un número natural, entonces :
n
an
a
   n
b
b
Propiedades de la potenciación de los números racionales
La potenciación de números racionales mantiene las mismas propiedades de los números
naturales.
 La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y la división.
 La potenciación no es distributiva con respecto a la suma y a la resta.
 Producto de potencias de igual base: lleva la misma base y se suman los exponentes.
 Cociente de potencias de igual base, se escribe la misma base y se restan los exponentes.
 Potencia de otra potencia, se escribe la misma base se multiplican los exponentes.
Radicación De Números Racionales
Para calcular la raíz de un número racional, aplicamos la propiedad distributiva de la
a na
n

radicación con respecto al cociente.
b nb

La radicación de números racionales mantiene las mismas propiedades de los números naturales.
TRABAJO PRÁCTICO N° 5
NÚMEROS RACIONALES
Ejercicio n° 1: Escriba la fracción irreducible que representa la parte sombreada del entero.
Ejercicio n° 2: Una con un mismo color, cada fracción con la fracción irreducible equivalente, número
mixto o expresión decimal que le corresponda.
Ejercicio n° 3: Representa en la recta numérica las siguientes fracciones.
a) 4
5
b) 1
5/6
d) 2
c) 1, 2.
2/5
e) 0, 7
f)
11 .
6
Ejercicio n° 4: ¿Qué fracción representa la ubicación señalada?
0
?
0
1
?
0
1
0
1 ?
1
2 ?
2
3
Ejercicio n° 5: Comparar las siguientes Fracciones, colocar < o > según corresponda:
a)
5 .......5
3
4
b) 7....... 7
3
6
c)
4 ........ 9 . d) 6 ....... 8
9
4
5
7
e) 1,13....... 10
6
f)
11 ........ 1, 36
4
Ejercicio n° 6: Ordenar en forma decreciente las siguientes fracciones.
a) 4 , 5 , 3 . , 7
3
6
5
4
b a) 3 , 0,25
5
, 2 , 1,3
3
,
4
3
Ejercicio n° 7: Separar en términos y resolver:
a)
4 + 6
3
5
. 10
3
- 3 : 9
4
2
=
b) 7 - 4 : 2 + 3 . 4
5
5
9
4
9
=
Ejercicio n° 8: Pasar los decimales a fracción y Resolver:
a) 0,6 . 0,63 - 2 : 0,9 + 1,5 . 1
3
2
b) 0,25 . 1,23 - 2 : 0,8 + 2,5 . 3 =
5
4
Ejercicio n° 9: Resolver y verificar la siguiente ecuación.
a)
5 x - 4 = 3 x - 1.
3
5
4
6
b)
4
3
x + 3
5
=
1 x + 5 .
5
3
Ejercicio n° 10: Resuelve aplicando propiedades.
2

3
 1   1  3. 1
:  0.5 
a)   .  
125 5
 3  3
b)
4
5
3
81 10  1   1  2 
    :    .1,6 
256 3  5   5  3
Ejercicio n° 11: Un ciclista cubre en un carrera 76km en tres horas, de tal manera que cada hora recorre
una distancia igual a dos tercios de lo que recorrió la hora anterior. ¿Cuántos metros recorrió durante los
primeros sesenta minutos?
Ejercicio n° 12: Camila confecciona cajas. Entre varias se encuentra un molde. El cuadrado abcd tiene un
perímetro de 1,68 metros. En cada esquina se cortó un cuadradito de 49cm2 de superficie.
a
b
xm
zq
dc
1)
2)
3)
¿Cuántos centímetros cuadrados ocupa la base de la caja?
¿Qué altura tendrá la caja diseñada?
¿Qué volumen tendrá?
Ejercicio n° 13: Encuentre la expresión que represente, en cada caso, el área sombreada. Calcule luego
el área en cada caso para: x = 18 y x = 1
Ejercicio n° 14: Si a la mitad de un cierto número se le agrega el triple de tres cuartos es lo mismo que a la
décima parte de dicho número le restemos el cuadrado de un tercio. ¿Cuál es el número?.
