2) Introducción

FI UA
Trabajo Práctico Nº 5:
Laboratorio Física III
Caída de un imán en un tubo metálico
Apellidos y Nombres
UNIVERSIDAD
AUSTRAL
1) Objetivo general: El propósito de este experimento es realizar un estudio cuantitativo de los
efectos que ocurren debido a la caída de un imán en el interior de un tubo metálico. En efecto, las
corrientes inducidas en el tubo por el movimiento del imán y el imán, generan una fuerza retardadora
cuyo origen es una notable demostración del efecto producido al verificarse la ley de Faraday-Lenz.
2) Introducción:
Una de las demostraciones más llamativas es la caída de un
imán potente (por ejemplo, uno de tierras raras) dentro de un
tubo de cobre o aluminio de paredes gruesas. A pesar que
entre el imán y estos metales no existe una atracción
magnética, la caída del imán dentro del tubo es
significativamente retardada por la fuerza originada por la
interacción entre las corrientes inducidas en el tubo por el
movimiento del imán y el imán. Este experimento es una
notable demostración del efecto de la ley de Lenz, y en el
caso de imanes cilíndricos, se puede comprobar
experimentalmente que la fuerza
Fig. 1: Durante el descenso del imán (parte 1), el flujo del campo
que se opone al peso es
magnético se incrementa en la región próxima al polo Sur del imán. Se
proporcional a la velocidad del
origina en el tubo una corriente inducida que se opone al incremento de
imán (Fig.1).
flujo, en el sentido indicado en la figura. El momento magnético del imán y
El imán que desciende por el tubo
el de las corrientes inducidas se representa en la parte (2), mientras que en
la parte 3, se muestra la equivalencia entre corrientes (espiras o
metálico es repelido por delante y
solenoides) e imanes, de modo que la corriente inducida por delante del
atraído por detrás. Esta es la
polo Norte equivale a un imán de polaridad opuesta, por lo que se repelen.
explicación cualitativa de la fuerza
De manera inversa, la corriente inducida por detrás del imán tiene la misma
de frenado en términos de la ley
polaridad por lo que se atraen.
de Lenz.
Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento del imán, se obtiene que:
(1)
donde la constante de proporcionalidad k depende del cuadrado del momento magnético del imán y
de otros factores como el diámetro interior del tubo, espesor, su conductividad, etc.
Modelo electromecánico
En este modelo se sustituye el tubo metálico, que tiene un
radio interior y un radio exterior, por un conjunto de espiras del
mismo radio a, separadas una distancia d (debido a la porción
de tubo que interactúa con el imán), de manera que se mueve
a lo largo del eje vertical común de las espiras (Fig.2).
Supondremos que cada espira presenta una resistencia R al
paso de la corriente inducida.
Fig.2: Corrientes inducidas que se generan en el tubo por delante y por
detrás del imán. El imán se sitúa a cierta altura, se libera y cae bajo la
acción de la gravedad hacia las espiras a lo largo de su eje, originando
corrientes inducidas en las espiras próximas que modifican el movimiento
del imán. No se consideran los efectos de la autoinducción de cada
espira, ni la inducción mutua entre espiras.
Dado que el campo magnético producido por una espira de radio a por la que circula una corriente
eléctrica de intensidad I, en un punto z de su eje es
(2)
Considerando luego al imán como un dipolo de momento μ= μk, su energía potencial en un campo
magnético B en la dirección del eje Z está dada por U=-μ·B=-μ·Bz, y en cuyo caso experimentará una
fuerza dada por
(3)
donde si la corriente I en la espira es negativa (en el sentido de las agujas del reloj) la fuerza es
repulsiva (las corrientes se repelen si tienen sentido contrario y se atraen, si tienen el mismo sentido).
Reemplazando (3) en (1), se obtiene
(4)
Si consideramos que el imán es un dipolo magnético de
momento magnético μ=iπa2, el campo magnético producido por
el imán tiene la siguientes componentes (Fig.3)
(5)
Fig.3: Líneas de campo magnético
producidas por el imán.
Con lo cual, el flujo del campo producido por el imán a través de una espira de radio a es
(6)
Debido a la simetría de la configuración y a que el plano de
la espira es perpendicular al eje Z, el flujo de la
componente Y del campo es nulo. Por lo tanto, el
elemento diferencial de superficie dS, es el área de un
anillo de radio y y de espesor dy, se escribe como
dS=2πy·dy
Fig.4: Geometría de configuración de una
espira de radio y y espesor dy.
Luego, aplicando el cálculo en (6), se obtiene
(7)
Dado que la espira tiene una resistencia R, el circuito equivalente forado satisface que
= IR
(8)
Obteniendo la corriente de (8) y reemplazándola en (4), se deduce que
(9)
Como dz/dt<0, la fuerza que ejerce sobre el imán el campo magnético producido por la corriente
inducida de la espira se opone a la velocidad. Luego para determinar la posición y velocidad del imán
en función del tiempo, se resuelve la ecuación diferencial de segundo orden por procedimientos
numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, z=z0, dz/dt=0. El imán parte del
reposo desde la altura z0.
Utilizando el cambio de variables
, se adimensiona la ecuación de la forma:
(10)
donde
(11) representa la fuerza que ejerce el campo magnético producido
por la corriente inducida en la espira sobre el imán.
Determinación de la velocidad límite
Al dejar caer el imán desde el reposo, en el interior del tubo metálico, alcanza muy rápidamente su
velocidad límite. Este hecho depende de la conductividad del material del que está hecho el tubo, sus
radios interior y exterior, masa del imán y de los valores de las componentes del campo magnético
en la sección del tubo metálico y a lo largo del tubo.
El campo magnético creado por el imán ejerce una fuerza sobre las corrientes inducidas en el tubo
de manera que las corrientes inducidas ejercen una fuerza igual y de sentido contrario en el imán.
Al calcular la fuerza que ejerce el campo magnético producido por el imán sobre las corrientes
inducidas en la pared del tubo, se debe tener en cuenta que el tubo metálico está hecho de un
material de conductividad σ, de radio interior c, de radio exterior b, de radio medio a=(b+c)2, y
espesor δ=b-c.(Fig.5)
El campo magnético producido por el imán tiene dos
componentes, radial By y otra vertical, Bz. Dado que la
fuerza sobre una porción dl de corriente inducida de
intensidad I es dF=I(ut×B)dl, y que por simetría esta
fuerza tiene sólo dirección vertical dFz=IBydl=JBy·dV,
siendo J=σE la densidad de corriente, σ la conductividad
del material del tubo, E=-vk×(Byj+Bzk)=vByi el campo
eléctrico y y dV=2πy·dy·dz el elemento de volumen.
Luego la expresión de la componente vertical de la
fuerza es:
(12)
Remmplazando (5) en (11), se obtiene
Fig.5: Esquema y corte transversal y
longitudinal del tubo metálico y del campo
magnético producido por el imán.
(13)
Al resolver la integral para calcular la fuerza, se obtiene que
(14)
Con lo que finalmente, al llegar a la velocidad límite constante, reemplazando (14) en (1), se obtiene
que:
(15)
3) Experimental
Determinar la velocidad límite de descenso del imán en el interior de cada tubo
utilizando el programa PRECISION TIMER en el modo MISCELLANEOUS TIMING
MODES, la opción H- GATE AND PULSE (2 GATES ) (Fig.6).En esta parte se
registrarán los tiempos al pasar por cada uno de los dos fotointerruptores.
Materiales:










