MATEMÁTICAS 4º ESO Opción B EJERCICIOS Y PROBLEMAS

Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
MATEMÁTICAS 4º ESO Opción B
Tema
Título
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5
5
5
EJERCICIOS DE FIGURAS SEMEJANTES
PROBLEMAS DEL TEOREMA DE THALES
PROBLEMAS DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
PROBLEMAS DEL TEOREMA DE LA ALTURA Y EL CATETO
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EJERCICIOS DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
EJERCICIOS DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
EJERCICIOS DE SIMPLIFICACIONES TRIGONOMÉTRICAS
EJERCICIOS DE TRIÁNGULOS
PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS
EJERCICIOS DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
5
6
8
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14
7
7
7
7
7
7
EJERCICIOS DE VECTORES
EJERCICIOS DE PRODUCTO ESCALAR Y ÁNGULOS
EJERCICIOS DE ECUACIONES DE LA RECTA
PROBLEMAS MÉTRICOS DE TRIÁNGULOS
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA ( I )
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA ( y II )
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16
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19
20
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DE SEMEJANZA EN EL PLANO
1.Un rectángulo tiene de lados 3 cm y 4 cm. Se duplica la longitud de sus lados
para formar otro rectángulo semejante al primero. Comprueba que la razón de las áreas
entre ambos rectángulos es el cuadrado de la razón de sus lados.
2.Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 cm y 4 cm. Se duplica la
longitud de la hipotenusa para formar otro triángulo semejante al primero. Comprueba que
la razón de las áreas entre ambos triángulos rectángulos es el cuadrado de la razón de
sus lados.
3.En un trapecio isósceles las bases miden 10 cm y 16 cm y la altura mide 4 cm.
Se triplica la longitud de la altura para formar otro trapecio semejante al primero.
Comprueba que la razón de las áreas entre ambos trapecios es el cuadrado de la razón
de sus lados.
4.La diagonal menor de una cometa mide 6 dm. La diagonal mayor es cortada por
la menor de forma que origina en ella dos segmentos de 4 dm y √55 dm. Para hacer un
dibujo a escala se divide entre 10 la longitud de los lados. Comprueba que la razón de las
áreas entre ambos trapecios es el cuadrado de la razón de sus lados.
EJERCICIOS DE SEMEJANZA EN EL ESPACIO
1.Un prisma recto presenta 3 m de largo, 4 m de ancho y 5 m de alto.
Se triplica el tamaño de sus dimensiones. ¿En cuánto ha aumentado el perímetro de la
base?. ¿En cuánto ha aumentado el área de la base?. ¿En cuánto ha aumentado su
volumen?.
2.Una pirámide regular de base hexagonal presenta un volumen de 100 cm3 y
una altura de 12 cm. Hallar las dimensiones y el volumen de una pirámide semejante a la
anterior y que presente una altura de 3 cm.
3.Un cilindro presenta un volumen de 100 cm3 y una altura de 12 cm. Hallar
las dimensiones y el volumen de un cilindro semejante al anterior y que presente una
altura de 36 cm.
4.Un cono tiene un diámetro de la base de 10 cm y una altura de 12 cm. Se
duplica la longitud de la generatriz para hacer un cono semejante al anterior. ¿En cuánto
ha aumentado el perímetro de la base?. ¿En cuánto ha aumentado el área de la base?.
¿En cuánto ha aumentado su volumen?.
-1-
Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DEL TEOREMA DE THALES
1.Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por
el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio
si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio son de 0,5 m y de 8,4 m
respectivamente.
2.Hallar la distancia entre las cúspides de dos edificios para poder construir una
pasarela entre ambos.
3.Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por
el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio
si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio son de 0,5 m y de 8,4 m
respectivamente.
4.Un arbusto de 1,35 m de longitud proyecta una sombra de 0,85m. Al mismo
tiempo la sombra de la iglesia del pueblo mide 25 m. Hallar la altura de la iglesia.
5.Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por
el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio
si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio suman 10 m y la sombra del
edifico, en ese instante, es la cuarta parte de su altura.
6.En las siguientes figuras, deducir los datos que faltan, sabiendo que los dos
segmentos interiores son paralelos al lado a.
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
1.Comprueba que las ternas {3,4 y 5} y {5,12 y 13} utilizadas por los agrimensores
egipcios cumplen el Teorema de Pitágoras.