SIMELA
Breve Historia
El Sistema Métrico fue el resultado de las muchas reformas aparecidas durante el período de la
Revolución Francesa, entre 1789 y 1799. Ningún otro aspecto de la ciencia aplicada afectó tanto al curso
de la actividad humana tan directa y universalmente. Antes del Sistema Métrico, existían una variedad
de unidades de longitud, volumen o masa que eran arbitrarias en tamaño, y variables de una ciudad a la
vecina, lo que suponía con frecuencia conflictos entre mercaderes, ciudadanos y los funcionarios del
fisco. Era común utilizar partes del cuerpo humano como unidades para medir: las longitudes de los
antebrazos, pies, manos o pulgadas. El objetivo del Sistema Métrico fue la unificación y racionalización
de
las
unidades
de
medición,
y
de
sus
múltiplos
y
submúltiplos.
En 1863 nuestro país adoptó por la ley Nº 52 el Sistema Métrico Decimal. La ley Nº 845 del año 1877 lo
declara de uso obligatorio a partir del 1 de enero de 1878 y prohíbe el uso de otros sistemas. A partir de
1960, el Sistema Métrico pasa a llamarse Sistema Internacional de Unidades, (conocido
como S.I.). Argentina lo adopta con el nombre de Sistema Métrico Legal Argentino (SI.ME.L.A.)
Las medidas más usuales son:
TRABAJO PRÁCTICO N° 6:
SIMELA
Ejercicio n° 1:
a) ¿Cuántos metros tiene una cuadra? (valor aproximado) b) Si camino diez cuadras, ¿cuántos kilómetros
recorro?
c) Si damos una vuelta a la manzana, ¿cuánto caminamos?
Ejercicio n° 3:
a) Si necesitamos medio kilo de jamón cocido y lo compramos envasado al vacío en bolsitas de 200 gr
cada una. ¿Cuántas bolsitas debemos comprar?, ¿compramos la cantidad justa?
b) Compramos 12 gaseosas de dos litros y cuarto para una reunión, ¿cuántos cm3 de gaseosa tenemos en
total?
c) Si consideramos que en una fiesta cada persona toma tres cuartos dm3 de gaseosa, ¿para cuántas
personas alcanzan las 12 gaseosas?
d) Además necesitamos comprar queso, sabiendo que en cada pizza se usan 250g ¿Cuántos Hg
necesitamos para preparar 15 pizas?
Ejercicio n° 4:
a) Para hacer banderas para un club se compraron telas de diferentes colores, cada paño tiene 3,60 m. A
cada uno de ellos lo dividieron en cuatro partes iguales. ¿Qué longitud tiene cada parte luego de ser
cortados? Expresa el resultado en centímetros.
b) Un campo rectangular tiene 66 Hm de ancho y 900 dam de largo ¿Cuál es el perímetro del campo
expresado en km? .Determinar la superficie del campo en km2
Ejercicio n° 5:
a) Se necesitan 1,75 horas para llegar desde Formosa hasta Las Lomitas. ¿Cuántos minutos son en total?
b) Se registra el tiempo que tarda en evaporar 2,5 litros de agua, se toman los siguientes tiempos: a los 10
minutos se evaporó 500 cm3 de agua , a los 15 minutos más 0,75 litros ¿ cuánto volumen ha evaporado? ¿
qué tiempo se ha empleado? ¿Cuánto liquido falta evaporar?
c) Si un corredor corre un tramo de 2340 m en 10 minutos, luego recorre 12000 cm en 5 minutos y por
último, hace 780 dam en 35 m ¿cuántos km corrió? ¿Qué tiempo empleo en minutos? ¿ y en horas?
Ejercicio n° 6:
a) Para hacer una torta se necesita: 1/5 kg de azúcar, 1/4 kg de harina, 3 huevos, 1/4 litro de leche.
I- Determinar cuántos kg de azúcar y de harina lleva la torta. II - Si tengo un paquete de harina y uno de
azúcar de 1 kg cada uno, una docena de huevos y un litro de leche, ¿cuántas tortas como la anterior podré
hacer?. III - ¿Qué ingredientes sobran?, ¿qué cantidad de cada uno?
b) En una bodega descargan 30 Tm de uvas. a) ¿Cuántos kg son?b) Si se necesitan aproximadamente un
kilo y medio de uvas para hacer un litro de vino, ¿cuántos podrán fabricar con esta cantidad?
