historia 1 - Investigando las matemáticas

HISTORIA 1
1.Gerberto de Aurillac, que en el año 999 se convirtió en el papa Silvestre II,
hizo aportaciones matemáticas importantes. Busca información sobre Silvestre II
y la época en que vivió.
El que se convertirá en el primer papa francés de la historia, nació en la
región occitana de Auvernia e ingresó, alrededor de 963, en el monasterio de
Saint-Géraud de Aurillac donde estudio gramática, retórica y dialéctica, las
tres disciplinas del Trivium; hasta que en el año967, viajó a la corte del
conde de Barcelona, Borrell II, donde permaneció tres años en elmonasterio
de Santa María de Ripoll, en Gerona y, posiblemente, viajó
a Córdoba y Sevilla. Esta estancia en la península Ibérica le permitió entrar
en contacto con la ciencia árabe e iniciarse en el estudio de
las matemáticas y la astronomía.
En el año 969 viajó a Roma acompañando, en una peregrinación, a su
protector el conde Borrell II, lo que le permitió conocer al entonces papa Juan
XIII y al emperador Otón I, quien le nombró tutor de su hijo, el futuro Otón II.
En 983, el emperador Otón II le nombra abad del monasterio benedictino
de Bobbio (Italia), cargo que desempeñó durante un corto espacio de tiempo
ya que no tardó en regresar a Reims donde actuó como consejero del
arzobispo Adalberón y favoreció el nombramiento de Hugo Capeto como rey
de Francia.
En 988 fallece Adalberón y, para sucederle en la sede arzobispal, Hugo
Capeto nombra a Arnulfo. El nuevo arzobispo de Reims traiciona a Hugo
aliándose con Carlos que había sido aspirante al trono francés.
Tras la muerte de Gregorio V, el 18 de febrero de 999, Gerberto de Aurillac,
fue nombrado papa y consagrado el 2 de abril con el nombre de Silvestre II
como homenaje a Silvestre I, que fue papa en tiempos del
emperador Constantino I que adoptó el cristianismo como religión oficial
del Imperio romano.
En el año 1001 tuvo que hacer frente a una de los levantamientos populares
que periódicamente se daban en Roma, y que le obligó, junto con Otón III,
que había fijado su residencia en dicha ciudad, a huir a Rávena. En tres
ocasiones intentó el emperador restaurar el orden en Roma, fracasando en
las dos primeras y muriendo, el 24 de enero de 1002, en el curso de la
tercera. A Silvestre II, la nobleza romana, le permitió regresar a Roma donde
falleció el 12 de mayo de 1003.
2.Averigua cómo funcionaba el ábaco que construyó Silvestre II.
El ábaco constaba de 27 compartimentos de metal, en el cual se depositaban
9 fichas con los números arábigos grabados. La primera columna del extremo
derecho, contenía las unidades; la segunda, a su izquierda, las decenas; y
así sucesivamente. Este ingenioso ábaco permitía multiplicar y dividir
rápidamente. El desplazamiento de estas fichas por los 27 compartimientos
indicaba finalmente el resultado de multiplicaciones y divisiones. Así era
posible efectuar rápidamente un gran número de operaciones matemáticas.
Marcó las pautas para que, luego, otros estudiosos perfeccionaran el sistema
con la introducción del número cero, que finalmente, él no llegó a aplicar. El
invento era, en realidad, un antecedente de las modernas calculadoras de
nuestros días. También se le atribuye la introducción del péndulo y la
invención de un reloj de ruedas dentadas.
HISTORIA 2
1. Pitágoras fue un matemático griego del siglo VI a.C. Busca información
sobre su vida y sus descubrimientos matemáticos.
Pitágoras de Samos nació en la isla de Samos hacia el año 580 a. C. Fue un
filósofo y matemático griego, famoso sobre todo por el Teorema de Pitágoras,
que en realidad pertenece a la escuela pitagórica y no solo a Pitágoras. Su
escuela afirmaba «todo es número», por ello, se dedicó al estudió y
clasificación de los números.