2.Hallar los catetos de un triángulo rectángulo sabiendo que uno de ellos mide 5
cm más que el otro y la hipotenusa vale 15 cm.
3.-
En un triángulo rectángulo, los catetos miden 3 y 4 cm. Hallar la hipotenusa.
En un triángulo rectángulo, los catetos miden 5 y 12 cm. Hallar la hipotenusa.
En un triángulo rectángulo, los catetos miden 8 y 15 cm. Hallar la hipotenusa.
En un triángulo rectángulo, los catetos miden 7 y 24 cm. Hallar la hipotenusa.
7.En un triángulo rectángulo un cateto mide 8 cm y la hipotenusa mide 10 cm.
Hallar el otro cateto.
8.En un triángulo rectángulo un cateto mide 21 cm y la hipotenusa mide 29 cm.
Hallar el otro cateto.
9.En un triángulo rectángulo un cateto mide 9 cm y la hipotenusa mide 41 cm.
Hallar el otro cateto.
10.En un triángulo rectángulo un cateto mide 35 cm y la hipotenusa mide 37 cm.
Hallar el otro cateto.
11.-
¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 7, 5 y 10 cm ?.
12.-
¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 60, 11 y 61 cm?.
13.-
¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 10, 11 y 12 cm?.
14.Al construir un marco para una ventana rectangular, un carpintero mide el largo
y la diagonal, que le dan 8 dm y 10 dm respectivamente. ¿Qué tiene que medir el alto
para que el marco esté bien hecho?.
15.Una escalera mide 13 m de larga. La colocamos inclinada sobre una pared, de
modo su base está separada 5 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera en estas
condiciones?.
16.-
Hallar el lado del rombo cuyas diagonales miden 10 cm y 24 cm
17.En un trapecio isósceles las bases miden 11 y 5 cm y el área vale 48 cm2.
Hallar la altura, los lados oblicuos y dibujarlo.
18.Hallar el lado oblicuo del trapecio rectángulo cuyas bases miden 12 cm y 16 cm
y cuya altura mide 5 cm
19.-
Hallar la apotema de un hexágono regular cuyo lado mide 6 cm
20.-
Hallar el lado del hexágono regular cuya apotema mide 4 cm.
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DEL TEOREMA DE LA ALTURA
1.En un triángulo rectángulo la altura corta a la hipotenusa en dos segmentos de
9 y 4 cm de longitud. Hallar la medida de la altura y de los catetos del triángulo rectángulo.
2.En un triángulo rectángulo la altura, de 3 cm, corta a la hipotenusa en dos
segmentos, uno de los cuales mide 1 cm. Hallar el otro segmento y los catetos del
triángulo rectángulo.
3.En un triángulo rectángulo la altura corta a la hipotenusa en dos segmentos de
5 y 3 cm de longitud. Hallar la medida de la altura y de los catetos del triángulo rectángulo.
4.En un triángulo rectángulo la altura, de 8 cm, corta a la hipotenusa en dos
segmentos, uno de los cuales mide 2 cm. Hallar el otro segmento y los catetos del
triángulo rectángulo.
EJERCICIOS DEL TEOREMA DEL CATETO
1.En un triángulo rectángulo la proyección del cateto c sobre la hipotenusa, de 9
cm de longitud, mide 4 cm. Hallar los dos catetos y la altura.
2.En un triángulo rectángulo el cateto b mide 6 cm y la proyección de dicho cateto
sobre la hipotenusa mide 4 cm. Hallar la hipotenusa, el otro cateto y la altura.
3.En un triángulo rectángulo la proyección del cateto c sobre la hipotenusa, de 7
cm de longitud, mide 3 cm. Hallar los dos catetos y la altura.
4.En un triángulo rectángulo el cateto b mide 10 cm y la proyección de dicho
cateto sobre la hipotenusa mide 5 cm. Hallar la hipotenusa, el otro cateto y la altura.
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DE RAZONES TRIGONOMETRICAS
1.
Pasar los siguientes ángulos de radianes a grados sexagesimales:
3π/5 rd = ,
2.
4.
6.
,
4π/7 rd =
7π/5 rd =
,
Pasar a radianes los siguientes ángulos:
45º =
3.
