probmec1

MECÁNICA Y TERMOLOGÍA.
Primer curso de Química
Profesor: Javier Ruiz del Castillo
Problemas.
1. MECÁNICA de NEWTON.
1. Describir cualitativamente los tipos de movimiento que puede tener una
partícula de masa m en cada uno de los siguientes potenciales (expresados en unidades
arbitrarias):
2
ax
a) V(x) 
+1
b) V(x)  2 2 a,b > 0
x4
x +b
Calcular las fuerzas que derivan de estas funciones energía potencial.
2. Considérese una partícula de masa m, moviéndose en una dimensión, sometida al
potencial de Morse:
V(x) = A( e-2ax - 2 e-ax)
donde A y a son dos constantes positivas. Describir cualitativamente los tipos posibles de
movimiento, según los valores de la energía. Para ello, dibujar el diagrama de energía
potencial, hallar los puntos de equilibrio y su estabilidad y decir cuándo las órbitas son
acotadas. Reducir el problema a cuadraturas, es decir, obtener las soluciones x(t) en función
de x(0) y x'(0), mediante la integral de funciones conocidas (no es necesario resolver las
integrales). Hallar las frecuencias de oscilación alrededor de los puntos de equilibrio estable.
3. Un modelo de una molécula diatómica supone que sus átomos, de masas m1 y m2
interactúan mediante un potencial de la forma:
A B
V(r) = 4 - 3 donde A y B son constantes positivas que valen, en el sistema internacional,
r r
A = 2.4 10-18
B = 1.2 10-10
y r es la separación entre los átomos. Hallar la distancia entre los átomos en la posición de
equilibrio. ¿Cuánta energía se debe comunicar a la molécula para disociarla, es decir, para
separar completamente sus átomos? Determinar el máximo valor del momento angular que
puede tener la molécula sin romperse. Hallar la separación entre los átomos cuando se
rompe por aumentar el momento angular.
4. ¿Para qué valores de a, k, y n (entero), el potencial:
V(x)= k(x+ a )n da lugar a un movimiento oscilatorio alrededor de un punto de equilibrio?
5. Estudiar cualitativamente el movimiento de un péndulo de longitud l y masa m.
Deducir la expresión del potencial V(), cuántos tipos de movimientos existen, y
representarlos en un diagrama , ’.
6. Una partícula de masa m cae verticalmente desde una altura h, en un medio
viscoso, de tal forma que la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad. Al mismo
tiempo, se lanza hacia arriba una segunda partícula igual a la anterior con velocidad v0
según el eje vertical. Calcular el tiempo que tardan en encontrarse las dos partículas.
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Primer curso de Química
Profesor: Javier Ruiz del Castillo
Problemas.
7. Un barco con velocidad inicial v0 se ve frenado por una fuerza de rozamiento F =
- b e . Describir su movimiento; hallar el tiempo que transcurre hasta que se para y la
distancia recorrida.
αv
8. Un atrevido astrónomo permanece de
pie en la cúspide de su observatorio (véase
figura) calzando unos patines de ruedas, y
comienza a descender sobre la cúpula con una
velocidad inicial despreciable.
a) Despreciando el rozamiento, ¿a qué
ángulo θ abandonará la superficie de la cúpula?
b) Si comenzase el movimiento con
una velocidad inicial v0, ¿a qué ángulo θ
comenzaría el despegue?
Prob. 8
c) Para el observatorio que se muestra
en la figura, ¿a qué distancia de la base debe colocar su asistente una red para amortiguar su
caída en el caso a)?
Datos: Radio de la cúpula = 8 m. Altura de la base de la cúpula = 16 m. g = 10 ms2
.
Prob. 9 a)
Prob. 9 b)
9. Los dos carritos que se muestran en la figura tienen masas idénticas, y se aceleran
con fuerzas iguales de 5 kg (50 N), pero el primer carrito se acelera más lentamente que el
segundo. Esto parece contradecir la segunda ley de Newton que dice que fuerzas iguales
comunican aceleraciones iguales a masas iguales. ¿Cómo salir de esta paradoja?
10. Una gota de agua cae en una atmósfera saturada de vapor de agua. Durante la
caída, el vapor se condensa en la gota que aumenta así de tamaño y masa. Estudiar el
movimiento, aceptando la hipótesis de que el aumento de masa por unidad de tiempo es
proporcional a la superficie.
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Primer curso de Química
Profesor: Javier Ruiz del Castillo
Problemas.
11. Se fija rígidamente una partícula de
masa m a una varilla AB de masa M y longitud
L. La varilla está articulada en el extremo A. Si
en el instante inicial el sistema se encuentra en
reposo, como se indica en la figura, y se deja el
extremo B libre, se pide: Calcular la distancia d
para que la aceleración angular en el instante Prob. 11
inicial sea máxima. Hallar el tiempo que tarda la
varilla en pasar por la posición vertical. Dar el resultado mediante una integral definida.
12. Una partícula de masa m se mueve en el potencial central:
U(r)= -ar+ b exp(-r)(  > 0) Averiguar cual de las siguientes características del
movimiento es válida:
A: Existe una única órbita circular si a > 0.
B: Existen dos órbitas circulares si a > b.
C: Existe una única órbita circular para cualquier valor de a, b y μ.
D: Existe una única órbita circular si a < 0.