Ejercicio n° 7:
Practicamos equivalencias de unidades:
a) 3.780.000 cg a kg.
dam a km.
b) 76,8 hg a dg.
c) 5,41 Tm a kg.
d) 381 cm a m.
f) 0,0021 kg a gr.
g) 5 l a ml.
h) 760 cl a l.
i) 1350 ml a l
e) 480
PROPORCIONALIDAD: DIRECTA E INVERSA
Para comprender el concepto de proporcionalidad, directa o inversa, debemos comenzar por
comprender el concepto de razón.
Razón y Proporción Numérica
Razón entre dos números
Siempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el
resultado de dividirlos) entre ellos.
Entonces:
Razón entre dos números a y b es el cociente entre
Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5,
ya que
Y la razón entre los números
0,15 y 0,3 es
Proporción numérica
Ahora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para ver como se
comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporción numérica.
Entonces:
Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma
que entre c y d.
Es decir
Se lee “a es a b como c es a d”
Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que
la razón entre 8 y 20.
Es decir
En la
proporción
hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se
llaman medios.
La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto
de los extremos es igual al de los medios.
Así, en la proporción anterior
se cumple que el producto de los extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los medios nos
da 5 x 8 = 40
Comprendido el concepto de proporción como una relación entre números o magnitudes, ahora
veremos que esa relación puede darse en dos sentidos:
Las dos magnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las
magnitudes sube la otra bajo y viceversa.
Si ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o relacionan
pueden subir o bajar en igual cantidad, hablaremos de Magnitudes directamente
proporcionales.
Si ocurre como en el segundo caso, en que si una magnitud sube la otra baja en la misma
cantidad, hablaremos de Magnitudes inversamente proporcionales.
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que al doble, triple... cantidad de la primera
corresponde el doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas
magnitudes son directamente proporcionales.
Ejemplo: Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?
Un cargamento de papas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer?
Número de sacos
1
2
3
...
26
...
Peso en kg
20
40
60
...
520
...
Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20
Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20
Si denominamos “x” a la primera magnitud e “y” a la segunda obtendremos la siguiente
expresión:
X
1
2
3
...
26
...
Y
20
40
60
...
520
...
Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales, porque
en todos los casos se verifica que: 20 = 20 ; 40 = 20 ; 60 = 20 ; 520 = 20
1
2
3
26
Es decir La constante de proporcionalidad es 20.
Generalizando:
.
K = Y
X
Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo que
llamaremos Regla de tres y que nos servirá para resolver un gran cantidad de problemas
matemáticos.
Gráfica:
Como puedes ver, la gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas, en la
cual los valores de la variable dependiente (eje vertical) aumentan a medida que aumentan los
valores de la variable independiente (eje horizontal). Este es el tipo de gráfica para la
proporcionalidad directa.
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Ejemplo 1
En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar
contendrán 5.200 gramos de sal?
Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las
magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales.
Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la
siguiente tabla:
Litros de agua
50
x
Gramos de sal
1.300
5.200
Se verifica la proporción:
Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos (en
palabras simples, se multiplican los números en forma cruzada) resulta:
50 por 5.200 = 1.300 por x
Es decir
En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el
nombre de regla de tres simple directa.
Ejemplo 2
Un automóvil gasta 5 litros de bencina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros,
¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?
Luego, con 6 litros el automóvil recorrerá 120 km
Porcentaje (%) ( o tanto por ciento )
El porcentaje o tanto por ciento (%), es una de las aplicaciones más usadas de las razones
o proporciones.
El porcentaje es una forma de comparar cantidades, es una unidad de referencia que
relaciona una magnitud (una cifra o cantidad) con el todo que le corresponde (el todo es
siempre el 100), considerando como unidad la centésima parte del
todo.
Ejemplos:
1 centésimo =
5 centésimos =
50 centésimos =
Nota importante. No olvidar que las fracciones deben expresarse siempre como fracciones
irreducibles.
¿Qué significa 50 %?: Significa que de una cantidad que se ha dividido en cien partes se han
tomado 50 de ellas; 50/100, es decir 50 de cada 100. En este caso corresponde a la mitad.
