01 Física

MATEMÁTICAS
Matemáticas
15
FISICA
>> Indiquen la unidad correspondiente en el Sistema Internacional de Medidas para cada magnitud.
LongitudMasa
Capacidad
Superficie
>> Dibujen un segmento y mídanlo con una regla.
¿Qué magnitud midieron?
¿Cuánto mide el segmento que dibujaron?
¿Qué unidad utilizaron?
El metro (m) es la unidad fundamental de longitud.
>> Pidan ayuda a su profesor o profesora y tracen en el piso una recta de longitud
1 m. ¿Cuántos pasos caben en 1 m? ¿Cuántos palmos?
Para medir longitudes menores que un metro se utilizan unidades más pequeñas denominadas
submúltiplos del metro.
Cada una de las diez partes iguales en que se divide un metro se llama decímetro. 1 m = 10 dm
Cada una de las diez partes iguales en que se divide un decímetro se llama centímetro. 1 m = 10 dm = 100 m
Cada una de las diez partes iguales en que se divide un centímetro se llama milímetro. 1 m = = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm
>> Propongan algunos ejemplos de longitudes para las cuales sea conveniente utilizar el decímetro, el centímetro y el
milímetro, como unidades de medida. Para medir longitudes mayores que el metro se utilizan unidades más grandes
llamadas múltiplos del metro.
Un decámetro equivale a diez metros. 1 dam = 10 m
Un hectómetro es igual a cien metros. 1 hm = 10 dam = 100 m
Un kilómetro equivale a mil metros. 1 km = 10 hm = 100 dam = 1 000 m
>> Se puede estimar una longitud de 1 m fácilmente.
- Estimen cuántos decámetros hay en el ancho y el largo de la escuela.
- Nombren distancias a su alrededor, que midan 1 hm y 1 km.
- Estimen la distancia que cada uno debe recorrer para ir de la casa a la escuela.
Trabaja individualmente y resuelve estas actividades en el cuaderno.
indica la unidad que consideres más apropiada para medir lo que se indica
en cada caso.
La altura de la montaña
La distancia entre dos ciudades
El diámetro de la moneda
Resuelve cada situación.
> ¿Cuántos trozos de 60 cm se pueden cortar de una cuerda de 150 m de largo?
> La plaza de Santa Ana tiene forma rectangular. Si la plaza mide 2 hm de largo y 150 m de ancho, ¿cuántos
metros se recorren al darle dos vueltas completas?
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MATEMÁTICAS
x
> Miguel tiene que recorrer 660 m desde su casa hasta la escuela. Si cada paso de Miguel mide 55 cm, ¿cuántos
pasos debe dar en este recorrido?
> Una puerta mide de ancho 80 cm y de alto 120 cm del ancho. ¿Cuántos metros de madera se necesitan para
enmarcar la puerta?
> Lucía utiliza 60 cm de cinta para hacer moños. ¿Cuántos moños puede hacer con 30 m de cinta?
¿CUÁL REGIÓN ES MÁS EXTENSA? Medición, múltiplos y submúltiplos
En algunas ocasiones, es necesario determinar qué tan extensa es una superficie. Por ejemplo,
para negociar un terreno es importante conocer la medida del mismo, para saber cuántas
baldosas se deben comprar para recubrir el piso de una habitación, se necesita conocer su área,
etc.
Con el estudio de esta guía conocerás cuáles son las unidades de uso frecuente para medir
superficies y a manejar las relaciones existentes entre ellas.
Reúnete con un compañero o una compañera y desarrollen las siguientes actividades.
Copien las siguientes figuras y recorten
en cartulina 30 fichas de cada una.
MATEMÁTICAS
> Tomen una hoja de papel y recúbranla primero con solo círculos, luego con solo triángulos y por último con solo cuadrados.
En cada caso, acomoden los moldes utilizados de manera que no queden unos sobre otros y que cubran completamente la hoja.
> ¿Cuántos círculos caben en la superficie de la hoja?
> ¿Con cuántos triángulos se cubre completamente la hoja?
> ¿Cuántos cuadrados colocaron sobre la hoja para cubrirla totalmente?
> ¿Con cuál de los moldes se recubre mejor la hoja de papel y no quedan espacios sin cubrir?
> ¿Por qué se utiliza un número diferente de fichas cada vez que escogen una figura distinta para recubrir una misma superficie?
Expliquen su respuesta.
> Si deben elegir una unidad de medida de superficies, ¿cuál de los tres moldes les permite medir de manera más exacta?
¿Por qué?>
> Si deben medir el piso del salón de clase, ¿qué unidad de medida elegirían? ¿Y para medir la superficie ocupada por la población
en que viven o la de Colombia?
Expliquen su respuesta.
La unidad de medida de superficie es el metro cuadrado. Un metro cuadrado (1 m2) es la superficie de un cuadrado de lado 1 m.
Con ayuda de su profesora o profesor, busquen una superficie lisa (como el piso del salón de clase), sobre la que puedan dibujar un
cuadrado de lado 1 m. Esta superficie mide 1 m2.
>> ¿Cuántos de ustedes se pueden parar al mismo tiempo sobre esta superficie?
>> ¿Cuántos metros cuadrados caben en el piso del salón? Hagan una estimación.
Para medir superficies menores que el metro cuadrado, se utilizan los submúltiplos el metro cuadrado. Estos son:
El decímetro cuadrado, el centímetro cuadrado y el milímetro cuadrado. Un decímetro cuadrado es un cuadrado de 1 dm de lado.
En un metro cuadrado caben 100 decímetros cuadrados. Un centímetro cuadrado es un cuadrado de 1 cm de lado. En un
decímetro cuadrado caben 100 centímetros cuadrados. Un milímetro cuadrado es un cuadrado de 1 mm de lado. En un
centímetro cuadrado caben 100 milímetros cuadrados. Completen en el cuaderno las siguientes equivalencias, deacuerdo con lo
anterior.
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1 m2 = ……dm2
1 dm2 = …….. cm2, por lo tanto, 1 m2 = …… dm2 = ……….. cm2
1 cm2 = …… mm2, por lo tanto,
1 m2 = ……. dm2 = …………… cm2 = …………………mm2
Para medir superficies más grandes que el metro cuadradose utilizan unidades llamadas múltiplos del metro cuadrado. Estas
son el decámetro cuadrado, el hectómetro cuadrado y el kilómetro cuadrado. Un decámetro cuadrado es igual a cien metros
cuadrados. Un hectómetro cuadrado es igual a diez mil metros cuadrados. Un kilómetro cuadrado es igual a un millón de metros
cuadrados.
¿Cuáles son los valores que hacen verdadera cada igualdad?
1 dam2 = …… m2
Indiquen qué unidad utilizarían para medir cada
1 hm2 = ……. dam2 = ……… m2
superficie.
1 km2 = ……. hm2 = ……… dam2 = ………… m2
>> La superficie de la población donde viven.
>> La superficie del escritorio del profesor.
Para expresar medidas de superficie que se refieren a
extensiones de fincas, campos, terrenos, etc., se utilizan
las llamadas Unidades Agrarias.
>> La superficie de una cancha de baloncesto.
Analicen la información de la siguiente tabla en la que se muestra la equivalencia con las unidades de superficie y
complétenla con las cantidades correspondientes.
Unidades agrarias
Unidad
S ímbo lo
Equivalenc ia
Hectárea
ha
1 hm 2
Área
a
1 dam 2
Centiárea
ca
-
Equivalen cia
en m e tr o s
cu adrado s
1 m2
>> Averigüen cuántas hectáreas mide una de las
fincas
cercanas a la escuela y expresen esta medida en:
a. Hectómetros cuadrados
b. Decámetros cuadrados
c. Metros cuadrados
>> Comparen sus resultados con los de otro
grupo.
¿Obtuvieron las mismas respuestas?
Pidan ayuda a su profesor o profesora para unificar las
respuestas.
Resuelve las siguientes situaciones.
> Averigua cuántos cuadritos tiene un tablero de ajedrez. Si se sabe que cada cuadrito
mide 4 cm de lado,
¿cuántos milímetros cuadrados de superficie tiene el tablero?
> Una hectárea equivale a 10 000 m2, determina:
- ¿Cuántas hectáreas hay en un terreno de 500 dam2?
- ¿Cuántas áreas y cuántas centiáreas hay?
> Los habitantes de Santa Ana quieren pintar las paredes de la iglesia, las cuales ocupan 5
dam2 y necesitan dos manos de pintura. La pintura que se utilizará cubre 10 m2 de
superficie y cuesta $12 000.
- ¿Cuánto cuesta la pintura que se debe comprar?
> El largo de un terreno de forma rectangular mide 90 m y el ancho mide 3/4 del largo.
- ¿Cuántas vueltas hay que dar alrededor del terreno para recorrer 4 km?
> Las superficies de América del Norte y América Central suman 24 200 000 km2, mientras que la de América del Sur es de
17 800 000 km2.
- ¿Cuántos hectómetros cuadrados menos tiene la superficie de América del Sur?
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MATEMÁTICAS
Realiza las siguientes actividades en el cuaderno.
Escribe en el espacio en blanco el número que corresponda.
…… m2 = 75 dam2
……. dm2 = 45 hm2
..…… m2 = 9 km2
……. cm2 = 75 m2
Expresa en metros cuadrados las siguientes medidas de superficie.
