I.E.S. “La Ería” Año académico: 2006-2007 Departamento Didáctico de

DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS.
APUNTES DE AULA.
Año académico: 2006-2007
I.E.S. “La Ería”
Departamento Didáctico de
Matemáticas
Nivel: ESO
2º ciclo
Tema: Trigonometría.
Complementos teórico-prácticos.
Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y profesor agregado de Matemáticas en E.S.
Trigonometría.
Introducción a la Trigonometría.
 Funciones Trigonométricas.
 Seno de un ángulo: en un triángulo rectángulo representa el cociente entre el
cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
 Dentro de una circunferencia de radio unidad, representa el segmento de
recta comprendido entre el punto de la circunferencia donde termina el arco
correspondiente al ángulo y su proyección sobre el eje de abscisas. (Ver
gráficas)
 Coseno de un ángulo: en un triángulo rectángulo representa el cociente entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
 Dentro de una circunferencia de radio unidad, representa el segmento de
recta comprendido entre el origen de coordenadas y el punto de corte de la
proyección del punto de la circunferencia donde acaba el arco, correspondiente al ángulo, sobre el eje de abscisas. (Ver gráficas)
tg 
sen   cos   1
2
2
sen
cos
C
tg φ
a
b
sen φ
φ
B
c
φ
A
cos φ
sen φ=b/a
cos φ=c/a
tg φ=b/c
 Tangente de un ángulo: en un triángulo rectángulo representa el cociente
entre el cateto opuesto al ángulo y el adyacente al mismo.
 Dentro de una circunferencia de radio unidad, representa el segmento de
recta que va del punto de corte de la prolongación del radio con la recta
tangente a la circunferencia por el origen de medida del ángulo, y el eje de
abscisas. (Ver gráficas)
Adaptaciones nivel 3.
Página.- i
Trigonometría.
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Signos por zonas
Cuadrante
función
Seno
Coseno
Tangente
 
0,
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 

 0,90 
2

,  90,180 
2
 
,
3
 180, 270 
2
 
3
, 2   270,360 
2
1º
2º
3º
4º
+
+
+
+
—
—
—
—
+
—
+
—
 Resto de funciones trigonométricas:
1
 Cosecante: cosec 
, inversa del seno.
sen
1
 Secante: sec 
, inversa del coseno.
cos
1
 Cotangente: cot g 
, inversa de la tangente.
tg
 Arco seno:   arcsenx   sen  x , recíproca del seno.
 Arco coseno:   ar cosx   cos  x , recíproca del coseno.
 Arco tangente:   arctgx   tg  x , recíproca de la tangente.
sen x
tg x
cos x
 Relaciones fundamentales:
 se n cos ec  cos  sec   tg cot g  1
sen
1
cos 
 tg 

 cot g 
cos  cot g
sen
2
2
2
2
 sen   cos   sec   t g   cosec2   cot g2   1
 sen      sen cos   cos  sen
 cos      cos  cos  sen sen
Adaptaciones nivel 3.
Página.- ii
Trigonometría.
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 tg     
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tg  tg
1 tg  tg
 sen  sen   es una función impar.
 cos   cos   es una función par.


 sen  sen    180   sen       cos    90   cos    

2


 cos    cos    180    cos       sen    90   sen    

2
2  tg
 sen  2  2  sen  cos  
1  tg 2 
 cos  2  cos 2   sen 2   1  2  sen 2   2  cos 2   1 
 tg  2 
1  tg 2 
1  tg 2 
2  tg
1  tg2 
1
 1  tg 2  
 sec2 
2
cos 
1
 1  cot g 2  
 cos ec2 
2
sen 

 
 
1  cos 
 sen  2  sen    cos    sen    
2
2
2
2



1  cos 
 cos   cos 2    sen 2    cos    
2
2
2
2


2  tg  
sen  
 2   tg    
 2    1  cos 
 tg 
 

 2  cos   
1  cos 
1  tg 2  
 
2
2

 
 sen  sen  2  sen 
  cos 

 2 
 2 


 cos   cos   2  cos 
  cos 

 2 
 2 


 cos   cos   2  sen 
  sen 

 2 
 2 
C
D’
b
 Teorema del seno: Existe proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos
de los ángulos opuestos a los mismos.
 Sea el triángulo ABC de la figura.
Tracemos la altura h correspondiente al
Adaptaciones nivel 3.
Página.- iii
a
h’
h
A
D
B
c
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vértice C. Se han formado dos triángulos rectángulos CDB y CAD en los que se
ˆ 
ˆ
ˆ
En CDB : h  a  senB