2π/3 rd =
,
75º =
,
150º =
,
205º =
Con la calculadora, hallar:
sen 25º =
sen 135º =
cos 200 º =
cos 245º =
cos 300 º =
cos 45º =
tag 15º =
tag 25 º =
Con la calculadora hallar el ángulo x tal que :
sen x = 0'12 ; x =
sen x = -0'45 ; x =
cos x = 0'67 ; x =
cos x = -0,95 ; x =
tag x = 3'4 ;
tag x = -0'01 ; x =
x=
Sabiendo que sen x = 0,2 , siendo 0 < x < 90º , hallar sin calculadora:
a) sen (π /2 +x) ; b) cos (π - x) ;
c) sen (3 π /2 - x) ; d)
cos (2 π +x)
e) sen ( - x) ;
f) cos (π + x) ;
g) sen (3 π /2 + x) ; h)
cos (2 π - x)
i) cos (π /2 +x) ;
j) sen (π - x) ;
k) cos (3 π /2 - x) ; l)
sen (2 π +x)
8.
Hallar las razones trigonométricas, utilizando las ecuaciones fundamentales, de:
a)
El ángulo del 2º Cuadrante cuyo seno vale 0,6
b)
El ángulo del 3º Cuadrante cuya tangente vale 4
c)
El ángulo del 1ª Cuadrante cuya cosecante vale 2
d)
El ángulo del 4º Cuadrante cuya secante vale 1,5
e)
El ángulo del 3º Cuadrante cuyo seno vale - 0,6
f)
El ángulo del 2º Cuadrante cuya tangente vale - 4
g)
El ángulo del 4ª Cuadrante cuya cosecante vale - 2
h)
El ángulo del 1º Cuadrante cuya secante vale 5
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS:
Comprueba si se cumplen las identidades trigonométricas siguientes:
(sec x 1).(sec x  1)  tan 2 x
(sec x  tan x) 
cosx
1  sin x
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DE SIMPLIFICACIÓN TRIGONOMÉTRICA
sen a  cot ga cos a  tg a

sec a
cos eca
1.-
Simplifica:
2.-
cos   cos 3 
Simplifica:
sen   sen 3 
Solución: tg
3.-
sen 3 x  sen x
 tg x
Simplifica:
cos x  cos 3 x
Solución: -1
4.-
Simplifica: (sen x + cos x)2 - tg x cotg x
5.-
Simplifica:
1
 cos x  tg2 x  cos x
cos x
Solución: 0
6.-
Simplifica:
(1  cos x)(1  cos x)
sen x
Solución: sen x
7.-
Simplifica:
8.-
Simplifica:
cos4 a(1 sen a)
(1 sen2 a)2
9.-
Simplifica:
sen4 a  sen2 a cos 2 a
 cot ga
cos 4 a  cos 2 a sen2 a
sen x
1 cos x
Solución: 1
Solución: 2 sen x cos x
Solución:  1 cos x
Solución: 1+ sen a
Solución: -tg a
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
En los siguientes 10 triángulos rectángulos, hallar los datos que faltan:
Ejerc.
Datos conocidos
Ejerc.
Datos conocidos
1
a=5
b=4
6
C=30º
b=4
2
a=5
c=3
7
C=30º
c=3
3
b=4
c=3
8
B=30º
C=60º
4
B=30º
b=4
9
B=30º
a=5
5
B=30º
c=3
10
C=30º
a=5
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
1.Hallar la altura de un edificio inaccesible, sabiendo que cuando nos
encontramos a 315 m de su pie, vemos la cúspide bajo un ángulo de 60º.
2.Hallar la altura de un edificio inaccesible, sabiendo que cuando tensamos una
cuerda de 125 m. atada a la cúspide, el ángulo que forma con el suelo es de 40º.
3.Desde una cierta distancia al pie de una torre, vemos la cúspide bajo un ángulo
de 25º. Si nos alejamos 100 metros, veremos la cúspide con un ángulo de 50º. Hallar la
altura de la torre.
4.Desde una altura de 100 metros sobre el nivel del mar divisamos un barco.
Sabemos que el ángulo de la visual con la vertical es de 67º. ¿ A qué distancia de tierra
se encuentra el barco si nos encontramos al borde del acantilado?.