Siendo muy joven viajó a Mesopotamia y Egipto, a estudiar con Ferécides de
Siros y con su padre, Badio de Siros. Tras regresar a Samos, finalizó sus
estudios y luego fundó su primera escuela durante la tiranía de Polícrates.
Abandonó Samos para escapar de la tiranía de Polícrates y se estableció en
la Magna Grecia, en Crotona alrededor del 525 a. C., en el sur de Italia,
donde fundó su segunda escuela. Las doctrinas de este centro cultural eran
regidas por reglas muy estrictas de conducta. Su escuela estaba abierta a
hombres y mujeres indistintamente, y la conducta discriminatoria estaba
prohibida excepto impartir conocimiento a los no iniciados. Sus estudiantes
pertenecían a todas las razas, religiones, y estratos económicos y sociales.
Tras ser expulsados por los pobladores de Crotona, los pitagóricos se
exiliaron en Tarento donde se fundó su tercera escuela. Poco se sabe de la
niñez de pitágoras, todas las pistas de su aspecto físico probablemente sean
ficticias excepto la descripción de una marca de nacimiento llamativa que
Pitágoras tenía en el muslo. Es probable que tuviera dos hermanos aunque
algunas fuentes dicen que tenía tres. Era ciertamente instruido, aprendió a
tocar la lira, a escribir poesía y a recitar a Homero. Había tres filósofos, entre
sus profesores, que debieron de haber influido a Pitágoras en su juventud. El
esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemático a partir de
su cumplimiento en casos particulares ejemplifica el método pitagórico para la
purificación y perfección del alma, que enseñaba a conocer el mundo como
armonía; en virtud de ésta, el universo era un cosmos, es decir, un conjunto
ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposición armónica
que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en proporciones similares a
las correspondientes a los intervalos de la octava musical. En un sentido
sensible, la armonía era musical; pero su naturaleza inteligible era de tipo
numérico y, si todo era armonía, el número resultaba ser la clave de todas las
cosas.
La voluntad unitaria de la doctrina pitagórica quedaba plasmada en la relación
que establecía entre el orden cósmico y el moral; para los pitagóricos, el
hombre era también un verdadero microcosmos en el que el alma aparecía
como la armonía del cuerpo. En este sentido, entendían que la medicina tenía
la función de restablecer la armonía del individuo cuando ésta se viera
perturbada, y, siendo la música instrumento por excelencia para la
purificación del alma, la consideraban, por lo mismo, como una medicina para
el cuerpo. La santidad predicada por Pitágoras implicaba toda una serie de
normas higiénicas basadas en tabúes como la prohibición de consumir
animales, que parece haber estado directamente relacionada con la creencia
en la transmigración de las almas.
Los pitagóricos atribuían todos sus descubrimientos a Pitágoras por lo que es
difícil determinar con exactitud cuales resultados son obra del maestro y
cuales de los discípulos.
Los números pentagonales son un ejemplo de números figurados.
Entre los descubrimientos que se atribuyen a la escuela de Pitágoras están:
• Una prueba del teorema de Pitágoras. Si bien los pitagóricos no
descubrieron este teorema (ya era conocido y aplicado en Babilonia y la India
desde hacía un tiempo considerable), sí fueron los primeros en encontrar una
demostración formal del teorema. También demostraron el converso del
teorema (si los lados de un triángulo satisfacen la ecuación, entonces el
triángulo es recto).
• Ternas pitagóricas. Una terna pitagórica es una terna de números enteros
(a, b, c) tales que a² + b² = c². Aunque los babilonios ya sabían cómo
generar tales ternas en ciertos casos, los pitagóricos extendieron el estudio
del tema encontrando resultados como cualquier entero impar es miembro de
una terna pitagórica primitiva. Sin embargo, la solución completa del
problema no se obtuvo hasta el siglo XIII cuando Fibonacci encontró la forma
de generar todas las ternas pitagóricas posibles.
• Sólidos regulares. Los pitagóricos descubrieron el dodecaedro y
demostraron que sólo existen 5 poliedros regulares.
• Números perfectos. Estudiaron los números perfectos, es decir aquellos
números que son iguales a la suma de sus divisores propios (por ejemplo
6=1+2+3). Encontraron una fórmula para obtener ciertos números perfectos
pares.
