00953_poligonos

POLÍGONOS REGULARES Y CÍRCULO
INTRODUCCIÓN
El eje de esta unidad es el estudio de las propiedades de los polígonos regulares, sus elementos básicos y
la concepción del círculo como polígono regular con un número infinito de lados.
El desarrollo planteado aquí se sitúa a nivel de primer Ciclo de la Educación Secundaria, por ello los
contenidos se tratan a un nivel muy elemental, puramente constructivo.
OBJETIVOS

 Introducción al concepto de polígono regular
 Cálculo de perímetros y áreas de polígonos regulares
 Construcción de circunferencias a partir de un polígono
Introducción y cálculo de los ángulos de polígonos y circunferencias.
 Cálculo aproximado del número 
http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Poligonos_regulares_y_circulos/index_Policir.htm
Geometría
ÍNDICE
Introducción
Objetivos
Polígonos regulares
Elementos de un polígono regular
Ángulos de un polígono
Área de un polígono regular
Circunferencia y círculo
Ángulos en la circunferencia
Posiciones relativas
Longitud de la circunferencia y
área del círculo
. POLÍGONOS
Polígono es una figura plana y cerrada formada al unir tres o más segmentos
rectilíneos. Un polígono regular es aquel cuyos lados y ángulos interiores son
todos iguales.
1.-Con la escena del Nippe Descartes
construye los 15 primeros polígonos
regulares, varía para ello el número de
lados.
Utiliza los pulsadores de colores
que hay a la derecha de Número de
lados. También puedes escribir un
número dentro del espacio en
blanco.
El botón Inicio restaura los valores
iniciales.
2.- Observa cómo al aumentar el
número de lados el polígono acaba
confundiéndose con una
circunferencia.
3.- Dibuja un polígono de 50 lados y
observa que no es una circunferencia.
Aumenta el zoom hasta 160 y
desplaza los ejes hacia un lado (O.x
a -700) para encontrar el borde del
polígono.
. CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA
Todos los polígonos regulares tienen una circunferencia circunscrita. El radio y el
centro de dicha circunferencia son el radio y el centro del polígono regular.
Una forma de construcción de polígonos regulares es dividir la circunferencia en un
número de arcos iguales y unir los puntos de la división obteniéndose el
correspondiente polígono inscrito regular. Cuanto mayor sea el radio de dicha
circunferencia mayor será el polígono regular obtenido.
1.- Representa diferentes polígonos y varía para cada uno el tamaño
aumentando el radio.
Los valores se introducen pulsando las flechas o escribiendo un valor dentro
del campo en blanco.
En el caso del radio se puede introducir valores decimales.
¿En qué polígono coinciden el valor del lado y el radio?
2.- Dibuja en tu cuaderno un hexágono regular trazando antes una
circunferencia y llevando la medida del radio 6 veces sobre ella para unir los
puntos después.
2. APOTEMA DE UN
POLÍGONO
REGULAR
La apotema de un polígono regular es el segmento perpendicular a un lado desde el
centro del polígono. Es básica para conocer el área del polígono ya que es la altura
de cada uno de los triángulos formados por cada dos radios y el lado.
3.- En la escena anterior aumenta el número de lados y
observa cómo la apotema se va aproximando en longitud
al radio del polígono regular.
4.- Dibuja en tu cuaderno un hexágono y halla por
métodos geométricos la longitud de la apotema.
Miguel García Reyes
ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES
En un polígono se contemplan dos
tipos de ángulos: los interiores y
los
exteriores. Los interiores son los formados por
cada dos lados contiguos y los exteriores son
sus suplementarios.
Conocemos la suma de los ángulos interiores de
cualquier triángulo, que es 180º. Como
cualquier polígono se puede dividir en
triángulos se podrá calcular cuál es la suma
total en cada caso.