5.Queremos saber la distancia entre las orillas de un río. Hay dos árboles, uno
frente al otro, en ambas orillas. El río no podemos atravesarlo. Desde una roca que hay
en la orilla donde nos encontramos hasta uno de los árboles medimos 40 metros. Los
ángulos que forman las visuales desde la roca y el árbol son de 30º y 90º. ¿ Qué
distancia separa dichos árboles ?.
6.En un cine nos sentamos en una butaca cuya pantalla se haya a 1'3 metros
sobre el nivel del suelo plano. Las visuales a la parte inferior y superior de la pantalla
forman un ángulo con el suelo de 20º y 35º respectivamente. Hallar la altura de la
pantalla y la distancia a la que nos encontramos de la misma.
7.La sombra de una varilla vertical de 1 m de altura es de 0,4 m. Hallar la altura
de un árbol cuya sombra en ese momento es de 2,6 m.
8.Apoyamos sobre una pared vertical una escalera de 5 m de altura. El ángulo
que forma la escalera con el suelo es de 30º. Hallar la altura alcanzada.
9.Dos montes se encuentran a 9 km y 7 km respectivamente del centro del
pueblo. Desde el campanario de la iglesia las visuales forman un ángulo de 90º. Hallar la
distancia que hay entre los dos.
10.La sombra que proyecta un árbol mide 2,72 metros. Hallar la altura del árbol, si
sabemos que el ángulo de incidencia del Sol es de 20º.
Recopilación y adaptación: Angel Prieto Benito, @ apbweb.es
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA
1. Halla la altura de una antena de radio si su sombra mide 100 m cuando los rayos
del Sol forman un ángulo de 30º con la horizontal
2. Averigua la distancia a la que se encuentra un castillo que está situado en la orilla
opuesta de un río, sabiendo que la torre más alta del mismo se ve desde nuestra
orilla bajo un ángulo de 40º y alejándonos 100 m del río el ángulo es de 25º.
3. Dibuja un ángulo cuyo coseno sea doble que su seno.
4. Calcula el área de un decágono regular de 5 cm de lado.
5. En una circunferencia de 7 cm de radio trazamos una cuerda de 9 cm. ¿Cuánto
mide el ángulo central que abarca dicha cuerda?
6. Halla los ángulos de un triángulo isósceles cuya base mide 50 cm y los lados
iguales 40 cm cada uno.
7. Si vemos una chimenea bajo un ángulo de 30º, ¿bajo qué ángulo la veríamos si la
distancia a la que nos encontramos de la misma fuese el doble? ¿Y si fuese el
triple?
8. Calcula el ángulo que forman las tangentes a una circunferencia de 5 cm de radio,
trazadas desde un punto situado a 7 cm del centro.
9. La resultante de dos fuerzas de 20 N y de 30 N es de 40 N. ¿Qué ángulo forman
entre sí dichas fuerzas? ¿Qué ángulo forma cada una de ellas con la resultante?
10. Halla los lados de un paralelogramo cuyas diagonales miden 20 cm y 15 cm
respectivamente y forman un ángulo de 42º.
11. Julia y María caminan juntas, llegan a un cruce de caminos rectos que forman entre
sí un ángulo de 50º y cada una toma un camino. A partir de ese momento, Julia
camina a 4 km/h y María a 6km/h ¿A qué distancia estará Julia de María al cabo de
una hora y media?
12. Dos de los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm, y forman un ángulo de
32º. ¿Cuánto miden las diagonales?
Recopilación y adaptación: Angel Prieto Benito, @ apbweb.es
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
Resolver los siguientes triángulos, calculando para ello los lados y ángulos desconocidos:
EJERC
DATOS CONOCIDOS
EJERC
DATOS CONOCIDOS
1
a=5
b=4
c =3
11
A = 70
B = 60
C = 50
2
a=5
b=4
C = 30
12
A = 50
B = 40
c =3
3
a=5
b=4
B = 40
13
A = 50
B = 40
b=4
4
a=5
b=4
A = 50
14
A = 50
B = 40
a=5
5
a=5
B = 40
c =3
15
A = 50
a=5
C = 30
6
a=5
C = 30
c =3
16
A = 50
b=4
C = 30
7
a=5
A = 50
c =3
17
A = 50
c =3
C = 30
8
A = 50
b=4
c =3
18
a=5
B = 40
C = 30
9
B = 40
b=4
c =3
19
b=4
B = 40
C = 30
10
C = 30
b=4
c =3
20
c =3
B = 40
C = 30
Recopilación y adaptación: Angel Prieto Benito, @ apbweb.es
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
PROBLEMAS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
1.Dos edificios distan entre sí 250 m. Uno de ellos se encuentra a 630 m. del
centro de la Ciudad. ¿ A qué distancia del centro se encuentra el otro edificio, sabiendo
que desde el centro las visuales a ambos edificios forman un ángulo de 75º ?.