5 dam2
2 km2
300 hm2
8 km2
7 hm2
9 dam2
¿Cuánto tiempo ha pasado? UNIDAD DE TIEMPO
¿Cómo sería el mundo sin relojes ni calendarios? ¿Cómo sabrías que es hora de levantarse por la mañana? ¿Cómo sabrías cuántos días
faltan para las vacaciones? Afortunadamente, a partir de los principales fenómenos astronómicos, tales como los movimientos de la
Tierra y las apariciones periódicas del Sol y la Luna, el hombre ha podido establecer un sistema de división del tiempo repartido en días,
semanas y meses, que le permite organizar su vida.
Trabaja individualmente en el cuaderno.
S itu ac ió n
Completa la siguiente tabla.
Pregunta a tu profesor o profesora
los datos que tú no sabes.
Compara
los datos que escribiste
en la tabla anterior, con la de
alguno de tus compañeros o
compañeras.
T ie m po
Viaje de tu casa al colegio
Viaje desde el pueblo en que vives hasta
la capital de tu departamento en bus
Descanso en la jornada escolar
Vacacion es de mitad de año
Tu edad
Edad del profesor o profesora de
matemáticas
> ¿Cuáles unidades utilizaron en común para determinar los tiempos indicados en la tabla? ¿Cuáles de las unidades de tiempo
son diferentes?
MATEMÁTICAS
Expresa, en minutos, la hora que indica cada reloj.
1
1.
2.
20
2
Reúnete con un compañero o compañera y realicen las siguientes
actividades en el cuaderno.
Lean la siguiente información. Luego contesten las preguntas que se formulan a continuación.
“Las primeras mediciones del tiempo se hicieron a partir de observaciones astronómicas y durante mucho
tiempo el cielo fue el instrumento principal de esa medición. Desde muy temprano en la historia, el ser humano
se dio cuenta que podía recurrir a los fenómenos físicos que se repetían de forma periódica y aprovechar su
regularidad para construir instrumentos que midieran intervalos de tiempo. El primer “reloj” que estuvo a la
disposición del hombre fue sin duda el derivado de la alternancia del día y de la noche, es decir, el día solar. Pero a lo
largo de la historia tecnológica aparecieron inventos cada vez más sofisticados que permitieron “observar”
lapsos de tiempo, desde los calendarios que registran días, años y siglos, pasando por las clepsidras, velas,
cuadrantes y otros instrumentos que miden periodos más cortos, como las horas, minutos y segundos, hasta el reloj
de átomos de celsio, cuya precisión se mantiene durante 30 000 años.”
Tomado de http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/ historia/histdeltiempo/pasado/tiempo/p_midien.htm
> -¿Cómo descubrió el ser humano el “paso del tiempo”?
> -¿Cuál fue el primer “reloj” que tuvo a disposición el hombre?
> -¿Cuáles inventos aparecieron a lo largo de la historia para “observar” el tiempo?
Para medir períodos de tiempos menores que el día se utilizan la hora, el minuto y el segundo.
Cada unidad es sesenta veces mayor que la unidad de orden inmediato inferior y sesenta veces menor que la unidad
de orden inmediato superior, como se muestra en la siguiente tabla.
Un idad
S ím b o lo
Equiv ale n c ia
Hora
h
1 h = 60 min
Minuto
min
1 min = 60 s
Segundo
s
1 h = 3 600 s
Para medir periodos de tiempo mayores que una hora, se utilizan las
unidades que se presentan en la tabla. Cópienla y completen las
equivalencias con ayuda de su profesor o profesora.
D ía
Con ayuda de su profesor o profesora, averigüen las
equivalencias que no conocen y completen los
siguientes enunciados en el cuaderno.
S e m an a Q uin c e n a
… … . h … … días
Un bimestre es la agrupación de …… meses.
Un semestre es la agrupación de …….. meses.
Una década es un período equivalente a …… años.
Un milenio es un periodo equivalente a ……. años.
… … días
Mes
S e m e s tr e
Añ o
… . … . ó … … meses … … días
… . días
Un trimestre es la agrupación de ….. meses.
Un lustro o quinquenio: es un período equivalente a ……. años.
Siglo es un período equivalente a …… años.
Observen las siguientes equivalencias y comparen con las respuestas en de la actividad anterior.
Siglos
1 milenio
10
1 siglo
1
Décadas
100
Años
Meses
Semanas
Días
10
100
1 200
1
10
120
5
60
260
12
48
365
1 mes
4
28 a
31
1 semana
1
7
1 década
1 lustro
1 año
1 hora
Horas
Minutos
Segundos
1 000
De acuerdo con esta información:
9 h 20 min es igual a (9 x 60) min +
20 min = 540 min + 20 min = 560 min
3 h 50 min es igual a (3 x 60) min +
50 min = 180 min + 50 min = 230 min
520
168
1
60
3 600
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MATEMÁTICAS
Unidad de
tiempo
Realiza las siguientes actividades en el cuaderno, de manera individual.
Copia y responde las siguientes preguntas.
> ¿Cuántas horas tiene una semana?
> ¿Cuántos segundos son 5 min?
> ¿Cuántos días son cinco semanas?
> ¿Cuántos años son cuatro siglos?
> ¿Cuántos meses son 15 años?
Resuelve cada situación.
> Un vehículo avanza a una velocidad constante de 80
kilómetros por hora en la carretera. ¿ Cuántos kilómetros
recorrerá en tres horas?
> ¿Cuántos días ha vivido cada persona hasta hoy?
Fecha de nacimiento:
12 de mayo de 2000
Fecha de nacimiento:
5 de agosto de 1995
MATEMÁTICAS
52 cm
75 cm
35 cm
22 cm
> Colón salió del puerto de Palos el día 3 agosto de 1492 y llegó a la isla de San Salvador, el 12 de octubre del mismo año.
¿Cuántos días duró el viaje? ¿Cuántas semanas?
> Un ciclista entrena diariamente 6 h 14 min 38 s. ¿Cuánto lleva pedaleando, si ha entrenado ya la mitad de ese tiempo?
> Halla las horas que hubo entre: 1 de noviembre de 1987 y el 5de marzo de 1988.
> Santiago nació el 2 de mayo de 1990 y su padre el 1 de febrero de 1965. ¿Cuántos días de diferencia hay entre las edades del
padre y del hijo?
> Calcula cuántos días hay entre:
El 7 de marzo y el 23 junio
El 2 de enero y el 8 de marzo
El 16 de agosto y el 28 de diciembre
El 14 de julio y el 15 de septiembre
Sonia tiene una cinta azul y una cinta blanca. La cinta azul mide 1 m, 2 dm y 5 cm, la cinta blanca mide 6 dm, 8 cm y 5 mm.
> Calcula la longitud en milímetros de cada cinta.
> Sonia cortó la cinta azul en cinco trozos iguales. ¿Cuál es la longitud en milímetros de cada trozo?
> Sonia necesita 1 m de cinta blanca. ¿Cuántos centímetros más de cinta blanca tiene que comprar?
Un vehículo A lleva una velocidad constante de 90 km por hora y otro vehículo B lleva una velocidad constante de 120 km
por hora.
Calcula.
> Los kilómetros que recorre cada coche en 1 minuto.
> Los metros que recorre cada coche en 1 minuto.
> Los metros que recorre cada coche en 1 segundo.
Enrique tiene que comprar listón de madera para hacer tres marcos con las dimensiones que se observan en las figuras.
42 cm
Calcula:
> Los centímetros de listón que tiene que comprar para cada marco.
> El precio de cada marco, si el metro de listón cuesta $9 500.
Las siguientes figuras representan el plano de un campo de fútbol, una piscina y un gimnasio.
22
1m
Cada uno de estos planos está hecho a escala 1: 2 000, es decir, 1 cm sobre el plano representa 2 000 cm sobre el terreno real.
> Utiliza una regla y calcula las dimensiones reales en metros del campo de fútbol, la piscina y el gimnasio.
De un patio rectangular de 8 m de largo y 6 m de ancho se han embaldosinado 1 200 dm2
¿ Cuántos metros cuadrados faltan para terminarlo?
Teresa tiene que comprar una alfombra, el cuarto tiene 10 m de largo por 4 m de ancho.
¿Cuál será el precio de la alfombra si 1 m2 cuesta $ 45 000?
Calcula, en metros cuadrados, la superficie de un cuadrado cuyo perímetro es el que se indica en cada caso.
832 m
150 dm
750 m
460 dm
Calcular la superficie de un rectángulo cuya base es la mitad de la altura y su altura mide 12 cm
Se abonaron $ 80 500 000 por un terreno de 250 m de ancho y 3 hm de largo
¿Cuál es el costo de cada metro cuadrado del terreno?
La superficie de un rectángulo es de 60 m2 y la base mide 250 dm. Calcula la altura y el perímetro.
El corazón de un niño late 80 veces por minuto. ¿Cuántos latidos da en 2 h 45 min?
Un reloj adelanta 2 s. por hora. ¿Cuántos minutos y segundos adelanta al cabo de una semana?
Una familia, formada por cuatro personas, está en el hotel desde el 25 de julio al 12 de agosto, incluidos ambos días. La pensión por
persona es de $ 50 000 diarios.