• Números amigables. Un par de números son amigables si cada uno es igual
a la suma de los divisores propios del otro. Jámblico atribuye a Pitágoras
haber descubierto el par amigable (220, 284).
• Números irracionales. El descubrimiento de que la diagonal de un cuadrado
de lado 1 no puede expresarse como un cociente de números enteros marca
el descubrimiento de los números irracionales.
• Medias. Los pitagóricos estudiaron la relación entre las medias aritmética,
geométrica y armónica de dos números y obtuvieron la relación .
• Números figurados. Un número es figurado (triangular, cuadrangular,
pentagonal, hexagonal, etc.) si tal número de guijarros se pueden acomodar
formando el polígono correspondiente con lados 1,2,3, etc. (ver figura).
2. ¿A qué se refiere Pitágoras cuando habla de los otros números? ¿Qué
es la razón de la Pentalfa?
Los otros numeros de pitágoras.
La Escuela Pitagórica descubrió la existencia de números irracionales, es
decir, números que no eran naturales (1,2,3,...), ni enteros (...-3,-2,1.0,1,2,3,...) ni racionales (fracciones de números enteros).
Ellos los llamaron números inconmensurables.
Es posible que este descubrimiento se produjera al intentar resolver el
problema siguiente:
Si se traza un cuadrado cuyo lado mida la unidad, es decir 1, y se intenta
calcular lo que mide la diagonal utilizando el Teorema de Pitágoras, podemos
dividir el cuadrado en dos triángulos rectángulos cuya hipotenusa es la
diagonal d del cuadrado. En resumen tenemos dos triángulos rectángulos
iguales con catetos que miden 1.
Si ahora aplicamos el Teorema de Pitágoras tenemos que se verifica el
siguiente desarrollo despejando d en la relación pitagórica.
Y el número es irracional ("infinitas cifras decimales no periódicas"), tal y
como vamos a probar más adelante.
Los pitagóricos se sorprendieron mucho de la existencia de este tipo de
números "tan raros" que contradecía su doctrina que preconizaba la
adoración del número como ente perfecto que gobernaba el universo y todo
lo que en él existía. Al parecer llegaron a decidir mantener en secreto su
descubrimiento que mostraba la fragilidad de sus creencias, pero uno de ellos
lo reveló traicionando a la secta por lo que fue ejecutado.
Euclides (300 a.C.) recoge en su obra Los Elementos una referencia a los
números irracionales y prueba el siguiente teorema que, posiblemente ya fue
probado casi 300 años antes por el propio Pitágoras o alguno de sus
discípulos:
Teorema.- El número es irracional.
Demostración.Vamos a ver una prueba aplicando el método de reducción al absurdo, que
consiste en suponer cierto lo contrario de lo que afirmamos en el teorema
para llegar a una contradicción, es decir que este supuesto no es posible.
Supongamos entonces que no es un número irracional, es decir que es
racional y por tanto habrá una fracción irreducible (que no se puede
simplificar más), de modo que:
con p y q números enteros y entonces:
y si elevamos al cuadrado los dos miembros queda:
y por lo tanto es un número par, lo cual implica que también lo es, pues el
cuadrado de un número impar es impar y el cuadrado de un número par es
par.
Por tanto, al ser un número par es múltiplo de 2, es decir será del tipo , con
m un número entero. Si ahora sustituimos en la igualdad anterior y
operamos:
con lo que es par y también, es decir con n un número entero, luego la
fracción irreducible inicial queda:
y se ha podido reducir, en contra de lo que habíamos supuesto al principio.
Concluimos que no puede ser una fracción, no puede ser racional.
La razon de pentalfa
Es un pentagrama, también llamado pentáculo, pentalfa, pentángulo y estrella
pitagórica es una estrella de cinco puntas dibujada con cinco trazos rectos.
adjetivo que significa "cinco líneas" o "de cinco líneas". También se le
denomina pentalfa porque su dibujo posee cinco letras A y pentáculo por
poseer 5 ángulos agudos.