2.Dos móviles parten de un mismo punto ,con velocidades de 70 km/h y de 100
km/h respectivamente. Sus direcciones forman en todo momento un ángulo de 55º.Al
cabo de 20 minutos, qué distancia les separa ?.
3.Queremos saber la distancia entre dos árboles, pero el 1º de ellos nos resulta
inaccesible. Un tercer árbol se encuentra a 130 metros del 2º árbol. Desde los dos
accesibles medimos los ángulos que forman las visuales, siendo de 30º y 45º
respectivamente. Deducir la distancia entre el 1º y el 2º árbol.
4.Dos montes se encuentran a 5 km y 7 km respectivamente del centro del
pueblo. Desde el campanario de la iglesia las visuales forman un ángulo de 60º. Hallar la
distancia que hay entre los dos.
5.En un triángulo dos de sus lados miden 9 y 4 cm , siendo los ángulos opuestos
uno doble que el otro. Hallar el tercer lado.
6.Dos edificios distan entre sí 250 m. Uno de ellos se encuentra a 630 m. del
centro de la Ciudad. ¿ A qué distancia del centro se encuentra el otro edificio, sabiendo
que desde el centro las visuales a ámbos edificios forman un ángulo de 75º ?.
7.Tres pueblos distan entre sí 5432 m, 7896 m y 11705 m. Hallar los ángulos que
forman las visuales.
8.Queremos hacer un túnel en una montaña que divide dos pequeños pueblos
situados a ambos lados. Necesitamos saber lo que medirá. Desde un tercer pueblo,
distante 8,9 km de uno de ellos y 13,6 km del otro, el ángulo que forman las visuales es
de 45º. Hallar la medida que deberá tener el túnel.
Recopilación y adaptación: Angel Prieto Benito, @ apbweb.es
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Resuelve la ecuación:
2.cos2 x = 1
tg2 x = 1 + sec x
cos4 x - sen4 x = 0'5
senx + cosx =
2.
tg2x + 3 = 4tgx
sen 4 x  2 cos4 x  1  0
  

4sen  x   cos x    3
6
6


senx  cos x  cos x senx  cos x
Recopilación y adaptación: Angel Prieto Benito, @ apbweb.es
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CON SOLUCIÓN
01.Se desea saber la altura de un árbol situado en la orilla opuesta de un río. La
visual del extremo superior del árbol desde un cierto punto forma un ángulo de elevación
de 17º. Acercándose 25,8 m. hacia la orilla en la dirección del árbol el ángulo es de 31º.
Calcular la altura del árbol.
Sol: 15,5 m
02.- Un árbol quebrado por el viento, forma un triángulo rectángulo con el suelo. Cuál era
la altura del árbol, si la parte que ha cado hacia el suelo forma con este un ángulo de 50º,
y si la parte del tronco que ha quedado en pie tiene una altura de 20 m.?
Sol: 46,11 m
03.- Desde un punto del suelo se ve una chimenea bajo un ángulo de 26º30'. Calcular
bajo qué ángulo se verá a distancia doble, triple y cuádruple.
Sol: 11º59'52"; 9º26'9"; 7º5'49"
04.- Dos caminos rectos que se cortan forman un ángulo de 75º. En uno de los caminos y
a 1 km. del cruce, hay una gasolinera. Encontrar la menor distancia desde dicha
gasolinera hasta el otro camino.
Sol: 970 m
05.- Sobre un peñasco situado en la ribera de un río se levanta una torre de 125 m. de
altura. Desde el extremo superior de la torre, el ángulo de depresión de un punto situado
en la orilla opuesta es de 28º40' y desde la base de la torre, el ángulo de depresión del
mismo punto es de 18º20'. Calcular la anchura del río y la altura del peñasco.