> ¿Cuántos días permaneció esa familia en el hotel?
> ¿Cuál fue su gasto diario y su gasto total?
Qué aprendí
>> La hidrografía de Colombia es de las más ricas del mundo. Sus principales ríos son el Magdalena, el Cauca, el Guaviare, el
Putumayo y el Caquetá.
> Los ríos de la vertiente del Océano Pacífico y sus afluentes suman cuencas
de 88 000 km² en total. Está vertiente está formada por las siguientes
cuencas:
- Cuenca del río Patía (24 000 km²)
- Cuenca del río San Juan (Colombia) (20 000 km²)
- Cuenca del río Mira (11 000 km²)
- Cuenca del río Baudó (8 000 km²)
- Otras cuencas menores, incluidas las del Micay y Guapi (25 000 km²)
23
MATEMÁTICAS
En la tabla se muestran las longitudes de algunos ríos colombianos. Complétala teniendo en cuenta los datos.
Con base en la información anterior, indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas(V) o falsas (F).
-La cuenca del río Patía mide 2 400 000 hm2.( )
-La cuenca del río San Juan tiene 2 000 dam2.( )
-La cuenca del río Mira mide 1 100 hm2.( )
-La cuenca del río Baudó tiene 8 000 000 dam2.( )
> Una lancha que recorre el río magdalena avanza con una velocidad constante de 90 kilómetros por hora.
¿En cuántos minutos recorre 180 km?
Trabaja con tres compañeros o compañeras.
En la ilustración se indica el tiempo de vida de algunos animales.
15 años de vida
40 años de vida
75 años de vida
150 años de vida
> Respondan las preguntas con base en la información.
¿Cuántos meses más vive la cacatúa con respecto al caballo? ¿Cuántos días menos de vida tiene el perro con respecto al caballo?
¿Cuántas horas vive en total una tortuga?
> Expliquen las operaciones que aplicaron para responder las preguntas anteriores.
> Hagan una puesta en común y con ayuda de su profesor o profesora determinen el proceso más práctico para hacer los
cálculos que resolvieron las preguntas.
Pensamiento métrico
> Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas
relativas y de variaciones en las medidas.
> Identifico la magnitud correspondiente al contexto de
un problema y empleo las unidades de medida que
estimo pertinentes
> La realización de las actividades propuestas en las
guías que conforman este módulo te permitirá alcanzar
estándares básicos de competencias que privilegian el
desarrollo de los pensamientos numérico, variacional
geométrico y métrico, a través de los conceptos asociados
al volumen y las medidas de capacidad.
Guías
concepto de
v olumen y
capacidad
13
v olumen
14
capacidad
15
Proces os
Establecer diferencias
entre volumen y
capacidad.
Realizar
transformaciones
entre unidades de
volumen y unidades
de capacidad.
aplicaciones de
v olumen y capacidad
MATEMÁTICAS
El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar los conceptos.
24
¿Para qué te sirve?
Las unidades de volumen te permiten calcular el espacio que ocupa un cuerpo ya sea de forma regular o irregular, con esta
herramientas puedes determinar si un objeto es de mayor tamaño que otro, sin la necesidad de construirlo. Es decir mediante
representaciones gráficas del objeto y sus medidas puedes realizar la planificación de la construcción de objetos y predecir de
forma anticipada el espacio que ocupara incluso sus costos. Las medidas de capacidad te permiten diseñar recipientes que puedan
contener diferentes elementos para su transporte teniendo en cuenta entre otras cosa sus propiedades físicas y químicas.
A partir de la siguiente imagen,
desarrolle los siguientes puntos.
Para llevar la cosecha don Juan Manuel dispone de unas
cajas que tienen 90cm de largo por 60cm de ancho y 50cm
de alto y para preparar la carga antes de que llegue
el camión decide apilar las cajas en grupos de 30 en el
interior de su bodega. El furgón del camión que contrata
tiene 4.50m de largo por 2.40 de ancho y 2m de alto.
1. ¿De que forma puede don Manuel apilar las 30 cajas
para que no le ocupe mucho espacio en su bodega?
Realiza un dibujo.
2. ¿Cuántas cajas puede trasportar el camión en un solo
viaje?
Otro tipo de empaque que utiliza don Juan para
transportar sus cosechas son los bultos
3. ¿Qué estrategia puede emplear don Manuel para saber
cuantos bultos puede llevar en el camión?
Guía
De manera similar a como se mide la longitud y el área de los objetos, lo primero que se debe hacer para medir o tantear volúmenes es
seleccionar una unidad de medida, ésta se encuentra asociada a las dimensiones que tiene un cuerpo solido es decir largo, ancho y el
alto.
Imagina que deseas trasportar la cosecha de don Manuel y que puedes elegir entre cobrar por el peso o cobrar por el
espacio que ocupa ¿Cuál de las dos opciones podría ser para ti la más beneficiosa?
Imagina que finalmente se decide pagar únicamente por el espacio que se ocupa Para establecer el cobro, la forma más
fácil de calcularlo es: ¿cuando se emplean los bultos o cuando se emplean las cajas?
> ¿Como podrías establecer una tarifa para este trasporte?
> ¿Que procedimiento emplearías para calcular el volumen de un objeto?
> Compara tus respuestas con las de tus compañeros
¿Como determinar el volumen de una piedra, una papa, o un kilo de arroz?
Para hallar la solución a estos problemas debemos establecer que tipo de magnitud es el volumen. Imagina que tienes un kilo de
arvejas secas y un kilo de papas ¿Cuál de los dos tiene mayor peso?.
Si introduces cada uno de los elementos dentro de un recipiente lleno de agua hasta el borde ¿Qué sucede? ¿Cuál de los dos
desaloja mas agua? ¿Cómo puedes explicar lo que ocurre?. Cuenta la historia que un experimento parecido realizo el sabio
Arquímedes ya que el rey le había pedido averiguar si todo el oro dado para elaborar su corona se había utilizado. Arquímedes
mientras tomaba un baño de tina noto que cuando su cuerpo entraba en ella se desalojaba agua, con ello grito ¡Eureka! que
significa lo encontré y salió corriendo desnudo por la ciudad de Siracusa.
> ¿Qué descubrió el sabio Arquímedes?
> ¿Cómo le puede ayudar a resolver el problema planteado por el rey?
> Según lo anterior ¿que piensas que sucede con nuestro pequeño experimento de la arveja y la papa?
25
MATEMÁTICAS
¿Cómo se expresa el volumen?
La forma más sencilla de establecer el volumen es cuando tenemos objetos de forma regular en el caso anterior las cajas nos
permiten calcular de forma directa el volumen que ocupa mientras que para otros como los bultos debemos recurrir a estrategias
que nos permitan estimar el volumen en forma indirecta.
El volumen es la medida del espacio ocupado por un cuerpo y se mide con unidades cúbicas. De ellas la unidad básica es el
metro cúbico (m3).
¿Cuántos metros cúbicos ocupan las cajas que tiene don Manuel?
Para resolver este problema en primer lugar debemos determinar la forma que tiene el objeto y cual es el valor de cada una de sus
dimensiones en este caso la forma es la de un prisma rectangular que tiene 90cm de largo por 60cm de ancho y 50cm de alto.
Ya que las unidades de medida se encuentran dadas en cm y no en metros para
expresar el resultado en la unidad fundamental podemos emplear como
estrategia el convertir cada una de las dimensiones de cm a metros es decir las
dimensiones de la caja serian 0.9m de largo por 0.6m de ancho y
0.5m de largo ¿Cómo se obtienen estos resultados?.Luego calculamos el
volumen del prisma para ello recuerda que:
El volumen del prisma es el producto del área de la base por la altura como
en este caso la base es rectangular tenemos que el volumen será igual al
producto del largo l por el ancho a ( l x a= área de la base)
por la altura h V= l x a x h
V= 0.9 m x x 0.6m x 0.5
V= 0.27 m3
Determina el volumen en cm3 y compara los dos resultados. ¿Qué estrategia emplearías para pasar de cm3 a m3 ?.
Como anotábamos anteriormente la unidad fundamental para el volumen es el metro cubico este corresponde a un cubo que posee
un metro de arista ¿Cuántos cm3 tiene este cubo? ¿Para que seria útil este dato?.
Tal como ocurre con las unidades de longitud cuya unidad fundamental es el metro y posee múltiplos y submúltiplos en forma
similar tendremos múltiplos y submúltiplos del metro cubico ¿te atreves a deducir cuales son?
Múltiplos del metro cubico
MATEMÁTICAS
Como ya sabes los múltiplos del metro son el decámetro (10 metros), hectómetro (100 metros), kilometro (1000 metros). Por lo
tanto los múltiplos del metro cubico están relacionados con los múltiplos del metro, para establecer su equivalencia usemos
como estrategia la de dibujar cubos cuyas dimensiones correspondan a las de los múltiplos expresadas en metros y hallemos el
volumen por ejemplo un decámetro cubico lo podemos representar como un cubo cuya arista corresponde a 10 metros. Luego
si calculamos su volumen en metros tendremos V=10m x 10m x 10m = m3 Es decir un decámetro cubico Dm3 equivale a 1000m3
> ¿Cuál es el volumen de las cajas de don Manuel expresadas en decámetros cúbicos?