ˆ  senA  senB
ˆ  b  senA
verifica:
  a  senB
ˆ
a
b
En CAD : h  b  senA

 Tracemos ahora la altura h’, correspondiente al vértice A, obtenemos ahora los
triángulos rectángulos AD'C y ABD' en los que se verifica
ˆ
ˆ
ˆ
En AD'C : h '  b  senC

ˆ  c  senB
ˆ  senC  senB
  b  senC
ˆ 
c
b
En ABD' : h '  c  senB

ˆ senB
ˆ
ˆ senC
senA


 Por la propiedad transitiva
y además la constante de proa
b
c
porcionalidad es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo
ˆ senB
ˆ
ˆ senC
senA


 2r
dado
a
b
c
 Teorema del coseno: en todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble del producto de éstos por el
2
2
2
ˆ . De igual manera
coseno del ángulo que forman a  b  c  2  b  c  cos A
ˆ y c2  a 2  b2  2  a  b  cosCˆ
b2  a 2  c2  2  a  c  cos B
 Una demostración requiere del conocimiento del producto escalar de dos vectores, por lo que se prescinde de ella hasta no tener conocimiento del mismo.
 Veámoslo de un modo similar al del teorema del seno. En la figura anterior
2
podemos ver que en el triángulo CDB , a 2  h 2  DB y por otro lado
ˆ

h  b  senA
ˆ  c  b  cos A
ˆ 
 a 2  b2  sen 2 A

ˆ

DB  c  b  cos A
ˆ  b2  cos2 A
ˆ  c2  2  b  c  cos A
ˆ  b2  c2  2  b  c  cos A
ˆ c.q.d.
 b2  sen 2 A

 Aplicaciones:
 Calculo de la altura de un
punto de pie inaccesible,
por ejemplo la altura h de
una montaña. En la figura
podemos ver que los
ˆ A
ˆ y A'
ˆ son
datos b, C,
medibles. Con esos
valores tenemos que
ˆ ' , donde todo
h  c  senA
es conocido, ya que
ˆ C
ˆ . Del
B̂¨ 180  A


B
B̂
a
h
c
Ĉ
90º
H
 '
Â
C
b

A
teorema del seno, y ya tenemos la solución.
 Desde un punto del suelo, situado una cierta distancia del pie de un árbol, se ve
la parte más alta del mismo con un ángulo de 42º. ¿Bajo qué ángulo se verá si
nos situamos a una distancia triple que la anterior?.
Adaptaciones nivel 3.
Página.- iv
Trigonometría.
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h
h
tg
x 
3x 



h
h 
tg42
tg 
x

3x 
tg42 
h
1
φ
42˚

3
x
3x
 tg42 
   arctg
  164223
 3 
 Se desea medir la anchura de un río y la altura del acantilado de la orilla opuesta.
 tg  tg42 
Desde un punto de la orilla vemos la cima del acantilado con un ángulo de 60˚.
Retrocediendo 40 m en la vertical a la orilla, vemos la cima con un ángulo de
45˚. ¿Cuál es el ancho del río y el alto del acantilado?.
h
45
40 ˚m
60
˚
x



h 
t g45 
x  40 
t g60 
h
x
h
tg45


 h  40  tg45  h 
h  tg60  40
tg60



x  tg60
tg45 
 x  tg45  40  tg45  x  tg60

x  40
40  tg60  tg45

h
 94.64 m
tg60  tg45



40  tg45
x
 54.64 m 

tg60  tg45

 Una avioneta en vuelo horizontal a una velocidad constante de 150 Km./h sobrevuela un aeropuerto. En un instante determinado observa éste bajo un ángulo de
tg45 
26˚ 6ʹ, y un segundo después lo ve bajo un ángulo de 58˚. ¿A qué altura vuela la
avioneta?.
Recorrido en 1
seg.
v = 150
Km/h
26˚ 6ʹ
H
58˚
Km
1h
1000m


 41.67 m
h 3600seg 1 Km
H
H
tg58   x 
x
tg58
d  150
tg266 
Adaptaciones nivel 3.
Página.- v
H

xd
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H
tg266
d  tg266  tg58
 H
 d  tg266  H  H 