¿Qué significa 25 %?: Significa que de un total de 100 partes se han tomado 25, o sea ¼ (
25/100 al simplificar por 5, se reduce a ¼).
Cálculo de Porcentaje
El Porcentaje o Tanto por ciento se calcula a partir de variables directamente
proporcionales (significa que si una variable aumenta la otra también aumenta y viceversa).
En el cálculo intervienen cuatro componentes:
Cantidad Total
Cantidad Parcial
-------
100 %
Porcentaje Parcial
Ejemplo
(Cantidad total)
$ 1.000 - equivale al (Cantidad parcial) $ 500 - equivale al -
100 % (porcentaje total)
50 % (porcentaje parcial)
Existen tres situaciones o tipos de problemas que pueden plantearse. Éstos son :
1.- Dada una cantidad total, calcular el número que corresponde a ese porcentaje (%)
parcial :
Ejemplo:
¿Cuál (cuanto) es el 20% de 80?
Cantidad
Porcentaje
Total
80
100
Parcial
x
20
Para resolverlo, se hace:
Resolvemos la incógnita (x):
Haciendo la operación, queda:
Simplificando, queda:
Respuesta: el 20 % de 80 es 16.
2.- Calcular el total, dada una cantidad que corresponde a un porcentaje de él.
Ejemplo: Si el 20 % de una cierta cantidad total es 120 ¿Cuál es el total?
Cantidad
Porcentaje
x
100
120
20
Para resolverlo, se hace:
Resolvemos la incógnita (x):
Haciendo la operación, queda:
Simplificando, queda:
Respuesta: 120 es el 20 % de un total de 600.
3.- Dado el total y una parte de él calcular que % es esa parte del total.
Ejemplo: ¿Qué porcentaje es 40 de 120?
Cantidad
Porcentaje
120
100
40
x
Para resolverlo, se hace:
Resolvemos la incógnita (x):
Haciendo la operación, queda:
Simplificando y haciendo la división, queda:
Respuesta: 40 es el 33,33 % de 120.
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde
la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes
son inversamente proporcionales.
Ejemplo
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres
para realizar el mismo trabajo?
En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de
trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por
tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales (también se dice que son
indirectamente proporcionales).
Formamos la tabla:
X (Hombres)
3
6
9
...
18
Y (Días)
24
12
8
...
?
Vemos que los productos 3 x 24 = 6 x 12 = 9 x 8 = 72
Por tanto 18 x … = 72
O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo
Nótese que aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando las
magnitudes y que su producto será siempre igual.
Generalizando:
K =X.Y
Importante:
Como regla general, la constante de proporcionalidad entre dos magnitudes
inversamente proporcionales se obtiene multiplicando las magnitudes entre sí, y el
resultado se mantendrá constante.
Gráfica:
Como puedes ver, la gráfica es una curva en la cual los valores de la variable dependiente (eje
vertical disminuyen) a medida que aumentan los valores de la variable independiente (eje
horizontal).
Este es el tipo de gráfica para la proporcionalidad inversa. Se llama rama de hipérbola.
Esta gráfica nunca toca el 0 en ninguno de los dos ejes. Esto es así porque nunca podemos
tener x = 0, ya que la división por 0 no existe.
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA (O INDIRECTA)
Ejemplo 1
Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días
podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?
Vemos que con el mismo forraje, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de
días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son
magnitudes inversamente proporcionales.
X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas
Nº de vacas
220
450
Nº de días
45
x
Se cumple que: 220 por 45 = 450 por x, de
donde
En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:
Luego 450 vacas podrán comer 22 días
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el
nombre de regla de tres simple inversa.
Ejemplo 2
Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada
uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la
capacidad de esos toneles?
Pues la cantidad de vino = 8 por 200 = 32 por x
Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad de
vino.
PROPORCIONALIDAD COMPUESTA DE MAGNITUDES
Regla de tres compuesta. Método de reducción a la unidad
Ejemplo 1: Proporcionalidad directa
Cuatro chicos durante 10 días de campamento han gastado en comer 25.000 pesos. En
las mismas condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante 15 días de
campamento?