Sol: 580 m ; 192 m
06.- La distancia entre dos edificios de tejado plano es de 60 m. Desde la azotea del
menor de los edificios, cuya altura es de 40 m. se observa la azotea del otro con un
ángulo de elevación de 400. ¿Cuál es la altura del edificio más alto?
Sol: 90m
07.- En la cima de una colina hay un asta de bandera. Desde un punto A, en el terreno
llano, los ángulos de elevación del extremo D y del pie B del asta miden, respectivamente,
47º54' y 39º45'. Determinar la altura de la colina si el asta mide 11,55 m.
Sol: 34,93 m
Recopilación y adaptación: Angel Prieto Benito, @ apbweb.es
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DE VECTORES
1.Sea el vector fijo v=AB, donde A=(4, 4) y B=(8,10)
Hallar un vector equipolente a v y cuyo punto de aplicación sea C(0, 0).
2.Sea el vector fijo v=AB, donde A=(-2, 3) y B=(8,-4)
Hallar un vector equipolente a v y cuyo punto de aplicación sea C(2, - 1).
Sea el vector v= (3, 4) y el vector u= (2, 7)
Hallar su suma.
4.Sea el vector v =(- 3, 2) y el vector u =(5, - 7)
Hallar su suma.
5.Sea el vector v =(7, 4) y el vector u =(7, - 4)
Hallar su suma.
Sea el vector v= (3, 4) , el vector u= (2, 1) y el vector w=(5, 10)
Hallar el valor de a y b para que se verifique w=a.v+b.u
7.Sea el vector v= (0, 4) , el vector u= (5, 0) y el vector w=(3, 6)
Hallar el valor de a y b para que se verifique w=a.v+b.u
Sea el vector v= (-3, 4) , el vector u= (2, -3) y el vector w=(5, 5)
Hallar el valor de a y b para que se verifique w=a.v+b.u
9.-
Hallar el módulo y el argumento de los vectores:
v=(0, 4)
v=(3, 0)
v=(2, 2)
v=(2, 2√3) v=(– 3, 4)
v=(– 7, 7) v=(– √2, – √8) v=(6, – 8) v=( – √3, 1) v=(12, – 5)
10.-
Hallar el vector unitario de los vectores del ejercicio anterior.
Recopilación y adaptación: Angel Prieto Benito, @ apbweb.es
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DE PRODUCTO ESCALAR Y ÁNGULO ENTRE VECTORES
1.-
Sean los puntos A(6,2) y B(8,5) Hallar las coordenadas del vector AB.
2.-
Sean los puntos A(4,0) y B(8,-6) Hallar las coordenadas del vector AB.
3.Un vector fijo tiene su origen en el punto A(5, 2) y sus coordenadas son
v(- 3, - 4). Hallar las coordenadas de su extremo B.
4.-
Hallar el producto escalar:
u=(3,4)
|v|=3 [u,v]=60º
5.Dos vectores u y v son tales que: |u|=4, |v|=6, [u.v]=45º.
Hallar el producto escalar.
6.-
Sea el vector v= (6, 8) y u=(2, 3). Hallar el producto escalar.
7.-
Sea el vector v= (3, 11) y u=(1, 3). Hallar el producto escalar.
8.-
Sea el vector v= (-2, 5) y u=(5, 2). Hallar el producto escalar.
9.-
Sea el vector v= (-3, 2) y u=(5, -3). Hallar el producto escalar.
10.- Sean los vectores |v|= 6 y |u|= 3.
Hallar el producto escalar si el ángulo que forman es de 45º.
11.- Sean los vectores |v|= 5 y |u|= 7.
Hallar el producto escalar si el ángulo que forman es de 60º.
12.Sean los vectores v=(6, -3), u = (-3,7) y |w| = 5.
Hallar el producto escalar (u+v).w, si el ángulo que forma el vector w con la suma u+v es
de 30º.
Sea el vector v= (3, 4) y u=(6,8). Hallar el ángulo que forman.
14.Sea el vector v= (-4, 3) y u=(6,-8). Hallar el ángulo que forman.
15.Sea el vector v= (2, 5) y u=(5, -2). Hallar el ángulo que forman.
Sea el vector v= (0, -5) y u=(3,-3). Hallar el ángulo que forman.
17.Sea el vector v= (2, 5) y u=(5, p).
Hallar el valor de p para que formen un ángulo de 45º.