> ¿Cuántos decámetros cúbicos puedes acomodar dentro del camión?
De forma similar podemos calcular los otros múltiplos del metro y tendremos:
Como puedes deducir los múltiplos del metro son
empleados para hacer referencia unidades de
volumen de mayor tamaño es decir, si la cosecha de
don Manuel ocupa 3Km3 es mas fácil hacer
referencia a esta unidad y no decir por ejemplo que
la cosecha de don Manuel ocupa un espacio de
3.000´000.000 de m3 o sea tres mil millones de
metros cúbicos.
26
De igual forma tenemos los submúltiplos del metro cubico y ellos nos permiten hacer referencia a unidades de menor volumen.
Entre ellos están el decímetro cubico dm3 cuya equi- valencia es de 0.001m3 Para obtener estas equivalencias debes recordar a que
parte del metro equivale cada submúltiplo. Por ejemplo un decímetro equivale a la décima parte de un metroesto quiere decir que
1dm = 1dm = 1 m = 0.1m
10
Por lo tanto undecímetro cubico será un cubo cuya arista mide 0.1m, luego su volumen será V= 0.1m x 0.1m x 0.1m = 0.001m3
emplea la misma estrategia para hallar los submúltiplos restantes verifica tus respuestas con la tabla que te presentamos.
Don Manuel decide emplear otro tipo de cajas para empacar su cosecha además de utilizar las que tiene. Las nuevas cajas que diseña
don Manuel son:
> una caja de color rojo con dimensiones de 7dm de largo por 8dm de ancho y 10dm de alto
> una caja de color azul con dimensiones de 3m de largo por 6m de ancho y 4 de alto
1. Determina el volumen de cada una de las cajas en unidades de milímetros cúbicos
2. Determina el volumen de cada una de las cajas en unidades de hectómetros cúbicos
3. Escribe la estrategia que utilizaste para hallar la solución de cada uno de los problemas anteriores
1. Ordena las 3 cajas que ha diseñado don Manuel del menor volumen al mayor volumen.
2. Don Manuel apila en su bodega 3cajas de color rojo y 2 de color azul que volumen ocupan las 5 cajas.
3. Describe la estrategia que empleaste para hallar el volumen total.
4. Don Manuel afirma que tiene un objeto cuyo volumen es de 125.000 mm3 en su bolsillo ¿es eso posible?
5. Para realizar la conversión entre diferentes unidades don Manuel organiza la siguiente tabla :
> ¿En que casos se propone multiplicar por mil? Explica
> ¿En que casos se propone dividir por mil? Explica
6. Con la información anterior plantea un método que te permita pasar de una unidad a otra ¿Cómo puedes probar que funciona?
7. Don Manuel afirma que tiene un objeto cuyo volumen es de 125.000 mm3 en su bolsillo ¿es eso posible?
8. Para probar la eficacia de tu método mira en cuanto tiempo logras resolver la suma 0.00035 Km3 + 2.37 m3 +45'000.000 mm3
+0.000007 Hm3 expresa el resultado en cm3
9. Una unidad de medida muy empleada en casa y no convencional es la pizca ¿a cuántos m3 crees que equivale?
¿crees que este tipo de unidad tendrá oportunidad de internacionalizarse? Explica tu respuesta.
27
MATEMÁTICAS
En ella se observa que las unidades varían
aumentando por mil o
disminuyendo por mil luego don Manuel propone
que para pasar de una unidad a otra lo que debe
hacer es multiplicar por mil o dividir en mil según
sea el caso. Por ejemplo:
3 Dm3 X1000= 3000 m3 y
3000 m3 X1000=3'000.000 dm3
Otro caso es:
5 cm3
y 0.005 cm3
=0.005 dm3
=0.000005 dm3
Guía
¿Qué diferencia existe entre la capacidad y el volumen?
Don José en sus años mozos se dedico con gran esmero al comercio de lácteos recuerda que en esos tiempos de su vaca preferida
josefina sacaba 22 litros diarios en los dos ordeños. Casi llenaba la cantina de 25 litros contaba con entusiasmo a sus amigos. Tenía por
costumbre preparar cuajada sabia que para ello requería de 5 litros de leche por cuajada y estimaba que era un buen negocio ya que
vendía 25 cuajadas de lunes a viernes dejando eso si los 2 litros diarios de leche que se empleaban en casa.
¡Ah tiempos aquellos! Exclama don José ya el ordeño no es como antes, ahora son maquinas y estas son capaces de ordeñar 64 vacas
en una mañana.
1. ¿La capacidad de las cantinas que recuerda don José es de 25 litros ¿Qué capacidad queda disponible en la cantina luego
de preparar las cuajadas?
2. ¿Cuántas vacas con las características de josefina necesita don José para utilizar un número entero de cantinas de 25
litros?
3. Imagina que don José vende los 22 litros de leche y emplea para extraer de la cantina recipientes metálicos de dos y tres
litros respectivamente. Si los recipientes no tienen marcas y no se le pueden hacer es posible que don José pueda extraer
exacta- mente un litro de leche para la venta? ¿Cuál sería la estrategia?
4. ¿Cuántos vasos de leche se pueden sacar de la cantina si se sabe que un vaso tiene una capacidad de 0.25litros?
5. Don José es algo exagerado en sus relatos, y parece ser que no tuvo en cuanta ciertas proporciones ¿Cuál o cuales son las
afirmaciones en las que exageró don José?
De forma similar a las unidades de volumen también tenemos las medidas de capacidad. Cabe aclarar que se encuentran
estrechamente relacionadas aunque se refieren a conceptos diferentes. El volumen es el espacio ocupado por un cuerpo mientras
que la capacidad refiere a la cantidad que puede contener un objeto. Por ejemplo las cantinas a las que refiere don José tienen una
capacidad de 25 litros es decir que pueden contener 25litros. Pero su volumen refiere al espacio que ocupan y en este caso lo
debemos calcular según su forma cilíndrica obteniendo su radio y su altura, recuerda que las unidades de medida que se
emplean son los m3. ¿Cuántos es el volumen aproximado que ocupa una can- tina si tiene 70cm de radio y una altura de 1.2m?.
La unidad de medida para la capacidad es el litro y corresponde la capacidad de un recipiente cuyo volumen es de 1 dm3
Podemos constatarlo elaborando un cubo que tenga 1dm de arista. Deja una cara libre para poder depositar dentro del cubo 1litro
que puedes medir con un recipiente graduado o con uno reciclado que especifique contener una capacidad de un litro.
MATEMÁTICAS
De acuerdo con la información anterior.
¿Cuántos litros son un m3?
Si la cantina de don José tiene una capacidad de 25 litros.
¿Cuántos es su equivalencia en dm3?
Don José afirma que en una mañana hoy en día se pueden
ordeñar 64 vacas. Si el promedio de leche producida por una
vaca es de 20 litros diarios.
> ¿Cuántas cantinas de 25 litros de capacidad son
necesarias para almacenar la leche?
> ¿Qué espacio ocupan las cantinas?
> Realiza un diagrama donde evidencies la estrategia de
solución a los problemas anteriores y compáralo con los de
tus compañeros.
28
Múltiplos y submúltiplos
Anteriormente encontrábamos que las unidades de volumen tenían una variación en potencias de 1000 en este caso las unidades
de capacidad mantienen una variación en potencias de 10 como lo puedes observar en la siguiente tabla:
> ¿Cuántos decalitros tiene la cantina de don José?
> Para que el relato de don José sea verdadero ¿Cuántos
centilitros diarios de leche debe producir josefina?
> ¿Cuántos hectolitros serían a la semana?
> ¿Cuántos mililitros son necesarios para preparar una cuajada?
Estrategia de solución: Si deseamos pasar a un submúltiplo
debemos multiplicar sucesivamente por 10 por ejemplo:
Si deseamos saber a cuantos centilitros equivalen 7 litros
realizamos: 7l x 10 = 7dl luego, 7dl x 10 = 700cl no obstante esta
operación la podemos resumir en 7l x 100 = 700cl
ml
cl
dl
l
Dl
Hl
Kl
4850
485
48.5
4.85
0.485
0.00485
0.000485
Como te podrás dar cuenta en la tabla existe un dato que no corresponde identifica cual es. Justifica tu respuesta
1. Indica cuales de las afirmaciones son falsas o verdaderas
a. Para pasar de un unidad mayor a una menor se debe multiplicar por 10
b. Para pasar de dl a Dl se debe dividir por 100
c. Para convertir d e ml a l se debe dividir por 1000
d. Si un prisma rectangular tiene de largo 26cm,por 30 cm de ancho y 10cmde alto entonces el prisma tiene un volumen
de 7800l
e. La capacidad de un recipiente se define como el espacio que ocupa el cuerpo.
2. ¿Cuántos Hl tiene de capacidad una piscina si se sabe que es llenada con 1`000000l de agua?
3. Don José cuenta que en cierta ocasión las condiciones climáticas afectaron la producción de 22l de josefina ya que esta
dejo de producir 10l diarios de leche. ¿Qué porcentaje de la cantina de 25l queda sin llenar diariamente?
4. Se tienen tres recipientes con la siguientes característica:
uno de ellos con capacidad de 2000ml, otro con capacidad de 0.03Hl, y el tercero con capacidad de 250cl. Ordénalos por su
capacidad de mayor a menor.