H






tg
58

tg
58


tg
26

6
d
tg58
1000
150
 tg266  tg58
3600
H
 29.42 m
tg58  tg266
 tg266 
 Se desea medir la altura de un faro situado sobre un acantilado sabiendo que desde un barco situado a una cierta distancia de la costa se ve la cima del faro con
un ángulo de 80˚, y que al alejarnos 40 m en la vertical a la costa, los vemos con
un ángulo de 65˚. Calcular también la distancia a la que estábamos de la costa y
h
H
la altura del acantilado, si la cima de éste se ve con un ángulo de 76˚ en la
primera de las posiciones.
(1

H 

t g76 

x   t g80  H  h  t g76


H
Hh 

t g80 
x 


Hh
80˚

t g65 

65˚
x  40

76˚
x

40 m
h  tg76
H  tg80  H  tg76  h  tg76  H 
tg80  tg76
tg65 
H  h   tg76
Hh

H
 40 H  40  tg76
tg76
(2 








h  tg76

 h   tg76
tg80  tg76
h  tg80  tg76

 tg65  


2
h  tg76








h

tg
76


40

tg
76


tg
80


40

tg
76

 40  tg76
tg80  tg76
 h  tg76  tg65  40tg76  tg65  tg80  tg76  h  tg76  tg80 
40  tg65  tg80  tg76
h
 40.39 m
tg80  tg65
Sustituyendo en (2  H  97.55 m , llevándolo todo a (1  x  24.32 m
 Desde el vértice de un prisma regular hexagonal se trazan sus tres diagonales.
Sus aristas laterales miden 15 cm. y las básicas otros 15 cm. Determinar la longitud de las mismas.
d1  d 2
 x  2 15 sen60  25.98 cm
d2

d1
î

120


d3
d1  d2  152  x2  30 cm
x
y
Adaptaciones nivel 3.
Página.- vi
Trigonometría.
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APUNTES DE AULA.
2 15
 30 cm  d3  152  y 2  33.54 cm
2  sen30
 Una estatua está situada sobre un pedestal de 2 m de altura. Desde un punto A
del suelo, la distancia al pie de la estatua es de 6 m y el ángulo de visión de ésta
y  2R 
es de 29˚. ¿Cuál es la altura de la estatua?. ¿A qué distancia del pie del pedestal
se encuentra el punto A?.
h
2m
29˚
6m
A
x  6  cos
2