Caracterisitcas
Un pentagrama regular es un polígono en estrella {5/2}. Se dibuja
sencillamente partiendo de un pentágono regular, uniendo las esquinas
alternadas con líneas y borrando el pentágono original. También pueden
extenderse los lados del pentágono hasta su intersección, obteniendo un
pentagrama más grande.
La proporción áurea, φ = (1+√5)/2 = 1.618…, que satisface
tiene un papel importante en los pentágonos y pentagramas regulares. Cada
línea está dividida en segmentos más pequeños, y si se divide la longitud del
segmento más largo por el segmento más corto de cualquier par de
segmentos, se obtiene φ.
También, el lado del pentágono mayor es una línea verde, mientas que la
diagonal del pentagrama menor es de la misma longitud que el segmento de
línea azul.
Como el pentágono regular, y un pentágono regular con un pentagrama
dentro, etc., el pentagrama regular tiene como grupo de simetría el grupo
diédrico de orden 10.
Algunos valores trigonométricos significativos
3. Investiga quién fue Hipaso de Metaponto y sus aportaciones al estudio
de los números reales.
Hipaso de Metaponto fue un matemático, teórico de la música y filósofo
presocrático, miembro de la Escuela pitagórica. Nació en torno al año 500 a.
C. en Metaponto, ciudad griega de la Magna Grecia situada en el Golfo de
Tarento, al sur de la Italia actual. Se cuenta entre los más renombrados de
los pitagóricos de la época más temprana. Se le atribuyen tres importantes
descubrimientos: La construcción de un dodecaedro inscrito en una esfera, el
descubrimiento de la inconmensurabilidad y la determinación de las
relaciones numéricas de las consnancias básicas a través de experimentos
de sonido.
Se cree que fue quien probó la existencia de los números irracionales, en un
momento en el que los pitagóricos pensaban que los números racionales
podían describir toda la geometría del mundo. Hipaso de Metaponto habría
roto la regla de silencio de los pitagóricos revelando al mundo la existencia
de estos nuevos números. Eso habría hecho que éstos lo expulsaran de la
escuela y erigieran una tumba con su nombre, mostrando así que para ellos,
él estaba muerto.
Parece ser que murió en un naufragio en circunstancias misteriosas; algunos
dicen que se suicidó como autocastigo, dejando así libertad a su alma para ir
a buscar la purificación en otro cuerpo; otros afirman que un grupo de
pitagóricos lo mataron, e incluso otra teoría dice que Pitágoras en persona lo
condenó a muerte.
En su momento, sintió mucha admiración por Pitágoras, a quien llamaba «el
gran hombre». Dentro de los pitagóricos, se crearon dos grupos: el de los
matemáticos, que eran los que realmente conocían la doctrina pitagórica, y
eran dirigidos por Pitágoras, y el grupo de los acusmáticos, que sólo conocían
los rudimentos de la doctrina, y eran dirigidos por el propio Hipaso de
Metaponto. A Hipaso se le adjudica la construcción de un dodecaedro como
aproximación a una esfera y el descubrimiento de la inconmensurabilidad
(filosofía).
Además de los trabajos sobre matemáticas que incluyen el descubrimiento de
que la raíz de 2 era un número irracional, hizo estudios sobre acústica y
resonancia, pero pocos de sus trabajos originales han llegado hasta nuestros
días, aunque se tiene constancia de experimentos suyos con discos de
bronce del mismo diámetro, pero de diferente grosor (el grosor del primero
era un tercio mayor que el del segundo, una vez y media mayor que el del
tercero, y el doble que el del cuarto disco), que al ser golpeados sonaban
con cierta armonía.
Historia 3
1. Investiga sobre las aportaciones de la cultura árabe al estudio de las
matemáticas y sobre la vida de Al-Khwarizmi.
La matemática árabe se enriqueció en forma creciente a medida que los
musulmanes conquistaron territorios. Con rapidez inusitada, el islamismo se
expandió en todo el territorio que se extiende por las orillas del Mediterráneo,
desde Persia hasta los Pirineos.