Un cuadrilátero se puede dividir en 2 triángulos,
un pentágono en 3, un hexágono en 4, etc.;
siempre dos menos que el número de lados. En
definitiva, un polígono de n lados se puede
descomponer en n-2 triángulos y, por tanto, la
suma de los ángulos interiores será:
180º·(n-2). Si el polígono es regular el valor
de uno de los ángulos interiores es:
La suma de los ángulos exteriores de
cualquier polígono es 360º. Teniendo en cuenta
que el ángulo interior y el exterior suman 180º,
en un polígono de n lados los interiores y los
exteriores sumaran, en total, n·180º, como los
interiores suman 180º·(n-2) los exteriores
suman 360º
1.- Observa que cada ángulo
exterior de un triángulo coincide
con el siguiente y cómo los tres
dan una vuelta completa, igual
pasa con los cuatro del cuadrado y
los cinco del pentágono, etc.
2.- Aumenta el número de lados
del polígono y mira la disminución
que sufren los ángulos exteriores
así como el aumento de los
interiores.
3.- Calcula el valor de los ángulos
interiores y exteriores de
polígonos regulares de 20 y 40
lados. Compruébalo en la escena
Descartes.
4.- Dibuja en tu cuaderno
polígonos no regulares, señala los
ángulos exteriores y observa
cómo se cumple la misma
propiedad.
2. ÁNGULO CENTRAL EN UN POLÍGONO REGULAR
Si pensamos en el polígono inscrito en una circunferencia el ángulo central se
corresponde al que forman dos radios consecutivos del polígono. La medida de
todos los ángulos centrales es de 360º, la misma que la de los ángulos exteriores.
5.- Calcula en tu cuaderno la medida del ángulo central de polígonos de 6, 12,
20 y 36 lados. Comprueba en la escena el valor de dichos ángulos.
Teclea directamente los valores solicitados en lugar de pasar de uno a otro
con las flechas.
Miguel García Reyes
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001
1. POLÍGONOS REGULARES
El área de cualquier polígono es el de la suma de las áreas de los triángulos en que
se puede dividir. Si el polígono es regular el método se simplifica, ya que puede
dividirse en triángulos iguales con un vértice en el centro del polígono y los otros
dos en los extremos de cada lado. Puesto que la apotema es la altura de cada uno
de esos triángulos, su área es el producto del lado por la apotema partido por dos.
Al multiplicar por el número de lados se obtiene al área de un polígono regular:
el perímetro por la mitad de la apotema.
1.-Calcula en tu cuaderno el
área de un pentágono de lados
de tamaño 6.
Escribe 5 en n y 6 en lado.
Toma nota de la apotema y
efectúa los cálculos. Compara
tu resultado con el valor del
Área en la escena.
2.- Repite la operación y calcula
el área de los polígonos de 15
lados de tamaño 2, y de 25
lados de tamaño 1.5. Emplea en
cada caso los datos de la
apotema que aparece en la
escena y contrasta tus cálculos
con los valores de las áreas.
3.- En el caso del cuadrado y el
hexágono de lado 5 intenta
hallar el valor de la apotema y
contrástalo con el que aparece
en la escena.
Miguel García Reyes
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001
1. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
El Al conjunto de los puntos del plano que están a una distancia r de un punto O se
le llama circunferencia de centro O y radio r. También se dice que la
circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que distan una
distancia igual de otro, llamado centro. Círculo son todos los puntos interiores a
una circunferencia.
1.-Si aumentamos el número de lados
de un polígono regular se irán
aproximando cada vez más a la
circunferencia circunscrita. Aumenta
progresivamente el número de lados
del polígono de la escena y observa
cómo se acaba confundiendo con la
circunferencia circunscrita.
2.- En el caso del triángulo el lado es
mayor que el radio de la circunferencia
circunscrita, al aumentar el número de
lados su tamaño va disminuyendo
cada vez más.
3.- ¿Coinciden el lado y el radio en
algún momento? ¿De qué polígono se
trata? ¿Se podría dibujar ese polígono
empleando sólo un compás?
1. ÁNGULO CENTRAL
Ángulo central es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia. A un
arco de circunferencia AB se le puede asociar una medida angular AOB, que es la
del ángulo central correspondiente.