5. Si se desean comprar cantinas con capacidad de 50 y 25 litros ¿cuantas se necesitan diariamente para almacenar la leche
producida por las 64 vacas?
29
MATEMÁTICAS
Si deseamos pasar a un múltiplo dividimos sucesivamente en 10 por ejemplo:
7l a kilolitros
7l = 0.7 Dl Luego 0.7 Dl = 0.07 Hl finalmente 0.07 Dl = 0.007 Kl
10
10
10
Observa los procedimientos anteriores y encuentra una estrategia que te permita convertir los litros en otras unidades de
volumen sin emplear la multiplicación o la división sucesiva por 10. Para elaborar un postre son necesarios 25ml de vainilla ¿a
cuantos decalitros equivale? Observa que en este problema debemos pasar de un unidad menor a un mayor lo que implica dividir
por 10 hasta llegar a la unidad indicada eso también equivale a 25 ml = 0.025 Dl
1000
explica la estrategia de solución que se empleo para solucionar este problema y compárala con las diseñada por tus compañeros.
Aplica la misma estrategia para pasar 48.5 dl a las demás unidades de capacidad y compara los resultados con los que te
presentamos en la tabla
1. Si un recipiente tiene una capacidad de 8000ml y en el se almacena la leche destinada para producir una cuajada ¿que capacidad
queda disponible en el recipiente?
2. Don José decide distribuir los 22 litros de leche que produce josefina en 6 recipientes de 500ml, 8 recipientes de 300cl, y 1
recipiente de 0.08Hl si la leche restante la deposita en la cantina de 25 litros ¿Qué capacidad queda disponible en la cantina?
3. ¿Cuál de los recipientes anteriores tiene menor capacidad?
4. Observa las siguientes capacidades estimadas en recipientes de uso cotidiano y completa la tabla
Realizar el ejercicio a partir de la siguiente
tabla.
recipiente
ml
taza
150ml
l
Dl
Hl
Kl
100ml
2.5dl
cucharón
cucharada
sopera
dl
2dl
v aso
copa
cl
15ml
CONTENIDOS
Este módulo te ayudará a afianzar los estándares
básicos de competencias, mencionados en la
parte superior, mediante el establecimiento de
relaciones de comparación y la identificación de la
variación que se da entre las magnitudes
relacionadas. En la siguiente tabla se especifican
las guías que contiene el módulo y lo que se
desarrolla en cada una de ellas.
Guías
1. Cuantas cucharadas son necesarias para llenar 3/4
de copa y 5 ½ tazas.
2. El postre horrendo: Para la preparación del postre se pide medio
litro de leche, dos tazas de agua salada, 20 cucharadas
soperas de jugo de limón y un acopa de vino seco, esta mezcla se debe
agitar y servir en copitas de 60 ml. ¿Cuántas copitas se necesitan para
servir toda la mezcla?
3. Si decides servir el postre en recipientes de 0.5dl ¿cuantos
recipientes son necesarios?
4. Si toda la mezcla se deposita en un recipiente de 2 litros ¿Qué
capacidad queda disponible en el recipiente?
5. ¿Cual es el ingrediente de menor contenido en la mezcla?
6. A don José le regalaron una cantina, para depositar la leche que
produce josefina si deposito en el recipiente 20 litros de leche y quedo
disponible el 25% de la capacidad que tiene
¿Qué capacitad tiene la cantina?
Contenidos
Proces os
7
Relaciones de
comparación
Razones y proporciones
8
Magnitudes directa
e inversamente
proporcionales
9
Regla de tres
> Expresar ideas matemáticas relacionadas la
comparación de magnitudes.
> Reconocer patrones y regularidades que
se establecen entre las magnitudes que se
relacionan.
> Argumentar con validez los procesos que se
aplican en la resolución de problemas.
> Solucionar diferentes situaciones de la vida
cotidiana, relacionadas con las relaciones de
comparación.
El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden
relacionar los conceptos.
Módulo 3
Pensamiento variacional
Relaciones de comparación
establecen
MATEMÁTICAS
Razones
Permiten establecer
Magnitudes son
directamente
proporcionales
30
Magnitudesson
inversamente
proporcionales
¿PArA QUÉ TE sIrVE Lo QUE VAs A APrEndEr?
La razón y las proporciones tienen hoy múltiples y variadas aplicaciones en lo científico, lo social y lo cultural del ciudadano. En
geografía por ejemplo, la elaboración de mapas depende del uso de escalas, las cuales se determinan estableciendo razones entre las
distintas magnitudes utilizadas. De otra parte, las proporciones son herramientas necesarias en la vida diaria, por ejemplo, para saber
la cantidad de semillas que se siembran por metro cuadrado en un terreno, para la preparación de recetas, para saber la cantidad de
medicina que necesito según el peso y la edad, para la elaboración de mezclas o de reacciones químicas, entre otras.
ExPLorA TUs ConoCImIEnTos
Joaquín tiene una tienda de vivieres en su pueblo. La semana pasada
relacionó en una tabla el peso en kilogramos del arroz y el precio
correspondiente.
Arroz
Peso (kg)
Analiza los datos de la tabla.
> ¿Qué deducción puedes hacer al comparar el peso del arroz y el precio
correspondiente?
> ¿Se puede afirmar que a triple cantidad de arroz, triple precio?
> ¿Cuál es el costo de cinco libras de arroz?
> ¿Qué relación encuentras entre el precio y el peso del arroz?
> A partir de los datos de la tabla, se puede deducir, ¿cuánto cuestan 8
kilogramos de arroz?
> Formula una pregunta que pueda responderse con los datos de la tabla.
> Compártela con tus compañeros de curso y pídeles que la respondan.
Precio ($)
1
1250
2
2500
3
3750
4
5000
5
6250
¿Qué cosas puedes comparar?
observa las siguiente figuras.
$1800
docena
Moto – llantas
bolsa – manzanas
cantidad de bananos – precio
Segmento AB – segmento AC
Responde en tu cuaderno.
¿Qué relación de comparación se puede establecer entre los términos de cada figura?
¿Cuántas llantas hay por cada moto?
¿Cuántas manzanas hay por cada bolsa?
¿Cuánto se paga por cada docena de bananos?
¿Cuántos segmentos AC, hay por cada segmento AB?
¿Cuál es la unidad de comparación que se está tomando en cada caso? ¿Cómo sabes que esa es la unidad?
Cuando se establecen relaciones de comparación, es necesario identificar la unidad que se está utilizando. Por ejemplo, para la
primera comparación, la unidad que se considera es la moto, y para la comparación que se establece entre los términos de la cuarta
figura, la unidad es el segmento AB. Observa nuevamente las figuras y responde:
> ¿En qué casos uno de los términos que se relacionan hace parte del otro?
> ¿En qué casos, las comparaciones se hacen entre dos elementos distintos e independientes?
31
MATEMÁTICAS
>
>
>
>
>
>
En el caso de la moto y sus llantas, se establece una comparación parte – todo, en donde el todo es la unidad. Cuando las
comparaciones se hacen entre dos elementos distintos e independientes, la unidad dependerá de la forma en que se haga la
comparación. Por ejemplo, se sabe que por una docena de bananos se pagan $ 1800, en este caso, la unidad es una docena de
bananos. Pero si la comparación es: por cada $ 1800 se compra una docena de bananos, la unidad en esta ocasión, son los $ 1800.
> ¿Qué comparaciones se pueden establecer para la bolsa y la cantidad de manzanas?
> ¿Cuál es la unidad en cada caso?
Una vez establecida la unidad de comparación, se puede utilizar para deducir cierta información. En tu cuaderno completa las
siguientes tablas.
Cantidad
de motos
1
Cantidad
de llantas
2
Cantidad
Cantidad
de bolsas de manzanas
1
3
Docena de
Bananos
1
Precio
($)
1800
Segmento
A-B
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
Segmento
A-C
2
Lee los datos de la primera tabla y responde.
> Para dos motos, ¿cuántas llantas se necesitan?
> ¿Cuántas llantas se necesitan para cuatro motos?
Con los datos de la segunda tabla responde.
> Si en una bolsa se colocan tres manzanas, ¿cuántas bolsas son necesarias para nueve manzanas?
> ¿Cuántas manzanas se empacan en dos bolsas?
La comparación: por una moto se utilizan dos llantas determina la razón 1 es a 2. La razón es una comparación entre dos
cantidades o dos números. Las razones se escriben a : b y se leen a es a b. Las razones también se pueden escribir en forma de
fracción: a/ b. La razón 1 : 2 es igual a 1 /2 y se lee por cada moto hay dos llantas. En tu cuaderno, escribe las razones que se
establecen entre los datos de cada una de las tablas. Indica cómo se lee cada una. Toda razón genera nuevas razones. Por ejemplo,
la razón 1 es a 2 da origen a las razones 2 es a 4 y 3 es a 6.
> ¿Cuál es la razón que se establece entre una docena de bananos y su precio?
> ¿Cuál es la razón que se establece entre cinco docenas de bananos y su precio?
> ¿Qué procedimiento utilizaste para hallar la respuesta?