Doble número de chicos acampados el mismo número de días gastarán el doble. Luego
las magnitudes número de chicos y dinero gastado son directamente proporcionales.

El mismo número de chicos, si acampan el doble número de días gastarán el doble.
Luego las magnitudes número de días de acampada y dinero gastado son directamente
proporcionales.
Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de chicos y nº de días con la cantidad
desconocida, gasto.
SABEMOS QUE
REDUCCIÓN A LA UNIDAD
BÚSQUEDA DEL
RESULTADO
4 chicos — en 10 días gastan 25.000
1 chico — en 10 días gasta 25.000/4 = 6.250
1 chico — en 1 día gasta 6.250/10= 625
6 chicos — en 1 día gastan 625 x 6 = 3.750
6 chicos — en 15 días gastan 3.750 x 15 =
56.250
pesos
pesos
pesos
pesos
pesos
Ejemplo 2: Proporcionalidad inversa
15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos
días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?

Doble número de obreros trabajando el mismo número de días trabajarán la mitad de
horas al día para realizar el trabajo. Por tanto el número de obreros y el número de días de
trabajo son inversamente proporcionales.

Doble número de horas diarias de trabajo el mismo número de obreros tardarán la mitad
de días en realizar el trabajo. Luego el número de horas diarias de trabajo y el número de días
de trabajo son inversamente proporcionales.
Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de obreros y nº de horas diarias de
trabajo, con la cantidad desconocida, nº de días de trabajo.
SABEMOS QUE
REDUCCIÓN A LA
UNIDAD
BÚSQUEDA DEL
RESULTADO
Por tanto, 10 obreros empleando 8 horas diarias tardarán 33,75 días.
TRABAJO PRÁCTICO N° 7
PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJE
Ejercicio n° 1: Una persona tardo 3h en realizar 15 hojas de un trabajo practico, ¿Cuántas horas tardará
en hacer 20, 25 y 30 hojas? ¿Cuántas hojas pasara en 2, 5, 7 y 8 horas?.
Ejercicio n° 2: Si en 60 días 15 fueron calurosos ¿Cuántos días calurosos hubo en 90, 120 y 150 días?
Ejercicio n° 3: Para pintar un sector de la escuela en 6 días se necesitan 12 pintores ¿Cuántos días
tardarán en hacer el mismo trabajo 3, 9 y 6 pintores? Graficar.
Ejercicio n° 4: Un Kiosco vendió 40 revistas en 5 días, ¿Cuántas revistas venderá en 2, 7 y 9 días? ¿En
Cuantos días venderá 24, 48 y 64 revistas?
Ejercicio n° 5: Un negocio de celulares ofrece un paquete de 5 chips a solo 20 pesos ¿Cuántos chips
comprare por 32, 16 y 52 pesos? ¿Cuántos me costará 9, 6 y 15 chips? Graficar.
Ejercicio n° 6: Si en una caja de manzanas 5 están verdes de 60 ¿Cuántas verdes hay en una caja de 90,
120 y 150 manzanas?
Ejercicio n° 7: De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha
ido de viaje?
Ejercicio n° 8: Una moto cuyo precio era de $5.000, cuesta en la actualidad $ 250 más. ¿Cuál es el
porcentaje de aumento?
Ejercicio n° 9: Al adquirir un vehículo cuyo precio es de $ 88000, nos hacen un descuento del 7.5%.
¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?
Ejercicio n° 10: Al comprar un monitor que cuesta $ 4500 nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto
tenemos que pagar?
Ejercicio n° 11: Se vende un artículo en cuotas con el 15% de recargo sobre el precio de lista. Si se ha
paga en total $ 800. Halla el precio de venta.
Ejercicio n° 12: Se vende una Tablet con el 20% de descuento sobre el precio de compra. Hallar el
precio de lista del citado artículo si se pagó $ 6000.
Ejercicio n° 13: Indica Cuales de las siguientes tablas corresponden o no a proporcionalidad y calcula la
constante si corresponde.
X
Y
X
3
15
25
4
48
5
25
10
10
6
32
50
8
48
1
K=
K=
Y
X
Y
X
Y
12
9
63
36
18
5
35
2
24
16
3
21
100
8
20
11
77
K=
K=