Semiesfera cargada superficialmente

1
SEMIESFERA CARGADA SUPERFICIALMENTE
Una superficie semiesférica tiene una carga superficial uniforme .
Determinar el campo eléctrico en el centro de la semiesfera.
Supongamos que la semiesfera es un bol (o una pelota cortada por la mitad) apoyado en un plano paralelo
al plano xy que pasa por z =  R siendo R el radio del bol. De esta manera el problema consiste en
calcular el campo eléctrico en el origen de coordenadas.
Cada elemento de superficie de la esfera
contribuirá con un vector campo eléctrico

dE . Cada uno de estos infinitos vectores
infinitesimales tiene una dirección que pasa
por el origen y por un punto de la superficie
de la esfera. En general tendrán
componentes en x, en y y en z. El sentido
de estos vectores será desde el origen hacia
el semiespacio z > 0 si la densidad de carga
 es positiva.
Planteamos para el cálculo del campo la

 dS  
1
expresión: dE 
r  r `


3
4 o
r  r`

Donde r  0 iˆ  0 ˆj  0 kˆ es el vector
posición del punto campo. Recordemos que
queremos calcular el campo eléctrico en el centro de la semiesfera, que con nuestra elección de
coordenadas queda ubicado en el origen. En este problema, a diferencia de muchos otros, no estamos
buscando la expresión del campo en un punto genérico del espacio en función de las coordenadas.

dE 
1
4 o
0  r`
 dS 
 
0  r`
3
El vector posición de los puntos fuente
(puntos de la superficie esférica) es

que
será
r ` x`iˆ  y` ˆj  z`kˆ Parece
conveniente expresar las coordenadas
cartesianas en función de las coordenadas
esféricas. En adelante omitiremos el
“primado” en las
coordenadas de la
superficie cargada (puntos fuente), ya que
no es necesario hacer la distinción con las
coordenadas del punto campo ya que estas
son (0, 0, 0).
x  r sen cos
y  r sen sen
z  r cos
2
Para todas las componentes en x y en y existirá una componente opuesta. Por lo tanto el campo total en
el origen debe tener dirección z.
Escribimos el diferencial de superficie en coordenadas esféricas, dS  r sen d  rd y planteamos la
integral…

dE 

dE 
1
4 0

1

 r 2 sen d d
4 0 R 3
 
dE 
4 0


 /2
R
  r
3
3
 r sen cos iˆ  r sen sen ˆj  r cos kˆ

sen cos d d kˆ
2
cos sen d  d kˆ
0
Los límites de integración para el ángulo  (coordenada angular alrededor del eje z), son 0 y 2, ya que la
integral debe abarcar toda la circunferencia.
Los límites de integración para el ángulo  son /2 (para puntos del borde de la superficie) y  (para el
“vértice” de la semiesfera. Dicho de otra manera la coordenada z varía entre 0 y R.
En el cálculo anterior hemos omitido algunos pasos. Por ejemplo la primera integral doble se descompone
en la suma vectorial de tres integrales dobles. Pero es fácil comprobar que las integrales en los versores i
y j son nulas. Además la variable r que indica la posición “radial” de cada punto fuente o elemento de
superficie en este caso es constante e igual a R.
Esta claro que el vector resultante dará en la dirección z. Vemos que no depende del radio de la esfera ya
que R está al cubo tanto en el numerador como en el denominador de la expresión.
Ahora hay que resolver la integral…
 
E
4 0


 /2
2
cos sen d  d kˆ 
0

    sen 2 
 1
2 ˆ
0  1  2 kˆ   kˆ
E

  0 k 
4 0  2   / 2
4 0 2
4 0
Entonces el campo, en ese punto particular (centro de la semiesfera), no depende del radio R.
3
Otra manera de calcular el campo en el centro de la cúpula…
Una forma alternativa de hacer el cálculo puede ser la siguiente. Consideremos que cada elemento de

superficie de la esfera provoca en el origen un vector dE . El campo total en el origen será la suma
vectorial de las proyecciones de estos vectores infinitesimales sobre el eje z. Es decir E z   d E  cos 
Ahora bien, cada vector infinitesimal se
puede expresar como el campo de una carga
puntual. Entonces
1  dS
dE 
4 0 R 2
Cada elemento de superficie se puede
expresar como dS  ( R sen )d  R d
Es decir, cada dS es un cuadrilátero de lados
curvos, que al ser infinitesimales se pueden
tomar como rectos. Los lados “verticales”
son arcos de circunferencia Rd. Los lados
paralelos al plano xy también son arcos de
circunferencia pero cuyo radio es menor que
R, precisamente R sen.
Entonces, el campo en el origen, que ya sabemos que tendrá dirección z, se puede escribir así:
 R 2 sen d d
1
 cos 
4 o 
R2
Simplificando y separando las variables, queda:
EZ 

EZ 
4 o
2
 /2

0 d o sen cos  d  4 o  2
 /2
 sen 2  


 2 0


1

 2  1  0 
4 o
2
4 0
La distribución de carga tiene simetría cilíndrica. Esto quiere decir que no varía si se gira alrededor del
eje z. Es decir la distribución de carga no es función de la variable . Pero como se puede apreciar si
depende de la coordenada z, o dicho de otra manera de la coordenada .