Al igual que en las fracciones, entre las razones se establecen relaciones de igualdad. Por ejemplo: ½ = 2/4. Establece relaciones de
igualdad entre los datos de cada una de las tablas anteriores. Las igualdades que escribiste, se conocen como proporciones.
Una proporción es la igualdad entre dos razones. a : b = c : d se lee a es a b como c es a d; a y d se llaman extremos b y c se
llaman medios.
Otra forma de escribir la proporción es a : b = c : d es a/b = c/d. Por ejemplo, para conocer el precio de cinco docenas de bananos se
establece la proporción: 1/1800 = 5/X
> ¿Cuáles son los valores a, b, c y d, en esta proporción?
> ¿Cuáles son los valores medios?
> ¿Cuáles son los valores extremos?
> Halla el valor desconocido.
MATEMÁTICAS
Forma un grupo con dos compañeros o compañeras para realizar las siguientes actividades en el cuaderno.
1. En cada caso establezcan una relación de comparación.
32
2. Establezcan comparaciones entre:
a. El total de los estudiantes de la clase y:
>El total de alumnas.
>El total de alumnos.
>El total de alumnas con cabello oscuro.
>El total de alumnos con ojos claros.
b. El total de personas que viven en casa y:
>El total de hermanos.
>El total de hermanas.
>El total de abuelos.
>El total de padres.
3. Por cada hectárea de un terreno que se prepara para la siembra de maíz, se requieren nueve trabajadores. Completen la
tabla con esa información.
Número de
hectáreas
1
Número de
trabajadores
Razón a : b
9
1:9
Razón a
b
1
9
2
3
4
5
4. En el vivero de la doña Matilde, se venden 8 rosas por $ 1500. Carolina quiere comprar 48 rosas.
> ¿Cómo calcula doña Matilde el precio de las 48 rosas?
Reúnete con un compañero o compañera y desarrollen las siguientes
actividades en el cuaderno. Copien la siguiente tabla y calculen los datos
que faltan en ella.
> ¿Cuáles son las magnitudes que se están relacionando en la tabla?
> Según los datos de la tabla, ¿qué distancia recorre el automóvil en una hora?
> Cuándo aumenta el tiempo, ¿qué sucede con la distancia recorrida?
> ¿Qué distancia ha recorrido el automóvil en cuatro horas?
> ¿Esta distancia es mayor o menor que la distancia recorrida en dos horas?
> ¿Qué sucede con la distancia cuando aumenta la cantidad de tiempo?
> ¿La distancia aumenta siempre en la misma proporción?
> ¿Qué medio de transporte utilizas con frecuencia?
Imagínate que estas ahora en ese medio de transporte.
> ¿Crees que entre más tiempo transcurras en ese medio de transporte, mayor es la distancia que recorres?
> ¿A mayor distancia se requiere más tiempo?
Las magnitudes distancia y tiempo son dependientes. Es decir si la una aumenta, la otra también aumenta, o cuando una
disminuye, la otra también disminuye.Muchas magnitudes se relacionan de manera dependiente, por ejemplo, la cantidad de agua
consumida y el valor a pagar, el número de kilómetros recorridos por un vehículo y la cantidad de gasolina consumida, el número de
artículos del mismo precio y el costo total, el número de días trabajados y el dinero devengado, entre otras. Consideren nuevamente
la tabla en la que registraron la relación entre la cantidad de sacos de café y el peso de los mismos, en la actividad anterior.
> Escribe dos ejemplos de magnitudes dependientes. Explica por qué lo son.
> Utiliza los datos de la tabla anterior para escribir razones comparando magnitudes de la misma especie.Por ejemplo:
Tiempo
1:2
> Las razones 1/2 y 880/160 son equivalentes. ¿Por qué?
> Encuentra el cociente entre las razones que determinaste.
> ¿Cómo son los cocientes obtenidos?
Distancia
80 : 160
> ¿Qué puedes concluir?
> Analiza los cocientes de las razones que se puedan establecer
en los ejemplos que escribiste.
> ¿Qué sucede con los cocientes obtenidos?
33
MATEMÁTICAS
¿Cómo se relacionan el tiempo y la distancia?
> ¿Son las magnitudes distancia recorrida y tiempo directamente proporcionales?
La proporcionalidad directa se representa gráficamente.
En tu cuaderno traza dos rectas que se
corten perpendicularmente (ejes coordenados).
>
>
>
>
>
>
>
>
>
Marca cada uno de los ejes con los
Distancia en el eje vertical
Tiempo en el eje horizontal
Gradúa los ejes teniendo en cuenta los valores de la tabla.
A cada hora transcurrida, le haces corresponder la distancia recorrida
Si unes los puntos ubicados en el
Representa gráficamente las magnitudes que diste en tus ejemplos.
Luego escribe una conclusión.
Compartan sus respuestas con el resto del grupo y el profesor.
Organicen grupos de tres integrantes y desarrollen las siguientes
actividades en el cuaderno.
1. Javier registró en la siguiente tabla la cantidad de días que le dura el alimento con el que cuida su ganado.
Cantidad
de Reses
Cantidad de días que
dura el alimento
10 15 30
15 10 5
> ¿Cuántos días durará el alimento si debe cuidar seis reces?
¿Y si hay 25 reces?
> A medida que la cantidad de reces aumenta, ¿cómo varía la
cantidad de días que dura el alimento?
> Multipliquen la cantidad de reces con la cantidad de días
que dura el alimento, en cada columna de la tabla.
¿Cuáles son los resultados? ¿Qué tienen en común?
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al doble, al triple, etc. de la primera le corresponde respectivamente la mitad,
la tercera parte, etc. de la segunda. El producto de las cantidades correspondientes es constante y este es la constante de
proporcionalidad.
2. Trabaja individualmente y realiza las siguientes actividades en el cuaderno. Analiza la información.
MATEMÁTICAS
a. Para hacer una compota de manzana se necesita cierta
cantidad de azúcar por kilo de manzana. En la tabla se
registraron algunas cantidades.
b. ¿La cantidad de azúcar es directamente proporcional a la
cantidad de manzanas? ¿Por qué?
c. Copia la tabla y complétala en el cuaderno.
d. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
Cantidad de
Manzanas (Kg)
Cantidad de
Azúcar (Kg)
4 8 12
1 2
5
Actividad de evaluación
3. Determina si las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales o no. Propón ejemplos que
sustenten tus respuestas.
a. El número de trabajadores y el tiempo que tardan en recoger una cosecha
b. La cantidad de libras de manzanas y el precio
c. Peso de una persona y estatura
d. Lado de un cuadrado y perímetro del mismo
34
4. Marca con D las magnitudes directamente proporcionales y con I las inversamente proporcionales:
a. Número de estudiantes que aportan el mismo dinero y cantidad de dinero ahorrado.
b. Número de personas y alimento que consumen en una semana, suponiendo que la cantidad de alimento no varía y el
número de personas sí.
c. Tiempo en recorrer una distancia y la distancia recorrida
d. Máquinas que hacen jugo y número de jugos preparados en una hora
5. Lee la información y contesta las preguntas
Una persona camina 5 km por hora y emplea seis horas en hacer un recorrido. ¿Cuánto tiempo empleará en hacer el mismo
recorrido en bicicleta a 30 km por hora?
a. Elabora en el cuaderno una tabla para registrar los datos proporcionados.
b. Identifica las magnitudes que se relacionan en la situación.
c. Determina si las magnitudes son directa o inversamente proporcionales y justifica.
d. Calcula la constante de proporcionalidad.
6. Completa la siguiente tabla en tu cuaderno.
Situación
¿L as magnitudes ¿L as magnitudes
son directamente son inv ers amente
proporcionales? proporcionales?
Constante de
proporcionalidad
Un vehículo gasta dos galones de gasolina cada 100
km. Si quedan ocho galones
en el tanque, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer?
MATEMÁTICAS
Una llave que vierte 120 L
de agua por minuto llena un
depósito en doce horas. ¿En
cuánto tiempo se llenaría la
piscina si la llave vierte 180
L por minuto?
Una rueda de un automóvil
da 4 590 vueltas en nueve
minutos. ¿Cuántas vueltas
dará en 24 horas?
Un ganadero tiene alimento
para cuidar 25 reces durante
42 días. ¿Cuánto le duraría el
alimento si solo tuviera cinco
vacas?
Nueve obreros completan
una obra en 30 días. ¿En
cuántos días completan la
misma obra 18 obreros?
35
¿Sabes qué es una Regla?
Menciona algunas reglas o normas que conozcas.
>
>
>
>
>
¿Hay normas en tu escuela? ¿Cuáles?
¿En qué otros sitios se utilizan normas? ¿Qué clase de normas se utilizan?
¿Qué regla te gustaría que existiera?
¿Cuáles de las normas que conoces son para el bienestar de las personas? ¿Estás de acuerdo con ellas?
¿Conoces alguna regla en matemáticas? ¿Cuál o cuáles? En esta guía conocerás una regla muy especial. Ella te permitirá
resolver situaciones del área, de tu entorno y de otras asignaturas.
Usa lo que ya aprendiste sobre razones y proporciones para tratar de resolver las siguientes situaciones. Explica el
procedimiento que sigues.