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS SOBRE LA ECUACIÓN DE LA RECTA
a)
Hallar las ecuaciones vectorial, paramétrica, continua, implícita y explicita de las
siguientes rectas :
1.-
Pasa por el punto (-2,3) y su vector director es el v=2i - 3j
2.-
Viene dada por x = 3 + 2k ; y = 2 - 5k
3.-
Viene dada por la ecuación
4.-
La recta es 3x + 2y - 5 = 0
5.-
Su ecuación es y = 3x - 2
6.-
Pasa por los puntos
b)
Hallar la intersección de las rectas:
7.-
La a) 1.- con la a) 6.-
8.-
La a) 3.- con la a) 5.-
9.-
La a) 2.- con la a) 4.-
10.-
La a) 5.- con la a) 6.-
11.-
La a) 1.- con la a) 4.-
12.-
La a) 2.- con la a) 3.-
c)
Hallar la recta que pasa por el punto (3 , -2) y es :
13.-
Paralela a la a) 5.-
15.-
Perpendicular a la a) 5.-
17.-
Paralela a la a) 4.-
19.-
Perpendicular a la a) 4.-
d)
Hallar el valor de m para que sean paralelas las rectas :
21.-
x - 2y = 4
mx + 9y = -3
e)
Hallar el valor de m para que sean perpendiculares:
23.-
3x - 5y = 2
mx + 3y = -4
x-3
y+2
------- = -------4
2
A(3 , 2) y B(-2 , 3)
14.16.-
Perpendicular a la a) 6
18.-
20.-
Paralela a la a) 6.-
Paralela a la a) 3.-
Perpendicular a la a) 3.-
22.-
2x - 4y = -7
-3x - my = 8
24.- x + 7y = 8
-2x - my = 5
Recopilación y adaptación: Angel Prieto Benito, @ apbweb.es
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS SOBRE GEOMETRÍA MÉTRICA DE LA RECTA
1.-
Hallar la distancia entre los siguientes pares de puntos:
A(2,3) y B(-3,4) ;
E(-2,-3) y F(2,1) ;
C(5,5) y D(1,-4) ;
G(2,-6) y
H(-2,-4)
2.Hallar el punto medio de los segmentos formados por los pares de puntos del
ejercicio anterior.
3.-
Hallar la ecuación implícita de las siguientes rectas:
r: AB ,
s: EF ,
t: CD ,
w: GH
6.-
Hallar las ecuaciones de las siguientes rectas :
a)
Pasa por el punto (-2,3) y su vector director es el v = (2 , a)
b)
Pasa por los puntos (3 , a) y ( b , -5)
c)
Pasa por el punto (4, -2) y el ángulo que forma dicha recta con el eje de
abscisas vale 60º.
7.Demostrar que los puntos A(1,2), B(4,6) , C(9,-5) y D(6,-9) son los vértices de
un paralelogramo.
8.En el triángulo de vértices A(7,10), B(3,5) y C(-1,-3), comprobar que la recta que
une los puntos medios de los lados b y c es paralela al lado a e igual a la mitad de su
valor.
9.-
En el triángulo siguiente: A(1,2), B(4,6) y C(9,-5). Hallar:
Las ecuaciones y medidas de sus lados.
Los ángulos que forman sus lados.
Las ecuaciones y medidas de las medianas.
Coordenadas del baricentro.
Las ecuaciones de las alturas.
Las coordenadas del ortocentro.
Las ecuaciones de las mediatrices.
Coordenadas del circuncentro.
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Colección de Ejercicios y Problemas de 4º ESO Opción B
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA ( I )
2.-
Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los
3.-
Determina la posición relativa de estas rectas. Si se cortan, di en qué punto:
 x  1  2t
r:
y  2  3t
4.-
Determina el ángulo que forman las rectas:
 x  1  3t
r:
y  4  t
5.-
x  5  t
x: 
y  3  t
x  2  t
s: 
y  1  2t
Averigua la ecuación implícita de la recta que pasa por el punto
6.3x – y + 4 = 0.
7.e y para que C sea el punto medio del segmento de extremos A y B.
10.Determina la posición relativa de las siguientes rectas. Si se cortan, averigua en
qué punto:
x  4  t
 x  5  3t
r:
s: 
y  1  2t
y  4  t
11.que pasa por el punto P(1, 1).
Recopilación y adaptación: Angel Prieto Benito, @ apbweb.es
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