Durante mucho tiempo, entre los historiadores de la ciencia, se ha sostenido
que tras el brillante período alejandrino,1 en que los griegos establecieron los
fundamentos de la matemática, hubo un lapso de estancamiento antes de
que los europeos, a comienzos del siglo XVI, reiniciaran el camino en el
punto en que los griegos lo dejaran. La percepción común del período de
alrededor de mil años entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo
es que pocas novedades surgieron en el campo matemático, excepto por
algunas traducciones árabes de obras griegas que preservaron las
enseñanzas helénicas para que estuvieran disponibles para los europeos al
comenzar el siglo XVI.
No debería sorprendernos la generalidad de esta percepción. Muchos
importantes historiadores de la ciencia han contribuido a sostener esta visión,
ya sea omitiendo cualquier mención a las matemáticas del islam en el
desarrollo histórico, o con declaraciones como la de Duhem:
La ciencia árabe solo reprodujo las enseñanzas de la ciencia griega.
Duhem2
Sin embargo, la investigación reciente muestra un panorama muy diferente de
nuestra deuda con los matemáticos del islam. A partir de mediados de la
década de 1950, el incansable trabajo de investigadores de distintos orígenes
y escuelas, como —por citar solo unos pocos— el estadounidense Edward S.
Kennedy en la American University de Beirut, los soviéticos Adolf Yuskevich y
Boris Rozenfe'ld en la Academia de Ciencias de la URSS y el egipcio
(residente en Francia) Roshdi Rashed en el CNRS, sus colegas y alumnos,
demuestra que muchas de las ideas que previamente se creían brillantes
concepciones debidas a matemáticos europeos de los siglos XVI, XVII y XVIII
fueron desarrolladas por los científicos del islam entre cuatro y nueve siglos
antes.
El período del islam medieval puede definirse como el lapso que comprende
desde finales del siglo VIII hasta mediados del XV, con especial énfasis en la
«Edad de Oro» situado entre los siglos IX y XII. Algunos autores hablan de
«matemáticas islámicas», otros de «matemáticas árabes», y finalmente otros
las designan como «matemáticas musulmanas». Pero no todos los
matemáticos de esos tiempos que trabajaron en áreas controladas por el
islam eran musulmanes; algunos eran judíos, otros cristianos de diversas
sectas, zoroastrianos, sabianos y de otras confesiones. Ni eran todos ellos
árabes; su diversidad incluye persas, tayiks, uzbecos, turcos, magrebíes,
españoles. En este artículo se emplea la designación de «matemáticas del
islam», como referencia al enorme conglomerado político-económico que,
bajo la autoridad de los seguidores del profeta Mahoma, constituyera el
conjunto hegemónico del mundo en la Edad Media, extendiéndose desde las
fronteras de la China en el Este hasta la Península Ibérica en Occidente.
Al-Khwarizmi fue matemático y astrónomo árabe. Su principal aportación fue
la de introducir a los matemáticos europeos en los numerales indoarábigos y
en los principios fundamentales del álgebra. Khwarizmi vivió en Bagdad bajo
los califatos de al-Ma’mum y al-Mu’tasim, en la edad de oro de la ciencia
islámica. Su obra Kitab al-jabr wa al-muqabalah fue traducida al latín en el
siglo XII dando origen al término álgebra; en ella se compilan una serie de
reglas para obtener las soluciones aritméticas de las ecuaciones lineales y de
las cuadráticas. Otra obra, de la que sólo se conserva su traducción al latín,
es Algoritmi de numero Indorum, de la que se derivó a su vez el término
algoritmo.
2. ¿A qué se llamó Casa de la Sabiduría de Bagdag? ¿Qué relación tiene
con Al-Khwarizmi?
La Casa de la sabiduría fue un edificio fundado por Al-Mamun en Bagdad en
el siglo IX (aproximadamente año 800). Fue una especie de universidad
fundada como reflejo del nacimiento del interés del Islam por la cultura, casi
perdida en todo el territorio occidental-oriental . Uno de sus miembros más
destacados fue el matemático y astrónomo árabe al-Jwarizmi.
