presentacin de ecuaciones lineales

Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera Rodríguez
Coaching de matemática
Escuela Eduardo Neumann Gandía
1
Una ecuación es un igualdad que contiene
variables.
3x=8
2m – 6 =5
3x + 5 = 4y - 8
3a2 – 5a + 4 = 0
El signo de igualdad nos dice que la expresión del
lado derecho tiene el mismo valor que la expresión
del lado izquierdo.
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Clasificación de ecuaciones:
• Ecuación Identidad
• Ecuación Contradicción
• Ecuación Condicional
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Ecuación Identidad
Una ecuación se dice que es identidad si tiene
infinitas soluciones.
¿Podrías ofrecer un ejemplo de una ecuación
identidad?
Ejemplos:
1) x = x
2) x(x + 3) = x^2 + 3x
3) x^0 = 1
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Ecuación Contradicción
Una ecuación se dice que es contradicción si
no tiene solución.
¿Podrías ofrecer un ejemplo de una ecuación
contradicción?
Ejemplos:
1) x + 1 = x
2) x(x + 3) = x^2
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Ecuación Condicional
Una ecuación se dice que es condicional si
tiene un número finito de soluciones.
¿Podrías ofrecer un ejemplo de una ecuación
condicional?
Ejemplos:
1) x + 1 = 3
2) x^2 = 4
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Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el
mismo conjunto solución.
Ejemplos:
1) 2x = 4 ; 2x + 4 = 8
C.S. {2}
2) y – 1 = 0
; 2y = 2
C.S. {1}
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Es el valor de la variable que hace
cierta la ecuación.
Ejemplo: 3x + 6 = 15
Si x = 3; 3(3) + 6 = 15
9 + 6 = 15
15 = 15 cierto --- 3 es una solución.
Si x = 4; 3(4) + 6 = 15
12 + 6 = 15
18 = 15 falso--- 4 no es una solución.
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Es el proceso de encontrar soluciones.. Una
forma de resolver una ecuación es
realizando cambios hasta que la variable
quede en un lado y la solución en el otro.
Variable = número
X = n donde n es
un número
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Propiedades que nos ayudarán a
resolver ecuaciones
• Propiedad aditiva de la igualdad – Sean a, b, c
números y si a = b entonces a + c = b + c.
Ejemplo: Como 4 = 4 entonces 4 + 3 = 4 + 3
• Propiedad multiplicativa de la igualdad – Sean
a, b, c números y si a = b entonces ac = bc.
Ejemplo: Como 8 = 8 entonces 8 (2) = 8(2)
16 = 16
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Solución de ecuaciones de la forma
x+a=b
X + 9 = -1
X + 9 + (-9) = -1 + (-9)
X + 0 = -10
X = -10
Prop. Aditiva de la igualdad
Simplificación
Prop. Aditiva del cero.
Comprobación:
-10 + 9 = -1
-1 = -1 ; Cierto
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11
Resuelve: y – 6 = -13
Y – 6 + 6 = -13 +6
Simplificación
Y + 0 = -7
Y = -7
Prop. Aditiva de la igualdad
Prop. Aditiva del cero
Comprobación:
-7 – 6 = -13
-13 = -13 Nota: Restar es igual a sumar el
opuesto del sustraendo; a – b = a + -b
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12
Resuelve: -9 = m - 6
Resuelve: 4 + z = 5
-4 + 4 + z = 5 + -4
Z=1
Comprobación:
-9 + 6 = m – 6 + 6
-3 = m
Comprobación:
1+4=5
5=5
-9 = -3 - 6
-9 = -9
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13
Resuelve: 7 = 9 - x
7–9=9–9-x
-2 = -x
 OjO--- Como la variable tiene
el signo “-” hay que multiplicar por
–1 en ambos lados de la ecuación.
(-1)-2 = (-1)-x
2=x
Comprobación:
7=9-2
7=7
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14
Y+6=-8
18 = 23 + x
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15
ax = c
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16
4x = - 56
4x − 56 {Prop. De la igualdad
=
respecto de la división}
4
4
1•x = -14
X = -14
{ División}
4x = - 56
1
1
⋅ 4 x = −56 ⋅
4
4
1•x = -14
{Prop. Multiplicativa
del uno.}
X = -14
Prop. del inverso
multiplicativo.