1.- En la escena Descartes halla el
arco correspondiente a un ángulo
central de 90º ¿Qué parte de la
circunferencia representa ese arco ?
2.-¿Y si aumentas el radio hasta 5?
Repite el proceso con 180º y 270º.
3.- Calcula también el ángulo central
de un pentágono, un hexágono y un
dodecágono.
2. ÁNGULO INSCRITO
Si Ángulo inscrito es el que tiene el vértice en la circunferencia y sus lados la
cortan. La medida de un ángulo inscrito APB es la mitad del arco AOB que abarca.
4.- Observa en la escena que al mover el punto P a un lado y otro la medida del
ángulo es siempre la mitad del ángulo que abarca.
Si desplazas el punto P hasta que POB estén alineados, podrás intuir por
qué se cumple esta propiedad, ya que el triángulo OPA es isósceles.
5.- Mueve los puntos A y B hasta los extremos de un diámetro, es decir, hasta
que formen 180º. ¿Cuánto miden entonces todos los ángulos inscritos que
abarcan un diámetro?
6.- Desplaza los puntos A y B 270º y halla el valor del ángulo inscrito
correspondiente. Reflexiona sobre cuál es el mayor valor que puede alcanzar un
ángulo inscrito.
. POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y CIRCUNFERENCIA
Una recta y una circunferencia pueden ser exteriores, si la distancia d del centro
de la circunferencia a la recta es mayor que el radio r de la circunferencia ;
tangentes, si la distancia de la recta a la circunferencia es igual al radio; y
secantes, cuando esa distancia es menor.
Mueve la recta arrastrando con el
ratón el punto rojo y sitúala en
diferentes posiciones respecto a la
circunferencia.
1.- Dibuja en tu cuaderno una
circunferencia de radio 3 cm y traza
rectas que pasen a una distancia del
centro de 5 cm, 3 cm y 2 cm, indica
cuándo son exteriores, tangentes o
secantes.
2. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Dependiendo de la distancia a que se encuentren y de sus radios, dos
circunferencias, cuyos centros se encuentran a una distancia d pueden ser:
exteriores, si d es mayor que la suma de sus radios; tangentes exteriores, si d
es igual a la suma de sus radios; secantes, si d es menor que la suma de los
radios pero mayor que su diferencia; tangentes interiores, si d es igual a la
diferencia de los radios; interiores si d es menor que la diferencia de los radios y
mayor que cero; concéntricas, si d es cero.
2.- Utilizando la escena anterior mueve una de las circunferencias hasta que se
cumplan cada uno de los casos anteriores.
3.- ¿En el caso de que las dos circunferencias tuvieran igual radio qué casos
pueden darse y cuáles no?
1. LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
Podemos considerar la circunferencia como un polígono regular con un número muy
grande de lados. Ya hemos visto cómo en las escenas del programa Descartes a
partir de un determinado número de lados se confunden la circunferencia y el
polígono. Si comparamos el perímetro de un polígono regular con la longitud de la
circunferencia circunscrita podemos ver cómo se aproximan esos dos valores al
aumentar el número de lados.
1.- Busca a partir de qué número de
lados coinciden las longitudes del
polígono y de su circunferencia
circunscrita. ¿Son realmente iguales o
sólo hasta esas cifras que aparecen
ahí?
Pulsa Inicio, haz el radio=0.5 y
aumenta la escala hasta 200.
Ahora la longitud de la
circunferencia circunscrita es
exactamente 
2.- Si no conociéramos el valor de 
lo podríamos calcular
aproximadamente hallando el
perímetro del polígono de 1000 lados
inscrito en la circunferencia.
2. ÁREA DEL CÍRCULO
De la misma forma que un polígono regular y la circunferencia circunscrita se
tienden a confundir cuando aumenta el número de lados, el área del polígono y la
del círculo se aproximan. En la siguiente escena puedes apreciar la aproximación de
los dos valores.
3.- Aumenta el número de lados hasta que sean iguales las cifras de las áreas
del polígono y el círculo.
http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Poligonos_regulares_y_circulos/index_Policir.ht
m