Fig.6: Esquema de los fotointerruptores y el tubo
metálico, para medir la velocidad límite del imán al
introducirse en el interior del mismo.
Imanes
2 Fotointerruptores.
Soporte vertical o riel para sujetar los fotointerruptores.
Tubos metálicos de cobre y aluminio de iguales dimensiones.
Programa PRECISION TIMER.
Cinta métrica y regla o calibre.
Cinta adhesiva
Agarradera plástica o de madera.
Balanza de precisión.
Brújula.
Procedimiento:
 Colocar los dos fotointerruptores adosados al soporte o riel y separados una distancia
vertical igual a la longitud de los tubos metálicos (Fig.6).
 Medir con el calibre los radios interno y externo del tubo y con la cinta métrica la
longitud del mismo.
 Ubicar el tubo metálico de cobre, sujeto por medio de la agarradera, de manera de
asegurarse que el pasar el imán por los fotointerruptores quede registrado el tiempo
que tarda en cruzar el tubo.
 Iniciar el programa PRECISION TIMER en el modo MISCELLANEOUS TIMING
MODES, la opción H- GATE AND PULSE (2 GATES )
 Dejar caer el imán, registrando el intervalo de caída y repetir el procedimiento por lo
menos 10 veces para obtener un promedio de la velocidad límite.
 Efectuar la misma metodología, cambiando el tubo metálico por el de aluminio.
 Retirar el tubo y sin desarmar el dispositivo dejar caer nuevamente el imán en el aire.
 Trate en todos los casos de disponer la forma de recepcionar el imán para evitar que
choque con el piso.
 Confeccionar un gráfico en donde se represente en el eje horizontal el tiempo
adimensional τ y en el eje vertical la velocidad adimensional dx/dτ
 Obtener en forma experimental, empleando una brújula, el momento magnético del
imán.
 Utilizando cualquiera de las ecuaciones dadas en (14), obtener el valor de
conductividad del material utilizado y compararlo con el registrado en tablas (σCobre =
5.96·107 Ω-1·m-1, σAluminio = 3.78·107 Ω-1·m-1).
 Graficar la fuerza retardadora ƒe como función de la coordenada adimensional x.
Recomendaciones para la redacción del informe
Siguiendo las pautas dadas en el modelo de informe, se pide en particular para este trabajo hacer las
siguientes consideraciones en la introducción teórica:
Entre los conceptos centrales se citan:

Tipos de movimientos involucrados, consideraciones del modelo empleado, sistema
de referencia, ecuaciones, aproximaciones.
Responder la mayor cantidad de preguntas posibles e incluir las respuestas directamente (sin escribir
las preguntas) en el cuerpo del informe en la sección que se considere pertinente. Las preguntas son
las siguientes:
 ¿Por qué resulta más conveniente realizar la experiencia si se utiliza un imán de forma
cilíndrica?
 ¿Cómo se estima el momento magnético del imán? ¿En qué unidades se mide?
 ¿Cómo estimaría el cálculo de la resistencia R del material para poder obtener la constante k
de la fuerza restauradora?
Cierre del informe
 ¿Cómo resulta la relación entre las velocidades límites del imán al pasar por el interior del
tubo de cobre respecto del interior del tubo de aluminio? ¿Es similar o muy diferente a la
relación entre sus conductividades?
 ¿En qué cálculo o aproximación, en referencia a la experiencia, considera que se comete el
mayor error? ¿Qué haría para evitarlo o minimizarlo?