La relación que existe entre la casa de la sabiduria y Al- khwarizmi es que el
fue alumno de alli junto con sus amigos y después fue invitado por el califa a
trasladarse a Bagdad, donde fue nombrado primer astrónomo y después jefe
de la biblioteca la casa de la sabiduria.
3. Busca información sobre las aportaciones de Al-Khwarizmi al álgebra.
Después de presentar los números naturales, al-Khwarizmi presenta el tema
principal de esta primera sección del libro, que es la solución de ecuaciones.
Sus ecuaciones son lineales ó cuadráticas1 y están compuestas por
unidades, raíces y cuadrados. Por ejemplo, para al-Khwarizmi una unidad era
un número, una raíz era x y un cuadrado era x2. Sin embargo, aunque
usaremos la ahora familiar notación algebraica en este artículo para ayudar al
lector a entender las nociones, las matemáticas de al-Khwarizmi son hechas
totalmente con palabras, sin el uso de símbolos.
Él reduce primero una ecuación (lineal ó cuadrática) a una de las seis formas
estándar:
1. Cuadrados igual a raíces
2. Cuadrados igual a números
3. Raíces igual a números
4. Cuadrados y raíces iguales a números, por ejemplo, x2 + 10x = 39
5. Cuadrados y números iguales a raíces, por ejemplo, x2 + 21 = 10x
6. Raíces y números iguales a cuadrados, por ejemplo, 3x + 4 = x2
La reducción se hace usando las dos operaciones de al-jabr y al-muqabala.
Aquí, 'al-jabr' significa 'completar' y es el proceso de eliminar términos
negativos de una ecuación. Por ejemplo, usando uno de los ejemplos del
propio al-Khwarizmi, 'al-jabr' transforma x2 = 40x - 4x2 en 5x2 = 40x. El
término 'al-muqabala' significa 'equilibrar' y es el proceso de reducir los
términos positivos de la misma potencia cuando se dan a ambos lados de
una ecuación. Por ejemplo, dos aplicaciones de 'al-muqabala' reducen 50 +
3x + x2 = 29 + 10x a 21 + x2 = 7x (una aplicación para usar sobre los
números y otra sobre las raíces).
A partir de ahí Al-Khwarizmi demostró cómo resolver los seis tipos de
ecuación estándar. Usó métodos de solución tanto algebraicos como
geométricos. Por ejemplo para resolver la ecuación x2 + 10x = 39 escribe
[11]:
...un cuadrado y 10 raíces son igual a 39 unidades. La cuestión, por tanto, en
este tipo de ecuación, es la que sigue: ¿cual es el cuadrado que combinado
con diez de sus raíces dará una suma total de 39? La manera de resolver
este tipo de ecuación es tomar una mitad de las raíces mencionadas. Las
raíces en el problema que vimos eran 10. Por tanto tomamos 5, que
multiplicado por sí mismo da 25, una cantidad a la que sumamos 39, dando
64. Habiendo tomado después la raíz cuadrada de éste, que es 8, le
restamos la mitad de las raíces, 5, quedando 3. El número tres por tanto
representa una raíz de este cuadrado, que él mismo es, naturalmente, 9.
Nueve por tanto da el cuadrado.
al-Khwarizmi completa el cuadrado
La prueba geométrica mediante el completado del cuadrado es la que sigue.
Al-Khwarizmi comienza con un cuadrado de lado x, que por tanto representa
x2 (Figura 1). Debemos sumar 10x al cuadrado y lo hacemos sumando
cuatro rectángulos, cada uno de una anchura de 10/4 y longitud x, al
cuadrado (Figura 2). La figura 2 tiene un área de x2 + 10, que es igual a 39.
Ahora completamos el cuadrado sumando los cuatro pequeños cuadrados,
cada uno de un área de 5/2 × 5/2 = 25/4. De aquí que el cuadrado
exterior de la Figura 3 tenga un área de 4× 25/4 + 39 = 25 + 39 = 64. El
lado del cuadrado es por tanto 8. Pero el lado tiene una longitud de 5/2 + x
+ 5/2, o sea, x + 5 = 8, resultando que x = 3.