1. En una caja caben exactamente 50 manzanas. ¿Cuántas cajas se necesitan para empacar 250 manzanas?
2. Por 150 m2 de un terreno se han pagado $ 10 250 000. ¿Cuánto costarán 120 m2 del mismo lote?
3. Seis obreros hacen un trabajo en 20 días. ¿En cuánto tiempo lo harán 15 obreros?
Identifica las magnitudes que intervienen en la primera situación de la sección anterior.
> ¿Esas magnitudes son directamente proporcionales o inversamente proporcionales?
> ¿Por qué sabes que esas magnitudes se relacionan de esa forma?
En la expresión: en una caja caben exactamente 50 manzanas, ¿cuál es la unidad de comparación?
> ¿Qué razón se establece en esa expresión?
> ¿Qué procedimiento sigues para responder la pregunta formulada?
Ordena los datos de la siguiente manera:
Cajas
1
x
Manzanas
50
250
Por ser magnitudes directamente proporcionales, ¿qué pro- porción se puede establecer? Halla el
valor de x.
Cajas
¿Coincide con el valor hallado anteriormente?
1
Utiliza la misma estrategia para calcular la cantidad de cajas que se requieren para empacar 700
x
manzanas.
Manzanas
50
700
×5
Cajas
1
De esa forma se obtiene que para empacar 250
manzanas se requieren 5 cajas.
×5
Generalmente el valor desconocido se reemplaza
con una letra de nuestro abecedario, así:
Manzanas
50
MATEMÁTICAS
250
> Establece la proporción.
> Halla el valor de x.
> ¿Cuántas cajas se requieren para empacar las 700 manzanas?
> Si se cuentan con seis cajas, ¿cuántas manzanas se pueden empacar?
> ¿De cuál de las magnitudes es el valor desconocido?
> Plantea la proporción.
> Halla el valor desconocido.
> ¿Cuántas manzanas se pueden empacar en seis cajas?
Un problema en el que intervienen dos magnitudes directamente proporcionales y se conocen dos valores de una de ellas y
uno de la otra, se denomina problema de regla de tres simple directa.
> ¿Todos los problemas que solucionaste en la sección anterior, involucran magnitudes directamente proporcionales?
> ¿Alguno de ellos involucra magnitudes inversamente proporcionales? ¿Cuál?
> ¿Qué estrategia seguiste para resolverlo? Comparte tu respuesta con el resto del grupo.
Lee nuevamente la situación.
> ¿Cómo son las magnitudes número de obreros y cantidad de días?
> ¿Por qué estableces esa relación?
Número de obreros
6
x
> ¿Por qué se establecen los productos de la última fila?
> Escribe en el cuaderno la igualdad que se obtiene.
20
15
Cantidad de días
> Halla el valor de x.
6 × 20
x × 15
> ¿Cuántos obreros hacen el trabajo en 15 días?
36
Reúnete con dos compañeros o compañeras para realizar los siguientes ejercicios.
1. Analicen cada uno de los siguientes enunciados y digan si las magnitudes que se relacionan
son directamente proporcionales o inversamente proporcionales.
a. Un carro a una velocidad de 60 km/h gasta 2 ½ horas para ir de Pitalito hasta Neiva ¿Qué tiempo
empleará si la velocidad es de 90 km/h?
b. Si 50 m2 de cartón valen $ 20 000, ¿cuánto valen 20 m2?
c. En un mapa, 2 cm representan 400 km de la realidad.
¿Cuántos km. Habrá entre dos lugares, si en el mapa hay 1,5 cm entre ellos?
d. Una máquina fabrica cierta cantidad de objetos en tres días, y otra máquina fabrica la misma
cantidad de objetos en cinco días. Si trabajan las dos máquinas al mismo tiempo, ¿en cuántos días
harán la misma cantidad de objetos?
2. Resuelvan las situaciones anteriores.
3. Analicen y resuelvan cada una de las siguientes situaciones. Justifiquen sus procedimientos.
a. Camila asiste por las mañanas a la escuela y cuando sale se dirige a uno de los viñedos de la zona,
en donde trabaja. Ella gana diariamente $ 15 000; ¿cuánto gana en una semana?, ¿en 20 días?, ¿en un
mes?
b. Javier vende porciones de papaya cerca del río. Él vende 300 gramos por $ 1500. ¿Cuánto cuesta
comprar 900 gramos de papaya?
c. Si un jornalero gana $ 321 000 al mes. ¿Cuánto ganará en 70 días de trabajo?
d. En la escuela, por cada 3 estudiantes hombres hay 5 estudiantes mujeres. ¿Cuántos estudiantes
son mujeres si en la escuela hay 60 estudiantes hombres?
e. En una embotelladora de gaseosas se envasan 6000 gaseosas de 350 cm3 cada 30 minutos.
¿Cuántas botellas con el mismo contenido se envasan en 135 minutos?
f. Un albañil tarda 12 3/5 días en realizar 7/12 de una obra.¿Cuántos días demorará para realizar el
resto de la obra?
g. Un granjero cambia un terreno rectangular de medidas 50 m por 300 m, por otro de la misma área
que también es rectangular, pero cuyo lado mayor es la mitad del lado mayor del terreno que tenía.
¿Cuántos metros mide el otro lado del nuevo terreno? Si debe cercar el nuevo terreno, ¿gastará más
alambre o menos del que antes gastaba para cercar el terreno que tenía?
1. Entrevista a tus compañeros y compañeras acerca del transporte que utilizan para
llegar al colegio. Anota los resultados obtenidos y organízalos en una tabla. Luego escribe
razones que comparen las cantidades anotadas.
2. Escribe la razón que representa cada situación.
d. Un profesor a ocho estudiantes.
a. Un libro a dos cuadernos.
e. Una bicicleta a dos personas.
b. Dos balones a 18 personas.
f. Dos entradas a tres personas.
c. 5 galletas a $ 750.
3. Completa en tu cuaderno las expresiones.
a. Un ciclista recorre 18 km en tres horas. Para recorrer 72 km tarda horas.
.
b. una docena de mandarinas cuesta $ 2000. 30 mandarinas cuestan
4. David recorre en su bicicleta 130 km en 5 horas. Con esa relación completa la tabla.
130
Tiempo en horas
5
52
1
MATEMÁTICAS
5.
a.
b.
c.
Distancia en kilómetros
3
Inventa un problema con los siguientes datos.
398 personas por 10 m2.
1400 palabras en 25 minutos.
5 camisetas por $ 28 000.
37
Resuelve cada situación. Explica tu procedimiento para obtener la respuesta.
6. Los lados de la figura de la izquierda miden 9 cm de altura y
15 cm de largo. La figura de la derecha, tiene la misma forma,
pero es más grande.
> Si la altura de la figura de la derecha es 24 cm, ¿cuál es el largo?
7. Para plantar 3/8 de un césped se tardaron 45 minutos.
¿Si se continua con el mismo ritmo, ¿cuánto tiempo tardará en plantar el
césped en todo el terreno?
8. Un kilogramo de granadilla, cuando está en cosecha, cuesta
$ 1956,90. ¿Cuánto cuesta una docena?
9. Para hacer un dulce de fresa para cuatro personas se requieren
los siguientes ingredientes:
> 2 huevos
> Seis cucharadas de azúcar.
> Una libra de fresas
¿Cuánto de cada ingrediente se requiere, para hacer un dulce para 15 personas?
10. Un espejo plano tiene 1.3 m de alto por 0.5 m de ancho se compra en $ 29 300. ¿Cuál será el precio de un espejo de igual
calidad, pero que tiene el doble de largo y un metro de ancho ?
MATEMÁTICAS
Qué Aprendí
Color
Número de telares
Rojo
5
1. Juana elabora telares en su casa. Ella tiene un pequeño almacén en el pueblo,
Azul
35
en que vende sus telares. La tabla muestra la cantidad de telares que tiene de
Café
30
cada color.
Verde
10
> ¿Cuántos telares tiene en el almacén Juana?
Blanco
4
> Escribe algunas comparaciones que se puedan establecer entre los datos de la tabla.
Naranja
16
> Resuelve cada situación, argumentando tu respuesta.
2. Carmenza recorre diariamente 5.29 km en promedio para llegar de su casa al puesto de
Total
salud de la vereda, donde trabaja. ¿Cuántos kilómetros recorre en 7 días?
3. Jesús, trabaja recolectando la cosecha de frutas de la temporada. Si por un mes de trabajo le pagan $ 560 000.796,
¿cuánto le pagan por un día de trabajo?
4. El peso del acero es 0.88 veces el peso del cobre. Si una pieza de cobre pesa 6.19 kilogramos, ¿cuánto pesará esa pieza en
acero si el tamaño es el mismo?
5. En la plaza de mercado venden el queso costeño a $ 12 500 el kilogramo. ¿Cuánto cuesta comprar 7/2 kilogramos de
queso?
Reúnete con un grupo de compañeros o compañeras.
6. Consigan 30 palillos y una hoja de papel cuadriculado.
a. Construyan un cuadrado que tenga de lado dos palillos. ¿Cuántos palillos utilizaron?
b. Construyan un cuadrado que tenga tres palillos de lado. ¿Cuántos palillos utilizaron?
c. Construyan cuadrados con cinco y seis palillos?
d. Completen la tabla teniendo en cuenta los cuadrados anteriores.
e. escriban la razón entre el lado y el perímetro de cada cuadrado construido en
los literales anteriores.