2   tg 
6  cos
tg 

x 
1
 sen      19.47  192816.4
3
x  6  cos19.47  5.66 m 
x
h2
 h  x  tg48.47  2  4.39 m
x
 Para medir la anchura de un río, Jaime y sus amigos señalan un punto A a una
cierta distancia de la orilla, luego se separan 20 m en dirección paralela al río,
hasta otro punto B desde él, con la ayuda de un teodolito, observan el punto de la
 tg  29 
orilla situado en la vertical de A bajo un ángulo de 43˚. Observando ese punto y
su homólogo en la orilla opuesta, miden un ángulo de 18˚. ¿Cuál es la anchura
del río?.
tg43 
h
18
x
 x  18.65 m
20
xh
tg18  43 
 h  20  tg61  x 
20
 h  17.43 m
x
˚
43
B
˚ 20
m
Adaptaciones nivel 3.
A
Página.- vii
Trigonometría.
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APUNTES DE AULA.
Actividades de aplicación.
P1.-
La apotema de un pentágono regular vale 176,23 m. Calcular la longitud de su
lado y su área.
P2.-
Calcular el área de un rectángulo sabiendo que su diagonal mide 84 m y que la
amplitud de uno de los ángulos adyacentes a la misma es de 72˚ 48ʹ.
P3.-
Calcular los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 13 y 9 m.
P4.-
Si una cuerda de 4 m subtiende un arco de 45˚ 37ʹ, ¿Cuál es el radio de la
circunferencia?.
P5.-
La longitud del lado de un octógono regular es de 12 m. Hallar los radios de las
circunferencias inscrita y circunscrita al mismo.
P6.-
Hallar los ángulos de un trapecio isósceles cuyas bases miden 83 y 52 m, y la altura es de 61 m.
P7.-
Un lado de un paralelogramo mide 56 cm. y los ángulos formados por este lado y
las diagonales miden 31˚ 14ʹ y 45˚ 37ʹ. Calcular los lados y los ángulos del paralelogramo.
P8.-
El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcular el ángulo que forman las
tangentes a la misma trazadas por los extremos de una cuerda de 36 m de
longitud.
25 m
Adaptaciones nivel 3.
36
m
φ
Página.- viii
Trigonometría.
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P9.-
APUNTES DE AULA.
Desde cierto lugar del suelo se ve el punto más elevado de una torre con un ángulo de 30˚. Si nos acercamos 75 m al pie de la torre obtenemos un ángulo de
60˚. ¿Cuál es la altura de la torre?.
H
30
60
˚
˚
75
m
P10.- Desde 6000 m de altura un piloto ve las luces de la pista de aterrizaje con un
ángulo de 30˚. A qué distancia está de la misma?.
30˚
6000 m
P11.- Se desea medir la altura de un faro situado sobre un acantilado sabiendo que desde un barco situado a una cierta distancia de la costa se ve la cima del faro con
un ángulo de 80˚, y que al alejarnos 40 m en la vertical a la costa, los vemos con
un ángulo de 65˚. Calcular también la distancia a la que estábamos de la costa y
la altura del acantilado, si la cima de éste se ve con un ángulo de 76˚ en la
primera de las posiciones.
h
H
80˚
76˚
x
65˚
40 m
P12.- Se considera una circunferencia de radio r y centro O. Sea A un punto exterior a
la misma y tal que OA  4  r . Hallar el ángulo φ que forman entre si las dos tangentes a la circunferencia trazadas desde A y su relación con el ángulo central, β,
correspondiente a la cuerda que une los dos puntos de tangencia.
Adaptaciones nivel 3.
Página.- ix
Trigonometría.
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APUNTES DE AULA.
r
φ
β
O
A
P13.- Calcular el área de un decágono regular de 8 cm. de lado.
P14.- En la siguiente figura AB  3 m es una antena de radio, BC  BD son los tirantes de sujeción de la misma y AC  AD  11m son las vertientes del tejado.
¿Qué longitud
tienen los tirantes?
B
AB
A
100
D
˚
P15.- Calcular el área comprendida entre los lados y la circunferencia circunscrita a un
pentágono regular de 5 cm. de radio.
C
5 cm.
P16.- Desde el vértice de un prisma regular hexagonal se trazan sus tres diagonales.
Sus aristas laterales miden 15 cm. y las básicas otros 15 cm. Determinar la longitud de las mismas.
P17.- La altura de una pirámide hexagonal regular es de 20 cm. y su arista lateral
forma un ángulo de 50˚ con el radio de la base. Calcular su área lateral y total.
Adaptaciones nivel 3.
Página.- x
Trigonometría.
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APUNTES DE AULA.
h
50
r˚
P18.- La altura de la torre de control de un aeropuerto tiene una altura de 30 m. En el
momento en que un avión comunica que está a una altura de 1000 m el ángulo de
observación desde la torre al avión es de 40˚. ¿A qué distancia a la torre se encuentra el avión?.
P19.- Una estatua está situada sobre un pedestal de 2 m de altura. Desde un punto A
del suelo, la distancia al pie de la estatua es de 6 m y el ángulo de visión de ésta
es de 29˚. ¿Cuál es la altura de la estatua?. ¿A qué distancia del pie del pedestal
se encuentra el punto A?.
h
2m
29˚
6m
A
x
P20.- Para medir la anchura de un río, Jaime y sus amigos señalan un punto A a una
cierta distancia de la orilla, luego se separan 20 m en dirección paralela al río,
hasta otro punto B desde él, con la ayuda de un teodolito, observan el punto de la
orilla situado en la vertical de A bajo un ángulo de 43˚. Observando ese punto y
su homólogo en la orilla opuesta, miden un ángulo de 18˚. ¿Cuál es la anchura
del río?.
18
˚
43
B
˚ 20
m
Adaptaciones nivel 3.
A
Página.- xi
Trigonometría.
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APUNTES DE AULA.
P21.- A partir de los datos de la figura calcular los valores de todos los ángulos y lados
que faltan.
D
λ
15 m δ
β
A
φ
Adaptaciones nivel 3.
25 m
α
E
C
25 m
γ
B
Página.- xii
Trigonometría.