{ División}
{Prop. Multiplicativa
del uno.}
Comprobación:
4•(-14) = -56
-56 = -56
Comprobación:
4•(-14) = -56
-56 = -56
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x
- = −15
3
 x
- 3 -  = −15(−3)
 3
1•x = 45
X = 45
2
x = 20
5
[Prop.
Multiplicativa
de la igualdad]
[División]
[Prop. Multiplicativa
del uno]
Comprobación:
45
= −15
3
-15 = -15
5
5 2
⋅ x = 20 ⋅
2
2 5
10
100
x=
10
2
Multiplicación
División
1•x = 50
X = 50
Prop.
Multiplicativa de
la igualdad
Prop. Multiplicativa del
uno.
Comprobación:
2
⋅ 50 = 20
5
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100
= 20
5
20=20 18
3
1
- =−
x
8
16
2
y = −6
3
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ax + b = c
Este tipo de ecuación contiene dos o más
operaciones diferentes.
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20
3x +12 = 27
3x +12 = 27
3x +12 – 12 = 27 - 12
3x = 27 - 12
3x = 15
3x 15
=
3
3
3x = 15
15
x=
3
x=5
Comprobación: 3•5
+ 12 = 27
x=5
15 +12 = 27
27=27
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21
2
m −8 = 4
5
2
m−8+8 = 4+8
5
Comprobación:
2
m = 12
5
5 2
5
⋅ m = 12 ⋅
2 5
2
10
60
m=
10
2
m = 30
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22
8x + 5x – 3 = 23
Prop. Distributiva
(8 + 5)x – 3 = 23
13x – 3 = 23
13x – 3 +3 = 23 + 3
Prop. Aditiva de la igualdad
13x + 0 = 26
13x = 26
13
26
x=
13
13
Prop. Aditiva del cero
x=2
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23
5(a – 2 ) = -35
5a – 10 = -35
Prop. Distributiva
5a – 10 + 10 = -35 + 10
Prop. Aditiva de la igualdad
5a = -25
5
− 25
a=
5
5
a = -5
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-5 + 4(3z – 6 )=7
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25
Ecuaciones que contienen la variable en ambos lados
ax + b = cx + d
4y + 5 = 2y - 6
8z = 4 – 3z
5(1 – x ) +8x =3(x + 2)
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26
12x – 3 = 2x + 42
12x – 2x = 42 + 3
10x = 45
45
x=
10
x = 4.5
Comprobación:
12(4.5) – 3 = 2(4.5) + 42
54 – 3 = 9 + 42
51 = 51
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continua
27
continuación
5(1-x) + 7x =3(x+2)
5 - 5x + 7x = 3x + 6
5 + 2x = 3x + 6
2x – 3x = 6 - 5
-x=1
Comprobación:
-1·-x = -1·1
x = -1
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Ecuaciones Literales
Def. Es una ecuación en la que se utilizan letras para
representar variables. Las ecuaciones literales tienen
aplicación a diferentes ramas de las ciencias como la física,
electrónica y la biología. Algunos ejemplos son:
1) P=2a+2b (perímetro de un rectángulo)
2) V = l(a)(h) (volumen de un prisma rectangular)
3) V = d/t (velocidad media de un objeto)
4) C = 5/9(F – 32) (grados Fahrenheit a Celsius)
5) E =(I )(R) (Ley de Ohm) (Voltaje=Corriente x Resistencia)
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Ecuaciones Literales (cont.)
Lo que queremos es poder despejar para la variable
que se indica en las ecuaciones. Trata de resolver
para la variable que se indica las siguientes
ecuaciones:
1) P=2a+2b ; para a
2) V = l(a)(h) ; para h
3) V = d/t ; para t
4) C = 5/9(F – 32) ; para F
5) E =(I )(R) ; para R
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Despeja para a en la
ecuación P = 2a + 2b.
Despeja para h en la ecuación
V = l(a)(h).
P – 2b = 2a + 2b – 2b
P – 2b = 2a
V
la
V
la
P - 2b
2a
=
2
2
lah
=
la
= h
P - 2b
=a
2
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