Largo
38
Perímetro
MATEMÁTICAS
7. En el mapa se encuentran algunos sitios que visita la familia de Andrea.
39
Guía
¿Cuántos cm3 de medicina debo dar a josefina?
PROBLEMAS DE CAPACIDAD
En ciertas ocasiones era necesario suministrar algunos medicamentos a josefina. El veterinario entregaba su receta a don
José y este seguía estrictamente el tratamiento. En cierta ocasión el veterinario recomendó a don José suministrar cierta
sustancia en dosis de 700 ml, para medir esta cantidad don José disponía de una jeringa de 10cm3
> ¿Cómo determinar con la jeringa la cantidad para suministrar?
> Diseña una estrategia de solución que permita solucionar el problema de don José.
> Compara tu estrategia con las de tus compañeros.
> ¿Cuántas veces se debe llenar la jeringa para obtenerlos 700ml?
> Que información es suficiente para solucionar el problema.
> Si el medicamento se debía suministrara a josefina durante 15 días y cada frasco del medicamento contenía 35cl de la
sustancia ¿cuantos frascos diariamente debía comprar don José?
> ¿cuantos frascos debía comprar don José para cubrir todo el tratamiento?
> El vecino de don José le dice que para saber la dosis correcta utilice una cuchara ya que cada cucharada son 100ml ¿Qué
piensas de la afirmación del vecino?
Como puedes ver para resolver el problema anterior es necesario buscar una correspondencia entre las unidades de
capacidad y las unidades de volumen, para ello debemos partir de saber que 1dm3 equivale un litro. Luego determinar la
equivalencia entre múltiplos del litro en términos de decímetros cúbicos para luego realizar las correspondientes trasformaciones
entre las cantidades y obtener las equivalencias. Por ejemplo si un dm3 equivale a 1l entonces 1Dl equivalen a 10 dm3 observa:
dm3
como
1Dl
1 litro
10 litro
luego entonces
10 x dm3 = 10 dm3
De igual forma como 1 Dl equivale a 10 dm3 y un Hl son 10 Dl entonces 1Hl es equivalente a 10 X
10dm3 = 100dm3 realiza el cálculo y encuentra ¿cuántos dm3 equivale 1m3?
MATEMÁTICAS
Observa la siguiente tabla:
1Kl
1000 dm3 = 1m3
1 Hl
100 dm3
1 Dl
10 dm3
Litro (l)
1 dm3
1 dl
100 cm3
1cl
10 cm3
1ml
1 cm3
40
Reúnete con tus compañeros y encuentra el razonamiento por el cual se establece la correspondencia entre dl, cl y ml con los cm3
De acuerdo con la tabla anterior ¿Cuántos cm3 de la sustancia debe suministrar don José a josefina?
Para no olvidar como calcular la dosis que se debe sumi- nistrar don José escribe en su cantina de 25l cuantos cm3 tiene de
capacidad ¿Qué debió registrar en ella?
Para determinar el resultado basta con saber que 25l son equivalentes
con 25dm3 luego como debemos convertir una unidad mayor en
una menor debemos multiplicar por mil.
Esto es : 25 X 1000cm3 = 25000cm3
En cierta ocasión el veterinario pido a don José realizar la mezcla de 3 diferentes
tipos de sustancia para dar a josefina de la sustancia A debía suministrar 250ml,
de la sustancia B 30cm3 y de la sustancia C 1500dm3 ¿que cantidad de sustancia
suministra don José a su vaca?
Para resolver este problema es importante como te habrás dado cuenta
emplear las mismas unidades de capacidad esco- jamos para ello los cm3
entonces para cada una de las sustancias tendremos:
> Sustancia A: 250ml lo que es equivalente con 250cm3
> Sustancia B: 30cm3
> Sustancia C: 3dm3 lo que es equivalente con 38cm3.
Luego el total de la sustancia suministrada es de 318cm3
Si esta vez don José solo encuentra jeringas de 15ml
¿Qué estrategia debe usar para saber la cantidad de medicamento a suministrar?.
Un tanque empleado para el almacenamiento de leche tiene una capacidad de 400 litros.
1. ¿Cuál es su capacidad en m3?
2. Si una vaca en promedio es capas de producir 2Dl de leche en sus dos ordeños cuantas son necesarias para llenar el tanque?
3. Para tener un control sobre la calidad de la leche se extraen del tanque una muestra de 500 cm3 ¿Qué cantidad de leche queda
en el tanque?
4. Cierto día de la semana se emplearon 500 cm3 para la muestra, 2 Hl par la preparación de quesos, 6Dl para la preparación de
cuajadas si el tanque se encontraba con su máxima capacidad ¿Cuántos litros quedaron disponibles?
5. Completa la siguiente tabla en las unidades de volumen recuerda las Emplea para ello las equivalencias encontradas en la guía
anterior
recipiente
cm3
m3
Dm3
dm3
taza
vaso
copa
MATEMÁTICAS
cucharón
cucharada sopera
41
En el hato donde trabajo don José se tenían se realizo un seguimiento durante tres meses a 4 vacas del establo para conocer su
comportamiento en la producción de leche los resultados se muestran en la siguiente tabla
1. Completa la tabla no olvides dar el resultado en litros
2. ¿Cual es la vaca con mayor producción de leche?
3. ¿Qué vacas produjeron en diferente mes igual cantidad de leche?
4. ¿Que vaca y en que mes produjo menos leche?
5. Si a cada vaca se le debe suministrar un medicamento en 2 dosis diarias de 400ml ¿Cuántos cm3 se suministran
diariamente?
6. Si la producción total se mantiene y se desean comprar cantinas de capacidad de 25l, 50l, 100l y 200l cuantas se deben
comprar intentando tener el menor numero de cantinas.
7. Si se desea construir un tanque para el almacenamiento de la leche que capacidad en m3 debe tener.
8. Si se decide vender la vaca Jersey para comprar dos Holstein, ¿en cuanto se debe aumentar la capacidad del tanque de
almacenamiento?
9. ¿Con las dos nuevas vacas es necesario comprar más cantinas? ¿de que capacidad se deben adquirir?
10. Si la cuarta parte de la producción de leche se vende para producir cuajadas ¿Cuántas cantinas y de que capacidad se
necesitan para trasportar la leche de la venta?
MATEMÁTICAS
1. Se desea construir un piscina de tiene 25m de largo por 10m de ancho y 2m de profundidad
a. Construye el plano de la piscina
b. Que capacidad en metros cúbicos tiene la piscina c. Cual es su capacidad en litros
d. Con la finalidad de hacer un poco más segura la piscina y que pueda ser utilizada por niños se construyo en el fondo un
rectángulo como el que se muestra en la figura. ¿cuales es la nueva capacidad en litros que tiene la piscina?
42
2. Se tiene un aljibe de forma de base rectangular cuyas dimensiones son 3m de largo por 1.5m de ancho y 1m de largo. es llenado
por una llave que arroja 3500 ml de agua por minuto
a. En cuanto tiempo se llenara el aljibe.
b. Si el aljibe tiene un desagüe que deja perder agua a razón de 1200ml por minuto ¿en cuánto tiempo se desocupara el aljibe
si se encuentra con su máxima capacidad y se abre el desagüe?
c. Si se abre la llave y el desagüe al tiempo ¿cuando el aljibe se encuentra des- ocupado cuanto tiempo tardara en llenarse?
3. Para la venta de postres caseros se quiere elaborar empaques varios diseños que tengan el mismo volumen pero todos ellos de
base rectangular. Si uno de los diseños tiene de dimensiones 200mm de ancho por 5cm de largo por 0.07m de alto.
a. ¿Cual es el volumen del empaque?
b. ¿Si otro diseño tiene 3.5cm de alto por 100mm de largo cual es la dimensiónde su ancho?
c. Si un empaque tiene 0.05m de alto cuales podrían las dimensiones de su largo y ancho?
d. Escribe las medidas de por lo menos 3 posibles empaques para los postres que tengan el doble de volumen.
Qué aprendí
1. Cuál es el volumen de un aljibe de 3 metros de largo, 2 m de ancho y 5/2 m de profundidad? Expresa la respuesta en dm3.
2. ¿Qué profundidad debería tener el aljibe del ejercicio anterior para que su capacidad sea de 1000000 litros?
3. Marca la unidad de medida más pertinente que utilizarías para calcular el volumen de cada objeto real.
MATEMÁTICAS
4. Resuelve los siguientes problemas
a. Lorena tiene un costurero con forma de cubo. Mide 10 cm por cada lado. ¿Cuál es el volumen del costurero?
b. Las dimensiones de un contenedor son: 5 metros de alto, 12 m de ancho y 14 m de largo. ¿Cuál es el volumen del edificio,
expresado en decímetros cúbicos?
c. En un almacén de químicos deben guardar 234 cajas con las siguientes dimensiones: 38 cm de largo 25 cm de ancho y 22 cm de
alto. ¿Cuál es el volumen que ocuparán las cajas?
5. Un hato distribuye su producción de leche a varias poblaciones cercanas como se muestra en la tabla:
a. ¿Cuál es la población que se abastece de mayor cantidad de leche?
b. ¿Cual es la segunda población que recibe la menor cantidad de leche?
c. Cual es la cantidad de leche producida en el hato?
43