13. Una cuña de masa 6m puede deslizar sin rozamiento por un plano horizontal.
Sobre su vértice se coloca una polea de masa despreciable por la que pasa una cuerda que
une dos masas m1 = m y m2 = 2m, de modo que cada masa descansa sobre un plano de la
cuña. Estos planos son de la misma longitud y perpendiculares entre si. Calcular la tensión
de la cuerda que une las dos masas.
A) 23 m g B) 3 2 2 mg
C) 2 3 3 mg
D) 2 3 2 mg
14. A continuación, se dan datos del movimiento de cinco astros. Algunos son
planetas, otro u otros no. Dígase de cada uno de ellos si es o no uno de los nueve planetas,
y en caso afirmativo, de cual se trata, razonando la respuesta. NOTA: Para resolver este
problema, basta con hacer los cálculos de manera aproximada. G MS = 1.33 1020 (unidades
S.I.).
ASTRO 1. Su velocidad angular alrededor del Sol es aproximadamente constante e
igual a 6.76 10-9 rad/s.
ASTRO 2. Su velocidad en el perihelio es 35.45 Km/s., y en el afelio 35.03 Km/s.
ASTRO 3. Su energía por unidad de masa es -2.484 107 J/Kg., y la distancia p que
aparece en la ecuación de su órbita ( p/r = 1 + e cos θ ) es 157.5 millones de km.
ASTRO 4. Su energía y su momento angular por unidad de masa son E
= -1.125 107 J/Kg., J = 2.71 1016 m2/s.
ASTRO 5. El cociente entre sus distancias al perihelio y al afelio es igual a 1.2.
DATOS.
Semiejes mayores y excentricidades de los 9 planetas:
Mercurio (0.39 UA; 0.21). Venus (0.72 UA; 0.006).
Tierra (1 UA; 0.017). Marte (1.5 UA; 0.09).
Júpiter (5.2 UA; 0.05). Saturno (9.55 UA; 0.055).
Urano (19.2 UA; 0.05). Neptuno (30 UA; 0.009).
Plutón (39.5 UA; 0.25). 1 UA (unidad astronómica) = 150 106 Km.
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Primer curso de Química
Profesor: Javier Ruiz del Castillo
Problemas.
15. Un satélite artificial de masa m está en órbita circular a una altura de 1600 km
sobre la superficie terrestre. Se desea que pase a otra de 3600 km de altura, y para ello, se
decide utilizar una órbita de transferencia que consiste en una semielipse tangente a las
órbitas inicial y final (este tipo de órbitas de transferencia se denominan de Hohmann). Para
conseguirlo, se hacen actuar los cohetes del satélite en varios momentos, de modo que
producen cambios instantáneos en la velocidad. Calcular la energía por unidad de masa en
las órbitas inicial y final. Hallar la energía y la ecuación de la órbita de transferencia.
Determinar en qué momentos deben actuar los cohetes, en qué dirección y qué incremento
de velocidad deben producir. ¿Cómo cambiarían los resultados anteriores si la masa del
satélite fuese el doble?
16. Un satélite terrestre describe una órbita circumpolar y tiene su perigeo sobre el
polo norte. Suponiendo que la forma de la tierra sea perfectamente esférica: ¿está la órbita
necesariamente contenida en un plano? Si la distancia del perigeo a la superficie de la Tierra
es 160 km, y pasa sobre el polo cada 90 minutos, ¿cual es su velocidad en ese punto, y sobre
el ecuador? Hallar la ecuación de la órbita.
17. El perigeo del Sputnik estaba situado a 227 km de la superficie terrestre, y en
ese punto, su velocidad era 8 km/s. Calcular: a) Semieje mayor a, excentricidad e, período
T. b) Distancia al apogeo y velocidad en ese punto. c) Ecuación de la órbita, tomando como
origen de ángulos la dirección del perigeo. d) Para cambiar la órbita en otra circular,
dándole un impulso tangencial instantáneo en el apogeo (en un intervalo muy corto de
tiempo) ¿cuánto debería incrementarse la velocidad en ese punto? e) Los resultados
anteriores no dependen de la masa del Sputnik en primera aproximación. ¿Dependerá de
ella en algún orden de magnitud? (RTierra = 6373 km; MTierra = 6.0 1024 kg; G = 6,67 10-11
U.S.I.)
18. El radio vector del satélite Tiros I barre área a un ritmo de 26600 km2/s y su
órbita tiene una excentricidad igual a 0.004. Hallar el semieje mayor y el período. Hallar las
distancias del centro de la Tierra al perigeo y al apogeo, y las velocidades en esos puntos.
Escribir la ecuación de la órbita. Si en el perigeo se incrementa bruscamente la velocidad en
δv, sin cambiar su dirección, ¿cuánto debe valer δv para que la nueva órbita sea circular? ¿Y
para que sea parabólica?
19. Las alturas máxima y mínima sobre la superficie terrestre a las que pasa en su
órbita un satélite de la clase OGO (Orbital Geophysical Observatory) son 149380 km y 300
km. Calcúlense los valores máximo y mínimo de su velocidad (tómese el radio de la Tierra
igual a 6360 km y el producto de G por su masa igual a 4 1014 m3/s2).
A: 10730 m/s y 4320 m/s
B: 10730 m/s y 460 m/s
C: 9985 m/s y 1460 m/s
D: 5410 m/s y 460 m/s
20. Un satélite meteorológico pasa en su punto de mayor proximidad a la Tierra a
161 km de altura sobre la superficie y su período es de 90 minutos. Calcular la excentricidad
de su órbita.